Mecánica de contacto por fricción

Estudio de la deformación de los cuerpos en presencia de efectos de fricción.

La mecánica de contacto es el estudio de la deformación de los sólidos que entran en contacto entre sí en uno o más puntos. ^{[1] [2]} Esta se puede dividir en fuerzas de compresión y adhesión en la dirección perpendicular a la interfaz, y fuerzas de fricción en la dirección tangencial. La mecánica de contacto por fricción es el estudio de la deformación de los cuerpos en presencia de efectos de fricción, mientras que la mecánica de contacto sin fricción supone la ausencia de tales efectos.

La mecánica del contacto por fricción se ocupa de una amplia gama de escalas diferentes.

• A escala macroscópica, se aplica para la investigación del movimiento de cuerpos en contacto (véase Dinámica de contacto ). Por ejemplo, el rebote de una pelota de goma sobre una superficie depende de la interacción de fricción en la interfaz de contacto. Aquí, la fuerza total versus la indentación y el desplazamiento lateral son de principal interés.
• En la escala intermedia, se estudian las tensiones , deformaciones y tensiones locales de los cuerpos en contacto en el área de contacto y cerca de ella. Por ejemplo, para derivar o validar modelos de contacto a escala macroscópica, o para investigar el desgaste y el daño de las superficies de los cuerpos en contacto. Las áreas de aplicación de esta escala son la interacción entre neumáticos y pavimento, la interacción entre ruedas y rieles de ferrocarril, el análisis de cojinetes de rodillos, etc.
• Finalmente, a escala microscópica y nanométrica, la mecánica de contacto se utiliza para aumentar nuestra comprensión de los sistemas tribológicos (por ejemplo, investigar el origen de la fricción ) y para la ingeniería de dispositivos avanzados como microscopios de fuerza atómica y dispositivos MEMS .

Esta página se ocupa principalmente de la segunda escala: obtener información básica sobre las tensiones y deformaciones en y cerca de la zona de contacto, sin prestar demasiada atención a los mecanismos detallados por los cuales se producen.

Historia

Varios científicos, ingenieros y matemáticos famosos contribuyeron a nuestra comprensión de la fricción. ^[3] Entre ellos se incluyen Leonardo da Vinci , Guillaume Amontons , John Theophilus Desaguliers , Leonhard Euler y Charles-Augustin de Coulomb . Más tarde, Nikolai Pavlovich Petrov , Osborne Reynolds y Richard Stribeck complementaron esta comprensión con teorías de lubricación .

La deformación de los materiales sólidos fue investigada en los siglos XVII y XVIII por Robert Hooke y Joseph Louis Lagrange , y en los siglos XIX y XX por d'Alembert y Timoshenko . Con respecto a la mecánica de contacto, se destaca la contribución clásica de Heinrich Hertz ^{[4] . Además, las} soluciones fundamentales de Boussinesq y Cerruti son de importancia primordial para la investigación de los problemas de contacto por fricción en el régimen (linealmente) elástico .

En aplicaciones ferroviarias se desea conocer la relación entre la fuga (diferencia de velocidad) y la fuerza de fricción . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle F_{w}}$

Los resultados clásicos para un verdadero problema de contacto por fricción se refieren a los artículos de FW Carter (1926) y H. Fromm (1927). Presentaron de forma independiente la relación de fuerza de fluencia versus fluencia para un cilindro en un plano o para dos cilindros en contacto rodante constante utilizando la ley de fricción seca de Coulomb (véase más abajo). ^[5] Estos se aplican a la tracción de locomotoras ferroviarias y para comprender la oscilación de vaivén de los vehículos ferroviarios. Con respecto al deslizamiento, las soluciones clásicas se deben a C. Cattaneo (1938) y RD Mindlin (1949), quienes consideraron el desplazamiento tangencial de una esfera en un plano (véase más abajo). ^[1]

En la década de 1950, el interés por el contacto rodante de las ruedas de los ferrocarriles aumentó. En 1958, Kenneth L. Johnson presentó un enfoque aproximado para el problema de fricción 3D con geometría hertziana, con deslizamiento lateral o de espín. Entre otras cosas, descubrió que el deslizamiento de espín, que es simétrico respecto del centro de la zona de contacto, genera una fuerza lateral neta en condiciones de rodadura. Esto se debe a las diferencias de adelante hacia atrás en la distribución de las tracciones en la zona de contacto.

