Armónicos esféricos vectoriales

Extensión de los armónicos esféricos escalares para uso con campos vectoriales.

En matemáticas , los armónicos esféricos vectoriales ( VSH ) son una extensión de los armónicos esféricos escalares para su uso con campos vectoriales . Los componentes del VSH son funciones de valores complejos expresadas en vectores de base de coordenadas esféricas .

Definición

Se han utilizado varias convenciones para definir VSH. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Seguimos el de Barrera et al. . Dado un armónico esférico escalar Y _ℓm ( θ , φ ) , definimos tres VSH:

• ${\displaystyle \mathbf {Y} _{\ell m}=Y_{\ell m}{\hat {\mathbf {r} }},}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Psi } _{\ell m}=r\nabla Y_{\ell m},}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{\ell m}=\mathbf {r} \times \nabla Y_{\ell m},}$

siendo el vector unitario a lo largo de la dirección radial en coordenadas esféricas y el vector a lo largo de la dirección radial con la misma norma que el radio, es decir ,. Los factores radiales se incluyen para garantizar que las dimensiones del VSH sean las mismas que las de los armónicos esféricos ordinarios y que el VSH no dependa de la coordenada esférica radial. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}$

El interés de estos nuevos campos vectoriales es separar la dependencia radial de la angular cuando se utilizan coordenadas esféricas, de modo que un campo vectorial admita una expansión multipolar.

$${\displaystyle \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(E_{\ell m}^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+E_{\ell m}^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+E_{\ell m}^{(2)}(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}$$

Las etiquetas de las componentes reflejan que es la componente radial del campo vectorial, mientras que y son componentes transversales (con respecto al radio vector ). ${\displaystyle E_{\ell m}^{r}}$ ${\displaystyle E_{\ell m}^{(1)}}$ ${\displaystyle E_{\ell m}^{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Propiedades principales

Simetría

Al igual que los armónicos esféricos escalares, los VSH satisfacen

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Psi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Phi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*},\end{aligned}}}$$

lo que reduce el número de funciones independientes aproximadamente a la mitad. La estrella indica conjugación compleja .

Ortogonalidad

Los VSH son ortogonales en la forma tridimensional habitual en cada punto : ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

También son ortogonales en el espacio de Hilbert:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {Y} _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Phi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0.\end{aligned}}}$$

Un resultado adicional en un solo punto (no informado en Barrera et al, 1985) es, para todos , ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \ell ,m,\ell ',m'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

Momentos multipolares vectoriales

Las relaciones de ortogonalidad permiten calcular los momentos multipolares esféricos de un campo vectorial como

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\ell m}^{r}&=\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {Y} _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(1)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(2)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega .\end{aligned}}}$$

El gradiente de un campo escalar.

Dada la expansión multipolar de un campo escalar

$${\displaystyle \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\phi _{\ell m}(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),}$$

podemos expresar su gradiente en términos de VSH como

$${\displaystyle \nabla \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {d\phi _{\ell m}}{dr}}\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {\phi _{\ell m}}{r}}\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right).}$$

Divergencia

Para cualquier campo multipolar tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}fY_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=0.\end{aligned}}}$$

Por superposición obtenemos la divergencia de cualquier campo vectorial:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {dE_{\ell m}^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}E_{\ell m}^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)Y_{\ell m}.}$$

Vemos que la componente en Φ _ℓm siempre es solenoidal .

Rizo

Para cualquier campo multipolar tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}f\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

Por superposición obtenemos el rizo de cualquier campo vectorial:

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {dE_{\ell m}^{(2)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+\left(-{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{r}+{\frac {dE_{\ell m}^{(1)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}$$

laplaciano

La acción del operador de Laplace se separa de la siguiente manera: ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$

$${\displaystyle \Delta \left(f(r)\mathbf {Z} _{\ell m}\right)=\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\mathbf {Z} _{\ell m}+f(r)\Delta \mathbf {Z} _{\ell m},}$$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{\ell m}=\mathbf {Y} _{\ell m},\mathbf {\Psi } _{\ell m},\mathbf {\Phi } _{\ell m}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {Y} _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}(2+\ell (\ell +1))\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {2}{r^{2}}}\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Psi } _{\ell m}&={\frac {2}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {Y} _{\ell m}-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Phi } _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Phi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

También tenga en cuenta que esta acción se vuelve simétrica , es decir, los coeficientes fuera de la diagonal son iguales a , para VSH correctamente normalizado . ${\textstyle {\frac {2}{r^{2}}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$

Ejemplos

Visualizaciones de las partes reales de VSH. Haga clic para ampliar. ${\displaystyle \ell =1,2,3}$

Primeros armónicos esféricos vectoriales.

