conjetura de Williamson

En matemáticas combinatorias, específicamente en teoría del diseño combinatorio y teoría combinatoria de matrices, la conjetura de Williamson es que las matrices de orden de Williamson existen para todos los números enteros positivos . Cuatro matrices simétricas y circulantes , , , se conocen como matrices de Williamson si sus entradas lo son y satisfacen la relación ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}=4nI}$

¿ Dónde está la matriz identidad de orden ? John Williamson demostró que si , , , son matrices de Williamson, entonces ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B&C&D\\-B&A&-D&C\\-C&D&A&-B\\-D&-C&B&A\end{bmatrix}}}$

es una matriz de orden de Hadamard . ^[1] Alguna vez se consideró probable que existieran matrices de Williamson para todos los órdenes y que la estructura de las matrices de Williamson podría proporcionar una ruta para probar la conjetura de Hadamard de que las matrices de Hadamard existen para todos los órdenes . ^[2] Sin embargo, en 1993 se demostró que la conjetura de Williamson era falsa mediante una búsqueda exhaustiva por ordenador realizada por Dragomir Ž. Ðoković, quien demostró que las matrices de Williamson no existen en orden . ^[3] En 2008 se descubrieron además los contraejemplos 47, 53 y 59. ^[4] ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle n=35}$

Referencias

1. Williamson, John (1944). "El teorema determinante de Hadamard y la suma de cuatro cuadrados". Revista de Matemáticas de Duke . 11 (1): 65–81. doi :10.1215/S0012-7094-44-01108-7. SEÑOR  0009590.
2. Golomb, Salomón W.; Baumert, Leonard D. (1963). "La búsqueda de matrices de Hadamard". Mensual Matemático Estadounidense . 70 (1): 12-17. doi :10.2307/2312777. JSTOR  2312777. SEÑOR  0146195.
3. Ðoković, Dragomir Ž. (1993). "Matrices de Williamson de orden 4 n {\displaystyle 4n} para n = 33, 35, 39 {\displaystyle n=33,35,39}". Matemáticas discretas . 115 (1): 267–271. doi : 10.1016/0012-365X(93)90495-F . SEÑOR  1217635.
4. Holzmann, WH; Kharaghani, H.; Tayfeh-Rezaie, B. (2008). "Matrices Williams hasta el orden 59". Diseños, Códigos y Criptografía . 46 (3): 343–352. doi :10.1007/s10623-007-9163-5. SEÑOR  2372843.