modelo potts

Modelo en mecánica estadística generalizando el modelo de Ising.

En mecánica estadística , el modelo de Potts , una generalización del modelo de Ising , es un modelo de espines que interactúan en una red cristalina . ^[1] Al estudiar el modelo de Potts, se puede obtener información sobre el comportamiento de los ferromagnetos y otros fenómenos de la física del estado sólido . La fortaleza del modelo de Potts no es tanto que modela bien estos sistemas físicos; más bien se trata de que el caso unidimensional es exactamente solucionable y que tiene una rica formulación matemática que ha sido estudiada extensamente.

El modelo lleva el nombre de Renfrey Potts , quien describió el modelo hacia el final de su doctorado de 1951. tesis. ^[2] El modelo estaba relacionado con el "Pots plano" o " modelo de reloj ", que le fue sugerido por su asesor, Cyril Domb . El modelo de Potts de cuatro estados se conoce a veces como modelo Ashkin-Teller , ^[3] en honor a Julius Ashkin y Edward Teller , quienes consideraron un modelo equivalente en 1943.

El modelo de Potts está relacionado y generalizado por varios otros modelos, incluido el modelo XY , el modelo de Heisenberg y el modelo N-vector . El modelo de Potts de rango infinito se conoce como modelo Kac. Cuando se considera que los espines interactúan de una manera no abeliana , el modelo se relaciona con el modelo del tubo de flujo, que se utiliza para analizar el confinamiento en la cromodinámica cuántica . También se han utilizado generalizaciones del modelo de Potts para modelar el crecimiento de granos en metales, el engrosamiento de espumas y las propiedades estadísticas de las proteínas . ^[4] Una generalización adicional de estos métodos realizada por James Glazier y Francois Graner, conocida como el modelo celular de Potts , ^[5] se ha utilizado para simular fenómenos estáticos y cinéticos en la espuma y la morfogénesis biológica .

Definición

Modelo vectorial de Potts

El modelo de Potts consta de espines que se colocan sobre una red ; Por lo general, se considera que la red es una red euclidiana rectangular bidimensional , pero a menudo se generaliza a otras dimensiones y estructuras de red.

Originalmente, Domb sugirió que el giro toma uno de los valores posibles ^{[ cita necesaria ]} , distribuido uniformemente alrededor del círculo , en ángulos. ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \theta _{s}={\frac {2\pi s}{q}},}$

donde y que la interacción hamiltoniana está dada por ${\displaystyle s=0,1,...,q-1}$

${\displaystyle H_{c}=J_{c}\sum _{\langle i,j\rangle }\cos \left(\theta _{s_{i}}-\theta _{s_{j}}\right)}$

con la suma recorriendo los pares de vecinos más cercanos en todos los sitios de la red, y es una constante de acoplamiento que determina la fuerza de interacción. Este modelo ahora se conoce como modelo vectorial de Potts o modelo de reloj . Potts proporcionó la ubicación en dos dimensiones de la transición de fase . En el límite , este se convierte en el modelo XY . ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$ ${\displaystyle J_{c}}$ ${\displaystyle q=3,4}$ ${\displaystyle q\to \infty }$

Modelo Potts estándar

Lo que ahora se conoce como modelo estándar de Potts fue sugerido por Potts en el curso de su estudio del modelo anterior y está definido por un hamiltoniano más simple:

${\displaystyle H_{p}=-J_{p}\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})\,}$

¿Dónde está el delta de Kronecker , que es igual a uno siempre y cero en caso contrario? ${\displaystyle \delta (s_{i},s_{j})}$ ${\displaystyle s_{i}=s_{j}}$

El modelo estándar de Potts es equivalente al modelo de Ising y al modelo de Potts vectorial de 2 estados, con . El modelo estándar de Potts es equivalente al modelo de Potts vectorial de tres estados, con . ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle J_{p}=-2J_{c}}$ ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle J_{p}=-{\frac {3}{2}}J_{c}}$

Modelo de Potts generalizado

Una generalización del modelo de Potts se utiliza a menudo en inferencia estadística y biofísica, particularmente para modelar proteínas mediante análisis de acoplamiento directo . ^{[4] [6]} Este modelo generalizado de Potts consta de 'giros' que cada uno puede adoptar estados: (sin ningún orden particular). El hamiltoniano es, ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle s_{i}\in \{1,\dots ,q\}}$

${\displaystyle H=\sum _{i<j}J_{ij}(s_{i},s_{j})+\sum _{i}h_{i}(s_{i}),}$

donde es el costo energético de que el espín esté en estado mientras que el espín está en estado , y es el costo energético de que el espín esté en estado . Nota: . Este modelo se parece al modelo de Sherrington-Kirkpatrick en que los acoplamientos pueden ser heterogéneos y no locales. No hay una estructura reticular explícita en este modelo. ${\displaystyle J_{ij}(k,k')}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle h_{i}(k)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle J_{ij}(k,k')=J_{ji}(k',k)}$

