Álgebra de Virasoro

Álgebra que describe la simetría conforme 2D

En matemáticas , el álgebra de Virasoro es un álgebra de Lie compleja y la única extensión central del álgebra de Witt . Se utiliza ampliamente en la teoría de campos conformes bidimensionales y en la teoría de cuerdas .

Estructura

El álgebra de Virasoro está formada por generadores L _n para n ∈ ℤ y la carga central c . Estos generadores satisfacen y ${\displaystyle [c,L_{n}]=0}$

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}.}$

El factor de es simplemente una cuestión de convención. Para una derivación del álgebra como la única extensión central del álgebra de Witt , véase derivación del álgebra de Virasoro . ${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$

El álgebra de Virasoro tiene una presentación en términos de dos generadores (por ejemplo, L ₃ y L ₋₂ ) y seis relaciones. ^{[1] [2]}

Los generadores se denominan modos de aniquilación, mientras que son modos de creación. Una base de los generadores de creación del álgebra envolvente universal del álgebra de Virasoro es el conjunto ${\displaystyle L_{n>0}}$ ${\displaystyle L_{n<0}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\Big \{}L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots L_{-n_{k}}{\Big \}}_{\begin{array}{l}k\in \mathbb {N} \\0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots n_{k}\end{array}}}$

Para , sea , entonces . ${\displaystyle L\in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle |L|=\sum _{i=1}^{k}n_{i}}$ ${\displaystyle [L_{0},L]=|L|L}$

Teoría de la representación

En cualquier representación indecomponible del álgebra de Virasoro, el generador central del álgebra toma un valor constante, también denotado y llamado carga central de la representación. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Un vector en una representación del álgebra de Virasoro tiene dimensión conforme (o peso conforme) si es un vector propio de con valor propio : ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle L_{0}v=hv}$

Un vector propio se denomina estado primario (de dimensión ) si es aniquilado por los modos de aniquilación, ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle L_{n>0}v=0}$

Representaciones de mayor peso

Una representación de mayor peso del álgebra de Virasoro es una representación generada por un estado primario . Una representación de mayor peso está abarcada por los -autoestados . La dimensión conforme de es , donde se denomina nivel de . Cualquier estado cuyo nivel no sea cero se denomina estado descendiente de . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle \{Lv\}_{L\in {\mathcal {L}}}}$ ${\displaystyle Lv}$ ${\displaystyle h+|L|}$ ${\displaystyle |L|\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle Lv}$ ${\displaystyle v}$

Para cualquier , el módulo de Verma de carga central y dimensión conforme es la representación cuya base es , para un estado primario de dimensión . El módulo de Verma es la mayor representación de mayor peso posible. El módulo de Verma es indescomponible, y para valores genéricos de también es irreducible. Cuando es reducible, existen otras representaciones de mayor peso con estos valores de , llamadas representaciones degeneradas , que son cocientes del módulo de Verma. En particular, la única representación irreducible de mayor peso con estos valores de es el cociente del módulo de Verma por su submódulo máximo. ${\displaystyle h,c\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \{Lv\}_{L\in {\mathcal {L}}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h,c\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle h,c\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle h,c\in \mathbb {C} }$

Un módulo de Verma es irreducible si y sólo si no tiene vectores singulares.

Vectores singulares

Un vector singular o un vector nulo de una representación de mayor peso es un estado que es a la vez descendiente y primario.

Una condición suficiente para que el módulo Verma tenga un vector singular es que haya algún , donde ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}$ ${\displaystyle h=h_{r,s}(c)}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} ^{*}}$

${\displaystyle h_{r,s}(c)={\frac {1}{4}}{\Big (}(\beta r-\beta ^{-1}s)^{2}-(\beta -\beta ^{-1})^{2}{\Big )}\ ,\quad {\text{where}}\quad c=1-6(\beta -\beta ^{-1})^{2}\ .}$

Entonces el vector singular tiene nivel y dimensión conforme ${\displaystyle rs}$

