En matemáticas, una matriz ortogonal (más específicamente, una matriz ortogonal de nivel fijo ) es una "tabla" (matriz) cuyas entradas provienen de un conjunto finito fijo de símbolos (por ejemplo, {1,2,..., v }), ordenados de tal manera que existe un entero t de modo que para cada selección de t columnas de la tabla, todas las t - tuplas ordenadas de los símbolos, formadas al tomar las entradas en cada fila restringida a estas columnas, aparecen el mismo número de veces. El número t se denomina fuerza de la matriz ortogonal. A continuación se muestran dos ejemplos:
El ejemplo de la izquierda es el de una matriz ortogonal con el conjunto de símbolos {1,2} y fuerza 2. Nótese que los cuatro pares ordenados (2-tuplas) formados por las filas restringidas a la primera y tercera columnas, a saber (1,1), (2,1), (1,2) y (2,2), son todos los pares ordenados posibles del conjunto de dos elementos y cada uno aparece exactamente una vez. La segunda y tercera columnas darían, (1,1), (2,1), (2,2) y (1,2); nuevamente, todos los pares ordenados posibles aparecen una vez cada uno. La misma afirmación se cumpliría si se hubieran utilizado la primera y la segunda columnas. Por lo tanto, se trata de una matriz ortogonal de fuerza dos.
En el ejemplo de la derecha, [1] las filas restringidas a las tres primeras columnas contienen los 8 triples ordenados posibles que consisten en 0 y 1, cada uno de los cuales aparece una vez. Lo mismo se aplica a cualquier otra opción de tres columnas. Por lo tanto, se trata de una matriz ortogonal de fuerza 3.
Una matriz ortogonal de niveles mixtos es aquella en la que cada columna puede tener una cantidad diferente de símbolos. A continuación se muestra un ejemplo.
Las matrices ortogonales generalizan, en forma de tabla, la idea de los cuadrados latinos mutuamente ortogonales . Estas matrices tienen muchas conexiones con otros diseños combinatorios y tienen aplicaciones en el diseño estadístico de experimentos , la teoría de codificación , la criptografía y varios tipos de pruebas de software .
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Para t ≤ k , un arreglo ortogonal de tipo ( N, k, v, t ) – un OA( N, k, v, t ) para abreviar – es un arreglo N × k cuyas entradas se eligen de un conjunto X con v puntos (un v -conjunto ) de manera que en cada subconjunto de t columnas del arreglo, cada t -tupla de puntos de X se repite la misma cantidad de veces. El número de repeticiones generalmente se denota λ.
En muchas aplicaciones, estos parámetros reciben los siguientes nombres:
La definición de fuerza conduce a la relación de parámetros
Una matriz ortogonal es simple si no contiene filas repetidas. ( Las submatrices de t columnas pueden tener filas repetidas, como en el ejemplo OA(18, 7, 3, 2) ilustrado en esta sección).
Una matriz ortogonal es lineal si X es un cuerpo finito F q de orden q ( q una potencia prima) y las filas de la matriz forman un subespacio del espacio vectorial ( F q ) k . [2] El ejemplo de la derecha en la introducción es lineal sobre el cuerpo F 2 . Toda matriz ortogonal lineal es simple.
En una matriz ortogonal de niveles mixtos, los símbolos en las columnas pueden elegirse de diferentes conjuntos que tienen diferentes cantidades de puntos, como en el siguiente ejemplo: [3]
Esta matriz tiene fuerza 2:
Por lo tanto, se puede denotar como OA(8, 5, 2 4 4 1 , 2), como se analiza a continuación. La expresión 2 4 4 1 indica que cuatro factores tienen 2 niveles y uno tiene 4 niveles.
Como en este ejemplo, no existe un único «índice» o número de repetición λ en una matriz ortogonal de nivel mixto de fuerza t : cada submatriz de t columnas puede tener un λ diferente.
Los términos simétrico y asimétrico se utilizan a veces para las matrices de nivel fijo y de nivel mixto . Aquí, la simetría se refiere a la propiedad de que todos los factores tienen el mismo número de niveles, no a la "forma" de la matriz: una matriz ortogonal simétrica casi nunca es una matriz simétrica .
