Sistema de coordenadas baricéntrico

Sistema de coordenadas que se define por puntos en lugar de vectores.

Coordenadas baricéntricas en un triángulo equilátero y en un triángulo rectángulo. ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$

Un 3-símplex, con subdivisiones baricéntricas de 1-caras (aristas), 2-caras (triángulos) y 3-caras (cuerpo).

En geometría , un sistema de coordenadas baricéntrico es un sistema de coordenadas en el que la ubicación de un punto se especifica por referencia a un símplex (un triángulo para puntos en un plano , un tetraedro para puntos en el espacio tridimensional , etc.). Las coordenadas baricéntricas de un punto se pueden interpretar como masas colocadas en los vértices del símplex, de modo que el punto es el centro de masas (o baricentro ) de estas masas. Estas masas pueden ser cero o negativas; todas son positivas si y solo si el punto está dentro del símplex.

Cada punto tiene coordenadas baricéntricas y su suma nunca es cero. Dos tuplas de coordenadas baricéntricas especifican el mismo punto si y solo si son proporcionales; es decir, si una tupla se puede obtener multiplicando los elementos de la otra tupla por el mismo número distinto de cero. Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas se consideran definidas hasta la multiplicación por una constante distinta de cero o se normalizan para sumar la unidad.

Las coordenadas baricéntricas fueron introducidas por August Möbius en 1827. ^{[1] [2] [3]} Son coordenadas homogéneas especiales . Las coordenadas baricéntricas están fuertemente relacionadas con las coordenadas cartesianas y, de manera más general, con las coordenadas afines (véase Espacio afín § Relación entre coordenadas baricéntricas y afines ).

Las coordenadas baricéntricas son particularmente útiles en la geometría de triángulos para estudiar propiedades que no dependen de los ángulos del triángulo, como el teorema de Ceva , el teorema de Routh y el teorema de Menelao . En el diseño asistido por computadora , son útiles para definir algunos tipos de superficies de Bézier . ^{[4] [5]}

Definición

Sean n + 1 puntos en un espacio euclidiano , plano o afín de dimensión n, que sean afínmente independientes ; esto significa que no existe ningún subespacio afín de dimensión n − 1 que contenga todos los puntos, ^[6] o, equivalentemente, que los puntos definen un símplex . Dado cualquier punto, existen escalares que no son todos cero, tales que para cualquier punto O . (Como es habitual, la notación representa el vector de traslación o vector libre que mapea el punto A al punto B .) ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle P\in \mathbf {A} ,}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ $${\displaystyle (a_{0}+\cdots +a_{n}){\overset {}{\overrightarrow {OP}}}=a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}},}$$ ${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {AB}}}}$

Los elementos de una tupla ( n +1) que satisface esta ecuación se denominan coordenadas baricéntricas de P con respecto a El uso de dos puntos en la notación de la tupla significa que las coordenadas baricéntricas son una especie de coordenadas homogéneas , es decir, el punto no cambia si todas las coordenadas se multiplican por la misma constante distinta de cero. Además, las coordenadas baricéntricas tampoco cambian si se cambia el punto auxiliar O , el origen . ${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$ ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}.}$

Las coordenadas baricéntricas de un punto son únicas hasta una escala . Es decir, dos tuplas y son coordenadas baricéntricas del mismo punto si y solo si existe un escalar distinto de cero tal que para cada i . ${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{0}:\dotsc :b_{n})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b_{i}=\lambda a_{i}}$

En algunos contextos, es útil restringir las coordenadas baricéntricas de un punto para que sean únicas. Esto generalmente se logra imponiendo la condición o, equivalentemente, dividiendo cada por la suma de todas Estas coordenadas baricéntricas específicas se denominan coordenadas baricéntricas normalizadas o absolutas . ^[7] A veces, también se las llama coordenadas afines , aunque este término se refiere comúnmente a un concepto ligeramente diferente. $${\displaystyle \sum a_{i}=1,}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}.}$

En ocasiones, las coordenadas baricéntricas normalizadas se denominan coordenadas baricéntricas . En este caso, las coordenadas definidas anteriormente se denominan coordenadas baricéntricas homogéneas .