${\displaystyle h_{r,s}+rs=h_{r,-s}}$

Aquí están los valores de para , junto con los vectores singulares correspondientes, escritos como para el estado primario de : ${\displaystyle h_{r,s}(c)}$ ${\displaystyle rs\leq 4}$ ${\displaystyle L_{r,s}v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}(c)}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|l|}\hline r,s&h_{r,s}&L_{r,s}\\\hline \hline 1,1&0&L_{-1}\\\hline 2,1&-{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{4}}\beta ^{2}&L_{-1}^{2}-\beta ^{2}L_{-2}\\\hline 1,2&-{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{4}}\beta ^{-2}&L_{-1}^{2}-\beta ^{-2}L_{-2}\\\hline 3,1&-1+2\beta ^{2}&L_{-1}^{3}-4\beta ^{2}L_{-1}L_{-2}+2\beta ^{2}(\beta ^{2}+1)L_{-3}\\\hline 1,3&-1+2\beta ^{-2}&L_{-1}^{3}-4\beta ^{-2}L_{-1}L_{-2}+2\beta ^{-2}(\beta ^{-2}+1)L_{-3}\\\hline 4,1&-{\frac {3}{2}}+{\frac {15}{4}}\beta ^{2}&{\begin{array}{r}L_{-1}^{4}-10\beta ^{2}L_{-1}^{2}L_{-2}+2\beta ^{2}\left(12\beta ^{2}+5\right)L_{-1}L_{-3}\\+9\beta ^{4}L_{-2}^{2}-6\beta ^{2}\left(6\beta ^{4}+4\beta ^{2}+1\right)L_{-4}\end{array}}\\\hline 2,2&{\frac {3}{4}}\left(\beta -\beta ^{-1}\right)^{2}&{\begin{array}{l}L_{-1}^{4}-2\left(\beta ^{2}+\beta ^{-2}\right)L_{-1}^{2}L_{-2}+\left(\beta ^{2}-\beta ^{-2}\right)^{2}L_{-2}^{2}\\+2\left(1+\left(\beta +\beta ^{-1}\right)^{2}\right)L_{-1}L_{-3}-2\left(\beta +\beta ^{-1}\right)^{2}L_{-4}\end{array}}\\\hline 1,4&-{\frac {3}{2}}+{\frac {15}{4}}\beta ^{-2}&{\begin{array}{r}L_{-1}^{4}-10\beta ^{-2}L_{-1}^{2}L_{-2}+2\beta ^{-2}\left(12\beta ^{-2}+5\right)L_{-1}L_{-3}\\+9\beta ^{-4}L_{-2}^{2}-6\beta ^{-2}\left(6\beta ^{-4}+4\beta ^{-2}+1\right)L_{-4}\end{array}}\\\hline \end{array}}}$

Los vectores singulares para cualquier valor pueden calcularse utilizando varios algoritmos. ^{[3] [4]} ${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} ^{*}}$

Si , entonces tiene un vector singular en el nivel si y solo si con . Si , también puede existir un vector singular en el nivel si con y . Este vector singular es ahora un descendiente de otro vector singular en el nivel . ${\displaystyle \beta ^{2}\notin \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h=h_{r,s}(c)}$ ${\displaystyle N=rs}$ ${\displaystyle \beta ^{2}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=rs+r's'}$ ${\displaystyle h=h_{r,s}(c)}$ ${\displaystyle h+rs=h_{r',s'}(c)}$ ${\displaystyle rs}$

Los números enteros que aparecen en se denominan índices Kac . Puede resultar útil utilizar índices Kac no enteros para parametrizar las dimensiones conformes de los módulos Verma que no tienen vectores singulares, por ejemplo, en el modelo de clúster aleatorio crítico . ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle h_{r,s}(c)}$

Forma Shapovalov

Para cualquier , la involución define un automorfismo del álgebra de Virasoro y de su álgebra envolvente universal. Entonces la forma de Shapovalov es la forma bilineal simétrica en el módulo de Verma tal que , donde los números están definidos por y . La forma inversa de Shapovalov es relevante para calcular los bloques conformes de Virasoro y se puede determinar en términos de vectores singulares. ^[5] ${\displaystyle c,h\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L_{n}\mapsto L^{*}=L_{-n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}$ ${\displaystyle (Lv,L'v)=S_{L,L'}(c,h)}$ ${\displaystyle S_{L,L'}(c,h)}$ ${\displaystyle L^{*}L'v{\underset {|L|=|L'|}{=}}S_{L,L'}(c,h)v}$ ${\displaystyle S_{L,L'}(c,h){\underset {|L|\neq |L'|}{=}}0}$

El determinante de la forma de Shapovalov en un nivel dado viene dado por la fórmula del determinante de Kac , ^[6] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \det \left(S_{L,L'}(c,h)\right)_{\begin{array}{l}L,L'\in {\mathcal {L}}\\|L|=|L'|=N\end{array}}=A_{N}\prod _{1\leq r,s\leq N}{\big (}h-h_{r,s}(c){\big )}^{p(N-rs)},}$

donde es la función de partición , y es una constante positiva que no depende de o . ${\displaystyle p(N)}$ ${\displaystyle A_{N}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$

