Modelo de conglomerado aleatorio

En mecánica estadística , teoría de la probabilidad , teoría de grafos , etc., el modelo de conglomerados aleatorios es un gráfico aleatorio que generaliza y unifica el modelo de Ising , el modelo de Potts y el modelo de percolación . Se utiliza para estudiar estructuras combinatorias aleatorias , redes eléctricas , etc. ^{[1] [2]} También se lo conoce como modelo RC o, a veces, representación FK en honor a sus fundadores Cees Fortuin y Piet Kasteleyn . ^[3] El modelo de conglomerados aleatorios tiene un límite crítico, descrito por una teoría de campo conforme .

Definición

Sea un gráfico y una configuración de enlace en el gráfico que asigna cada borde a un valor de 0 o 1. Decimos que un enlace está cerrado en el borde si y abierto si . Si dejamos que sea el conjunto de enlaces abiertos, entonces un grupo abierto o grupo FK es cualquier componente conectado en la unión del conjunto de vértices. Tenga en cuenta que un grupo abierto puede ser un solo vértice (si ese vértice no incide en ningún enlace abierto). ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle \omega :E\to \{0,1\}}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle \omega (e)=0}$ ${\displaystyle \omega (e)=1}$ ${\displaystyle A(\omega )=\{e\in E:\omega (e)=1\}}$ ${\displaystyle A(\omega )}$

Supongamos que un borde está abierto independientemente con probabilidad y cerrado en caso contrario, entonces este es solo el proceso de percolación estándar de Bernoulli. La medida de probabilidad de una configuración viene dada como ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \mu (\omega )=\prod _{e\in E}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}.}$

El modelo RC es una generalización de la percolación, donde cada grupo está ponderado por un factor de . Dada una configuración , dejamos que sea el número de grupos abiertos o, alternativamente, el número de componentes conectados formados por los enlaces abiertos. Entonces, para cualquiera , la medida de probabilidad de una configuración viene dada como ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle C(\omega )}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \mu (\omega )={\frac {1}{Z}}q^{C(\omega )}\prod _{e\in E}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}.}$

Z es la función de partición , o la suma de los pesos no normalizados de todas las configuraciones,

${\displaystyle Z=\sum _{\omega \in \Omega }\left\{q^{C(\omega )}\prod _{e\in E(G)}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}\right\}.}$

La función de partición del modelo RC es una especialización del polinomio de Tutte , que a su vez es una especialización del polinomio de Tutte multivariado. ^[4]

Valores especiales de q

El parámetro del modelo de conglomerado aleatorio puede tomar valores complejos arbitrarios. Esto incluye los siguientes casos especiales: ${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle q\to 0}$: redes de resistencia lineal . ^[1]
• ${\displaystyle q<1}$: percolación correlacionada negativamente.
• ${\displaystyle q=1}$: Percolación de Bernoulli , con . ${\displaystyle Z=1}$
• ${\displaystyle q=2}$: el modelo de Ising .
• ${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$: -modelo estatal de Potts . ${\displaystyle q}$

Representación de Edwards-Sokal

La representación Edwards-Sokal (ES) ^[5] del modelo de Potts lleva el nombre de Robert G. Edwards y Alan D. Sokal . Proporciona una representación unificada de los modelos de Potts y de conglomerados aleatorios en términos de una distribución conjunta de configuraciones de espín y enlaces.

Sea un gráfico, siendo el número de vértices y el número de aristas . Denotamos una configuración de espín como y una configuración de enlace como . La medida conjunta de está dada como ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle n=|V|}$ ${\displaystyle m=|E|}$ ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {Z} _{q}^{n}}$ ${\displaystyle \omega \in \{0,1\}^{m}}$ ${\displaystyle (\sigma ,\omega )}$

${\displaystyle \mu (\sigma ,\omega )=Z^{-1}\psi (\sigma )\phi _{p}(\omega )1_{A}(\sigma ,\omega ),}$

donde es la medida uniforme, es la medida del producto con densidad y es una constante de normalización apropiada. Es importante destacar que la función indicadora del conjunto. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi _{p}}$ ${\displaystyle p=1-e^{-\beta }}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 1_{A}}$

${\displaystyle A=\{(\sigma ,\omega ):\sigma _{i}=\sigma _{j}{\text{ for any edge }}(i,j){\text{ where }}\omega =1\}}$

impone la restricción de que un enlace solo puede estar abierto en un borde si los espines adyacentes son del mismo estado, también conocida como regla SW .