La notación OA( N, k, v, t ) a veces se contrae de modo que uno puede, por ejemplo, escribir simplemente OA( k, v ), [4] siempre que el texto aclare los valores de los parámetros no indicados. En la otra dirección, se puede expandir para arreglos de nivel mixto. Aquí uno escribiría OA( N, k, v 1 ···v k , t ), donde la columna i tiene v i niveles. Esta notación generalmente se acorta cuando los valores v se repiten, de modo que uno escribe OA(8, 5, 2 4 4 1 , 2) para el ejemplo al final de la última sección, en lugar de OA(8, 5, 2·2·2·2·4, 2). De manera similar, uno puede acortar OA( N, k, v, t ) a OA( N, v k , t ) para arreglos de nivel fijo.
Esta notación OA no incluye explícitamente el índice λ, pero λ se puede recuperar de los otros parámetros a través de la relación N = λ v t . Esto es efectivo cuando todos los parámetros tienen valores numéricos específicos, pero no tanto cuando se pretende una clase de matrices ortogonales. Por ejemplo, al indicar la clase de matrices que tienen fuerza t = 2 e índice λ = 1, la notación OA( N, k, v, 2 ) es insuficiente para determinar λ por sí sola. Esto se soluciona típicamente escribiendo OA( v 2 , k, v, 2) en su lugar. Si bien las notaciones que incluyen explícitamente el parámetro λ no tienen este problema, no se pueden extender fácilmente para denotar matrices de nivel mixto.
Algunos autores definen un OA( N, k, v, t ) como k × N en lugar de N × k . En tales casos, la fuerza de la matriz se define en términos de un subconjunto de t filas en lugar de columnas.
A excepción del prefijo OA, la notación OA( N, k, v, t ) es la misma que la introducida por Rao. [5] Si bien esta notación es muy común, no es universal. Hedayat, Sloane y Stufken [6] la recomiendan como estándar, pero enumeran ocho alternativas encontradas en la literatura, y hay otras más. [8]
Un ejemplo de un OA(16, 5, 4, 2); un diseño de fuerza 2, 4 niveles de índice 1 con 16 ejecuciones:
Un ejemplo de un OA(27, 5, 3, 2) (escrito como su transposición para facilitar su visualización): [9]
Este ejemplo tiene índice λ = 3.
Una matriz que consiste en todas las k -tuplas de un v -conjunto, organizadas de modo que las k -tuplas sean filas, automáticamente ( "trivialmente" ) tiene fuerza k , y por lo tanto es un OA( v k , k, v, k ). Cualquier OA( N, k, v, k ) se consideraría trivial ya que dichas matrices se construyen fácilmente simplemente enumerando todas las k -tuplas del v -conjunto λ veces.
Un OA( n 2 , 3, n , 2) es equivalente a un cuadrado latino de orden n . Para k ≤ n +1, un OA( n 2 , k, n , 2) es equivalente a un conjunto de k − 2 cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden n . Estas matrices ortogonales de índice uno y fuerza 2 también se conocen como diseños de cuadrados hipergrecolatinos en la literatura estadística.
Sea A una matriz ortogonal de fuerza 2 e índice 1 sobre un conjunto n de elementos, identificado con el conjunto de números naturales {1,..., n }. Elija y fije, en orden, dos columnas de A , llamadas columnas de indexación . Como la fuerza es 2 y el índice es 1, todos los pares ordenados ( i , j ) con 1 ≤ i , j ≤ n aparecen exactamente una vez en las filas de las columnas de indexación. Aquí i y j indexarán a su vez las filas y columnas de un cuadrado n × n . Tome cualquier otra columna de A y rellene la celda ( i , j ) de este cuadrado con la entrada que esté en esta columna de A y en la fila de A cuyas columnas de indexación contengan ( i , j ). El cuadrado resultante es un cuadrado latino de orden n . Por ejemplo, considere este OA(9, 4, 3, 2):
Al elegir las columnas 3 y 4 (en ese orden) como columnas de indexación, la primera columna produce el cuadrado latino.
mientras que la segunda columna produce el cuadrado latino
Además, estos dos cuadrados son mutuamente ortogonales. En general, los cuadrados latinos producidos de esta manera a partir de una matriz ortogonal serán cuadrados latinos ortogonales, por lo que las k − 2 columnas distintas de las columnas de indexación producirán un conjunto de k − 2 cuadrados latinos mutuamente ortogonales .
Esta construcción es completamente reversible y, por lo tanto, se pueden construir matrices ortogonales de índice 1 y fuerza 2 a partir de conjuntos de cuadrados latinos mutuamente ortogonales. [10]
Las matrices ortogonales proporcionan una forma uniforme de describir estos diversos objetos que son de interés en el diseño estadístico de experimentos .
