La teoría del diseño combinatorio es la parte de las matemáticas combinatorias que se ocupa de la existencia, construcción y propiedades de sistemas de conjuntos finitos cuyas disposiciones satisfacen conceptos generalizados de equilibrio y/o simetría . Estos conceptos no se precisan de modo que se pueda pensar que una amplia gama de objetos están bajo el mismo paraguas. A veces, esto puede implicar los tamaños numéricos de las intersecciones de conjuntos, como en los diseños de bloques , mientras que en otras ocasiones puede implicar la disposición espacial de las entradas en una matriz, como en las cuadrículas de sudoku .
Dado un cierto número n de personas, ¿es posible asignarlas a conjuntos de modo que cada persona esté en al menos un conjunto, cada par de personas esté en exactamente un conjunto, cada dos conjuntos tengan exactamente una persona en común y ningún conjunto contenga a todos, a todas las personas menos una o exactamente a una persona? La respuesta depende de n .
Esto tiene solución solo si n tiene la forma q 2 + q + 1. Es menos simple probar que existe una solución si q es una potencia prima . Se conjetura que estas son las únicas soluciones. Se ha demostrado además que si existe una solución para q congruente con 1 o 2 módulo 4, entonces q es una suma de dos números cuadrados . Este último resultado, el teorema de Bruck-Ryser , se prueba mediante una combinación de métodos constructivos basados en cuerpos finitos y una aplicación de formas cuadráticas .
Cuando existe una estructura de este tipo, se denomina plano proyectivo finito , lo que demuestra cómo se intersecan la geometría finita y la combinatoria. Cuando q = 2, el plano proyectivo se denomina plano de Fano .
Historia
Los diseños combinatorios datan de la antigüedad, siendo el cuadrado Lo Shu uno de los primeros cuadrados mágicos . Una de las primeras aplicaciones datables del diseño combinatorio se encuentra en la India en el libro Brhat Samhita de Varahamihira, escrito alrededor del año 587 d. C., con el propósito de elaborar perfumes utilizando 4 sustancias seleccionadas de 16 sustancias diferentes mediante un cuadrado mágico. [2]
Un diseño de bloque incompleto balanceado o BIBD (usualmente llamado para abreviar un diseño de bloque ) es una colección B de b subconjuntos (llamados bloques ) de un conjunto finito X de v elementos, de modo que cualquier elemento de X está contenido en el mismo número r de bloques, cada bloque tiene el mismo número k de elementos y cada par de elementos distintos aparecen juntos en el mismo número λ de bloques. Los BIBD también se conocen como 2-diseños y a menudo se denotan como diseños 2-( v , k , λ). Como ejemplo, cuando λ = 1 y b = v , tenemos un plano proyectivo : X es el conjunto de puntos del plano y los bloques son las líneas.
Un diseño de bloques incompletos balanceados simétricos o SBIBD es un BIBD en el que v = b (la cantidad de puntos es igual a la cantidad de bloques). Son la subclase más importante y mejor estudiada de los BIBD. Los planos proyectivos, los biplanos y los diseños de Hadamard 2 son todos SBIBD. Son de particular interés ya que son los ejemplos extremos de la desigualdad de Fisher ( b ≥ v ).
Un BIBD resoluble es un BIBD cuyos bloques se pueden dividir en conjuntos (llamados clases paralelas ), cada uno de los cuales forma una partición del conjunto de puntos del BIBD. El conjunto de clases paralelas se denomina resolución del diseño. Una solución del famoso problema de las 15 colegialas es una resolución de un BIBD con v = 15, k = 3 y λ = 1. [4]
Un rectángulo latino es una matriz r × n que tiene los números 1, 2, 3, ..., n como sus entradas (o cualquier otro conjunto de n símbolos distintos) sin que ningún número aparezca más de una vez en cualquier fila o columna donde r ≤ n . Un rectángulo latino n × n se llama cuadrado latino . Si r < n , entonces es posible agregar n − r filas a un rectángulo latino r × n para formar un cuadrado latino, utilizando el teorema del matrimonio de Hall . [5]
Se dice que dos cuadrados latinos de orden n son ortogonales si el conjunto de todos los pares ordenados que consisten en las entradas correspondientes en los dos cuadrados tiene n 2 miembros distintos (todos los pares ordenados posibles ocurren). Un conjunto de cuadrados latinos del mismo orden forma un conjunto de cuadrados latinos mutuamente ortogonales (MOLS) si cada par de cuadrados latinos en el conjunto es ortogonal. Puede haber como máximo n − 1 cuadrados en un conjunto de MOLS de orden n . Un conjunto de n − 1 MOLS de orden n se puede utilizar para construir un plano proyectivo de orden n (y viceversa).