Con la notación anterior, las coordenadas baricéntricas homogéneas de A _i son todas cero, excepto la de índice i . Cuando se trabaja sobre los números reales (la definición anterior también se utiliza para espacios afines sobre un cuerpo arbitrario ), los puntos cuyas coordenadas baricéntricas normalizadas son todas no negativas forman la envoltura convexa que es el símplex que tiene estos puntos como sus vértices. ${\displaystyle \{A_{0},\ldots ,A_{n}\},}$

Con la notación anterior, una tupla tal que no define ningún punto, pero el vector es independiente del origen O . Como la dirección de este vector no cambia si todos se multiplican por el mismo escalar, la tupla homogénea define una dirección de líneas, es decir, un punto en el infinito . Ver más detalles a continuación. ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}=0}$$ $${\displaystyle a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}}}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$

Relación con coordenadas cartesianas o afines

Las coordenadas baricéntricas están estrechamente relacionadas con las coordenadas cartesianas y, de manera más general, con las coordenadas afines . Para un espacio de dimensión n , estos sistemas de coordenadas se definen en relación con un punto O , el origen , cuyas coordenadas son cero, y n puntos cuyas coordenadas son cero excepto el de índice i que es igual a uno. ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$

Un punto tiene coordenadas para dicho sistema de coordenadas si y sólo si sus coordenadas baricéntricas normalizadas son relativas a los puntos $${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$$ $${\displaystyle (1-x_{1}-\cdots -x_{n},x_{1},\ldots ,x_{n})}$$ ${\displaystyle O,A_{1},\ldots ,A_{n}.}$

La principal ventaja de los sistemas de coordenadas baricéntricos es que son simétricos respecto de los n +1 puntos que los definen. Por ello, suelen ser útiles para estudiar propiedades que son simétricas respecto de n +1 puntos. Por otra parte, las distancias y los ángulos son difíciles de expresar en sistemas de coordenadas baricéntricos generales y, cuando están involucrados, generalmente es más sencillo utilizar un sistema de coordenadas cartesianas.

Relación con coordenadas proyectivas

Las coordenadas baricéntricas homogéneas también están fuertemente relacionadas con algunas coordenadas proyectivas . Sin embargo, esta relación es más sutil que en el caso de las coordenadas afines y, para ser claramente entendida, requiere una definición sin coordenadas de la completitud proyectiva de un espacio afín y una definición de un marco proyectivo .

La completitud proyectiva de un espacio afín de dimensión n es un espacio proyectivo de la misma dimensión que contiene al espacio afín como complemento de un hiperplano . La completitud proyectiva es única hasta un isomorfismo . El hiperplano se denomina hiperplano en el infinito y sus puntos son los puntos en el infinito del espacio afín. ^[8]

Dado un espacio proyectivo de dimensión n , un marco proyectivo es un conjunto ordenado de n + 2 puntos que no están contenidos en el mismo hiperplano. Un marco proyectivo define un sistema de coordenadas proyectivas tal que las coordenadas del punto ( n + 2) del marco son todas iguales y, en caso contrario, todas las coordenadas del punto i son cero, excepto la i . ^[8]

Al construir la completitud proyectiva a partir de un sistema de coordenadas afines, comúnmente se la define con respecto a un marco proyectivo que consiste en las intersecciones con el hiperplano en el infinito de los ejes de coordenadas , el origen del espacio afín y el punto que tiene todas sus coordenadas afines iguales a uno. Esto implica que los puntos en el infinito tienen su última coordenada igual a cero, y que las coordenadas proyectivas de un punto del espacio afín se obtienen completando sus coordenadas afines en uno como ( n + 1) ésima coordenada.

Cuando se tienen n + 1 puntos en un espacio afín que definen un sistema de coordenadas baricéntricas, este es otro marco proyectivo de la completitud proyectiva que conviene elegir. Este marco está formado por estos puntos y su baricentro , es decir, el punto que tiene todas sus coordenadas baricéntricas iguales. En este caso, las coordenadas baricéntricas homogéneas de un punto en el espacio afín son las mismas que las coordenadas proyectivas de este punto. Un punto está en el infinito si y sólo si la suma de sus coordenadas es cero. Este punto está en la dirección del vector definido al final del § Definición.

Coordenadas baricéntricas en triángulos

En el contexto de un triángulo , las coordenadas baricéntricas también se conocen como coordenadas de área o coordenadas de área , porque las coordenadas de P con respecto al triángulo ABC son equivalentes a las razones (con signo) de las áreas de PBC , PCA y PAB con respecto al área del triángulo de referencia ABC . Las coordenadas de área y trilineales se utilizan para fines similares en geometría.

Las coordenadas baricéntricas o de área son extremadamente útiles en aplicaciones de ingeniería que involucran subdominios triangulares . Esto hace que las integrales analíticas sean más fáciles de evaluar y las tablas de cuadratura gaussiana suelen presentarse en términos de coordenadas de área.