En 1967, Joost Jacques Kalker publicó su tesis doctoral sobre la teoría lineal del contacto rodante. ^[6] Esta teoría es exacta para la situación de un coeficiente de fricción infinito en cuyo caso el área de deslizamiento se desvanece, y es aproximada para las fugas que no se desvanecen. Supone la ley de fricción de Coulomb, que requiere más o menos superficies (escrupulosamente) limpias. Esta teoría es para cuerpos masivos como el contacto rueda-riel del ferrocarril. Con respecto a la interacción carretera-neumático, una contribución importante se refiere a la llamada fórmula mágica del neumático de Hans Pacejka . ^[7]

En la década de 1970 se idearon muchos modelos numéricos, en particular enfoques variacionales , como los que se basaban en las teorías de existencia y unicidad de Duvaut y Lion. Con el tiempo, estos se convirtieron en enfoques de elementos finitos para problemas de contacto con modelos y geometrías de materiales generales, y en enfoques basados ​​en semiespacios para los llamados problemas de contacto de bordes suaves para materiales elásticos lineales. Los modelos de la primera categoría fueron presentados por Laursen ^[8] y por Wriggers ^[9] . Un ejemplo de la última categoría es el modelo CONTACT de Kalker ^{[10] .}

Un inconveniente de los enfoques variacionales bien fundamentados es que requieren tiempos de cálculo largos. Por ello, también se idearon muchos enfoques aproximados diferentes. Varias teorías aproximadas conocidas para el problema del contacto rodante son el enfoque FASTSIM de Kalker, la fórmula de Shen-Hedrick-Elkins y el enfoque de Polach.

En el artículo de Knothe se proporciona más información sobre la historia del problema del contacto rueda/carril. ^[5] Además, Johnson recopiló en su libro una enorme cantidad de información sobre mecánica de contacto y temas relacionados. ^[1] Con respecto a la mecánica de contacto rodante, Kalker también presenta una descripción general de varias teorías. ^[10] Finalmente, son de interés las actas de un curso CISM, que brindan una introducción a aspectos más avanzados de la teoría del contacto rodante. ^[11]

Formulación del problema

En el análisis de los problemas de contacto por fricción es fundamental comprender que las tensiones en la superficie de cada cuerpo varían espacialmente. En consecuencia, las tensiones y deformaciones de los cuerpos también varían con la posición. Y el movimiento de las partículas de los cuerpos en contacto puede ser diferente en diferentes lugares: en una parte de la zona de contacto, las partículas de los cuerpos opuestos pueden adherirse (pegarse) entre sí, mientras que en otras partes de la zona de contacto se produce un movimiento relativo. Este deslizamiento relativo local se denomina microdeslizamiento .

Esta subdivisión del área de contacto en áreas de adherencia y de deslizamiento se manifiesta, entre otras cosas, en el desgaste por fricción . Nótese que el desgaste se produce solo donde se disipa la potencia , lo que requiere tensión y desplazamiento relativo local (deslizamiento) entre las dos superficies.

El tamaño y la forma de la superficie de contacto y de sus zonas de adhesión y deslizamiento son generalmente desconocidos de antemano. Si se conocieran, los campos elásticos en los dos cuerpos podrían resolverse independientemente uno del otro y el problema ya no sería un problema de contacto.

En un problema de contacto se pueden distinguir tres componentes diferentes.

1. En primer lugar, está la deformación de los cuerpos separados en reacción a las cargas aplicadas sobre sus superficies. Este es el tema de la mecánica general de medios continuos . Depende en gran medida de la geometría de los cuerpos y de su comportamiento material ( constitutivo ) (por ejemplo, respuesta elástica frente a respuesta plástica , estructura homogénea frente a estructura estratificada, etc.).
2. En segundo lugar, está el movimiento general de los cuerpos entre sí. Por ejemplo, los cuerpos pueden estar en reposo (estática) o aproximándose rápidamente ( impacto ), y pueden desplazarse (deslizarse) o rotar ( rodar ) uno sobre el otro. Estos movimientos generales se estudian generalmente en la mecánica clásica , véase por ejemplo la dinámica de cuerpos múltiples .
3. Por último, están los procesos en la interfaz de contacto : compresión y adhesión en la dirección perpendicular a la interfaz, y fricción y microdeslizamiento en las direcciones tangenciales .