Un conjunto de diferencias ( v , k , λ ) es un subconjunto D de un grupo G tal que el orden de G es v , el tamaño de D es k y cada elemento no identidad de G puede expresarse como un producto d 1 d 2 −1 de elementos de D de exactamente λ maneras (cuando G se escribe con una operación multiplicativa). [6]
Si D es un conjunto de diferencias y g en G , entonces g D = { gd : d en D } también es un conjunto de diferencias y se denomina traslación de D . El conjunto de todas las traslaciones de un conjunto de diferencias D forma un BIBD simétrico . En un diseño de este tipo hay v elementos y v bloques. Cada bloque del diseño consta de k puntos, cada punto está contenido en k bloques. Dos bloques cualesquiera tienen exactamente λ elementos en común y dos puntos cualesquiera aparecen juntos en λ bloques. Este SBIBD se denomina desarrollo de D . [7]
En particular, si λ = 1, entonces el conjunto de diferencias da lugar a un plano proyectivo . Un ejemplo de un conjunto de diferencias (7,3,1) en el grupo (un grupo abeliano escrito de forma aditiva) es el subconjunto {1,2,4}. El desarrollo de este conjunto de diferencias da lugar al plano de Fano .
Dado que cada conjunto de diferencias da un SBIBD, el conjunto de parámetros debe satisfacer el teorema de Bruck-Ryser-Chowla , pero no cada SBIBD da un conjunto de diferencias.
Una matriz de Hadamard de orden m es una matriz H de m × m cuyas entradas son ±1 tal que HH ⊤ = m I m , donde H ⊤ es la transpuesta de H e I m es la matriz identidad de m × m . Una matriz de Hadamard se puede poner en forma estandarizada (es decir, convertir a una matriz de Hadamard equivalente) donde las entradas de la primera fila y la primera columna son todas +1. Si el orden m > 2, entonces m debe ser un múltiplo de 4.
Dada una matriz de Hadamard de orden 4 a en forma estandarizada, elimine la primera fila y la primera columna y convierta cada −1 en un 0. La matriz 0–1 resultante M es la matriz de incidencia de un diseño simétrico 2 − (4 a − 1, 2 a − 1, a − 1) llamado un 2-diseño de Hadamard . [8] Esta construcción es reversible, y la matriz de incidencia de un 2-diseño simétrico con estos parámetros se puede utilizar para formar una matriz de Hadamard de orden 4 a . Cuando a = 2 obtenemos el, por ahora familiar, plano de Fano como un 2-diseño de Hadamard.
Un diseño equilibrado por pares (o PBD) es un conjunto X junto con una familia de subconjuntos de X (que no necesitan tener el mismo tamaño y pueden contener repeticiones) de modo que cada par de elementos distintos de X esté contenido en exactamente λ (un entero positivo) subconjuntos. Se permite que el conjunto X sea uno de los subconjuntos, y si todos los subconjuntos son copias de X , el PBD se denomina trivial . El tamaño de X es v y el número de subconjuntos en la familia (contados con multiplicidad) es b .
Este resultado también generaliza el famoso teorema de Erdős–De Bruijn : para un PBD con λ = 1 que no tiene bloques de tamaño 1 o tamaño v , v ≤ b , con igualdad si y solo si el PBD es un plano proyectivo o un lápiz cercano. [10]
Otros diseños combinatorios
El Manual de diseños combinatorios (Colbourn y Dinitz 2007) tiene, entre otros, 65 capítulos, cada uno dedicado a un diseño combinatorio distinto de los mencionados anteriormente. A continuación se ofrece una lista parcial:
Un diseño ternario equilibrado BTD( V , B ; ρ 1 , ρ 2 , R ; K , Λ) es una disposición de V elementos en B multiconjuntos (bloques), cada uno de cardinalidad K ( K ≤ V ), que satisface:
Cada elemento aparece R = ρ 1 + 2 ρ 2 veces en total, con multiplicidad uno en exactamente ρ 1 bloques y multiplicidad dos en exactamente ρ 2 bloques.
Cada par de elementos distintos aparece Λ veces (contadas con multiplicidad); es decir, si m vb es la multiplicidad del elemento v en el bloque b , entonces para cada par de elementos distintos v y w , .
Por ejemplo, uno de los dos únicos BTD(4,8;2,3,8;4,6) no isomorfos (los bloques son columnas) es: [11]
La matriz de incidencia de un BTD (donde las entradas son las multiplicidades de los elementos en los bloques) se puede utilizar para formar un código ternario de corrección de errores análogo a la forma en que se forman los códigos binarios a partir de las matrices de incidencia de los BIBD. [12]
AEl diseño de torneo equilibrado de ordenn(un BTD(n)) es una disposición de todos los pares desordenados distintos de un conjunto 2nVenunan × (2n − 1) tal que
cada elemento de V aparece exactamente una vez en cada columna, y
Cada elemento de V aparece como máximo dos veces en cada fila.
Un ejemplo de BTD(3) lo da
Las columnas de un BTD( n ) proporcionan una factorización 1 del gráfico completo en 2n vértices , K 2 n . [13]
Los BTD( n ) se pueden usar para programar torneos todos contra todos : las filas representan las ubicaciones, las columnas las rondas de juego y las entradas son los jugadores o equipos que compiten.
Un cuadrado de frecuencia ( F -cuadrado) es una generalización de orden superior de un cuadrado latino . Sea S = { s 1 , s 2 , ..., s m } un conjunto de símbolos distintos y ( λ 1 , λ 2 , ..., λ m ) un vector de frecuencia de números enteros positivos. Un cuadrado de frecuencia de orden n es una matriz n × n en la que cada símbolo s i aparece λ i veces, i = 1,2,..., m , en cada fila y columna. El orden n = λ 1 + λ 2 + ... + λ m . Un F-cuadrado está en forma estándar si en la primera fila y columna, todas las apariciones de s i preceden a las de s j siempre que i < j .
Un cuadrado de frecuencia F 1 de orden n basado en el conjunto { s 1 , s 2 , ..., s m } con vector de frecuencia ( λ 1 , λ 2 , ..., λ m ) y un cuadrado de frecuencia F 2 , también de orden n , basado en el conjunto { t 1 , t 2 , ..., t k } con vector de frecuencia ( μ 1 , μ 2 , ..., μ k ) son ortogonales si cada par ordenado ( s i , t j ) aparece precisamente λ i μ j veces cuando F 1 y F 2 se superponen.
Los sistemas triples de Hall (HTS) son sistemas triples de Steiner (STS) (pero los bloques se llaman líneas ) con la propiedad de que la subestructura generada por dos líneas que se cruzan es isomorfa al plano afín finito AG(2,3).
Cualquier espacio afín AG( n ,3) da un ejemplo de un HTS. Un HTS de este tipo es un HTS afín . También existen HTS no afines.
El número de puntos de un HTS es 3 m para algún entero m ≥ 2. Existen HTS no afines para cualquier m ≥ 4 y no existen para m = 2 o 3. [14]
Todo sistema triple de Steiner es equivalente a un cuasigrupo de Steiner ( idempotente , conmutativo y que satisface ( xy ) y = x para todos los x e y ). Un sistema triple de Hall es equivalente a un cuasigrupo de Steiner que es distributivo , es decir, satisface a ( xy ) = ( ax )( ay ) para todos los a , x , y en el cuasigrupo. [15]
Sea S un conjunto de 2 n elementos. Un diseño de Howell , H( s ,2 n ) (en el conjunto de símbolos S ) es una matriz s × s tal que:
Cada celda de la matriz está vacía o contiene un par desordenado de S ,
Cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y columna de la matriz, y
Cada par de símbolos desordenados aparece como máximo en una celda de la matriz.
Un ejemplo de un H (4,6) es
Un H(2 n − 1, 2 n ) es un cuadrado de habitación de lado 2 n − 1 y, por lo tanto, los diseños de Howell generalizan el concepto de cuadrados de habitación.
Los pares de símbolos en las celdas de un diseño Howell pueden considerarse como los bordes de un gráfico regular en 2n vértices , llamado el gráfico subyacente del diseño Howell.
Los diseños cíclicos de Howell se utilizan como movimientos de Howell en torneos de bridge duplicado. Las filas del diseño representan las rondas, las columnas representan los tableros y las diagonales representan las mesas. [16]
Un diseño de lotería ( n , k , p , t ) es un conjunto n de elementos V junto con un conjunto β de subconjuntos de elementos k de V (bloques), de modo que para cualquier subconjunto p de V , existe un bloque B en β para el cual |P ∩ B | ≥ t . L( n , k , p , t ) denota el menor número de bloques en cualquier diseño de lotería ( n , k , p , t ). El siguiente es un diseño de lotería (7,5,4,3) con el menor número posible de bloques: [17]
{1,2,3,4,7} {1,2,5,6,7} {3,4,5,6,7}.