Forma hermítica y unitaridad

Si , una representación de peso máximo con dimensión conforme tiene una forma hermítica única tal que el adjunto hermítico de es y la norma del estado primario es uno. En la base , la forma hermítica en el módulo de Verma tiene la misma matriz que la forma de Shapovalov , ahora interpretada como una matriz de Gram . ${\displaystyle c,h\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}^{\dagger }=L_{-n}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (Lv)_{L\in {\mathcal {L}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}$ ${\displaystyle S_{L,L'}(c,h)}$

La representación se denomina unitaria si esa forma hermítica es definida positiva. Dado que cualquier vector singular tiene norma cero, todas las representaciones unitarias de mayor peso son irreducibles. Una representación irreducible de mayor peso es unitaria si y solo si

• ya sea con , ${\displaystyle c\geq 1}$ ${\displaystyle h\geq 0}$
• o con ${\displaystyle c\in \left\{1-{\frac {6}{m(m+1)}}\right\}_{m=2,3,4,\ldots }=\left\{0,{\frac {1}{2}},{\frac {7}{10}},{\frac {4}{5}},{\frac {6}{7}},{\frac {25}{28}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle h\in \left\{h_{r,s}(c)={\frac {{\big (}(m+1)r-ms{\big )}^{2}-1}{4m(m+1)}}\right\}_{\begin{array}{l}r=1,2,...,m-1\\s=1,2,...,m\end{array}}}$

Daniel Friedan , Zongan Qiu y Stephen Shenker demostraron que estas condiciones son necesarias, ^[7] y Peter Goddard , Adrian Kent y David Olive utilizaron la construcción de coset o construcción GKO (que identifica representaciones unitarias del álgebra de Virasoro dentro de productos tensoriales de representaciones unitarias de álgebras afines de Kac-Moody ) para demostrar que son suficientes. ^[8]

Personajes

El carácter de una representación del álgebra de Virasoro es la función ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle \chi _{\mathcal {R}}(q)=\operatorname {Tr} _{\mathcal {R}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}}.}$

El carácter del módulo Verma es ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}$

${\displaystyle \chi _{{\mathcal {V}}_{c,h}}(q)={\frac {q^{h-{\frac {c}{24}}}}{\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}}={\frac {q^{h-{\frac {c-1}{24}}}}{\eta (q)}}=q^{h-{\frac {c}{24}}}\left(1+q+2q^{2}+3q^{3}+5q^{4}+\cdots \right),}$

¿Dónde está la función eta de Dedekind ? ${\displaystyle \eta }$

Para cualquier y para , el módulo de Verma es reducible debido a la existencia de un vector singular en el nivel . Este vector singular genera un submódulo, que es isomorfo al módulo de Verma . El cociente de por este submódulo es irreducible si no tiene otros vectores singulares, y su carácter es ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}$ ${\displaystyle rs}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}$

${\displaystyle \chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}/{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}=\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}-\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}=(1-q^{rs})\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}.}$

Sea con y coprimos, y y . (Entonces está en la tabla Kac del modelo mínimo correspondiente ). El módulo de Verma tiene infinitos vectores singulares y, por lo tanto, es reducible con infinitos submódulos. Este módulo de Verma tiene un cociente irreducible por su submódulo no trivial más grande. (Los espectros de los modelos mínimos se construyen a partir de tales representaciones irreducibles). El carácter del cociente irreducible es ${\displaystyle c=c_{p,p'}}$ ${\displaystyle 2\leq p<p'}$ ${\displaystyle p,p'}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq p-1}$ ${\displaystyle 1\leq s\leq p'-1}$ ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}/({\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}+{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+(p-r)(p'-s)})}\\&=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(\chi _{{\mathcal {V}}_{c,{\frac {1}{4pp'}}\left((p'r-ps+2kpp')^{2}-(p-p')^{2}\right)}}-\chi _{{\mathcal {V}}_{c,{\frac {1}{4pp'}}\left((p'r+ps+2kpp')^{2}-(p-p')^{2}\right)}}\right).\end{aligned}}}$

Esta expresión es una suma infinita porque los submódulos y tienen una intersección no trivial, que es en sí misma un submódulo complicado. ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+(p-r)(p'-s)}}$

Aplicaciones

Teoría de campos conforme

En dos dimensiones, el álgebra de transformaciones conformes locales está formada por dos copias del álgebra de Witt . De ello se deduce que el álgebra de simetría de la teoría de campos conforme bidimensional es el álgebra de Virasoro. Técnicamente, el enfoque bootstrap conforme para la CFT bidimensional se basa en bloques conformes de Virasoro , funciones especiales que incluyen y generalizan los caracteres de las representaciones del álgebra de Virasoro.