• ${\displaystyle \ell =0}$.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{00}&={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {\Psi } _{00}&=\mathbf {0} ,\\\mathbf {\Phi } _{00}&=\mathbf {0} .\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle \ell =1}$.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\sin \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\end{aligned}}}$$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\end{aligned}}}$$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{11}&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle \ell =2}$.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{20}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{22}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }}.\end{aligned}}}$$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Psi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{21}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Phi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(-i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$$

Las expresiones para valores negativos de m se obtienen aplicando las relaciones de simetría.

Aplicaciones

Electrodinámica

Los VSH son especialmente útiles en el estudio de campos de radiación multipolares . Por ejemplo, un multipolo magnético se debe a una corriente oscilante con frecuencia angular y amplitud compleja. ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}=J(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},}$$

y los campos eléctricos y magnéticos correspondientes, se pueden escribir como

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {E} }}&=E(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\{\hat {\mathbf {B} }}&=B^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

Sustituyendo en las ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss se cumple automáticamente

$${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {E} }}=0,}$$

mientras que la ley de Faraday se desacopla como

$${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {E} }}=-i\omega {\hat {\mathbf {B} }}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\dfrac {\ell (\ell +1)}{r}}E=i\omega B^{r},\\{\dfrac {dE}{dr}}+{\dfrac {E}{r}}=i\omega B^{(1)}.\end{cases}}}$$

La ley de Gauss para el campo magnético implica

$${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {B} }}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dB^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}B^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}B^{(1)}=0,}$$

y la ecuación de Ampère-Maxwell da

$${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\hat {\mathbf {J} }}+i\mu _{0}\varepsilon _{0}\omega {\hat {\mathbf {E} }}\quad \Rightarrow \quad -{\frac {B^{r}}{r}}+{\frac {dB^{(1)}}{dr}}+{\frac {B^{(1)}}{r}}=\mu _{0}J+i\omega \mu _{0}\varepsilon _{0}E.}$$

De esta forma, las ecuaciones diferenciales parciales se han transformado en un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Definición alternativa

Parte angular de armónicos esféricos vectoriales magnéticos y eléctricos. Las flechas rojas y verdes muestran la dirección del campo. También se presentan las funciones escalares generadoras, solo se muestran los tres primeros órdenes (dipolos, cuadrupolos, octupolos).

En muchas aplicaciones, los armónicos vectoriales esféricos se definen como un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas. ^{[6] [7]}

En este caso, los armónicos vectoriales esféricos se generan mediante funciones escalares, que son soluciones de la ecuación escalar de Helmholtz con el vector de onda . ${\displaystyle \mathbf {k} }$

$${\displaystyle {\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array}}}$$

polinomios de Legendre asociadosfunciones esféricas de Bessel ${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle z_{n}({k}r)}$

Los armónicos esféricos vectoriales se definen como:

armónicos longitudinales

${\displaystyle \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn}}$

armónicos magnéticos

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}$

armónicos eléctricos

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}}$

Aquí usamos la parte angular de valor real de armónicos, donde , pero las funciones complejas se pueden introducir de la misma manera. ${\displaystyle m\geq 0}$

Introduzcamos la notación . En la forma de componente, los armónicos esféricos vectoriales se escriben como: ${\displaystyle \rho =kr}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {-m}{\sin(\theta )}}\sin(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }}\\{{}-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {m}{\sin(\theta )}}\cos(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }}\\{{}+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }\\{}+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{}+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Armónicos longitudinales:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}(k,\mathbf {r} ){}=\qquad &{\frac {\partial }{\partial r}}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\\{}\mp {}&{\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

Ortogonalidad

Las soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz obedecen a las siguientes relaciones de ortogonalidad: ^[7]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\end{aligned}}}$$

Todas las demás integrales de ángulos entre funciones diferentes o funciones con índices diferentes son iguales a cero.

Rotación e inversión

Ilustración de la transformación de armónicos esféricos vectoriales bajo rotaciones. Se puede ver que se transforman de la misma manera que las funciones escalares correspondientes.

Bajo rotación, los armónicos vectoriales esféricos se transforman entre sí de la misma manera que las funciones escalares esféricas correspondientes , que se generan para un tipo específico de armónicos vectoriales. Por ejemplo, si las funciones generadoras son los armónicos esféricos habituales , entonces los armónicos vectoriales también se transformarán mediante las matrices D de Wigner ^{[8] [9] [10].}

$${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{M'=-J}^{J}[D_{MM'}^{(J)}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),}$$

Bajo inversión, los armónicos esféricos eléctricos y longitudinales se comportan de la misma manera que las funciones esféricas escalares, es decir

$${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$$

$${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$$

Dinámica de fluidos

En el cálculo de la ley de Stokes para la resistencia que ejerce un fluido viscoso sobre una partícula esférica pequeña, la distribución de velocidades obedece a las ecuaciones de Navier-Stokes sin tener en cuenta la inercia, es decir,

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla \cdot \mathbf {v} ,\\\mathbf {0} &=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$

con las condiciones de contorno

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{cases}\mathbf {0} &r=a,\\-\mathbf {U} _{0}&r\to \infty .\end{cases}}}$$

donde U es la velocidad relativa de la partícula con respecto al fluido alejado de la partícula. En coordenadas esféricas, esta velocidad en el infinito se puede escribir como

$${\displaystyle \mathbf {U} _{0}=U_{0}\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}\right)=U_{0}\left(\mathbf {Y} _{10}+\mathbf {\Psi } _{10}\right).}$$

La última expresión sugiere una expansión en armónicos esféricos para la velocidad y la presión del líquido.