Los diseños de lotería modelan cualquier lotería que se lleve a cabo de la siguiente manera: las personas compran boletos que consisten en k números elegidos de un conjunto de n números. En un momento determinado, la venta de boletos se detiene y se selecciona aleatoriamente un conjunto de p números de los n números. Estos son los números ganadores . Si cualquier boleto vendido contiene t o más de los números ganadores, se le otorga un premio al poseedor del boleto. Los premios más grandes se otorgan a los boletos con más coincidencias. El valor de L( n , k , p , t ) es de interés tanto para los jugadores como para los investigadores, ya que este es el número más pequeño de boletos que se necesitan comprar para garantizar un premio.
La lotería húngara tiene un diseño de lotería (90,5,5, t ) y se sabe que L(90,5,5,2) = 100. Las loterías con parámetros (49,6,6, t ) también son populares en todo el mundo y se sabe que L(49,6,6,2) = 19. Sin embargo, en general, estos números son difíciles de calcular y siguen siendo desconocidos. [18]
Un diseño ( v , k , λ )-Mendelsohn , o MD( v , k , λ ), es un v -conjunto V y una colección β de k -tuplas ordenadas de elementos distintos de V (llamados bloques ), de modo que cada par ordenado ( x , y ) con x ≠ y de elementos de V es cíclicamente adyacente en λ bloques. El par ordenado ( x , y ) de elementos distintos es cíclicamente adyacente en un bloque si los elementos aparecen en el bloque como (..., x , y ,...) o ( y ,..., x ). Un MD( v ,3, λ ) es un sistema triple de Mendelsohn , MTS( v , λ ). Un ejemplo de un MTS(4,1) en V = {0,1,2,3} es:
(0,1,2) (1,0,3) (2,1,3) (0,2,3)
Cualquier sistema triple puede convertirse en un sistema triple de Mendelson reemplazando el triple desordenado { a , b , c } por el par de triples ordenados ( a , b , c ) y ( a , c , b ), pero como muestra el ejemplo, el recíproco de esta afirmación no es verdadero.
Si ( Q ,∗) es un cuasigrupo semisimétrico idempotente , es decir, x ∗ x = x (idempotente) y x ∗ ( y ∗ x ) = y (semisimétrico) para todo x , y en Q , sea β = {( x , y , x ∗ y ): x , y en Q }. Entonces ( Q , β) es un sistema triple de Mendelsohn MTS(| Q |,1). Esta construcción es reversible. [19]
Un diseño cuasi-3 es un diseño simétrico (SBIBD) en el que cada triple de bloques se interseca en puntos x o y , para x e y fijos llamados números de intersección triple ( x < y ). Cualquier diseño simétrico con λ ≤ 2 es un diseño cuasi-3 con x = 0 e y = 1. El diseño de hiperplano puntual de PG ( n , q ) es un diseño cuasi-3 con x = ( q n −2 − 1)/( q − 1) e y = λ = ( q n −1 − 1)/( q − 1). Si y = λ para un diseño cuasi-3, el diseño es isomorfo a PG ( n , q ) o un plano proyectivo . [20]
Un diseño t -( v , k , λ ) D es cuasi-simétrico con los números de intersección x e y ( x < y ) si cada dos bloques distintos se intersecan en los puntos x o y . Estos diseños surgen naturalmente en la investigación de los duales de diseños con λ = 1. Un diseño no simétrico ( b > v ) 2-( v , k ,1) es cuasi-simétrico con x = 0 e y = 1. Un diseño múltiple (repetir todos los bloques una cierta cantidad de veces) de un diseño simétrico 2-( v , k , λ ) es cuasi-simétrico con x = λ e y = k . Los 3-diseños de Hadamard (extensiones de los 2-diseños de Hadamard ) son cuasi-simétricos. [21]
Todo diseño de bloque cuasisimétrico da lugar a un gráfico fuertemente regular (como su gráfico de bloque), pero no todos los SRG surgen de esta manera. [22]
La matriz de incidencia de un diseño cuasisimétrico 2-( v , k , λ ) con k ≡ x ≡ y (mod 2) genera un código binario autoortogonal (cuando está bordeado si k es impar). [23]
Un diseño esférico es un conjunto finito X de puntos en una esfera de dimensión ( d − 1) tal que, para algún entero t , el valor promedio en X de cada polinomio
de grado total como máximo t es igual al valor medio de f en toda la esfera, es decir, la integral de f dividida por el área de la esfera.
