Desigualdad FKG

Desigualdad de correlación

En matemáticas, la desigualdad Fortuin-Kasteleyn-Ginibre (FKG) es una desigualdad de correlación , una herramienta fundamental en la mecánica estadística y la combinatoria probabilística (especialmente los gráficos aleatorios y el método probabilístico ), debido a Cees M. Fortuin, Pieter W. Kasteleyn y Jean Ginibre  (1971). Informalmente, dice que en muchos sistemas aleatorios, los eventos crecientes están correlacionados positivamente, mientras que un evento creciente y uno decreciente están correlacionados negativamente. Se obtuvo estudiando el modelo de conglomerados aleatorios .

Una versión anterior, para el caso especial de variables iid , llamada desigualdad de Harris , se debe a Theodore Edward Harris  (1960), ver más abajo. Una generalización de la desigualdad FKG es la desigualdad de Holley (1974) a continuación, y una generalización aún mayor es el teorema de las "cuatro funciones" de Ahlswede-Daykin (1978) . Además, tiene la misma conclusión que las desigualdades de Griffiths , pero las hipótesis son diferentes.

La desigualdad

Sea una red distributiva finita , y μ una función no negativa sobre ella, que se supone que satisface la condición de red ( FKG ) (a veces una función que satisface esta condición se llama log supermodular ), es decir, ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (x\wedge y)\mu (x\vee y)\geq \mu (x)\mu (y)}$

para todo x , y en la red . ${\displaystyle X}$

La desigualdad FKG luego dice que para dos funciones cualesquiera que aumenten monótonamente ƒ y g en , se cumple la siguiente desigualdad de correlación positiva: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \left(\sum _{x\in X}f(x)g(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}\mu (x)\right)\geq \left(\sum _{x\in X}f(x)\mu (x)\right)\left(\sum _{x\in X}g(x)\mu (x)\right).}$

La misma desigualdad (correlación positiva) es cierta cuando tanto ƒ como g son decrecientes. Si uno aumenta y el otro disminuye, entonces están correlacionados negativamente y la desigualdad anterior se invierte.

Afirmaciones similares son válidas de manera más general, cuando no son necesariamente finitas, ni siquiera contables. En ese caso, μ tiene que ser una medida finita y la condición de la red debe definirse utilizando eventos de cilindro ; véase, por ejemplo, la Sección 2.2 de Grimmett (1999). ${\displaystyle X}$

Para pruebas, véase Fortuin, Kasteleyn y Ginibre (1971) o la desigualdad de Ahlswede-Daykin (1978) . Además, a continuación se ofrece un esbozo aproximado, debido a Holley (1974), utilizando un argumento de acoplamiento de cadena de Markov .

Variaciones de terminología

La condición de red para μ también se llama positividad total multivariada y, a veces, condición FKG fuerte ; El término condición FKG ( multiplicativa ) también se utiliza en la literatura más antigua.

La propiedad de μ de que las funciones crecientes están correlacionadas positivamente también se denomina tener asociaciones positivas , o condición FKG débil .

Por tanto, el teorema de FKG puede reformularse como "la condición de FKG fuerte implica la condición de FKG débil".

Un caso especial: la desigualdad de Harris

Si la red está totalmente ordenada , entonces la condición de la red se satisface trivialmente para cualquier medida μ . En caso de que la medida μ sea uniforme, la desigualdad FKG es la desigualdad suma de Chebyshev : si las dos funciones crecientes toman valores y , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}}$

${\displaystyle {\frac {a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}{n}}\geq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\;{\frac {b_{1}+\cdots +b_{n}}{n}}.}$

De manera más general, para cualquier medida de probabilidad μ en funciones crecientes ƒ y g , ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)\,d\mu (x)\geq \int _{\mathbb {R} }f(x)\,d\mu (x)\,\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\mu (x),}$

que se sigue inmediatamente de

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]\,d\mu (x)\,d\mu (y)\geq 0.}$

La condición de la red se satisface trivialmente también cuando la red es el producto de redes totalmente ordenadas, y es una medida del producto. A menudo todos los factores (tanto las redes como las medidas) son idénticos, es decir, μ es la distribución de probabilidad de variables aleatorias iid . ${\displaystyle X=X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{1}\otimes \cdots \otimes \mu _{n}}$

La desigualdad FKG para el caso de una medida del producto se conoce también como desigualdad de Harris en honor a Harris (Harris 1960), quien la encontró y utilizó en su estudio de la percolación en el plano. Una prueba de la desigualdad de Harris que utiliza el truco de la doble integral anterior se puede encontrar, por ejemplo, en la Sección 2.2 de Grimmett (1999). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ejemplos simples