Consideremos un triángulo con vértices , , en el plano x,y, . Se pueden considerar los puntos en como vectores, por lo que tiene sentido sumarlos o restarlos y multiplicarlos por escalares. ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2})}$ ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2})}$ ${\displaystyle C=(c_{1},c_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Cada triángulo tiene un área firmada o sarea , que es más o menos su área: ${\displaystyle ABC}$

  ${\displaystyle \operatorname {sarea} (ABC)=\pm \operatorname {area} (ABC).}$

El signo es más si el camino de a a y luego de regreso rodea el triángulo en sentido antihorario. El signo es menos si el camino rodea el triángulo en sentido horario. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$

Sea un punto en el plano, y sean sus coordenadas baricéntricas normalizadas con respecto al triángulo , por lo que ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$ ${\displaystyle ABC}$

  ${\displaystyle P=\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C}$

y

  ${\displaystyle 1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}.}$ 

Las coordenadas baricéntricas normalizadas también se denominan coordenadas de área porque representan proporciones de áreas con signo de triángulos: ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC)\\\lambda _{2}&=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC)\\\lambda _{3}&=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC).\end{aligned}}}$

Se pueden probar estas fórmulas de proporción basándose en el hecho de que un triángulo es la mitad de un paralelogramo, y el área de un paralelogramo es fácil de calcular utilizando un determinante .

En concreto, dejar que

  ${\displaystyle D=-A+B+C.}$

${\displaystyle ABCD}$es un paralelogramo porque sus pares de lados opuestos, representados por los pares de vectores de desplazamiento , y , son paralelos y congruentes. ${\displaystyle D-C=B-A}$ ${\displaystyle D-B=C-A}$

El triángulo es la mitad del paralelogramo , por lo que el doble de su área con signo es igual al área con signo del paralelogramo, que viene dada por el determinante cuyas columnas son los vectores de desplazamiento y : ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABDC}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \det(B-A,C-A)}$ ${\displaystyle B-A}$ ${\displaystyle C-A}$

  $${\displaystyle \operatorname {sarea} (ABCD)=\det {\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}&c_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}&c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}}$$

Desarrollando el determinante, utilizando sus propiedades alternantes y multilineales , se obtiene

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\det(B-A,C-A)&=\det(B,C)-\det(A,C)-\det(B,A)+\det(A,A)\\&=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A)\end{aligned}}}$

entonces

  ${\displaystyle 2\operatorname {sarea} (ABC)=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A).}$

Similarmente,

  ${\displaystyle 2\operatorname {sarea} (PBC)=\det(P,B)+\det(B,C)+\det(C,P)}$,

Para obtener la relación de estas áreas firmadas, exprese en la segunda fórmula en términos de sus coordenadas baricéntricas: ${\displaystyle P}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\det(\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C,B)+\det(B,C)+\det(C,\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{3}\det(C,B)+\det(B,C)+\lambda _{1}\det(C,A)+\lambda _{2}\det(C,B)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{1}\det(C,A)+(1-\lambda _{2}-\lambda _{3})\det(B,C)\end{aligned}}.}$

Las coordenadas baricéntricas están normalizadas , por lo tanto , . Sustituya esto en la línea anterior para obtener ${\displaystyle 1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=(1-\lambda _{2}-\lambda _{3})}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\lambda _{1}(\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A))\\&=(\lambda _{1})(2\operatorname {sarea} (ABC)).\end{aligned}}}$

Por lo tanto

  ${\displaystyle \lambda _{1}=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC)}$. 

Cálculos similares prueban las otras dos fórmulas.

  ${\displaystyle \lambda _{2}=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC)}$  ${\displaystyle \lambda _{3}=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC)}$.

Las coordenadas trilineales de son distancias con signo desde hasta las líneas BC, AC y AB, respectivamente. El signo de es positivo si y se encuentran en el mismo lado de BC, negativo en caso contrario. Los signos de y se asignan de manera similar. Sea ${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{3}}$

  ${\displaystyle a=\operatorname {length} (BC)}$, , .  ${\displaystyle b=\operatorname {length} (CA)}$ ${\displaystyle c=\operatorname {length} (AB)}$

Entonces

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}a&=\pm 2\operatorname {sarea} (PBC)\\\gamma _{2}b&=\pm 2\operatorname {sarea} (APC)\\\gamma _{3}c&=\pm 2\operatorname {sarea} (ABP)\end{aligned}}}$

donde, como se indicó anteriormente, sarea representa el área con signo. Los tres signos son positivos si el triángulo ABC está orientado positivamente, negativos en caso contrario. Las relaciones entre las coordenadas trilineales y baricéntricas se obtienen sustituyendo estas fórmulas en las fórmulas anteriores que expresan las coordenadas baricéntricas como cocientes de áreas.