El último aspecto es el que más preocupa a la mecánica de contacto. Se describe en términos de las llamadas condiciones de contacto . Para la dirección perpendicular a la interfaz, el problema de contacto normal, los efectos de adhesión suelen ser pequeños (a escalas espaciales mayores) y se emplean normalmente las siguientes condiciones:

1. La distancia entre las dos superficies debe ser cero (contacto) o estrictamente positiva (separación, ); ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle e_{n}>0}$
2. La tensión normal que actúa sobre cada cuerpo es cero (separación) o de compresión ( en contacto). ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}>0}$

Matemáticamente: Aquí hay funciones que varían con la posición a lo largo de las superficies de los cuerpos. ${\displaystyle e_{n}\geq 0,p_{n}\geq 0,e_{n}\cdot p_{n}=0\,\!}$ ${\displaystyle e_{n},p_{n}}$

En las direcciones tangenciales se utilizan a menudo las siguientes condiciones:

1. La tensión cortante local (tangencial) (asumiendo la dirección normal paralela al eje ) no puede exceder un cierto máximo dependiente de la posición, el llamado límite de tracción ; ${\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y})^{\mathsf {T}}\,\!}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle g}$
2. Cuando la magnitud de la tracción tangencial cae por debajo del límite de tracción , las superficies opuestas se adhieren entre sí y el microdeslizamiento desaparece ; ${\displaystyle \|{\vec {p}}\|<g\,\!}$ ${\displaystyle {\vec {s}}=(s_{x},s_{y})^{\mathsf {T}}={\vec {0}}\,\!}$
3. El microdeslizamiento ocurre cuando las tracciones tangenciales están en el límite de tracción; la dirección de la tracción tangencial es entonces opuesta a la dirección del microdeslizamiento . ${\displaystyle {\vec {p}}=-g{\vec {s}}/\|{\vec {s}}\|\,\!}$

La forma precisa del límite de tracción es la llamada ley de fricción local. Para ello, la ley de fricción (global) de Coulomb se suele aplicar localmente: , con el coeficiente de fricción. También son posibles fórmulas más detalladas, por ejemplo con en función de la temperatura , la velocidad de deslizamiento local , etc. ${\displaystyle \|{\vec {p}}\|\leq g=\mu p_{n}\,\!}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \|{\vec {s}}\|}$

Soluciones para casos estáticos

Cuerda en un bolardo, la ecuación del cabrestante

Ilustración de una cuerda elástica enrollada alrededor de un elemento fijo, como un bolardo. El área de contacto se divide en zonas de adherencia y deslizamiento, según las cargas ejercidas en ambos extremos y el historial de carga.

Considere una cuerda donde se ejercen fuerzas iguales (p. ej., ) en ambos lados. Con esto, la cuerda se estira un poco y se induce una tensión interna ( en cada posición a lo largo de la cuerda). La cuerda se enrolla alrededor de un elemento fijo, como un bolardo ; se dobla y hace contacto con la superficie del elemento en un ángulo de contacto (p. ej., ). Se genera una presión normal entre la cuerda y el bolardo, pero aún no se produce fricción. A continuación, la fuerza en un lado del bolardo aumenta a un valor más alto (p. ej., ). Esto provoca tensiones cortantes por fricción en el área de contacto. En la situación final, el bolardo ejerce una fuerza de fricción sobre la cuerda de modo que se produce una situación estática. ${\displaystyle F_{\text{hold}}=400\,\mathrm {N} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=400\,\mathrm {N} }$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$ ${\displaystyle F_{\text{load}}=600\,\mathrm {N} }$

La distribución de tensión en la cuerda en esta situación final se describe mediante la ecuación del cabrestante , con solución:

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\phi )&=T_{\text{hold}},&\phi &\in \left[\phi _{\text{hold}},\phi _{\text{intf}}\right]\\T(\phi )&=T_{\text{load}}e^{-\mu \phi },&\phi &\in \left[\phi _{\text{intf}},\phi _{\text{load}}\right]\\\phi _{\text{intf}}&={\frac {1}{\mu }}\log \left({\frac {T_{\text{load}}}{T_{\text{hold}}}}\right)&\end{aligned}}}$

La tensión aumenta desde el lado flojo ( ) hasta el lado alto . Cuando se observa desde el lado alto, la tensión cae exponencialmente, hasta que alcanza la carga inferior en . A partir de allí, se mantiene constante en este valor. El punto de transición está determinado por la relación de las dos cargas y el coeficiente de fricción. Aquí las tensiones están en Newtons y los ángulos en radianes. ${\displaystyle T_{\text{hold}}}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{\text{hold}}}$ ${\displaystyle T_{\text{load}}}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{\text{load}}}$ ${\displaystyle \phi =\phi _{\text{intf}}}$ ${\displaystyle \phi _{\text{intf}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi }$

La tensión en la cuerda en la situación final aumenta con respecto al estado inicial. Por lo tanto, la cuerda se alarga un poco. Esto significa que no todas las partículas de la superficie de la cuerda pueden haber mantenido su posición inicial en la superficie del bolardo. Durante el proceso de carga, la cuerda se deslizó un poco a lo largo de la superficie del bolardo en el área de deslizamiento . Este deslizamiento es lo suficientemente grande como para llegar al alargamiento que se produce en el estado final. Tenga en cuenta que no hay deslizamiento en el estado final; el término área de deslizamiento se refiere al deslizamiento que se produjo durante el proceso de carga. Tenga en cuenta además que la ubicación del área de deslizamiento depende del estado inicial y del proceso de carga. Si la tensión inicial es y la tensión se reduce a en el lado flojo, entonces el área de deslizamiento se produce en el lado flojo del área de contacto. Para tensiones iniciales entre y , puede haber áreas de deslizamiento en ambos lados con un área de adherencia en el medio. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi \in [\phi _{\text{intf}},\phi _{\text{load}}]}$ ${\displaystyle 600\,\mathrm {N} }$ ${\displaystyle 400\,\mathrm {N} }$ ${\displaystyle 400}$ ${\displaystyle 600\,\mathrm {N} }$

Generalización para una cuerda que se encuentra sobre una superficie ortotrópica arbitraria

Si una cuerda se encuentra en equilibrio bajo fuerzas tangenciales sobre una superficie ortotrópica rugosa, entonces se cumplen las tres condiciones siguientes (todas ellas):

1. Sin separación: la reacción normal es positiva para todos los puntos de la curva de la cuerda: ${\displaystyle N}$

   ${\displaystyle N=-k_{n}T>0}$, donde es una curvatura normal de la curva de la cuerda. ${\displaystyle k_{n}}$

2. El coeficiente de fricción y el ángulo de arrastre satisfacen los siguientes criterios para todos los puntos de la curva ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle \alpha }$
   ${\displaystyle -\mu _{g}<\tan \alpha <+\mu _{g}}$
3. Valores límite de las fuerzas tangenciales:

   Las fuerzas en ambos extremos de la cuerda y satisfacen la siguiente desigualdad ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{0}}$

   ${\displaystyle T_{0}e^{-\int _{s}\omega \mathrm {d} s}\leq T\leq T_{0}e^{\int _{s}\omega \mathrm {d} s}}$

   con , ${\displaystyle \omega =\mu _{\tau }{\sqrt {k_{n}^{2}-{\frac {k_{g}^{2}}{\mu _{g}^{2}}}}}=\mu _{\tau }k{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}}}$

   donde es una curvatura geodésica de la curva de la cuerda, es una curvatura de una curva de la cuerda, es un coeficiente de fricción en la dirección tangencial. ${\displaystyle k_{g}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu _{\tau }}$

   Si es constante entonces . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T_{0}e^{-\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}}}\leq T\leq T_{0}e^{\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}}}}$

Esta generalización fue obtenida por Konyukhov A., ^{[12] [13]}

Esfera en un plano, el problema de Cattaneo (3D)

Consideremos una esfera que se presiona sobre un plano (la mitad del espacio) y luego se desplaza sobre la superficie del plano. Si la esfera y el plano se idealizan como cuerpos rígidos, entonces el contacto se produciría en un solo punto y la esfera no se movería hasta que la fuerza tangencial que se aplica alcance la fuerza de fricción máxima. Luego comienza a deslizarse sobre la superficie hasta que la fuerza aplicada se reduce nuevamente.

