Teoría de la deformación infinitesimal

Modelo matemático para describir la deformación de un material bajo tensión

En mecánica de medios continuos , la teoría de la deformación infinitesimal es un enfoque matemático para la descripción de la deformación de un cuerpo sólido en el que se supone que los desplazamientos de las partículas materiales son mucho más pequeños (de hecho, infinitesimalmente más pequeños) que cualquier dimensión relevante del cuerpo; de modo que se puede suponer que su geometría y las propiedades constitutivas del material (como la densidad y la rigidez ) en cada punto del espacio no cambian debido a la deformación.

Con esta suposición, las ecuaciones de la mecánica de medios continuos se simplifican considerablemente. Este enfoque también puede denominarse teoría de pequeñas deformaciones , teoría de pequeños desplazamientos o teoría de gradientes de pequeños desplazamientos . Se contrasta con la teoría de deformaciones finitas , en la que se hace la suposición opuesta.

La teoría de la deformación infinitesimal se adopta comúnmente en ingeniería civil y mecánica para el análisis de tensiones de estructuras construidas a partir de materiales elásticos relativamente rígidos como el hormigón y el acero , ya que un objetivo común en el diseño de dichas estructuras es minimizar su deformación bajo cargas típicas . Sin embargo, esta aproximación exige precaución en el caso de cuerpos delgados y flexibles, como varillas, placas y láminas que son susceptibles a rotaciones significativas, lo que hace que los resultados no sean confiables. ^[1]

Tensor de deformación infinitesimal

Para deformaciones infinitesimales de un cuerpo continuo , en el que el tensor de gradiente de desplazamiento (tensor de segundo orden) es pequeño en comparación con la unidad, es decir , es posible realizar una linealización geométrica de cualquiera de los tensores de deformación finitos utilizados en la teoría de deformaciones finitas, por ejemplo, el tensor de deformación finita de Lagrange y el tensor de deformación finita de Euler . En dicha linealización, se descuidan los términos no lineales o de segundo orden del tensor de deformación finita. Por lo tanto, tenemos ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$$o y o $${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}\right)}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} (\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$$ $${\displaystyle e_{rs}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{s}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}\right)}$$

Esta linealización implica que la descripción lagrangiana y la descripción euleriana son aproximadamente iguales, ya que hay poca diferencia en las coordenadas materiales y espaciales de un punto material dado en el continuo. Por lo tanto, los componentes del tensor del gradiente de desplazamiento material y los componentes del tensor del gradiente de desplazamiento espacial son aproximadamente iguales. Por lo tanto, tenemos o donde son los componentes del tensor de deformación infinitesimal , también llamado tensor de deformación de Cauchy , tensor de deformación lineal o tensor de deformación pequeño . $${\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {e} \approx {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left((\nabla \mathbf {u} )^{T}+\nabla \mathbf {u} \right)}$$ $${\displaystyle E_{KL}\approx e_{rs}\approx \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$o utilizando una notación diferente: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}}$$

Además, dado que el gradiente de deformación se puede expresar como donde es el tensor identidad de segundo orden, tenemos ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +{\boldsymbol {I}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {F}}^{T}+{\boldsymbol {F}}\right)-{\boldsymbol {I}}}$$

Además, de la expresión general para los tensores de deformación finitos lagrangianos y eulerianos tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\frac {1}{2m}}[\{{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}+{\boldsymbol {I}}\}^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\\\mathbf {e} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {V} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\end{aligned}}}$$

Derivación geométrica

Figura 1. Deformación geométrica bidimensional de un elemento material infinitesimal.

Consideremos una deformación bidimensional de un elemento material rectangular infinitesimal con dimensiones por (Figura 1), que después de la deformación, toma la forma de un rombo. De la geometría de la Figura 1 tenemos ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Para gradientes de desplazamiento muy pequeños, es decir, , tenemos ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$ $${\displaystyle {\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

La deformación normal en la dirección del elemento rectangular está definida por y sabiendo que , tenemos ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}}$$ ${\displaystyle {\overline {AB}}=dx}$ $${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$

De manera similar, la deformación normal en la dirección y la dirección se convierte en ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

La deformación cortante de ingeniería , o el cambio de ángulo entre dos líneas de material originalmente ortogonales, en este caso la línea y , se define como ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

De la geometría de la Figura 1 tenemos $${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}}$$

Para rotaciones pequeñas, es decir, y tenemos y , nuevamente, para gradientes de desplazamiento pequeños, tenemos por lo tanto Al intercambiar y y y , se puede demostrar que . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \ll 1}$ $${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta }$$ $${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yx}}$

De manera similar, para los planos - y - , tenemos ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