Alternar entre las coordenadas baricéntricas y otros sistemas de coordenadas hace que algunos problemas sean mucho más fáciles de resolver.

Conversión entre coordenadas baricéntricas y cartesianas

Enfoque de borde

Dado un punto en el plano de un triángulo se pueden obtener las coordenadas baricéntricas , y a partir de las coordenadas cartesianas o viceversa. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{3}}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Podemos escribir las coordenadas cartesianas del punto en términos de los componentes cartesianos de los vértices del triángulo , , donde y en términos de las coordenadas baricéntricas de como ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\end{aligned}}}$$

Es decir, las coordenadas cartesianas de cualquier punto son un promedio ponderado de las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo, siendo los pesos las coordenadas baricéntricas del punto sumadas a la unidad.

Para encontrar la transformación inversa, de coordenadas cartesianas a coordenadas baricéntricas, primero sustituimos en lo anterior para obtener ${\displaystyle \lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}\end{aligned}}}$$

Reordenando, esto es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x&=0\\[2pt]\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-\,y_{3})+y_{3}-\,y&=0\end{aligned}}}$$

Esta transformación lineal se puede escribir de manera más sucinta como

$${\displaystyle \mathbf {T} \cdot \lambda =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3}}$$

donde es el vector de las dos primeras coordenadas baricéntricas, es el vector de coordenadas cartesianas , y es una matriz dada por ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\end{matrix}}\right)}$$

Ahora la matriz es invertible , ya que y son linealmente independientes (si este no fuera el caso, entonces , , y serían colineales y no formarían un triángulo). Por lo tanto, podemos reorganizar la ecuación anterior para obtener ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3})}$$

Por lo tanto, encontrar las coordenadas baricéntricas se ha reducido a encontrar la matriz inversa 2×2 de , un problema fácil. ${\displaystyle \mathbf {T} }$

Explícitamente, las fórmulas para las coordenadas baricéntricas del punto en términos de sus coordenadas cartesianas ( x, y ) y en términos de las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo son: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\ {\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{2}=&\ {\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{3}=&\ 1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\\[4pt]&=1-{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\end{aligned}}}$$Al comprender la última línea de la ecuación, tenga en cuenta la identidad . ${\displaystyle (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )=(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}$

Enfoque de vértice

Otra forma de resolver la conversión de coordenadas cartesianas a baricéntricas es escribir la relación en forma matricial con y es decir Para obtener la única solución normalizada necesitamos agregar la condición . Las coordenadas baricéntricas son, por lo tanto, la solución del sistema lineal que es donde es el doble del área con signo del triángulo. La interpretación del área de las coordenadas baricéntricas se puede recuperar aplicando la regla de Cramer a este sistema lineal. $${\displaystyle \mathbf {R} {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {r} }$$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\,\mathbf {r} _{1}\,|\,\mathbf {r} _{2}\,|\,\mathbf {r} _{3}\right)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top },}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$ $${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2A}}{\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}&y_{2}-y_{3}&x_{3}-x_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}&y_{3}-y_{1}&x_{1}-x_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}&y_{1}-y_{2}&x_{2}-x_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\y\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle 2A=\det(1|R)=x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}$$

Conversión entre coordenadas baricéntricas y trilineales

Un punto con coordenadas trilineales x  : y  : z tiene coordenadas baricéntricas ax  : by  : cz donde a , b , c son las longitudes de los lados del triángulo. Por el contrario, un punto con coordenadas baricéntricas tiene coordenadas trilineales . ${\displaystyle \lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.}$

Ecuaciones en coordenadas baricéntricas

Los tres lados a, b, c respectivamente tienen ecuaciones ^[9]

$${\displaystyle \lambda _{1}=0,\quad \lambda _{2}=0,\quad \lambda _{3}=0.}$$

La ecuación de la recta de Euler de un triángulo es ^[9]

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}\\1&1&1\\\tan A&\tan B&\tan C\end{vmatrix}}=0.}$$

Utilizando la conversión dada previamente entre coordenadas baricéntricas y trilineales, las otras ecuaciones dadas en Coordenadas trilineales#Fórmulas pueden reescribirse en términos de coordenadas baricéntricas.