Un ejemplo típico es el siguiente. Colorea cada hexágono de la red infinita en forma de panal de negro con probabilidad y de blanco con probabilidad , independientemente uno del otro. Sean a, b, c, d cuatro hexágonos, no necesariamente distintos. Sean y los eventos de que hay un camino negro de a a b y un camino negro de c a d , respectivamente. Entonces la desigualdad de Harris dice que estos eventos están correlacionados positivamente: . En otras palabras, asumir la presencia de un camino sólo puede aumentar la probabilidad del otro. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle a\leftrightarrow b}$ ${\displaystyle c\leftrightarrow d}$ ${\displaystyle \Pr(a\leftrightarrow b,\ c\leftrightarrow d)\geq \Pr(a\leftrightarrow b)\Pr(c\leftrightarrow d)}$

De manera similar, si coloreamos aleatoriamente los hexágonos dentro de un tablero hexagonal en forma de rombo , entonces el hecho de que haya un cruce negro desde el lado izquierdo del tablero hacia el lado derecho se correlaciona positivamente con tener un cruce negro desde el lado superior hasta el inferior. . Por otro lado, tener un cruce negro de izquierda a derecha se correlaciona negativamente con tener un cruce blanco de arriba hacia abajo, ya que el primero es un evento creciente (en la cantidad de oscuridad), mientras que el segundo está disminuyendo. De hecho, en cualquier color del tablero hexagonal ocurre exactamente uno de estos dos eventos; es por eso que el hexágono es un juego bien definido. ${\displaystyle n\times n}$

En el gráfico aleatorio de Erdős-Rényi , la existencia de un ciclo hamiltoniano se correlaciona negativamente con la colorabilidad triple del gráfico , ya que el primero es un evento creciente, mientras que el segundo es decreciente.

Ejemplos de mecánica estadística

En mecánica estadística, la fuente habitual de medidas que satisfacen la condición de red (y por tanto la desigualdad FKG) es la siguiente:

Si es un conjunto ordenado (como ), y es un gráfico finito o infinito , entonces el conjunto de configuraciones valoradas es un poset que es una red distributiva. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{-1,+1\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S^{\Gamma }}$ ${\displaystyle S}$

Ahora, si es un potencial submodular (es decir, una familia de funciones ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi _{\Lambda }:S^{\Lambda }\longrightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty \},}$

uno para cada finito , de modo que cada uno sea submodular ), entonces se definen los hamiltonianos correspondientes como ${\displaystyle \Lambda \subset \Gamma }$ ${\displaystyle \Phi _{\Lambda }}$

${\displaystyle H_{\Lambda }(\varphi ):=\sum _{\Delta \cap \Lambda \not =\emptyset }\Phi _{\Delta }(\varphi ).}$

Si μ es una medida extrema de Gibbs para este hamiltoniano en el conjunto de configuraciones , entonces es fácil demostrar que μ satisface la condición de red, ver Sheffield (2005). ${\displaystyle \varphi }$

Un ejemplo clave es el modelo de Ising en un gráfico . Dejemos que se llamen giros y . Tome el siguiente potencial: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$ ${\displaystyle \beta \in [0,\infty ]}$

${\displaystyle \Phi _{\Lambda }(\varphi )={\begin{cases}\beta 1_{\{\varphi (x)\not =\varphi (y)\}}&{\text{if }}\Lambda =\{x,y\}{\text{ is a pair of adjacent vertices of }}\Gamma ;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

La submodularidad es fácil de comprobar; Intuitivamente, tomar el mínimo o el máximo de dos configuraciones tiende a disminuir el número de giros en desacuerdo. Entonces, dependiendo de la gráfica y del valor de , podría haber una o más medidas de Gibbs extremas, ver, por ejemplo, Georgii, Häggström & Maes (2001) y Lyons (2000). ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \beta }$

Una generalización: la desigualdad de Holley

La desigualdad de Holley , debida a Richard Holley (1974), afirma que las expectativas

${\displaystyle \langle f\rangle _{i}={\frac {\sum _{x\in X}f(x)\mu _{i}(x)}{\sum _{x\in X}\mu _{i}(x)}}}$

de una función monótonamente creciente ƒ en una red distributiva finita con respecto a dos funciones positivas μ ₁ , μ ₂ en la red satisfacen la condición ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2},}$

siempre que las funciones satisfagan la condición de Holley ( criterio )

${\displaystyle \mu _{2}(x\wedge y)\mu _{1}(x\vee y)\geq \mu _{1}(x)\mu _{2}(y)}$

para todo x , y en la red.

Para recuperar la desigualdad FKG: Si μ satisface la condición de red y ƒ y g son funciones crecientes en , entonces μ ₁ ( x ) =  g ( x ) μ ( x ) y μ ₂ ( x ) =  μ ( x ) satisfarán la condición de tipo reticular de la desigualdad de Holley. Entonces la desigualdad de Holley establece que ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\frac {\langle fg\rangle _{\mu }}{\langle g\rangle _{\mu }}}=\langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2}=\langle f\rangle _{\mu },}$

que es solo la desigualdad FKG.

En cuanto a FKG, la desigualdad de Holley se deriva de la desigualdad de Ahlswede-Daykin .

