Álgebra conforme de Lie

Generalización de un álgebra de Lie

Un álgebra conforme de Lie es, en cierto sentido, una generalización de un álgebra de Lie , en el sentido de que también es un "álgebra de Lie", aunque pertenece a una categoría pseudotensorial diferente . Las álgebras conformes de Lie están muy relacionadas con las álgebras de vértices y tienen muchas aplicaciones en otras áreas del álgebra y de los sistemas integrables.

Definición y relación con las álgebras de Lie

Un álgebra de Lie se define como un espacio vectorial con una multiplicación bilineal antisimétrica que satisface la identidad de Jacobi . De manera más general, un álgebra de Lie es un objeto, en la categoría de espacios vectoriales (léase: -módulos) con un morfismo ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:L\otimes L\rightarrow L}$

que es antisimétrica y satisface la identidad de Jacobi. Un álgebra conforme de Lie, entonces, es un objeto en la categoría de -módulos con morfismo ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [\partial ]}$

${\displaystyle [\cdot _{\lambda }\cdot ]:R\otimes R\rightarrow \mathbb {C} [\lambda ]\otimes R}$

llamado corchete lambda, que satisface versiones modificadas de bilinealidad, simetría oblicua y la identidad de Jacobi:

${\displaystyle [\partial a_{\lambda }b]=-\lambda [a_{\lambda }b],[a_{\lambda }\partial b]=(\lambda +\partial )[a_{\lambda }b],}$

${\displaystyle [a_{\lambda }b]=-[b_{-\lambda -\partial }a],\,}$

${\displaystyle [a_{\lambda }[b_{\mu }c]]-[b_{\mu }[a_{\lambda }c]]=[[a_{\lambda }b]_{\lambda +\mu }c].\,}$

Se puede ver que al eliminar todas las lambda, mu y parciales de los corchetes, simplemente se tiene la definición de un álgebra de Lie.

Ejemplos de álgebras conformes de Lie

Un ejemplo simple y muy importante de álgebra conforme de Lie es el álgebra conforme de Virasoro. Sobre ella se genera un único elemento con corchete lambda dado por ${\displaystyle \mathbb {C} [\partial ]}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle [L_{\lambda }L]=(2\lambda +\partial )L.\,}$

De hecho, Wakimoto ha demostrado que cualquier álgebra conforme de Lie con corchete lambda que satisfaga la identidad de Jacobi en un generador es en realidad el álgebra conforme de Virasoro.

Clasificación

Se ha demostrado que cualquier álgebra conforme de Lie simple generada finitamente (como un módulo) es isomorfa al álgebra conforme de Virasoro, a un álgebra conforme actual o a un producto semidirecto de las dos. ${\displaystyle \mathbb {C} [\partial ]}$

También existen clasificaciones parciales de subálgebras infinitas de y . ${\displaystyle {\mathfrak {gc}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {cend}}_{n}}$

Generalizaciones

Uso en sistemas integrables y relación con el cálculo de variaciones

Referencias

• Victor Kac , "Álgebras de vértices para principiantes". Serie de conferencias universitarias, 10. American Mathematical Society, 1998. viii+141 pp. ISBN  978-0-8218-0643-2