Teoría de cuerdas

Dado que el álgebra de Virasoro comprende los generadores del grupo conforme de la hoja del mundo , el tensor de tensión en la teoría de cuerdas obedece a las relaciones de conmutación de (dos copias de) el álgebra de Virasoro. Esto se debe a que el grupo conforme se descompone en difeomorfismos separados de los conos de luz delanteros y traseros. La invariancia del difeomorfismo de la hoja del mundo implica adicionalmente que el tensor de tensión se desvanece. Esto se conoce como la restricción de Virasoro y, en la teoría cuántica , no se puede aplicar a todos los estados de la teoría, sino solo a los estados físicos (compárese con el formalismo de Gupta-Bleuler ).

Generalizaciones

Álgebras de Super Virasoro

Existen dos  extensiones supersimétricas N = 1 del álgebra de Virasoro, llamadas álgebra de Neveu-Schwarz y álgebra de Ramond . Su teoría es similar a la del álgebra de Virasoro, pero ahora incluye números de Grassmann . Existen otras extensiones de estas álgebras con mayor supersimetría, como el álgebra superconforme N = 2 .

Álgebras W

Las W-álgebras son álgebras asociativas que contienen el álgebra de Virasoro y que desempeñan un papel importante en la teoría de campos conformes bidimensionales . Entre las W-álgebras, el álgebra de Virasoro tiene la particularidad de ser un álgebra de Lie.

Álgebras de Lie afines

El álgebra de Virasoro es una subálgebra del álgebra envolvente universal de cualquier álgebra de Lie afín, como lo demuestra la construcción de Sugawara . En este sentido, las álgebras de Lie afines son extensiones del álgebra de Virasoro.

Campos vectoriales meromórficos sobre superficies de Riemann

El álgebra de Virasoro es una extensión central del álgebra de Lie de campos vectoriales meromórficos con dos polos en una superficie de Riemann de género 0. En una superficie de Riemann compacta de género superior, el álgebra de Lie de campos vectoriales meromórficos con dos polos también tiene una extensión central, que es una generalización del álgebra de Virasoro. ^[9] Esto puede generalizarse aún más a supervariedades. ^[10]

Álgebras de vértices y álgebras conformes

El álgebra de Virasoro también tiene contrapartes algebraicas de vértices y algebraicas conformes , que básicamente provienen de organizar todos los elementos base en series generadoras y trabajar con objetos individuales.

Historia

El álgebra de Witt (el álgebra de Virasoro sin la extensión central) fue descubierta por É. Cartan ^[11] (1909). Sus análogos sobre cuerpos finitos fueron estudiados por E. Witt alrededor de la década de 1930.

La extensión central del álgebra de Witt que da el álgebra de Virasoro fue encontrada por primera vez (en característica p > 0) por RE Block ^[12] (1966, página 381) y redescubierta independientemente (en característica 0) por IM Gelfand y Dmitry Fuchs ^[13] (1969).

El físico Miguel Ángel Virasoro ^[14] (1970) escribió algunos operadores que generan el álgebra de Virasoro (más tarde conocidos como operadores de Virasoro ) mientras estudiaba los modelos de resonancia dual , aunque no encontró la extensión central. La extensión central que da el álgebra de Virasoro fue redescubierta en física poco después por JH Weis, según Brower y Thorn ^[15] (1971, nota al pie de página 167).

Véase también

• Teoría de campos conforme
• Teorema de Goddard-Thorn
• Álgebra de Heisenberg
• Álgebra conforme de Lie
• Carga de Pohlmeyer
• Álgebra de Super Virasoro
• Álgebra W
• Álgebra de Witt
• Modelo WZW