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p(r)Y_{10},\\\mathbf {v} &=v^{r}(r)\mathbf {Y} _{10}+v^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{10}.\end{aligned}}}$$

La sustitución en las ecuaciones de Navier-Stokes produce un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para los coeficientes.

Relaciones integrales

Aquí se utilizan las siguientes definiciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=i{\frac {\mathbf {k} }{k}}\times \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$

esféricasla expansión de ondas planas^[11] ${\displaystyle z_{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}}$$

$${\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}}$$

En el caso de que sean funciones de Hankel esféricas, se deben utilizar las fórmulas diferentes. ^{[12] [11]} Para armónicos vectoriales esféricos se obtienen las siguientes relaciones: ${\displaystyle z_{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$

${\textstyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}$ ${\displaystyle (3)}$

Ver también

• Armónicos esféricos
• Armónicos esféricos de espinor
• Armónicos esféricos ponderados por giro
• Radiación electromagnética
• base esférica

Referencias

1. Barrera, RG; Estévez, GA; Giraldo, J (1 de octubre de 1985). "Vectores armónicos esféricos y su aplicación a la magnetostática". Revista Europea de Física . 6 (4). Publicación del PIO: 287–294. Código bibliográfico : 1985EJPh....6..287B. CiteSeerX  10.1.1.718.2001 . doi :10.1088/0143-0807/6/4/014. ISSN  0143-0807. S2CID  250894245.
2. Carrascal, B; Estévez, GA; Lee, Peilian; Lorenzo, V (1 de julio de 1991). "Vectores armónicos esféricos y su aplicación a la electrodinámica clásica". Revista Europea de Física . 12 (4). Publicaciones del PIO: 184–191. Código bibliográfico : 1991EJPh...12..184C. doi :10.1088/0143-0807/12/4/007. ISSN  0143-0807. S2CID  250886412.
3. Hill, EL (1954). "La teoría de los armónicos esféricos vectoriales" (PDF) . Revista Estadounidense de Física . 22 (4). Asociación Estadounidense de Profesores de Física (AAPT): 211–214. Código bibliográfico : 1954AmJPh..22..211H. doi :10.1119/1.1933682. ISSN  0002-9505. S2CID  124182424. Archivado desde el original (PDF) el 12 de abril de 2020.
4. Weinberg, Erick J. (15 de enero de 1994). "Armónicos esféricos de vector monopolar". Revisión física D. 49 (2). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1086–1092. arXiv : hep-th/9308054 . Código bibliográfico : 1994PhRvD..49.1086W. doi :10.1103/physrevd.49.1086. ISSN  0556-2821. PMID  10017069. S2CID  6429605.
5. PM Morse y H. Feshbach, Métodos de física teórica, parte II , Nueva York: McGraw-Hill, 1898-1901 (1953)
6. Bohren, Craig F. y Donald R. Huffman, Absorción y dispersión de luz por partículas pequeñas, Nueva York: Wiley, 1998, 530 p., ISBN 0-471-29340-7 , ISBN 978-0-471-29340- 8 (segunda edición)  
7. Stratton, JA (1941). Teoría electromagnética . Nueva York: McGraw-Hill.
8. DA Varhalovich, AN Moskalev y VK Khersonskii, Teoría cuántica del momento angular [en ruso], Nauka, Leningrado (1975)
9. Zhang, Huayong; Han, Yiping (2008). "Teorema de la suma para las funciones de onda vectoriales esféricas y su aplicación a los coeficientes de forma del haz". J. Optar. Soc. Soy. B . 25 (2): 255–260. doi :10.1364/JOSAB.25.000255.
10. Stein, Seymour (1961). "Teoremas de suma para funciones de onda esféricas". Trimestral de Matemática Aplicada . 19 (1): 15-24. doi :10.1090/qam/120407.
11. Stout, B. (2012). Popov, E (ed.). "Sumas de celosías armónicas esféricas para rejillas" (PDF) . Institut Fresnel, Université d'Aix-Marseille 6. "Rejillas: teoría y aplicaciones numéricas".
12. Wittmann, RC (1988). "Operadores de ondas esféricas y fórmulas de traducción". Transacciones IEEE sobre antenas y propagación . 36 (8): 1078–1087. doi :10.1109/8.7220.

enlaces externos

• Armónicos esféricos vectoriales en Mathworld de Eric Weisstein