Las estadísticas de los giros de Potts se pueden recuperar a partir de las estadísticas del cluster (y viceversa), gracias a las siguientes características de la representación ES: ^[2]

• La medida marginal de los espines es la medida de Boltzmann del modelo de Potts de estado q a temperatura inversa . ${\displaystyle \mu (\sigma )}$ ${\displaystyle \beta }$
• La medida marginal de los bonos es la medida de conglomerado aleatorio con parámetros q y p. ${\displaystyle \phi _{p,q}(\omega )}$
• La medida condicional del espín representa una asignación uniformemente aleatoria de estados de espín que son constantes en cada componente conectado de la disposición del enlace . ${\displaystyle \mu (\sigma \,|\,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$
• La medida condicional de los enlaces representa un proceso de percolación (de relación p ) en el subgrafo formado por los bordes donde se alinean los espines adyacentes. ${\displaystyle \phi _{p,q}(\omega \,|\,\sigma )}$ ${\displaystyle G}$
• En el caso del modelo de Ising, la probabilidad de que dos vértices estén en el mismo componente conectado de la disposición del enlace es igual a la función de correlación de dos puntos de los espines , ^[6] escrito . ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \sigma _{i}{\text{ and }}\sigma _{j}}$ ${\displaystyle \phi _{p,q}(i\leftrightarrow j)=\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle }$

Frustración

Hay varias complicaciones de la representación ES una vez que la frustración está presente en el modelo de espín (por ejemplo, el modelo de Ising con acoplamientos ferromagnéticos y antiferromagnéticos en la misma red). En particular, ya no existe correspondencia entre las estadísticas de espín y las estadísticas de conglomerado, ^[7] y la longitud de correlación del modelo RC será mayor que la longitud de correlación del modelo de espín. Ésta es la razón detrás de la ineficiencia del algoritmo SW para simular sistemas frustrados.

Caso bidimensional

Si el gráfico subyacente es un gráfico plano , existe una dualidad entre los modelos de conglomerados aleatorios sobre y sobre el gráfico dual . ^[8] En el nivel de la función de partición, la dualidad se lee ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{*}}$

${\displaystyle {\tilde {Z}}_{G}(q,v)=q^{|V|-|E|-1}v^{|E|}{\tilde {Z}}_{G^{*}}\left(q,{\frac {q}{v}}\right)\qquad {\text{with}}\qquad v={\frac {p}{1-p}}\quad {\text{and}}\quad {\tilde {Z}}_{G}(q,v)=(1-p)^{-|E|}Z_{G}(q,v)}$

En un gráfico autodual como la red cuadrada , una transición de fase solo puede ocurrir en el acoplamiento autodual . ^[9] ${\displaystyle v_{\text{self-dual}}={\sqrt {q}}}$

El modelo de conglomerado aleatorio en un gráfico plano se puede reformular como un modelo de bucle en el gráfico medial correspondiente . Para una configuración del modelo de conglomerados aleatorios, la configuración de bucle correspondiente es el conjunto de bucles autoevitados que separan los conglomerados de los conglomerados duales. En el enfoque de la matriz de transferencia , el modelo de bucle se escribe en términos de un álgebra de Temperley-Lieb con el parámetro . Por lo tanto, en dos dimensiones, el modelo de conglomerado aleatorio está estrechamente relacionado con el modelo O(n) , que también es un modelo de bucle. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \delta =q}$

En dos dimensiones, el modelo de conglomerado aleatorio crítico se describe mediante una teoría de campo conforme con la carga central

${\displaystyle c=13-6\beta ^{2}-6\beta ^{-2}\qquad {\text{with}}\qquad q=4\cos ^{2}(\pi \beta ^{2})\ .}$

Los resultados exactos conocidos incluyen las dimensiones conformes de los campos que detectan si un punto pertenece a un grupo FK o a un grupo de espín . En términos de índices Kac , estas dimensiones conformes son respectivamente y , correspondientes a las dimensiones fractales y de los clusters. ${\displaystyle 2h_{0,{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle 2h_{{\frac {1}{2}},0}}$ ${\displaystyle 2-2h_{0,{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle 2-2h_{{\frac {1}{2}},0}}$