Como se mencionó en la sección anterior, un cuadrado latino de orden n puede considerarse como un OA( n 2 , 3, n , 2). En realidad, la matriz ortogonal puede dar lugar a seis cuadrados latinos, ya que cualquier par ordenado de columnas distintas puede utilizarse como columnas de indexación. Sin embargo, todas son isotópicas y se consideran equivalentes. Para ser más concretos, siempre asumiremos que las dos primeras columnas en su orden natural se utilizan como columnas de indexación.
En la literatura estadística, un cubo latino es una matriz tridimensional n × n × n que consta de n capas, cada una con n filas y n columnas de modo que los n elementos distintos que aparecen se repiten n 2 veces y están dispuestos de modo que en cada capa paralela a cada uno de los tres pares de caras opuestas del cubo aparecen todos los n elementos distintos y cada uno se repite exactamente n veces en esa capa. [11]
Obsérvese que con esta definición una capa de un cubo latino no tiene por qué ser un cuadrado latino. De hecho, ninguna fila, columna o archivo (las celdas de una posición particular en las diferentes capas) tiene por qué ser una permutación de los n símbolos. [12]
Un cubo latino de orden n es equivalente a un OA( n 3 , 4 ,n , 2). [9]
Dos cubos latinos de orden n son ortogonales si, entre los n 3 pares de elementos elegidos de las celdas correspondientes de los dos cubos, cada par ordenado distinto de los elementos aparece exactamente n veces. Un conjunto de k − 3 cubos latinos mutuamente ortogonales de orden n es equivalente a un OA( n 3 , k, n , 2). [9] Un ejemplo de un par de cubos latinos mutuamente ortogonales de orden tres se dio como el OA(27, 5, 3, 2) en la sección de Ejemplos anterior.
A diferencia del caso de los cuadrados latinos, en los que no hay restricciones, las columnas de indexación de la representación de matriz ortogonal de un cubo latino deben seleccionarse de manera que formen un OA( n 3 , 3, n , 3).
Un hipercubo latino m -dimensional de orden n de la r -ésima clase es una matriz n × n × ... × n m -dimensional que tiene n r elementos distintos, cada uno repetido n m − r veces, y tal que cada elemento ocurre exactamente n m − r − 1 veces en cada uno de sus m conjuntos de n subespacios lineales (o "capas") paralelos ( m − 1)-dimensionales. Dos de estos hipercubos latinos del mismo orden n y clase r con la propiedad de que, cuando uno se superpone al otro, cada elemento de uno ocurre exactamente n m − 2 r veces con cada elemento del otro, se dice que son ortogonales . [13]
Un conjunto de k − m hipercubos latinos m -dimensionales mutuamente ortogonales de orden n es equivalente a un OA( n m , k, n, 2), donde las columnas de indexación forman un OA( n m , m, n, m ).
Los conceptos de cuadrados latinos y cuadrados latinos mutuamente ortogonales fueron generalizados a cubos e hipercubos latinos, y a cubos e hipercubos latinos ortogonales por Kishen (1942). [14] Rao (1946) generalizó estos resultados a matrices de fuerza t . La noción actual de matriz ortogonal como una generalización de estas ideas, debida al legendario científico CR Rao , aparece en Rao (1947), [15] con su generalización a matrices de nivel mixto que aparece en 1973. [16]
Rao utilizó inicialmente el término "matriz" sin ningún modificador y lo definió como un simple subconjunto de todas las combinaciones de tratamientos: una matriz simple . La posibilidad de matrices no simples surgió de manera natural al convertir las combinaciones de tratamientos en las filas de una matriz. Hedayat, Sloane y Stufken [17] atribuyen a K. Bush [18] el término "matriz ortogonal".
Existe una OA( 4λ, 4λ − 1, 2, 2) si y solo si existe una matriz de Hadamard de orden 4 λ . [19] Para proceder en una dirección, sea H una matriz de Hadamard de orden 4 m en forma estandarizada (las entradas de la primera fila y columna son todas +1). Borre la primera fila y tome la transpuesta para obtener la matriz ortogonal deseada. [20] El siguiente ejemplo ilustra esto. (La construcción inversa es similar).