Se puede observar que los componentes de deformación cortante tensorial del tensor de deformación infinitesimal se pueden expresar entonces utilizando la definición de deformación de ingeniería, , como ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

Interpretación física

De la teoría de la deformación finita tenemos $${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Para deformaciones infinitesimales entonces tenemos $${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2\varepsilon _{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Dividiendo por tenemos ${\displaystyle (dX)^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{\frac {dX_{i}}{dX}}{\frac {dX_{j}}{dX}}}$$

Para pequeñas deformaciones suponemos que , por lo que el segundo término del lado izquierdo se convierte en: . ${\displaystyle dx\approx dX}$ ${\displaystyle {\frac {dx+dX}{dX}}\approx 2}$

Entonces tenemos donde , es el vector unitario en la dirección de , y la expresión del lado izquierdo es la deformación normal en la dirección de . Para el caso particular de en la dirección, es decir, , tenemos $${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}=\varepsilon _{ij}N_{i}N_{j}=\mathbf {N} \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {N} }$$ ${\displaystyle N_{i}={\frac {dX_{i}}{dX}}}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{1}}$ $${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}=\mathbf {I} _{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I} _{1}=\varepsilon _{11}.}$$

De manera similar, para y podemos hallar las deformaciones normales y , respectivamente. Por lo tanto, los elementos diagonales del tensor de deformación infinitesimal son las deformaciones normales en las direcciones de coordenadas. ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{3}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{22}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$

Reglas de transformación de la tensión

Si elegimos un sistema de coordenadas ortonormales ( ) podemos escribir el tensor en términos de componentes con respecto a esos vectores base como En forma matricial, Podemos elegir fácilmente utilizar otro sistema de coordenadas ortonormales ( ) en su lugar. En ese caso, los componentes del tensor son diferentes, digamos Los componentes de la deformación en los dos sistemas de coordenadas están relacionados por donde se ha utilizado la convención de suma de Einstein para índices repetidos y . En forma matricial o ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$$ $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\otimes {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\quad \implies \quad {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{13}&{\hat {\varepsilon }}_{23}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{ij}=\ell _{ip}~\ell _{jq}~\varepsilon _{pq}}$$ ${\displaystyle \ell _{ij}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{j}}$ $${\displaystyle {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\underline {\underline {\mathbf {L} }}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}~{\underline {\underline {\mathbf {L} }}}^{T}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{21}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{31}&{\hat {\varepsilon }}_{32}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}^{T}}$$

Invariantes de deformación

Ciertas operaciones sobre el tensor de deformación dan el mismo resultado sin importar qué sistema de coordenadas ortonormal se utilice para representar los componentes de la deformación. Los resultados de estas operaciones se denominan invariantes de deformación . Los invariantes de deformación más utilizados son En términos de componentes $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\\I_{2}&=\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}+\varepsilon _{33}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{12}^{2}-\varepsilon _{23}^{2}-\varepsilon _{31}^{2}\\I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}^{2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}\varepsilon _{31})+\varepsilon _{13}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{32}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{31})\end{aligned}}}$$

Cepas principales

Se puede demostrar que es posible encontrar un sistema de coordenadas ( ) en el que los componentes del tensor de deformación sean Los componentes del tensor de deformación en el sistema de coordenadas ( ) se denominan deformaciones principales y las direcciones se denominan direcciones de deformación principal. Dado que no hay componentes de deformación cortante en este sistema de coordenadas, las deformaciones principales representan los estiramientos máximo y mínimo de un volumen elemental. ${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$ $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\varepsilon _{2}\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\varepsilon _{3}\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$

Si nos dan los componentes del tensor de deformación en un sistema de coordenadas ortonormal arbitrario, podemos encontrar las deformaciones principales utilizando una descomposición en valores propios determinada al resolver el sistema de ecuaciones. Este sistema de ecuaciones es equivalente a encontrar el vector a lo largo del cual el tensor de deformación se convierte en un estiramiento puro sin componente de corte. $${\displaystyle ({\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}-\varepsilon _{i}~{\underline {\underline {\mathbf {I} }}})~\mathbf {n} _{i}={\underline {\mathbf {0} }}}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$

Deformación volumétrica

La deformación volumétrica , también llamada deformación volumétrica , es la variación relativa del volumen, tal como surge de la dilatación o compresión ; es el primer invariante o traza de la deformación del tensor: En realidad, si consideramos un cubo con una longitud de arista a , es un cuasi-cubo después de la deformación (las variaciones de los ángulos no cambian el volumen) con las dimensiones y V ₀ = a ³ , por lo tanto, como consideramos pequeñas deformaciones, de ahí la fórmula. $${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$$ ${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$$ $${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$$

En el caso de cizallamiento puro, podemos ver que no hay cambio en el volumen.