Historia y aplicaciones

Los modelos RC fueron introducidos en 1969 por Fortuin y Kasteleyn , principalmente para resolver problemas combinatorios. ^{[1] [10] [6]} En honor a sus fundadores, a veces se les conoce como modelos FK . ^[3] En 1971 lo utilizaron para obtener la desigualdad FKG . Después de 1987, se reavivó el interés por el modelo y sus aplicaciones en física estadística . Se convirtió en la inspiración para el algoritmo de Swendsen-Wang que describe la evolución temporal de los modelos de Potts. ^[11] Michael Aizenman y sus coautores lo utilizaron para estudiar los límites de fase en modelos 1D de Ising y Potts. ^{[12] [10]}

Ver también

• polinomio tutte
• modelo ising
• Gráfico aleatorio
• Algoritmo de Swendsen-Wang
• Desigualdad FKG

Referencias

1. Fortuin; Kasteleyn (1972). "Sobre el modelo de conglomerados aleatorios: I. Introducción y relación con otros modelos". Física . 57 (4): 536. Bibcode : 1972Phy....57..536F. doi :10.1016/0031-8914(72)90045-6.
2. Grimmett (2002). "Modelos de clústeres aleatorios". arXiv : matemáticas/0205237 .
3. Newman, Charles M. (1994), Grimmett, Geoffrey (ed.), "Disordered Ising Systems and Random Cluster Representations", Probabilidad y transición de fase , Serie ASI de la OTAN, Dordrecht: Springer Países Bajos, págs. 247–260, doi :10.1007/978-94-015-8326-8_15, ISBN 978-94-015-8326-8, recuperado 2021-04-18
4. Sokal, Alan (2005). "El polinomio multivariado de Tutte (modelo de Alias ​​Potts) para gráficos y matroides". Encuestas en combinatoria 2005 . págs. 173–226. arXiv : matemáticas/0503607 . doi :10.1017/CBO9780511734885.009. ISBN 9780521615235. S2CID  17904893.
5. Edwards, Robert G.; Sokal, Alan D. (15 de septiembre de 1988). "Generalización de la representación Fortuin-Kasteleyn-Swendsen-Wang y algoritmo de Monte Carlo". Revisión física D. 38 (6): 2009-2012. Código Bib : 1988PhRvD..38.2009E. doi : 10.1103/PhysRevD.38.2009. PMID  9959355.
6. Kasteleyn, PW; Fortuín, CM (1969). "Transiciones de fase en sistemas reticulares con propiedades locales aleatorias". Suplemento de la revista de la Sociedad Física de Japón . 26 : 11. Código Bib : 1969JPSJS..26...11K.
7. Cataudella, V.; Franzese, G.; Nicodemi, M.; Escala, A.; Coniglio, A. (7 de marzo de 1994). "Clústeres críticos y dinámica eficiente para modelos de giro frustrados". Cartas de revisión física . 72 (10): 1541-1544. Código bibliográfico : 1994PhRvL..72.1541C. doi :10.1103/PhysRevLett.72.1541. hdl : 2445/13250 . PMID  10055635.
8. Wu, año fiscal (1 de enero de 1982). "El modelo Potts". Reseñas de Física Moderna . 54 (1). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 235–268. Código Bib : 1982RvMP...54..235W. doi :10.1103/revmodphys.54.235. ISSN  0034-6861.
9. Beffara, Vicente; Duminil-Copin, Hugo (27 de noviembre de 2013). "El punto autodual del modelo bidimensional de conglomerados aleatorios es fundamental para $q\geq 1$". arXiv : 1006.5073 [matemáticas.PR].
10. Grimmett. El modelo de conglomerado aleatorio (PDF) .
11. Swendsen, Robert H.; Wang, Jian-Sheng (12 de enero de 1987). "Dinámica crítica no universal en simulaciones de Monte Carlo". Cartas de revisión física . 58 (2): 86–88. Código bibliográfico : 1987PhRvL..58...86S. doi :10.1103/PhysRevLett.58.86. PMID  10034599.
12. Aizenman, M.; Chayés, JT; Chayés, L.; Newman, CM (abril de 1987). "El límite de fase en ferromagnetos de Ising y Potts diluidos y aleatorios". Revista de Física A: Matemática y General . 20 (5): L313 – L318. Código Bib : 1987JPhA...20L.313A. doi :10.1088/0305-4470/20/5/010. ISSN  0305-4470.

enlaces externos

• Modelo de conglomerado aleatorio – Wolfram MathWorld