Debilitamiento de la condición reticular: monotonicidad

Consideremos el caso habitual de ser un producto de algún conjunto finito . Se ve fácilmente que la condición de red en μ implica la siguiente monotonicidad , que tiene la virtud de que a menudo es más fácil de verificar que la condición de red: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{V}}$ ${\displaystyle V}$

Siempre que se fija un vértice y dos configuraciones ^{[ se necesita aclaración ]} φ y ψ fuera de v de manera que para todos , la distribución condicional μ de φ ( v ) dada estocásticamente domina la distribución condicional μ de ψ ( v ) dada . ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \varphi (w)\geq \psi (w)}$ ${\displaystyle w\not =v}$ ${\displaystyle \{\varphi (w):w\not =v\}}$ ${\displaystyle \{\psi (w):w\not =v\}}$

Ahora bien, si μ satisface esta propiedad de monotonicidad, eso ya es suficiente para que se mantenga la desigualdad FKG (asociaciones positivas).

Aquí hay un esbozo de la prueba, debido a Holley (1974): a partir de cualquier configuración inicial ^{[ se necesita aclaración ]} , se puede ejecutar una cadena de Markov simple (el algoritmo Metropolis ) que utiliza variables aleatorias uniformes independientes [0,1] para actualizar la configuración en cada paso, de modo que la cadena tenga una medida estacionaria única, la μ dada . La monotonicidad de μ implica que la configuración en cada paso es una función monótona de variables independientes, por lo tanto, la versión de medida del producto de Harris implica que tiene asociaciones positivas. Por tanto, la medida estacionaria límite μ también tiene esta propiedad. ${\displaystyle V}$

La propiedad de monotonicidad tiene una versión natural para dos medidas, diciendo que μ ₁ domina condicionalmente puntualmente μ ₂ . Nuevamente es fácil ver que si μ ₁ y μ ₂ satisfacen la condición de tipo reticular de la desigualdad de Holley, entonces μ ₁ domina condicionalmente en sentido puntual a μ ₂ . Por otro lado, un argumento de acoplamiento de cadenas de Markov similar al anterior, pero ahora sin invocar la desigualdad de Harris, muestra que la dominación puntual condicional, de hecho, implica dominación estocástica . La dominación estocástica equivale a decir que para todo ƒ creciente , obtenemos una prueba de la desigualdad de Holley. (Y por tanto también una prueba de la desigualdad FKG, sin utilizar la desigualdad de Harris). ${\displaystyle \langle f\rangle _{1}\geq \langle f\rangle _{2}}$

Véase Holley (1974) y Georgii, Häggström & Maes (2001) para más detalles.

Ver también

• Desigualdad de Ahlswede-Daykin
• Desigualdad XYZ
• desigualdad BK

Referencias

• Eaton, Morris L. (1987), "La desigualdad y la asociación de FKG", Conferencias sobre temas de desigualdades de probabilidad , Ámsterdam, págs. 111-151, ISBN 90-6196-316-8{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Fishburn, PC (2001) [1994], "Desigualdad de FKG", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Fortuín, CM; Kasteleyn, PW; Ginibre, J. (1971), "Desigualdades de correlación en algunos conjuntos parcialmente ordenados", Communications in Mathematical Physics , 22 (2): 89–103, Bibcode :1971CMaPh..22...89F, doi :10.1007/BF01651330, MR  0309498, S2CID  1011815
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Mecánica estadística de sistemas reticulares: una introducción matemática concreta. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781107184824.
• Georgii, HO.; Häggström, O.; Maes, C. (2001), "La geometría aleatoria de las fases de equilibrio", Transiciones de fase y fenómenos críticos , vol. 18, Academic Press, San Diego, CA, págs. 1–142, arXiv : math/9905031 , doi :10.1016/S1062-7901(01)80008-2, ISBN 9780122203183, SEÑOR  2014387, S2CID  119137791
• Grimmett, GR (1999), Percolación. Segunda edición , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 321, Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-662-03981-6, ISBN 3-540-64902-6, señor  1707339
• Harris, TE (1960), "Un límite inferior para la probabilidad crítica en un determinado proceso de percolación", Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 56 (1): 13–20, Bibcode :1960PCPS...56...13H , doi :10.1017/S0305004100034241, SEÑOR  0115221, S2CID  122724783
• Holley, R. (1974), "Observaciones sobre las desigualdades de FKG", Communications in Mathematical Physics , 36 (3): 227–231, Bibcode :1974CMaPh..36..227H, doi :10.1007/BF01645980, MR  0341552, S2CID  73649690
• Lyons, R. (2000), "Transiciones de fase en gráficos no identificables", J. Math. Física. , 41 (3): 1099–1126, arXiv : math/9908177 , Bibcode :2000JMP....41.1099L, doi :10.1063/1.533179, MR  1757952, S2CID  10350129
• Sheffield, S. (2005), "Superficies aleatorias", Astérisque , 304 , arXiv : math/0304049 , Bibcode : 2003math......4049S, MR  2251117