En realidad, si se tienen en cuenta los efectos elásticos, la situación es muy diferente. Si se presiona una esfera elástica sobre un plano elástico del mismo material, ambos cuerpos se deforman, se crea un área de contacto circular y surge una distribución de presión normal (hertziana). El centro de la esfera se desplaza hacia abajo una distancia denominada aproximación , que es equivalente a la penetración máxima de las superficies no deformadas. Para una esfera de radio y constantes elásticas, esta solución hertziana se lee: ${\displaystyle \delta _{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E,\nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}(x,y)&=p_{0}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}}&r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq a&a&={\sqrt {R\delta _{n}}}\\p_{0}&={\frac {2}{\pi }}E^{*}{\sqrt {\frac {\delta _{n}}{R}}}&F_{n}&={\frac {4}{3}}E^{*}{\sqrt {R}}\delta _{n}^{\frac {3}{2}}&E^{*}&={\frac {E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}\end{aligned}}}$

Ahora, supongamos que se aplica una fuerza tangencial que es menor que el límite de fricción de Coulomb . El centro de la esfera se moverá entonces lateralmente una pequeña distancia que se denomina desplazamiento . Se obtiene un equilibrio estático en el que se producen deformaciones elásticas, así como tensiones cortantes por fricción en la interfaz de contacto. En este caso, si se reduce la fuerza tangencial, las deformaciones elásticas y las tensiones cortantes también se reducen. La esfera se desplaza en gran medida de nuevo a su posición original, a excepción de las pérdidas por fricción que surgen debido al deslizamiento local en la zona de contacto. ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle \mu F_{n}}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$

Este problema de contacto fue resuelto aproximadamente por Cattaneo utilizando un enfoque analítico. La distribución de tensiones en el estado de equilibrio consta de dos partes:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}(x,y)&=\mu p_{0}\left({\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}}-{\frac {c}{a}}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}}}\right)&0\leq {}&r\leq c\\p_{x}(x,y)&=\mu p_{n}(x,y)&c\leq {}&r\leq a\\p_{x}(x,y)&=0&a\leq {}&r\end{aligned}}}$

En la región central, que se adhiere , las partículas superficiales del plano se desplazan hacia la derecha, mientras que las partículas superficiales de la esfera se desplazan hacia la izquierda. Aunque la esfera en su conjunto se mueve con respecto al plano, estas partículas superficiales no se mueven entre sí. En el anillo exterior , las partículas superficiales sí se mueven entre sí. Su desplazamiento local se obtiene como ${\displaystyle 0\leq r\leq c}$ ${\displaystyle u_{x}=\delta _{x}/2}$ ${\displaystyle u_{x}=-\delta _{x}/2}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle c\leq r\leq a}$

${\displaystyle s_{x}(x,y)=\delta _{x}+u_{x}^{\text{sphere}}(x,y)-u_{x}^{\text{plane}}(x,y)}$

Este desplazamiento es tan grande que se obtiene un equilibrio estático con tensiones cortantes en el límite de tracción en esta denominada zona de deslizamiento. ${\displaystyle s_{x}(x,y)}$

Así, durante la carga tangencial de la esfera, se produce un deslizamiento parcial . La zona de contacto se divide en una zona de deslizamiento, en la que las superficies se mueven unas respecto de otras, y una zona de adherencia, en la que no se mueven. En el estado de equilibrio, ya no se produce deslizamiento.

Soluciones para problemas de deslizamiento dinámico

La solución de un problema de contacto consiste en el estado en la interfaz (donde se encuentra el contacto, la división del área de contacto en zonas de adherencia y deslizamiento, y las distribuciones de tensión normal y de corte) más el campo elástico en el interior de los cuerpos. Esta solución depende de la historia del contacto. Esto se puede ver por extensión del problema de Cattaneo descrito anteriormente.