Distancia entre puntos

El vector de desplazamiento de dos puntos normalizados y es ^[10] ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},p_{3})}$ ${\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},q_{3})}$

$${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {PQ}}}=(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2},p_{3}-q_{3}).}$$

La distancia d entre P y Q , o la longitud del vector de desplazamiento es ^{[9] [10]} ${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {PQ}}}=(x,y,z),}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}&=|PQ|^{2}\\[2pt]&=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left[x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right].\end{aligned}}}$$

donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo. La equivalencia de las dos últimas expresiones se deduce de lo cual se cumple porque ${\displaystyle x+y+z=0,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})\\[2pt]&=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})\\[2pt]&=1-1=0.\end{aligned}}}$$

Las coordenadas baricéntricas de un punto se pueden calcular en función de las distancias d _i a los tres vértices del triángulo resolviendo la ecuación $${\displaystyle \left({\begin{matrix}-c^{2}&c^{2}&b^{2}-a^{2}\\-b^{2}&c^{2}-a^{2}&b^{2}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\boldsymbol {\lambda }}=\left({\begin{matrix}d_{A}^{2}-d_{B}^{2}\\d_{A}^{2}-d_{C}^{2}\\1\end{matrix}}\right).}$$

Aplicaciones

Dos soluciones al acertijo de verter agua en 8, 5 y 3 L utilizando un gráfico baricéntrico. El área amarilla indica las combinaciones que se pueden lograr con las jarras. Los caminos en rojo continuo y azul discontinuo muestran las transiciones que se pueden verter. Cuando un vértice cae sobre el triángulo punteado, se han medido 4 L.

Determinación de la ubicación con respecto a un triángulo

Aunque las coordenadas baricéntricas se utilizan más comúnmente para manejar puntos dentro de un triángulo, también se pueden usar para describir un punto fuera del triángulo. Si el punto no está dentro del triángulo, entonces aún podemos usar las fórmulas anteriores para calcular las coordenadas baricéntricas. Sin embargo, dado que el punto está fuera del triángulo, al menos una de las coordenadas violará nuestra suposición original de que . De hecho, dado cualquier punto en coordenadas cartesianas, podemos usar este hecho para determinar dónde está este punto con respecto a un triángulo. ${\displaystyle \lambda _{1...3}\geq 0}$

Si un punto se encuentra en el interior del triángulo, todas las coordenadas baricéntricas se encuentran en el intervalo abierto. Si un punto se encuentra en una arista del triángulo pero no en un vértice, una de las coordenadas del área (la asociada con el vértice opuesto) es cero, mientras que las otras dos se encuentran en el intervalo abierto. Si el punto se encuentra en un vértice, la coordenada asociada con ese vértice es igual a 1 y las otras son iguales a cero. Finalmente, si el punto se encuentra fuera del triángulo, al menos una coordenada es negativa. ${\displaystyle (0,1).}$ ${\displaystyle \lambda _{1...3}}$ ${\displaystyle (0,1).}$

Resumiendo,

El punto se encuentra dentro del triángulo si y sólo si . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle 0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}}$

$${\displaystyle \mathbf {r} }$$se encuentra en el borde o esquina del triángulo si y . ${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}}$

De lo contrario, se encuentra fuera del triángulo. ${\displaystyle \mathbf {r} }$

En particular, si un punto se encuentra en el lado más alejado de una línea, la coordenada baricéntrica del punto del triángulo que no está en la línea tendrá un valor negativo.

Interpolación en una cuadrícula triangular no estructurada

Superficie (parte superior) obtenida a partir de la interpolación lineal sobre una cuadrícula triangular dada (parte inferior) en el plano x , y . La superficie se aproxima a una función z = f ( x , y ), dados únicamente los valores de f en los vértices de la cuadrícula.

Si son cantidades conocidas, pero los valores de f dentro del triángulo definido por son desconocidos, se pueden aproximar utilizando interpolación lineal . Las coordenadas baricéntricas proporcionan una forma conveniente de calcular esta interpolación. Si es un punto dentro del triángulo con coordenadas baricéntricas , , , entonces ${\displaystyle f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{3}}$

$${\displaystyle f(\mathbf {r} )\approx \lambda _{1}f(\mathbf {r} _{1})+\lambda _{2}f(\mathbf {r} _{2})+\lambda _{3}f(\mathbf {r} _{3})}$$

En general, dada cualquier malla poligonal o cuadrícula no estructurada , este tipo de técnica se puede utilizar para aproximar el valor de f en todos los puntos, siempre que se conozca el valor de la función en todos los vértices de la malla. En este caso, tenemos muchos triángulos, cada uno correspondiente a una parte diferente del espacio. Para interpolar una función f en un punto , primero se debe encontrar un triángulo que contenga a . Para ello, se transforma en las coordenadas baricéntricas de cada triángulo. Si se encuentra algún triángulo tal que las coordenadas satisfagan , entonces el punto se encuentra en ese triángulo o en su borde (explicado en la sección anterior). Luego, el valor de se puede interpolar como se describió anteriormente. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

Estos métodos tienen muchas aplicaciones, como el método de elementos finitos (FEM).