Propiedades físicas

Transiciones de fase

A pesar de su simplicidad como modelo de sistema físico, el modelo de Potts es útil como sistema modelo para el estudio de transiciones de fase . Por ejemplo, para el modelo ferromagnético estándar de Potts en , existe una transición de fase para todos los valores reales , ^[7] con el punto crítico en . La transición de fase es continua (segundo orden) para ^[8] y discontinua (primer orden) para . ^[9] ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle q\geq 1}$ ${\displaystyle \beta J=\log(1+{\sqrt {q}})}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq 4}$ ${\displaystyle q>4}$

Para el modelo de reloj, hay evidencia de que las transiciones de fase correspondientes son transiciones BKT de orden infinito , ^[10] y se observa una transición de fase continua cuando . ^[10] Se encuentra un uso adicional a través de la relación del modelo con los problemas de percolación y los polinomios cromáticos y de Tutte que se encuentran en combinatoria. Para valores enteros de , el modelo muestra el fenómeno de 'adsorción interfacial' ^[11] con interesantes propiedades de humectación críticas al fijar límites opuestos en dos estados diferentes ^{[ aclaración necesaria ]} . ${\displaystyle q\leq 4}$ ${\displaystyle q\geq 3}$

Relación con el modelo de conglomerados aleatorios

El modelo de Potts tiene una estrecha relación con el modelo de conglomerados aleatorios de Fortuin- Kasteleyn , otro modelo de la mecánica estadística . Comprender esta relación ha ayudado a desarrollar métodos eficientes de Monte Carlo de cadena de Markov para la exploración numérica del modelo a pequeña escala y ha llevado a la prueba rigurosa de la temperatura crítica del modelo. ^[7] ${\displaystyle q}$

En el nivel de la función de partición , la relación equivale a transformar la suma sobre configuraciones de espín en una suma sobre configuraciones de borde , es decir, conjuntos de pares vecinos más cercanos del mismo color. La transformación se realiza utilizando la identidad con . ^[12] Esto lleva a reescribir la función de partición como ${\displaystyle Z_{p}=\sum _{\{s_{i}\}}e^{-H_{p}}}$ ${\displaystyle \{s_{i}\}}$ ${\displaystyle \omega ={\Big \{}(i,j){\Big |}s_{i}=s_{j}{\Big \}}}$ ${\displaystyle e^{J_{p}\delta (s_{i},s_{j})}=1+v\delta (s_{i},s_{j})}$ ${\displaystyle v=e^{J_{p}}-1}$

${\displaystyle Z_{p}=\sum _{\omega }v^{\#{\text{edges}}(\omega )}q^{\#{\text{clusters}}(\omega )}}$

donde los clusters son los componentes conectados de la unión de segmentos cerrados . Esto es proporcional a la función de partición del modelo de conglomerado aleatorio con probabilidad de borde abierto . Una ventaja de la formulación de conglomerados aleatorios es que puede ser un número complejo arbitrario, en lugar de un número entero natural. ${\displaystyle \cup _{(i,j)\in \omega }[i,j]}$ ${\displaystyle p={\frac {v}{1+v}}=1-e^{-J_{p}}}$ ${\displaystyle q}$

Descripción de la teoría de la medida

El modelo unidimensional de Potts puede expresarse en términos de un subdesplazamiento de tipo finito y, por lo tanto, obtiene acceso a todas las técnicas matemáticas asociadas con este formalismo. En particular, se puede solucionar exactamente utilizando las técnicas de los operadores de transferencia . (Sin embargo, Ernst Ising utilizó métodos combinatorios para resolver el modelo de Ising , que es el "antepasado" del modelo de Potts, en su tesis doctoral de 1924). Esta sección desarrolla el formalismo matemático, basado en la teoría de la medida , detrás de esta solución.

Si bien el siguiente ejemplo se desarrolla para el caso unidimensional, muchos de los argumentos, y casi toda la notación, se generalizan fácilmente a cualquier número de dimensiones. Parte del formalismo también es lo suficientemente amplio como para manejar modelos relacionados, como el modelo XY , el modelo de Heisenberg y el modelo N-vector .

Topología del espacio de estados.