• En el problema de Cattaneo, primero se presiona la esfera sobre el plano y luego se desplaza tangencialmente. Esto produce un deslizamiento parcial, como se describió anteriormente.
• Si la esfera se desplaza primero tangencialmente y luego se presiona sobre el plano, entonces no hay diferencia de desplazamiento tangencial entre las superficies opuestas y, en consecuencia, no hay tensión tangencial en la interfaz de contacto.
• Si se incrementan simultáneamente la aproximación en dirección normal y el desplazamiento tangencial ("compresión oblicua") se puede lograr una situación con tensión tangencial pero sin deslizamiento local. ^[2]

Esto demuestra que el estado en la interfaz de contacto no sólo depende de las posiciones relativas de los dos cuerpos, sino también de su historial de movimiento. Otro ejemplo de esto ocurre si la esfera se desplaza de nuevo a su posición original. Inicialmente no había tensión tangencial en la interfaz de contacto. Después del desplazamiento inicial se ha producido un microdeslizamiento. Este microdeslizamiento no se deshace por completo al volver a desplazarse. Por tanto, en la situación final, las tensiones tangenciales permanecen en la interfaz, en lo que parece una configuración idéntica a la original.

La influencia de la fricción en los contactos dinámicos (impactos) se analiza en detalle en ^{[14] .}

Solución de problemas de contacto rodante

Contacto rodante entre un cilindro y un plano. Las partículas se desplazan a través de la zona de contacto de derecha a izquierda, sometiéndose a una tensión cada vez mayor hasta que se produce un deslizamiento local.

Los problemas de contacto rodante son problemas dinámicos en los que los cuerpos en contacto se mueven continuamente entre sí. Una diferencia con los problemas de contacto deslizante dinámico es que hay más variedad en el estado de las diferentes partículas de la superficie. Mientras que la zona de contacto en un problema deslizante consta continuamente de más o menos las mismas partículas, en un problema de contacto rodante las partículas entran y salen de la zona de contacto incesantemente. Además, en un problema deslizante, las partículas de la superficie en la zona de contacto están todas sujetas a más o menos el mismo desplazamiento tangencial en todas partes, mientras que en un problema rodante las partículas de la superficie están sometidas a tensiones de formas bastante diferentes. Están libres de tensión al entrar en la zona de contacto, luego se adhieren a una partícula de la superficie opuesta, se tensan por la diferencia de movimiento general entre los dos cuerpos, hasta que se excede el límite de tracción local y se establece el deslizamiento local. Este proceso se desarrolla en diferentes etapas para diferentes partes del área de contacto.

Si el movimiento general de los cuerpos es constante, se puede alcanzar un estado estable general. En este caso, el estado de cada partícula de la superficie varía con el tiempo, pero la distribución general puede ser constante. Esto se formaliza mediante el uso de un sistema de coordenadas que se mueve junto con la zona de contacto.

Cilindro rodando sobre un plano, solución de Carter-Fromm (2D)

Consideremos un cilindro que rueda sobre un plano (semiespacio) en condiciones estables, con una fuga longitudinal independiente del tiempo . (Relativamente) lejos de los extremos de los cilindros se produce una situación de deformación plana y el problema es bidimensional. ${\displaystyle \xi }$

Si el cilindro y el plano están hechos de los mismos materiales, el problema de contacto normal no se ve afectado por la tensión de corte. El área de contacto es una tira y la presión se describe mediante la solución de Hertz (2D). ${\displaystyle x\in [-a,a]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}(x)&={\frac {p_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}&|x|&\leq a&a^{2}&={\frac {4F_{n}R}{\pi E^{*}}}\\p_{0}&={\frac {2F_{n}}{\pi a}}&&&E^{*}&={\frac {E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}&\end{aligned}}}$

La distribución de la tensión de corte se describe mediante la solución de Carter-Fromm. Consiste en un área de adhesión en el borde de entrada del área de contacto y un área de deslizamiento en el borde de salida. La longitud del área de adhesión se denota por . Además, la coordenada de adhesión se introduce por . En el caso de una fuerza positiva (fuga negativa ) es: ${\displaystyle 2a'}$ ${\displaystyle x'=x+a-a'}$ ${\displaystyle F_{x}>0}$ ${\displaystyle \xi <0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}(x)&=0&|&x|\geq a\\p_{x}(x)&={\frac {\mu p_{0}}{a}}\left({\sqrt {a^{2}-x^{2}}}-{\sqrt {a'^{2}-x'^{2}}}\right)&a-2a'\leq {}&x\leq a\\p_{x}(x)&=\mu p_{n}(x)&&x\leq a-2a'\end{aligned}}}$

El tamaño del área de adherencia depende de la distancia de fuga, del radio de la rueda y del coeficiente de fricción.