Tensor desviador de deformación

El tensor de deformación infinitesimal , de manera similar al tensor de tensión de Cauchy , se puede expresar como la suma de otros dos tensores: ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$

1. un tensor de deformación media o un tensor de deformación volumétrica o un tensor de deformación esférica , relacionado con la dilatación o el cambio de volumen; y ${\displaystyle \varepsilon _{M}\delta _{ij}}$
2. un componente desviador llamado tensor desviador de deformación , , relacionado con la distorsión. ${\displaystyle \varepsilon '_{ij}}$

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon '_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij}}$$¿Dónde está la deformación media dada por ${\displaystyle \varepsilon _{M}}$ $${\displaystyle \varepsilon _{M}={\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}={\frac {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}{3}}={\tfrac {1}{3}}I_{1}^{e}}$$

El tensor de deformación desviador se puede obtener restando el tensor de deformación media del tensor de deformación infinitesimal: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ \varepsilon '_{ij}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}\delta _{ij}\\{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}&\varepsilon '_{12}&\varepsilon '_{13}\\\varepsilon '_{21}&\varepsilon '_{22}&\varepsilon '_{23}\\\varepsilon '_{31}&\varepsilon '_{32}&\varepsilon '_{33}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\varepsilon _{M}&0&0\\0&\varepsilon _{M}&0\\0&0&\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}-\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Cepas octaédricas

Sean ( ) las direcciones de las tres deformaciones principales. Un plano octaédrico es aquel cuya normal forma ángulos iguales con las tres direcciones principales. La deformación cortante de ingeniería en un plano octaédrico se denomina deformación cortante octaédrica y se expresa mediante donde son las deformaciones principales. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$ $${\displaystyle \gamma _{\mathrm {oct} }={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})^{2}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3})^{2}+(\varepsilon _{3}-\varepsilon _{1})^{2}}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}$

La deformación normal en un plano octaédrico viene dada por ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {oct} }={\tfrac {1}{3}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}$$

Cepa equivalente

Una cantidad escalar llamada deformación equivalente o deformación equivalente de von Mises se utiliza a menudo para describir el estado de deformación en sólidos. Se pueden encontrar varias definiciones de deformación equivalente en la literatura. Una definición que se utiliza habitualmente en la literatura sobre plasticidad es Esta cantidad es el trabajo conjugado con la tensión equivalente definida como $${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }}}~;~~{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {3}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }}}}$$

Ecuaciones de compatibilidad

Para los componentes de deformación prescritos, la ecuación del tensor de deformación representa un sistema de seis ecuaciones diferenciales para la determinación de tres componentes de desplazamiento , lo que da como resultado un sistema sobredeterminado. Por lo tanto, generalmente no existe una solución para una elección arbitraria de componentes de deformación. Por lo tanto, se imponen algunas restricciones, llamadas ecuaciones de compatibilidad , sobre los componentes de deformación. Con la adición de las tres ecuaciones de compatibilidad, el número de ecuaciones independientes se reduce a tres, lo que coincide con el número de componentes de desplazamiento desconocidos. Estas restricciones sobre el tensor de deformación fueron descubiertas por Saint-Venant y se denominan " ecuaciones de compatibilidad de Saint Venant ". ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle u_{i,j}+u_{j,i}=2\varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle u_{i}}$

Las funciones de compatibilidad sirven para asegurar una función de desplazamiento continuo de un solo valor . Si el medio elástico se visualiza como un conjunto de cubos infinitesimales en estado no deformado, después de que el medio se deforma, un tensor de deformación arbitrario puede no producir una situación en la que los cubos distorsionados todavía encajen sin superponerse. ${\displaystyle u_{i}}$

En notación de índice, las ecuaciones de compatibilidad se expresan como $${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0}$$

En notación de ingeniería,

• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$

Casos especiales

Deformación del plano

Estado de deformación plana en un medio continuo.

En componentes de ingeniería reales, la tensión (y la deformación) son tensores 3-D, pero en estructuras prismáticas como un tocho de metal largo, la longitud de la estructura es mucho mayor que las otras dos dimensiones. Las deformaciones asociadas con la longitud, es decir, la deformación normal y las deformaciones cortantes y (si la longitud es la dirección 3) están restringidas por el material cercano y son pequeñas en comparación con las deformaciones de la sección transversal . La deformación plana es entonces una aproximación aceptable. El tensor de deformación para la deformación plana se escribe como: en donde el doble subrayado indica un tensor de segundo orden . Este estado de deformación se llama deformación plana . El tensor de tensión correspondiente es: en donde se necesita un valor distinto de cero para mantener la restricción . Este término de tensión se puede eliminar temporalmente del análisis para dejar solo los términos en el plano, reduciendo efectivamente el problema 3-D a un problema 2-D mucho más simple. ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{13}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{23}}$ $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{33}}$ ${\displaystyle \epsilon _{33}=0}$