Un rectángulo toscano r × n con n símbolos tiene r filas y n columnas tales que:
Cada fila es una permutación de los n símbolos y
para dos símbolos distintos a y b y para cada m desde 1 hasta k , hay como máximo una fila en la que b está m pasos a la derecha de a .
Si r = n y k = 1, se denominan cuadrados toscanos , mientras que si r = n y k = n - 1, se denominan cuadrados florentinos . Un cuadrado romano es un cuadrado toscano que también es un cuadrado latino (también se conocen como cuadrados latinos de fila completa ). Un cuadrado vaticano es un cuadrado florentino que también es un cuadrado latino.
El siguiente ejemplo es un cuadrado toscano-1 sobre 7 símbolos que no es toscano-2: [24]
Un cuadrado toscano sobre n símbolos es equivalente a una descomposición del gráfico completo con n vértices en n caminos dirigidos hamiltonianos. [25]
En una secuencia de impresiones visuales, una tarjeta puede tener algún efecto sobre la impresión que da la siguiente. Este sesgo se puede cancelar utilizando n secuencias correspondientes a las filas de un cuadrado toscano-1 de n × n . [26]
Un diseño balanceado t-wise (o t BD) de tipo t − ( v ,K, λ ) es un v -conjunto X junto con una familia de subconjuntos de X (llamados bloques ) cuyos tamaños están en el conjunto K, de modo que cada t -subconjunto de elementos distintos de X está contenido en exactamente λ bloques. Si K es un conjunto de enteros positivos estrictamente entre t y v , entonces el t BD es propio . Si todos los k -subconjuntos de X para algún k son bloques, el t BD es un diseño trivial . [27]
Observe que en el siguiente ejemplo de un diseño 3-{12,{4,6},1) basado en el conjunto X = {1,2,...,12}, algunos pares aparecen cuatro veces (como 1,2) mientras que otros aparecen cinco veces (6,12 por ejemplo). [28]
Las matrices de ponderación , una generalización de las matrices de Hadamard que permite entradas cero, se utilizan en algunos diseños combinatorios. En particular, en el diseño de experimentos para estimar los pesos individuales de múltiples objetos en pocos ensayos. [29]
Un cuadrado de Youden es una matriz rectangular k × v ( k < v ) de v símbolos de manera que cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y los símbolos que aparecen en cualquier columna forman un bloque de un diseño simétrico ( v , k , λ ), todos los bloques de los cuales aparecen de esta manera. Un cuadrado de Youden es un rectángulo latino. El término "cuadrado" en el nombre proviene de una definición más antigua que sí utilizaba una matriz cuadrada. [30] Un ejemplo de un cuadrado de Youden de 4 × 7 viene dado por:
Los siete bloques (columnas) forman el biplano de orden 2 (un diseño simétrico (7,4,2)).
^ Hayashi, Takao (2008). "Cuadrados mágicos en las matemáticas indias". Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en culturas no occidentales (2.ª ed.). Springer. págs. 1252-1259. doi :10.1007/978-1-4020-4425-0_9778. ISBN 978-1-4020-4559-2.
^ Stinson 2003, pág. IX
^ Beth, Jungnickel y Lenz 1986, pág. 40 Ejemplo 5.8
^ Ryser 1963, pág. 52, Teorema 3.1
^ Cuando el grupo G es un grupo abeliano (o escrito de forma aditiva) la propiedad definitoria se ve así: d 1 –d 2, de donde proviene el término conjunto de diferencias .
^ Beth, Jungnickel y Lenz 1986, pág. 262, Teorema 1.6
^ Stinson 2003, pág. 74, Teorema 4.5
^ Stinson 2003, pág. 193, Teorema 8.20
^ Stinson 2003, pág. 183, Teorema 8.5
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 331, Ejemplo 2.2
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 331, Observación 2.8
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 333, Observación 3.3
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 496, Teorema 28.5
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 497, Teorema 28.15
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 503, Observación 29.38
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 512, Ejemplo 32.4
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 512, Observación 32.3
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 530, Teorema 35.15
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 577, Teorema 47.15
^ Colbourn y Dinitz 2007, págs. 578-579
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 579, Teorema 48.10
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 580, Lema 48.22
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 652, Ejemplos 62.4
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 655, Teorema 62.24
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 657, Observación 62.29
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 657
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 658, Ejemplo 63.5
^ Raghavarao y Padgett 1988, pág. 305-308
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 669, Observación 65.3
Referencias
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