Referencias

1. Fairlie, DB; Nuyts, J.; Zachos, CK (1988). "Una presentación para las álgebras de Virasoro y super-Virasoro". Communications in Mathematical Physics . 117 (4): 595. Bibcode :1988CMaPh.117..595F. doi :10.1007/BF01218387. S2CID  119811901.
2. Uretsky, JL (1989). "Redundancia de condiciones para un álgebra de Virasoro". Communications in Mathematical Physics . 122 (1): 171–173. Bibcode :1989CMaPh.122..171U. doi :10.1007/BF01221412. S2CID  119887710.
3. A. Kent (1991). "Vectores singulares del álgebra de Virasoro". Physics Letters B . 273 (1–2): 56–62. arXiv : hep-th/9204097 . Código Bibliográfico :1991PhLB..273...56K. doi :10.1016/0370-2693(91)90553-3. S2CID  15105921.
4. P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría de campos conforme , 1997, ISBN 0-387-94785-X . 
5. Fortin, Jean-François; Quintavalle, Lorenzo; Skiba, Witold (18 de septiembre de 2024). "La relación de completitud de Virasoro y la forma inversa de Shapovalov". arXiv.org . Consultado el 26 de septiembre de 2024 .
6. Feigin, BL; Fuchs, DB (1984). "Módulos de Verma sobre el álgebra de Virasoro". Topología . Vol. 1060. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. págs. 230–245. doi :10.1007/bfb0099939. ISBN 978-3-540-13337-7.
7. Friedan, D., Qiu, Z. y Shenker, S. (1984). "Invariancia conforme, unitaridad y exponentes críticos en dos dimensiones". Physical Review Letters . 52 (18): 1575–1578. Código Bibliográfico :1984PhRvL..52.1575F. doi :10.1103/PhysRevLett.52.1575. S2CID  122320349.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. P. Goddard, A. Kent y D. Olive (1986). "Representaciones unitarias de las álgebras de Virasoro y super-Virasoro". Communications in Mathematical Physics . 103 (1): 105–119. Bibcode :1986CMaPh.103..105G. doi :10.1007/BF01464283. MR  0826859. S2CID  91181508. Zbl  0588.17014.
9. Krichever, IM; Novikov, SP (1987). "Álgebras del tipo Virasoro, superficies de Riemann y estructuras de la teoría de solitones". Funkts. Anal. Appl . 21 (2): 46–63. doi :10.1007/BF01078026. S2CID  55989582.
10. Rabin, JM (1995). "Curvas superelípticas". Revista de geometría y física . 15 (3): 252–280. arXiv : hep-th/9302105 . Código Bibliográfico :1995JGP....15..252R. doi :10.1016/0393-0440(94)00012-S. S2CID  10921054.
11. E. Cartan (1909). "Les groupes de transforms continus, infinis, simples". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 26 : 93-161. doi : 10.24033/asens.603 . JFM  40.0193.02.
12. RE Block (1966). "Sobre los axiomas de Mills-Seligman para álgebras de Lie de tipo clásico". Transactions of the American Mathematical Society . 121 (2): 378–392. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0188356-3 . JSTOR  1994485.
13. Gel'fand, IM; Fuks, DB (1969). "Las cohomologías del álgebra de Lie de los campos vectoriales en un círculo". Análisis funcional y sus aplicaciones . 2 (4): 342–343. doi :10.1007/BF01075687. ISSN  0016-2663.
14. Virasoro, MA (15 de mayo de 1970). "Condiciones subsidiarias y fantasmas en modelos de resonancia dual". Physical Review D . 1 (10): 2933–2936. doi :10.1103/PhysRevD.1.2933. ISSN  0556-2821.
15. RC Brower; CB Thorn (1971). "Eliminación de estados espurios del modelo de resonancia dual". Física nuclear B . 31 (1): 163–182. Código Bibliográfico :1971NuPhB..31..163B. doi :10.1016/0550-3213(71)90452-4.

Lectura adicional

• Iohara, Kenji; Koga, Yoshiyuki (2011), Teoría de la representación del álgebra de Virasoro , Springer Monographs in Mathematics, Londres: Springer-Verlag London Ltd., doi :10.1007/978-0-85729-160-8, ISBN 978-0-85729-159-2, Sr.  2744610
• Victor Kac (2001) [1994], "Álgebra de Virasoro", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• VG Kac, AK Raina, Conferencias de Bombay sobre representaciones de mayor peso , World Sci. (1987) ISBN 9971-5-0395-6 . 
• Dobrev, VK (1986). "Clasificación multiplete de los módulos de mayor peso indecomponibles sobre las superálgebras de Neveu-Schwarz y Ramond". Lett. Math. Phys . 11 (3): 225–234. Bibcode :1986LMaPh..11..225D. doi :10.1007/bf00400220. S2CID  122201087.& corrección: ibid. 13 (1987) 260.
• VK Dobrev, "Caracteres de los módulos irreducibles de mayor peso sobre las álgebras de Virasoro y super-Virasoro", Suppl. Rediconti del Circolo Matematico di Palermo , Serie II, Número 14 (1987) 25-42.
• Antony Wassermann (2010). "Apuntes sobre las álgebras de Kac-Moody y Virasoro". arXiv : 1004.1287 [math.RT].
• Antony Wassermann (2010). "Demostraciones directas de la fórmula de caracteres de Feigin-Fuchs para representaciones unitarias del álgebra de Virasoro". arXiv : 1012.6003 [math.RT].