La matriz de Hadamard estandarizada de orden 8 que se muestra a continuación (±1 entradas indicadas solo por signo),
produce el OA(8, 7, 2, 2): [21]
Utilizando las columnas 1, 2 y 4 como columnas de indexación, las columnas restantes producen cuatro cubos latinos mutuamente ortogonales de orden 2.
Sea C ⊆ ( F q ) n , un código lineal de dimensión m con distancia mínima d . Entonces C ⊥ (el complemento ortogonal del subespacio vectorial C ) es un OA (lineal) ( q n-m , n, q, d − 1) donde
λ = q n − m − d + 1 . [22]
El intercambio de secretos (también llamado división de secretos ) consiste en métodos para distribuir un secreto entre un grupo de participantes, a cada uno de los cuales se le asigna una parte del secreto. El secreto solo se puede reconstruir cuando se combina una cantidad suficiente de partes, posiblemente de diferentes tipos; las partes individuales no son de ninguna utilidad por sí solas. Un esquema de intercambio de secretos es perfecto si cada grupo de participantes que no cumple con los criterios para obtener el secreto no tiene conocimiento adicional sobre cuál es el secreto que un individuo que no tiene parte del secreto.
En un tipo de esquema de reparto de secretos hay un crupier y n jugadores . El crupier da porciones de un secreto a los jugadores, pero solo cuando se cumplen condiciones específicas los jugadores podrán reconstruir el secreto. El crupier logra esto dando a cada jugador una porción de tal manera que cualquier grupo de t (para el umbral ) o más jugadores pueden reconstruir juntos el secreto pero ningún grupo de menos de t jugadores puede hacerlo. Este sistema se llama esquema de umbral ( t , n ).
Se puede utilizar un OA( v t , n+1, v, t ) para construir un esquema de umbral ( t , n ) perfecto. [23]
Un experimento factorial es un experimento estructurado estadísticamente en el que se aplican varios factores (niveles de riego, antibióticos, fertilizantes, etc.) a cada unidad experimental en un número finito de niveles , que pueden ser cuantitativos o cualitativos. [24] En un experimento factorial completo, se deben probar todas las combinaciones de niveles de los factores. En un diseño factorial fraccionado, solo se utiliza un subconjunto de combinaciones de tratamientos.
Se puede utilizar una matriz ortogonal para diseñar un experimento factorial fraccional. Las columnas representan los diversos factores y las entradas son los niveles en los que se observan los factores. Una serie experimental es una fila de la matriz ortogonal, es decir, una combinación específica de niveles de factores. La solidez de la matriz determina la resolución del diseño fraccional. Cuando se utiliza uno de estos diseños, las unidades de tratamiento y el orden de los ensayos deben aleatorizarse tanto como lo permita el diseño. Por ejemplo, una recomendación es que se seleccione aleatoriamente una matriz ortogonal de tamaño adecuado entre las disponibles y que luego se aleatorice el orden de las series.
Los diseños de niveles mixtos ocurren naturalmente en el entorno estadístico.
Las matrices ortogonales desempeñaron un papel central en el desarrollo de los métodos de Taguchi por Genichi Taguchi , que tuvo lugar durante su visita al Instituto de Estadística de la India a principios de la década de 1950. Sus métodos fueron aplicados y adoptados con éxito por las industrias japonesa e india y, posteriormente, también fueron adoptados por la industria estadounidense, aunque con algunas reservas [ cita requerida ] . El catálogo de Taguchi [25] contiene matrices de nivel fijo y mixto.
La prueba de matriz ortogonal es una técnica de prueba de caja negra que es una forma sistemática y estadística de probar software . [26] [27] Se utiliza cuando el número de entradas al sistema es relativamente pequeño, pero demasiado grande para permitir una prueba exhaustiva de cada entrada posible a los sistemas . [26] Es particularmente eficaz para encontrar errores asociados con lógica defectuosa dentro de sistemas de software de computadora . [26] Las matrices ortogonales se pueden aplicar en pruebas de interfaz de usuario , pruebas de sistema , pruebas de regresión y pruebas de rendimiento . Las permutaciones de niveles de factor que comprenden un solo tratamiento se eligen de tal manera que sus respuestas no estén correlacionadas y, por lo tanto, cada tratamiento proporciona una pieza única de información . El efecto neto de organizar el experimento en tales tratamientos es que se recopila la misma pieza de información en el número mínimo de experimentos .
Numerosos artículos sobre el uso de matrices ortogonales para pruebas de software y sistemas.
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Este artículo incorpora material de dominio público del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología.