Determinación de la órbita

La determinación de órbitas es la estimación de las órbitas de objetos como lunas, planetas y naves espaciales. Una de sus principales aplicaciones es permitir el seguimiento de asteroides recién observados y verificar que no hayan sido descubiertos previamente. Los métodos básicos se descubrieron en el siglo XVII y se han ido perfeccionando continuamente.

Las observaciones son los datos brutos que se introducen en los algoritmos de determinación de la órbita. Las observaciones realizadas por un observador terrestre suelen consistir en valores de acimut , elevación , alcance y/o velocidad de alcance marcados con tiempo . Se utilizan telescopios o aparatos de radar , porque las observaciones a simple vista son inadecuadas para la determinación precisa de la órbita. Con más o mejores observaciones, la precisión del proceso de determinación de la órbita también mejora y se producen menos " falsas alarmas ".

Una vez determinadas las órbitas, se pueden utilizar técnicas de propagación matemática para predecir las posiciones futuras de los objetos en órbita. A medida que pasa el tiempo, la trayectoria real de un objeto en órbita tiende a divergir de la trayectoria prevista (especialmente si el objeto está sujeto a perturbaciones difíciles de predecir, como la fricción atmosférica ), y una nueva determinación de la órbita mediante nuevas observaciones sirve para recalibrar el conocimiento de la órbita.

El seguimiento por satélite es otra aplicación importante. Para los Estados Unidos y los países socios, en la medida en que lo permitan los recursos ópticos y de radar , el Centro de Operaciones Espaciales Conjuntas reúne observaciones de todos los objetos en órbita terrestre. Las observaciones se utilizan en nuevos cálculos de determinación de órbita que mantienen la precisión general del catálogo de satélites . Los cálculos para evitar colisiones pueden utilizar estos datos para calcular la probabilidad de que un objeto en órbita colisione con otro. El operador de un satélite puede decidir ajustar la órbita, si el riesgo de colisión en la órbita actual es inaceptable. (No es posible ajustar la órbita para eventos de probabilidad muy baja; pronto se agotaría el combustible que lleva el satélite para mantener la posición orbital ). Otros países, incluidos Rusia y China , tienen recursos de seguimiento similares.

Historia

La determinación de la órbita tiene una larga historia, que comienza con el descubrimiento prehistórico de los planetas y los intentos posteriores de predecir sus movimientos. Johannes Kepler utilizó las cuidadosas observaciones de Marte realizadas por Tycho Brahe para deducir la forma elíptica de su órbita y su orientación en el espacio, deduciendo en el proceso sus tres leyes del movimiento planetario .

Los métodos matemáticos para la determinación de órbitas se originaron con la publicación en 1687 de la primera edición de los Principia de Newton , que proporcionaba un método para hallar la órbita de un cuerpo que seguía una trayectoria parabólica a partir de tres observaciones. ^[1] Esto fue utilizado por Edmund Halley para establecer las órbitas de varios cometas , incluido el que lleva su nombre. El método de aproximación sucesiva de Newton fue formalizado en un método analítico por Euler en 1744, cuyo trabajo fue a su vez generalizado a órbitas elípticas e hiperbólicas por Lambert en 1761-1777.

Otro hito en la determinación de órbitas fue la ayuda de Carl Friedrich Gauss a la "recuperación" del planeta enano Ceres en 1801. El método de Gauss fue capaz de utilizar sólo tres observaciones (en forma de coordenadas celestes ) para encontrar los seis elementos orbitales que describen completamente una órbita. La teoría de la determinación de órbitas se ha desarrollado posteriormente hasta el punto de que hoy en día se aplica en receptores GPS , así como en el seguimiento y catalogación de planetas menores recién observados .

Datos de observación

Para determinar la órbita desconocida de un cuerpo, se requieren algunas observaciones de su movimiento a lo largo del tiempo. En la astronomía moderna temprana, los únicos datos de observación disponibles para los objetos celestes eran la ascensión recta y la declinación , obtenidas al observar el cuerpo a medida que se movía en su arco de observación , en relación con las estrellas fijas , utilizando un telescopio óptico . Esto corresponde a conocer la dirección relativa del objeto en el espacio, medida desde el observador, pero sin conocimiento de la distancia del objeto, es decir, la medición resultante contiene solo información de dirección, como un vector unitario .

Con el radar , es posible realizar mediciones de distancias relativas (mediante la sincronización del eco del radar) y mediciones de velocidad relativa (mediante la medición del efecto Doppler del eco del radar) utilizando radiotelescopios . Sin embargo, la intensidad de la señal devuelta por el radar disminuye rápidamente, como la cuarta potencia inversa del alcance hasta el objeto. Esto generalmente limita las observaciones por radar a objetos relativamente cercanos a la Tierra, como satélites artificiales y objetos cercanos a la Tierra . Las aperturas más grandes permiten el seguimiento de transpondedores en naves espaciales interplanetarias en todo el sistema solar y la astronomía por radar de cuerpos naturales.

Varias agencias espaciales y proveedores comerciales operan redes de seguimiento para proporcionar estas observaciones. Consulte la Categoría:Redes del espacio profundo para obtener una lista parcial. También se realiza regularmente el seguimiento de satélites desde el espacio. Consulte la Lista de radiotelescopios# Redes espaciales y desde el espacio .

Métodos

Para determinar la órbita se debe tener en cuenta que el movimiento celeste aparente del cuerpo está influenciado por el propio movimiento del observador. Por ejemplo, un observador en la Tierra que sigue un asteroide debe tener en cuenta el movimiento de la Tierra alrededor del Sol , la rotación de la Tierra y la latitud y longitud locales del observador, ya que estos afectan la posición aparente del cuerpo.

Una observación clave es que (en una aproximación cercana) todos los objetos se mueven en órbitas que son secciones cónicas , con el cuerpo que los atrae (como el Sol o la Tierra) en el foco principal , y que la órbita se encuentra en un plano fijo. Los vectores dibujados desde el cuerpo que atrae hasta el cuerpo en diferentes puntos del tiempo se encontrarán todos en el plano orbital .

Si se dispone de la posición y la velocidad relativas al observador (como es el caso de las observaciones por radar), estos datos de observación se pueden ajustar en función de la posición y la velocidad conocidas del observador en relación con el cuerpo que lo atrae en el momento de la observación. Esto da como resultado la posición y la velocidad con respecto al cuerpo que lo atrae. Si se dispone de dos observaciones de este tipo, junto con la diferencia de tiempo entre ellas, se puede determinar la órbita utilizando el método de Lambert, inventado en el siglo XVIII. Véase el problema de Lambert para obtener más detalles.

Incluso si no se dispone de información sobre la distancia, se puede determinar una órbita si se han realizado tres o más observaciones de la ascensión recta y la declinación del cuerpo. El método de Gauss , que se hizo famoso en su "recuperación" de 1801 del primer planeta menor perdido , Ceres , se ha perfeccionado posteriormente.

Una de las aplicaciones es la determinación de las masas de asteroides mediante el método dinámico . En este procedimiento, el método de Gauss se utiliza dos veces, antes y después de una interacción cercana entre dos asteroides. Una vez que se han determinado ambas órbitas, se puede calcular la masa de uno o ambos asteroides. ^{[ cita requerida ]}

Determinación de la órbita a partir de un vector de estado

La tarea básica de determinación de la órbita es determinar los elementos orbitales clásicos o elementos keplerianos , , a partir de los vectores de estado orbital [ ], de un cuerpo en órbita con respecto al marco de referencia de su cuerpo central. Los cuerpos centrales son las fuentes de las fuerzas gravitacionales, como el Sol, la Tierra, la Luna y otros planetas. Los cuerpos en órbita, por otro lado, incluyen planetas alrededor del Sol, satélites artificiales alrededor de la Tierra y naves espaciales alrededor de planetas. Las leyes de movimiento de Newton explicarán la trayectoria de un cuerpo en órbita, conocida como órbita kepleriana . $a,e,i,\Omega,\omega,\nu$ ${\vec {r}},{\vec {v}}$