Tensión antiplanar

La deformación antiplanar es otro estado especial de deformación que puede ocurrir en un cuerpo, por ejemplo, en una región cercana a una dislocación helicoidal . El tensor de deformación para la deformación antiplanar se da por $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$$

Relación con el tensor de rotación infinitesimal

El tensor de deformación infinitesimal se define como Por lo tanto, el gradiente de desplazamiento se puede expresar como donde La cantidad es el tensor de rotación infinitesimal o el tensor de desplazamiento angular infinitesimal (relacionado con la matriz de rotación infinitesimal ). Este tensor es antisimétrico . Para deformaciones infinitesimales, los componentes escalares de satisfacen la condición . Nótese que el gradiente de desplazamiento es pequeño solo si tanto el tensor de deformación como el tensor de rotación son infinitesimales. $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {W}}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}}$ ${\displaystyle |W_{ij}|\ll 1}$

El vector axial

Un tensor de segundo orden simétrico antihorario tiene tres componentes escalares independientes. Estos tres componentes se utilizan para definir un vector axial , , de la siguiente manera, donde es el símbolo de permutación . En forma matricial , el vector axial también se denomina vector de rotación infinitesimal . El vector de rotación está relacionado con el gradiente de desplazamiento mediante la relación. En notación de índice, Si y entonces el material experimenta una rotación de cuerpo rígido aproximada de magnitud alrededor del vector . ${\displaystyle \mathbf {w} }$ $${\displaystyle W_{ij}=-\epsilon _{ijk}~w_{k}~;~~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~W_{jk}}$$ ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {W}}}}={\begin{bmatrix}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\mathbf {w} }}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {w} ={\tfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} }$$ $${\displaystyle w_{i}={\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~u_{k,j}}$$ ${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {W}}\rVert \ll 1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle |\mathbf {w} |}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

Relación entre el tensor de deformación y el vector de rotación

Dado un campo de desplazamiento continuo de un solo valor y el tensor de deformación infinitesimal correspondiente , tenemos (ver Derivada del tensor (mecánica del medio continuo) ) Dado que un cambio en el orden de diferenciación no cambia el resultado, . Por lo tanto También Por lo tanto ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$$ ${\displaystyle u_{l,ji}=u_{l,ij}}$ $${\displaystyle e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k})u_{l,12}+(e_{13k}+e_{31k})u_{l,13}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l}=w_{k,l}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=w_{k,l}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$$

Relación entre el tensor de rotación y el vector de rotación

A partir de una identidad importante con respecto al rotacional de un tensor, sabemos que para un campo de desplazamiento continuo de un solo valor , ya que tenemos ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )={\boldsymbol {0}}.}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {W}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} .}$$

Tensor de deformación en coordenadas no cartesianas

Tensor de deformación en coordenadas cilíndricas

En coordenadas polares cilíndricas ( ), el vector de desplazamiento se puede escribir como Los componentes del tensor de deformación en un sistema de coordenadas cilíndricas se dan por: ^[2] ${\displaystyle r,\theta ,z}$ $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta z}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)\\\varepsilon _{zr}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$

Tensor de deformación en coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) como las que se usan comúnmente en física : distancia radial r , ángulo polar θ ( theta ) y ángulo azimutal φ ( phi ). El símbolo ρ ( rho ) se usa a menudo en lugar de r .

En coordenadas esféricas ( ), el vector de desplazamiento se puede escribir como Los componentes del tensor de deformación en un sistema de coordenadas esféricas se dan por ^[2] ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$ $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{\phi }~\mathbf {e} _{\phi }}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\cfrac {1}{r\sin \theta }}\left({\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\cfrac {1}{2r}}\left({\cfrac {1}{\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\\varepsilon _{\phi r}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\phi }}{r}}\right)\end{aligned}}}$$

Véase también

• Deformación (mecánica)
• Compatibilidad (mecánica)
• Tensor de tensión
• Medidor de tensión
• Tensor de elasticidad
• Curva de tensión-deformación
• Ley de Hooke
• Coeficiente de Poisson
• Teoría de la deformación finita
• Tasa de deformación
• Estrés en el plano
• Correlación de imágenes digitales

Referencias

1. Boresi, Arthur P. (Arthur Peter), 1924– (2003). Mecánica avanzada de materiales . Schmidt, Richard J. (Richard Joseph), 1954– (6.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. pág. 62. ISBN 1601199228.OCLC 430194205  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
2. Slaughter, William S. (2002). La teoría linealizada de la elasticidad . Nueva York: Springer Science+Business Media. doi :10.1007/978-1-4612-0093-2. ISBN 9781461266082.

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