Integración sobre un triángulo o tetraedro

La integral de una función sobre el dominio del triángulo puede ser complicada de calcular en un sistema de coordenadas cartesianas. Generalmente, hay que dividir el triángulo en dos mitades, lo que genera un gran desorden. En cambio, suele ser más fácil hacer un cambio de variables a dos coordenadas baricéntricas cualesquiera, por ejemplo . Con este cambio de variables, ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$

$${\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =2A\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})\mathbf {r} _{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}}$$

donde A es el área del triángulo. Este resultado se deduce del hecho de que un rectángulo en coordenadas baricéntricas corresponde a un cuadrilátero en coordenadas cartesianas, y la relación de las áreas de las formas correspondientes en los sistemas de coordenadas correspondientes está dada por . De manera similar, para la integración sobre un tetraedro, en lugar de dividir la integral en dos o tres partes separadas, se podría cambiar a coordenadas tetraédricas 3D bajo el cambio de variables. ${\displaystyle 2A}$

$${\displaystyle \int \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =6V\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{3}}\int _{0}^{1-\lambda _{2}-\lambda _{3}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})\mathbf {r} _{4})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\ d\lambda _{3}}$$donde V es el volumen del tetraedro.

Ejemplos de puntos especiales

En el sistema de coordenadas baricéntrico homogéneo definido con respecto a un triángulo , se cumplen las siguientes afirmaciones sobre puntos especiales . ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABC}$

Los tres vértices A , B y C tienen coordenadas ^[9]

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}A=&1&:&0&:&0\\B=&0&:&1&:&0\\C=&0&:&0&:&1\end{array}}}$$

El centroide tiene coordenadas ^[9] ${\displaystyle 1:1:1.}$

Si a , b , c son las longitudes de los bordes , , respectivamente, , , son las medidas de los ángulos , , y respectivamente, y s es el semiperímetro de , entonces las siguientes afirmaciones sobre puntos especiales de se cumplen además. ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \angle CAB}$ ${\displaystyle \angle ABC}$ ${\displaystyle \angle BCA}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABC}$

El circuncentro tiene coordenadas ^{[9] [10] [11] [12]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\sin 2\alpha &:&\sin 2\beta &:&\sin 2\gamma \\[2pt]=&1-\cot \beta \cot \gamma &:&1-\cot \gamma \cot \alpha &:&1-\cot \alpha \cot \beta \\[2pt]=&a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2})&:&b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\end{array}}}$$

El ortocentro tiene coordenadas ^{[9] [10]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\tan \alpha &:&\tan \beta &:&\tan \gamma \\[2pt]=&a\cos \beta \cos \gamma &:&b\cos \gamma \cos \alpha &:&c\cos \alpha \cos \beta \\[2pt]=&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})&:&(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\end{array}}}$$

El incentro tiene coordenadas ^{[10] [13]} ${\displaystyle a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .}$

Los excentros tienen coordenadas ^[13]

$${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-a&:&b&:&c\\J_{B}=&a&:&-b&:&c\\J_{C}=&a&:&b&:&-c\end{array}}}$$

El centro de nueve puntos tiene coordenadas ^{[9] [13]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&a\cos(\beta -\gamma )&:&b\cos(\gamma -\alpha )&:&c\cos(\alpha -\beta )\\[4pt]=&1+\cot \beta \cot \gamma &:&1+\cot \gamma \cot \alpha &:&1+\cot \alpha \cot \beta \\[4pt]=&a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}&:&b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}&:&c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}\end{array}}}$$

La punta Gergonne tiene coordenadas . ${\displaystyle (s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)}$

El punto Nagel tiene coordenadas . ${\displaystyle s-a:s-b:s-c}$

El punto simediano tiene coordenadas . ^[12] ${\displaystyle a^{2}:b^{2}:c^{2}}$

Coordenadas baricéntricas en tetraedros

Las coordenadas baricéntricas se pueden extender fácilmente a tres dimensiones . El símplex 3D es un tetraedro , un poliedro que tiene cuatro caras triangulares y cuatro vértices. Una vez más, las cuatro coordenadas baricéntricas se definen de modo que el primer vértice corresponda a las coordenadas baricéntricas , , etc. ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda =(1,0,0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)}$