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=a{\sqrt {1-{\frac {|F_{x}|}{\mu F_{n}}}}},&{\mbox{for }}|F_{x}|\leq \mu F_{n}\\\xi &=-\operatorname {sign} (F_{x})\,{\frac {\mu (a-a')}{R}},&{\mbox{i.e. }}|\xi |\leq {\frac {\mu a}{R}}\\F_{x}&=-\operatorname {sign} (\xi )\,\mu F_{n}\left(1-\left(1+{\frac {R|\xi |}{\mu a}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}$

Para distancias de fuga mayores, de modo que se produzca un deslizamiento completo. ${\displaystyle a'=0}$

Enfoques basados ​​en el semiespacio

Al considerar los problemas de contacto en las escalas espaciales intermedias, se ignoran las inhomogeneidades de los materiales y la rugosidad de la superficie a pequeña escala. Se considera que los cuerpos están formados por superficies lisas y materiales homogéneos. Se adopta un enfoque continuo en el que las tensiones, deformaciones y desplazamientos se describen mediante funciones continuas (por partes).

El enfoque de medio espacio es una estrategia de solución elegante para los llamados problemas de contacto de "bordes suaves" o "concentrados".

1. Si un cuerpo elástico masivo se carga en una pequeña sección de su superficie, entonces las tensiones elásticas se atenúan proporcionalmente a y los desplazamientos elásticos se reducen cuando uno se aleja de esta área de superficie. ${\displaystyle 1/distance^{2}}$ ${\displaystyle 1/distance}$
2. Si un cuerpo no tiene esquinas agudas en o cerca de la región de contacto, entonces su respuesta a una carga superficial puede aproximarse bien mediante la respuesta de un semiespacio elástico (por ejemplo, todos los puntos con ). ${\displaystyle (x,y,z)^{\mathsf {T}}\in \mathbb {R} ^{3}\,\!}$ ${\displaystyle z>0\,\!}$
3. El problema del semiespacio elástico se resuelve analíticamente, véase la solución de Boussinesq-Cerruti .
4. Debido a la linealidad de este enfoque, se pueden superponer múltiples soluciones parciales.

Utilizando la solución fundamental para el semiespacio, el problema de contacto 3D completo se reduce a un problema 2D para las superficies delimitadoras de los cuerpos.

Una simplificación adicional ocurre si los dos cuerpos son “geométrica y elásticamente iguales”. En general, la tensión dentro de un cuerpo en una dirección induce también desplazamientos en direcciones perpendiculares. En consecuencia, existe una interacción entre la tensión normal y los desplazamientos tangenciales en el problema de contacto, y una interacción entre la tensión tangencial y los desplazamientos normales. Pero si la tensión normal en la interfaz de contacto induce los mismos desplazamientos tangenciales en ambos cuerpos en contacto, entonces no hay desplazamiento tangencial relativo de las dos superficies. En ese caso, los problemas de contacto normal y tangencial están desacoplados. Si este es el caso, entonces los dos cuerpos se denominan cuasi-idénticos . Esto sucede, por ejemplo, si los cuerpos son simétricos en espejo con respecto al plano de contacto y tienen las mismas constantes elásticas.