Los pasos para la determinación de la órbita a partir de un vector de estado se resumen de la siguiente manera:

Calcular el momento angular específico del cuerpo en órbita a partir de su vector de estado: donde es el vector unitario del eje z del plano orbital. El momento angular específico es un vector constante para un cuerpo en órbita, con su dirección perpendicular al plano orbital del cuerpo en órbita. ${\vec {h}}$ ${\vec {h}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}=\left|{\vec {h}}\right|{\vec {k}}=h {\vec {k}},$ ${\vec {k}}$
Calcular el vector del nodo ascendente a partir de , con representando el vector unitario del eje Z del plano de referencia, que es perpendicular al plano de referencia del cuerpo central: El vector del nodo ascendente es un vector que apunta desde el cuerpo central al nodo ascendente del plano orbital del cuerpo en órbita. Dado que la línea del nodo ascendente es la línea de intersección entre el plano orbital y el plano de referencia, es perpendicular tanto a los vectores normales del plano de referencia ( ) como al plano orbital ( o ). Por lo tanto, el vector del nodo ascendente puede definirse por el producto vectorial de estos dos vectores. ${\vec {n}}$ ${\vec {h}}$ ${\vec {K}}$ ${\vec {n}}={\vec {K}}\times {\vec {h}}.$ ${\vec {K}}$ ${\vec {k}}$ ${\vec {h}}$
Calcular el vector de excentricidad de la órbita. El vector de excentricidad tiene la magnitud de la excentricidad , , de la órbita, y apunta a la dirección del periapsis de la órbita. Esta dirección se define a menudo como el eje x del plano orbital y tiene un vector unitario . Según la ley del movimiento, se puede expresar como: donde es el parámetro gravitacional estándar para el cuerpo central de masa , y es la constante gravitacional universal . ${\vec {e}}$ ${\estilo de visualización e}$ ${\vec {i}}$ ${\begin{aligned}{\vec {e}}&={{\vec {v}}\times {\vec {h}} \over {\mu }}-{{\vec {r} } \over {\left|{\vec {r}}\right|}}=e{\vec {i}}\\&=\left({{\left|{\vec {v}}\right| }^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{{\vec {r }}\cdot {\vec {v}} \over {\mu }}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{\mu }}\left[\left({{\left |{\vec {v}}\right|}^{2}}-{\mu \over {\izquierda|{\vec {r}}\derecha|}}\derecha){\vec {r}}-{({\vec {r}}\cdot {\vec {v}})}{\vec {v}}\derecha]\end{alineado}}$ $e=\izquierda|{\vec {e}}\derecha|$ $\mu =GM$ ${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización G}$
Calcular el semieje recto de la órbita y su semieje mayor (si no es una órbita parabólica , donde y no está definido o está definido como infinito): (si ). ${\estilo de visualización p}$ ${\estilo de visualización a}$ $e=1$ ${\estilo de visualización a}$ $p={\frac {h^{2}}{\mu }}=a(1-e^{2})$ $a={\frac {p}{1-e^{2}}},$ $e\neq 1$
Calcular la inclinación del plano orbital con respecto al plano de referencia: donde es la coordenada Z de cuando se proyecta al marco de referencia. ${\estilo de visualización i}$ ${\begin{aligned}\cos(i)&={\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}={\frac {h_{K}}{h}}\\\Rightarrow i&=\arccos \left({\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}\right),&i\in [0,180^{\circ }],\end{aligned}}$ $estilo de visualización h_ {K}}$ ${\vec {h}}$
Calcule la longitud del nodo ascendente , que es el ángulo entre la línea ascendente y el eje X del marco de referencia: donde y son las coordenadas X e Y, respectivamente, de , en el marco de referencia. ${\estilo de visualización\Omega}$ ${\begin{aligned}\cos(\Omega )&={\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}={\frac {n_{I}}{n}}=\cos(360-\Omega )\\\Rightarrow \Omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}\right)=\Omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \Omega &=360^{\circ }-\Omega _{0},{\text{ if }}n_{J}<0,\\\end{aligned}}$ $n_{I}$ $n_{J}$ ${\vec {n}}$