Esta es nuevamente una transformación lineal, y podemos extender el procedimiento anterior para triángulos para encontrar las coordenadas baricéntricas de un punto con respecto a un tetraedro: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{4})}$$

donde ahora es una matriz 3×3: ${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{4}&y_{2}-y_{4}&y_{3}-y_{4}\\z_{1}-z_{4}&z_{2}-z_{4}&z_{3}-z_{4}\end{matrix}}\right)}$$

y con las coordenadas cartesianas correspondientes: Una vez más, el problema de encontrar las coordenadas baricéntricas se ha reducido a invertir una matriz 3×3 . ${\displaystyle \lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})x_{4}\\y&=\lambda _{1}y_{1}+\,\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})y_{4}\\z&=\lambda _{1}z_{1}+\,\lambda _{2}z_{2}+\lambda _{3}z_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})z_{4}\end{aligned}}}$$

Las coordenadas baricéntricas 3D se pueden utilizar para decidir si un punto se encuentra dentro de un volumen tetraédrico y para interpolar una función dentro de una malla tetraédrica, de manera análoga al procedimiento 2D. Las mallas tetraédricas se utilizan a menudo en el análisis de elementos finitos porque el uso de coordenadas baricéntricas puede simplificar en gran medida la interpolación 3D.

Coordenadas baricéntricas generalizadas

Las coordenadas baricéntricas de un punto que se definen con respecto a un conjunto finito de k puntos en lugar de un símplex se denominan coordenadas baricéntricas generalizadas . Para ellas, la ecuación ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})p=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{k}x_{k}}$$

todavía se requiere que se cumpla. ^[14] Generalmente se utilizan coordenadas normalizadas, . En cuanto al caso de un símplex, los puntos con coordenadas generalizadas normalizadas no negativas ( ) forman la envoltura convexa de x ₁ , ..., x _n . Si hay más puntos que en un símplex completo ( ) las coordenadas baricéntricas generalizadas de un punto no son únicas, ya que el sistema lineal definitorio (aquí para n=2) está subdeterminado . El ejemplo más simple es un cuadrilátero en el plano. Se pueden utilizar varios tipos de restricciones adicionales para definir coordenadas baricéntricas únicas. ^[15] ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1}$ ${\displaystyle k>n+1}$ $${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&...\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&...\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&...\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\\vdots \end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)}$$

Abstracción

De manera más abstracta, las coordenadas baricéntricas generalizadas expresan un politopo convexo con n vértices, independientemente de su dimensión, como la imagen del -símplex estándar, que tiene n vértices – la función es sobreyectiva: la función es biunívoca si y solo si el politopo es un símplex, en cuyo caso la función es un isomorfismo; esto corresponde a un punto que no tiene coordenadas baricéntricas generalizadas únicas excepto cuando P es un símplex. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.}$

Las coordenadas baricéntricas generalizadas duales son variables de holgura que miden el margen por el cual un punto satisface las restricciones lineales y dan una incrustación en la f - ortante , donde f es el número de caras (duales a los vértices). Esta función es biunívoca (las variables de holgura se determinan de manera única) pero no sobreyectiva (no se pueden realizar todas las combinaciones). ${\displaystyle P\hookrightarrow (\mathbf {R} _{\geq 0})^{f}}$

Este uso del -símplex estándar y del f -ortante como objetos estándar que se asignan a un politopo o en los que se asigna un politopo debe contrastarse con el uso del espacio vectorial estándar como objeto estándar para espacios vectoriales y del hiperplano afín estándar como objeto estándar para espacios afines, donde en cada caso la elección de una base lineal o una base afín proporciona un isomorfismo, lo que permite pensar en todos los espacios vectoriales y espacios afines en términos de estos espacios estándar, en lugar de en una función ontológica o biunívoca (no todos los politopos son símplex). Además, el n -ortante es el objeto estándar que se asigna a conos. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle \{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}}$

Aplicaciones

Las coordenadas baricéntricas se utilizan para combinar tres colores de manera uniforme en una región triangular en gráficos de computadora.

Las coordenadas baricéntricas generalizadas tienen aplicaciones en gráficos por computadora y más específicamente en modelado geométrico . ^[16] A menudo, un modelo tridimensional puede ser aproximado por un poliedro de tal manera que las coordenadas baricéntricas generalizadas con respecto a ese poliedro tengan un significado geométrico. De esta manera, el procesamiento del modelo puede simplificarse utilizando estas coordenadas significativas. Las coordenadas baricéntricas también se utilizan en geofísica . ^[17]

Véase también

• Trama ternaria
• Combinación convexa
• Rompecabezas de verter agua
• Coordenadas homogéneas