Sea Q = {1, ..., q } un conjunto finito de símbolos, y sea

${\displaystyle Q^{\mathbf {Z} }=\{s=(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in Q\;\forall k\in \mathbf {Z} \}}$

Sea el conjunto de todas las cadenas bi-infinitas de valores del conjunto Q. Este conjunto se denomina turno completo . Para definir el modelo de Potts, se puede utilizar todo este espacio o un subconjunto determinado del mismo, un subdesplazamiento de tipo finito . Los desplazamientos reciben este nombre porque existe un operador natural en este espacio, el operador de desplazamiento τ : Q ^Z → Q ^Z , que actúa como

${\displaystyle \tau (s)_{k}=s_{k+1}}$

Este conjunto tiene una topología de producto natural ; La base de esta topología son los conjuntos de cilindros.

${\displaystyle C_{m}[\xi _{0},\ldots ,\xi _{k}]=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:s_{m}=\xi _{0},\ldots ,s_{m+k}=\xi _{k}\}}$

es decir, el conjunto de todas las cadenas posibles donde k +1 giros coinciden exactamente con un conjunto específico de valores dado ξ ₀ , ..., ξ _k . Se pueden obtener representaciones explícitas de los conjuntos de cilindros observando que la cadena de valores corresponde a un número q -ádico ; sin embargo, la topología natural de los números q-ádicos es más fina que la topología del producto anterior.

Energía de interacción

La interacción entre los espines viene dada entonces por una función continua V  : Q ^Z → R en esta topología. Cualquier función continua servirá; Por ejemplo

${\displaystyle V(s)=-J\delta (s_{0},s_{1})}$

Se verá que describe la interacción entre vecinos más cercanos. Por supuesto, diferentes funciones dan lugar a diferentes interacciones; entonces una función de s ₀ , s ₁ y s ₂ describirá la interacción del vecino más cercano. Una función V proporciona energía de interacción entre un conjunto de espines; no es el hamiltoniano, pero se utiliza para construirlo. El argumento de la función V es un elemento s ∈ Q ^Z , es decir, una cadena infinita de espines. En el ejemplo anterior, la función V simplemente eligió dos giros de la cadena infinita: los valores s ₀ y s ₁ . En general, la función V puede depender de algunos o todos los espines; Actualmente, sólo aquellos que dependen de un número finito tienen solución exacta.

Defina la función H _n  : Q ^Z → R como

${\displaystyle H_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}V(\tau ^{k}s)}$

Se puede ver que esta función consta de dos partes: la autoenergía de una configuración [ s ₀ , s ₁ , ..., s _n ] de espines, más la energía de interacción de este conjunto y todos los demás espines en la red. . El límite n → ∞ de esta función es el hamiltoniano del sistema; para n finito , a veces se les llama hamiltonianos de estados finitos .

Función de partición y medida.

La función de partición de estado finito correspondiente está dada por

${\displaystyle Z_{n}(V)=\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}\exp(-\beta H_{n}(C_{0}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))}$

siendo C0 los conjuntos _de cilindros definidos anteriormente. Aquí, β = 1/ kT , donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura . Es muy común en los tratamientos matemáticos establecer β = 1, ya que se recupera fácilmente cambiando la escala de la energía de interacción. Esta función de partición se escribe como una función de la interacción V para enfatizar que es sólo una función de la interacción y no de ninguna configuración específica de espines. La función de partición, junto con el hamiltoniano, se utilizan para definir una medida en el álgebra σ de Borel de la siguiente manera: La medida de un conjunto de cilindros, es decir, un elemento de la base, está dada por

${\displaystyle \mu (C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}])={\frac {1}{Z_{n}(V)}}\exp(-\beta H_{n}(C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))}$

Luego se puede extender mediante aditividad contable al σ-álgebra completo. Esta medida es una medida de probabilidad ; Da la probabilidad de que ocurra una configuración determinada en el espacio de configuración Q ^Z. Al dotar al espacio de configuración de una medida de probabilidad construida a partir de un hamiltoniano de esta manera, el espacio de configuración se convierte en un conjunto canónico .

La mayoría de las propiedades termodinámicas se pueden expresar directamente en términos de la función de partición. Así, por ejemplo, la energía libre de Helmholtz viene dada por

${\displaystyle A_{n}(V)=-kT\log Z_{n}(V)}$

Otra cantidad relacionada importante es la presión topológica, definida como

${\displaystyle P(V)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log Z_{n}(V)}$

que aparecerá como el logaritmo del valor propio principal del operador de transferencia de la solución.