Las soluciones clásicas basadas en el enfoque del semiespacio son:

1. Hertz resolvió el problema del contacto en ausencia de fricción, para una geometría simple (superficies curvas con radios de curvatura constantes).
2. Carter consideró el contacto rodante entre un cilindro y un plano, como se describió anteriormente. Se proporciona una solución analítica completa para la tracción tangencial.
3. Cattaneo consideró la compresión y el desplazamiento de dos esferas, como se describió anteriormente. Nótese que esta solución analítica es aproximada. En realidad, se producen pequeñas tracciones tangenciales que se ignoran. ${\displaystyle p_{y}}$

Véase también

• Ferrocarril de adherencia  : ferrocarril que depende de la adherencia para mover los trenes.
• Cojinete  : mecanismo para limitar el movimiento relativo al movimiento deseado y reducir las fricciones.
• Mecánica de contacto  – Estudio de la deformación de los sólidos que entran en contacto entre sí.
• Elasticidad (lineal)  : propiedad física que se produce cuando los materiales u objetos vuelven a su forma original después de una deformación.
• Cemento modificado energéticamente  – Clase de cementos, procesados ​​mecánicamente para transformar la reactividad
• Fricción  : Fuerza que resiste el movimiento deslizante
• Transmisión por fricción  : transmisión de potencia mecánica por fricción entre componentes.
• Lubricación  : La presencia de un material para reducir la fricción entre dos superficies.
• Metalurgia  – Campo de la ciencia que estudia el comportamiento físico y químico de los metales.
• Sistema multicuerpo  : herramienta para estudiar el comportamiento dinámico de cuerpos rígidos o flexibles interconectados
• Plasticidad  : Deformación no reversible de un material sólido en respuesta a fuerzas aplicadas.
• Laminación (metalurgia)  – Proceso de conformado de metales
• Mecánica de sólidos  : rama de la mecánica que se ocupa de los materiales sólidos y sus comportamientos.
• CVT toroidal o de rodillos (Extroid CVT)  : tecnología de transmisión automotriz
• Tribología  – Ciencia e ingeniería de superficies que interactúan en movimiento relativo
• Dinámica del vehículo  : el estudio del movimiento del vehículo y cómo cambia.
• Desgaste  : daño, eliminación gradual o deformación del material en superficies sólidas.

Referencias

1. Johnson, KL (1985). Mecánica de contacto . Cambridge: Cambridge University Press.
2. Popov, VL (2010). Mecánica de contacto y fricción. Principios físicos y aplicaciones . Berlín: Springer-Verlag.
3. "Introducción a la tribología: fricción" . Consultado el 21 de diciembre de 2008 .
4. Hertz, Heinrich (1882). "Contacto entre cuerpos sólidos elásticos". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 92 .
5. Knothe, K. (2008). "Historia de la mecánica de contacto rueda/carril: de Redtenbacher a Kalker". Dinámica de sistemas de vehículos . 46 (1–2): 9–26. doi :10.1080/00423110701586469.
6. Kalker, Joost J. (1967). Sobre el contacto rodante de dos cuerpos elásticos en presencia de fricción seca . Universidad Tecnológica de Delft.
7. Pacejka, Hans (2002). Dinámica de neumáticos y vehículos . Oxford: Butterworth-Heinemann.
8. Laursen, TA, 2002, Mecánica computacional de contacto e impacto, Fundamentos del modelado de fenómenos interfaciales en análisis de elementos finitos no lineales , Springer, Berlín
9. Wriggers, P., 2006, Mecánica de contacto computacional, 2.ª ed. , Springer, Heidelberg
10. Kalker, JJ (1990). Cuerpos elásticos tridimensionales en contacto rodante . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
11. B. Jacobsen y JJ Kalker, ed. (2000). Fenómenos de contacto rodante . Viena, Nueva York: Springer-Verlag.
12. Konyukhov, Alexander (1 de abril de 2015). "Contacto de cuerdas y superficies rugosas ortotrópicas". Revista de Matemática Aplicada y Mecánica . 95 (4): 406–423. Bibcode :2015ZaMM...95..406K. doi : 10.1002/zamm.201300129 . ISSN  1521-4001.
13. Konyukhov A., Izi R. "Introducción a la mecánica de contacto computacional: un enfoque geométrico". Wiley.
14. Willert, Emanuel (2020). Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin: Grundlagen und Anwendungen (en alemán). Springer Vieweg.

Enlaces externos

• [1] ^{[ enlace muerto permanente ]} Biografía del Prof. Dr. Ir. JJ Kalker (Universidad Tecnológica de Delft).
• [2] Software CONTACT hertziano/no hertziano de Kalker.