Referencias

1. Möbius, Agosto Fernando (1827). El cálculo baricéntrico . Leipzig: JA Barth.
   Reimpreso en Baltzer, Richard, ed. (1885). "Der barycentrische Calcul". August Ferdinand Möbius Gesammelte Werke . vol. 1. Leipzig: S. Hirzel. págs. 1–388.
2. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer-Verlag, Berlín 2007, ISBN 978-3-540-49328-0 , pág.76. 
3. Hille, Einar. "Analytic Function Theory, Volume I", Segunda edición, quinta impresión. Chelsea Publishing Company, Nueva York, 1982, ISBN 0-8284-0269-8 , página 33, nota al pie 1 
4. Josef Hoschek, Dieter Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. Teubner-Verlag, 1989, ISBN 3-519-02962-6 , pág.243. 
5. Gerald Farin: Curvas y superficies para diseño geométrico asistido por computadora. Academic Press, 1990, ISBN 9780122490514 , pág. 20. 
6. Reventós Tarrida, Agustí. "Mapas afines, movimientos euclidianos y cuádricas". Springer, 2011, ISBN 978-0-85729-709-9 , página 11 
7. Deaux, Roland. "Introducción a la geometría de los números complejos". Dover Publications, Inc., Mineola, 2008, ISBN 978-0-486-46629-3 , página 61 
8. Berger, Marcel (1987), Geometría I , Berlín: Springer, ISBN 3-540-11658-3
9. Scott, JA "Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría de triángulos", Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472–477.
10. Schindler, Max; Chen, Evan (13 de julio de 2012). «Coordenadas baricéntricas en la geometría olímpica» (PDF) . Consultado el 14 de enero de 2016 .
11. Enciclopedia de triángulos de Clark Kimberling "Enciclopedia de centros de triángulos". Archivado desde el original el 19 de abril de 2012. Consultado el 2 de junio de 2012 .
12. Página de Wolfram sobre coordenadas baricéntricas
13. Dasari Naga, Vijay Krishna, "Sobre el triángulo de Feuerbach", Forum Geométricorum 17 (2017), 289–300: p. 289. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201731.pdf
14. Meyer, Mark; Barr, Alan; Lee, Haeyoung; Desbrun, Mathieu (6 de abril de 2012). "Coordenadas baricéntricas generalizadas en polígonos irregulares" (PDF) . Journal of Graphics Tools . 7 : 13–22. doi :10.1080/10867651.2002.10487551. S2CID  13370238.
15. Floater, Michael S. (2015). "Coordenadas baricéntricas generalizadas y aplicaciones*" (PDF) . Acta Numerica . 24 : 161–214. doi :10.1017/S0962492914000129. ISSN  0962-4929. S2CID  62811364.
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17. ONUFRIEV, VG; DENISIK, SA; FERRONSKY, VI, MODELOS BARICÉNTRICOS EN ESTUDIOS ISÓTOPOS DE AGUAS NATURALES. GEOFÍSICA NUCLEAR, 4, 111-117 (1990)

• Scott, JA Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría de triángulos , Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472–477.
• Schindler, Max; Chen, Evan (13 de julio de 2012). Coordenadas baricéntricas en la geometría olímpica (PDF). Consultado el 14 de enero de 2016.
• Enciclopedia de triángulos de Clark Kimberling Enciclopedia de centros de triángulos . Archivado desde el original el 19 de abril de 2012. Consultado el 2 de junio de 2012.
• Bradley, Christopher J. (2007). El álgebra de la geometría: coordenadas cartesianas, areales y proyectivas . Bath: Highperception. ISBN 978-1-906338-00-8.
• Coxeter, HSM (1969). Introducción a la geometría (2.ª ed.). John Wiley and Sons. pp. 216–221. ISBN 978-0-471-50458-0.Zbl 0181.48101  .
• Cálculo baricéntrico en geometría euclidiana e hiperbólica: una introducción comparativa, Abraham Ungar, World Scientific, 2010
• Coordenadas baricéntricas hiperbólicas, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 6, n.º 1, artículo 18, págs. 1–35, 2009
• Weisstein, Eric W. "Coordenadas de área". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Coordenadas baricéntricas". MathWorld .
• Cálculo de coordenadas baricéntricas en coordenadas homogéneas, Vaclav Skala, Computers and Graphics, vol. 32, n.º 1, págs. 120-127, 2008

Enlaces externos

• Ley de la palanca
• Los usos de coordenadas baricéntricas homogéneas en la geometría euclidiana plana
• Coordenadas baricéntricas: una colección de artículos científicos sobre coordenadas baricéntricas (generalizadas)
• Coordenadas baricéntricas: una aplicación curiosa (resolver el problema de los "tres vasos") en cut-the-knot
• Prueba del punto exacto en el triángulo
• Coordenadas baricéntricas en la geometría olímpica por Evan Chen y Max Schindler
• Comando Baricentro y comando TriánguloCurva en Geogebra .