Solución de campo libre

El modelo más simple es el modelo en el que no hay interacción alguna, por lo que V = c y H _n = c (con c constante e independiente de cualquier configuración de espín). La función de partición se convierte en

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}1}$

Si se permiten todos los estados, es decir, el conjunto subyacente de estados está dado por un desplazamiento completo , entonces la suma puede evaluarse trivialmente como

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }q^{n+1}}$

Si los espines vecinos solo se permiten en ciertas configuraciones específicas, entonces el espacio de estados viene dado por un subdesplazamiento de tipo finito . La función de partición puede entonces escribirse como

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }|{\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}|=e^{-c\beta }{\mbox{Tr}}A^{n}}$

donde card es la cardinalidad o recuento de un conjunto, y Fix es el conjunto de puntos fijos de la función de desplazamiento iterado:

${\displaystyle {\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:\tau ^{n}s=s\}}$

La matriz A q × q es la matriz de adyacencia que especifica qué valores de espín vecinos están permitidos.

Modelo interactivo

El caso más simple del modelo de interacción es el modelo de Ising , donde el giro solo puede tomar uno de dos valores, s _n ∈ {−1, 1} y solo interactúan los giros vecinos más cercanos. El potencial de interacción está dado por

${\displaystyle V(\sigma )=-J_{p}s_{0}s_{1}\,}$

Este potencial se puede capturar en una matriz de 2 × 2 con elementos de matriz.

${\displaystyle M_{\sigma \sigma '}=\exp \left(\beta J_{p}\sigma \sigma '\right)}$

con el índice σ, σ′ ∈ {−1, 1}. La función de partición entonces viene dada por

${\displaystyle Z_{n}(V)={\mbox{Tr}}\,M^{n}}$

La solución general para un número arbitrario de espines y una interacción arbitraria de rango finito viene dada por la misma forma general. En este caso, la expresión precisa de la matriz M es un poco más compleja.

El objetivo de resolver un modelo como el de Potts es dar una expresión exacta en forma cerrada para la función de partición y una expresión para los estados de Gibbs o estados de equilibrio en el límite de n → ∞, el límite termodinámico .

Aplicaciones

Procesamiento de señales e imágenes.

El modelo de Potts tiene aplicaciones en la reconstrucción de señales. Supongamos que tenemos una observación ruidosa de una señal g constante por partes en R ⁿ . Para recuperar g del ruidoso vector de observación f en R ⁿ , se busca un minimizador del problema inverso correspondiente, el funcional L ^p -Potts P _γ ( u ) que está definido por

${\displaystyle P_{\gamma }(u)=\gamma \|\nabla u\|_{0}+\|u-f\|_{p}^{p}=\gamma \#\{i:u_{i}\neq u_{i+1}\}+\sum _{i=1}^{n}|u_{i}-f_{i}|^{p}}$

La penalización de salto fuerza soluciones constantes por partes y el término de datos acopla al candidato minimizador u con los datos f . El parámetro γ > 0 controla el equilibrio entre regularidad y fidelidad de los datos . Existen algoritmos rápidos para la minimización exacta del funcional L ¹ y L ² -Potts. ^[13] ${\displaystyle \|\nabla u\|_{0}}$ ${\displaystyle \|u-f\|_{p}^{p}}$

En el procesamiento de imágenes, la funcional de Potts está relacionada con el problema de segmentación. ^[14] Sin embargo, en dos dimensiones el problema es NP-difícil. ^[15]

Ver también

• Modelo de conglomerado aleatorio
• Modelo crítico de Potts de tres estados
• Modelo Quiral Potts
• Modelo Ising de celosía cuadrada
• Modelos mínimos
• modelo ZN
• Modelo celular Potts

Referencias

1. Wu, año fiscal (1 de enero de 1982). "El modelo Potts". Reseñas de Física Moderna . 54 (1): 235–268. Código Bib : 1982RvMP...54..235W. doi :10.1103/RevModPhys.54.235.
2. Potts, RB (enero de 1952). "Algunas transformaciones de orden-desorden generalizado". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 48 (1): 106-109. Código Bib : 1952PCPS...48..106P. doi :10.1017/S0305004100027419. ISSN  1469-8064. S2CID  122689941.
3. Ashkin, J.; Cajero, E. (1 de septiembre de 1943). "Estadísticas de celosías bidimensionales con cuatro componentes". Revisión física . 64 (5–6): 178–184. Código bibliográfico : 1943PhRv...64..178A. doi : 10.1103/PhysRev.64.178.
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5. Graner, François; Glazier, James A. (28 de septiembre de 1992). "Simulación de la clasificación de células biológicas utilizando un modelo de Potts extendido bidimensional". Cartas de revisión física . 69 (13): 2013-2016. Código Bib : 1992PhRvL..69.2013G. doi : 10.1103/PhysRevLett.69.2013. PMID  10046374.
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enlaces externos

• Demacrado, Gary; Pearce, David J.; Royle, Gordon. "Código para calcular eficientemente polinomios Tutte, cromáticos y de flujo".