Tenga en cuenta que , pero se define solo en [0,180] grados. Por lo tanto, es ambiguo porque hay dos ángulos, y en [0,360], que tienen el mismo valor. En realidad, podría devolver el ángulo o . Por lo tanto, tenemos que hacer el juicio en función del signo de la coordenada Y del vector en el plano donde se mide el ángulo. En este caso, se puede utilizar para tal juicio. $\cos(A)=\cos(-A)=\cos(360-A)=C$ $\arccos(C)$ $\arccos(C)$ $A$ $360-A$ $\cos$ $A$ $360-A$ $n_{J}$
Calcule el argumento del periapsis , que es el ángulo entre el periapsis y la línea ascendente: donde es la coordenada Z de en el marco de referencia. $\omega$ ${\begin{aligned}\cos(\omega )&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}=\cos(360-\omega )\\\Rightarrow \omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}\right)=\omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \omega &=360^{\circ }-\omega _{0},{\text{ if }}e_{K}<0,\\\end{aligned}}$ $e_{K}$ ${\vec {e}}$
Calcule la anomalía verdadera en la época, que es el ángulo entre el vector de posición y el periapsis en el momento particular ('época') de observación: El signo de se puede utilizar para comprobar el cuadrante de y corregir el ángulo, porque tiene el mismo signo que el ángulo de trayectoria de vuelo . Y, el signo del ángulo de trayectoria de vuelo siempre es positivo cuando , y negativo cuando . ^[1] Ambos están relacionados por y . $\nu$ ${\begin{aligned}\cos(\nu )&={\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}=\cos(360-\nu )\\\Rightarrow \nu &=\arccos \left({\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}\right)=\nu _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \nu &=360^{\circ }-\nu _{0},{\text{ if }}{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}<0.\\\end{aligned}}$ ${\vec {r}}\cdot {\vec {v}}$ $\nu$ $\arccos$ $\phi$ $\nu \in [0,180^{\circ }]$ $\nu \in [180^{\circ },360^{\circ }]$ $h=rv\sin(90-\phi )$ ${\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos(90-\phi )=h\tan(\phi )$
Opcionalmente, podemos calcular el argumento de latitud en la época, que es el ángulo entre el vector de posición y la línea ascendente en el momento particular: donde es la coordenada Z de en el marco de referencia. $u=\omega +\nu$ ${\begin{aligned}\cos(u)&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}=\cos(360-u)\\\Rightarrow u&=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}\right)=u_{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow u&=360^{\circ }-u_{0},{\text{ if }}r_{K}<0,\\\end{aligned}}$ $r_{K}$ ${\vec {r}}$

Referencias

^ ab Bate RR, Mueller DD, White JE. Fundamentos de la astrodinámica. Courier Corporation; 1971. Cap. 2 pág. 51 y siguientes.

Lectura adicional

Curtis, H.; Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería , Capítulo 5; Elsevier (2005) ISBN 0-7506-6169-0 .
Taff, L.; Mecánica celestial , Capítulos 7, 8; Wiley-Interscience (1985) ISBN 0-471-89316-1 .
Bate, Mueller, White; Fundamentos de la astrodinámica , Capítulos 2, 5; Dover (1971) ISBN 0-486-60061-0 .
Madonna, R.; Mecánica orbital , Capítulo 3; Krieger (1997) ISBN 0-89464-010-0 .
Schutz, Tapley, Born; Determinación estadística de la órbita , Academic Press. ISBN 978-0126836301
Determinación de la órbita de un satélite, Coastal Bend College, Texas