Valor absoluto

Distancia de cero a un número

La gráfica de la función valor absoluto para números reales

El valor absoluto de un número puede considerarse como su distancia al cero.

En matemáticas , el valor absoluto o módulo de un número real , denotado como , es el valor no negativo de sin tener en cuenta su signo . Es decir, si es un número positivo , y si es negativo (en cuyo caso, al negarlo, se obtiene un resultado positivo), y . Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto de −3 también es 3. El valor absoluto de un número puede considerarse como su distancia a cero. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|=-x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle |0|=0}$

Las generalizaciones del valor absoluto para números reales se dan en una amplia variedad de contextos matemáticos. Por ejemplo, también se define un valor absoluto para los números complejos , los cuaterniones , los anillos ordenados , los cuerpos y los espacios vectoriales . El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud , distancia y norma en varios contextos matemáticos y físicos.

Terminología y notación

En 1806, Jean-Robert Argand introdujo el término módulo , que significa unidad de medida en francés, específicamente para el valor absoluto complejo , ^{[1] [2]} y fue tomado prestado al inglés en 1866 como el equivalente latino módulo . ^[1] El término valor absoluto se ha utilizado en este sentido desde al menos 1806 en francés ^[3] y 1857 en inglés. ^[4] La notación | x | , con una barra vertical a cada lado, fue introducida por Karl Weierstrass en 1841. ^[5] Otros nombres para el valor absoluto incluyen valor numérico ^[1] y magnitud . ^[1] En lenguajes de programación y paquetes de software computacional, el valor absoluto de generalmente se representa por , o una expresión similar. ${\textstyle x}$abs(x)

La notación de barra vertical también aparece en varios otros contextos matemáticos: por ejemplo, cuando se aplica a un conjunto, denota su cardinalidad ; cuando se aplica a una matriz , denota su determinante . Las barras verticales denotan el valor absoluto solo para objetos algebraicos para los que se define la noción de valor absoluto, en particular un elemento de un álgebra de división normada , por ejemplo un número real, un número complejo o un cuaternión. Una notación estrechamente relacionada pero distinta es el uso de barras verticales para la norma euclidiana ^[6] o la norma sup ^[7] de un vector en , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ aunque las barras verticales dobles con subíndices ( ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ y , ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ respectivamente) son una notación más común y menos ambigua.

Definición y propiedades

Números reales

Para cualquier número real , ${\displaystyle x}$ el valor absoluto o módulo de ${\displaystyle x}$ se denota por ${\displaystyle |x|}$ , con una barra vertical a cada lado de la cantidad, y se define como ^[8] $${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

El valor absoluto de ${\displaystyle x}$ es siempre un número positivo o cero , pero nunca negativo . Cuando es negativo ( ), entonces su valor absoluto es necesariamente positivo ( ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle |x|=-x>0}$

Desde el punto de vista de la geometría analítica , el valor absoluto de un número real es la distancia de ese número desde cero a lo largo de la línea de números reales y, de manera más general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales (su diferencia absoluta ) es la distancia entre ellos. ^{[9] La noción de una} función de distancia abstracta en matemáticas puede verse como una generalización del valor absoluto de la diferencia (ver "Distancia" a continuación).

Dado que el símbolo de raíz cuadrada representa la única raíz cuadrada positiva , cuando se aplica a un número positivo, se deduce que | x | = x 2 . {\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}.} Esto es equivalente a la definición anterior y puede usarse como una definición alternativa del valor absoluto de los números reales. ^[10]

El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales ( , son números reales), que se utilizan para la generalización de esta noción a otros dominios: ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

La no negatividad, la definitividad positiva y la multiplicidad son evidentes a partir de la definición. Para ver que se cumple la subaditividad, primero observe que donde , con su signo elegido para hacer que el resultado sea positivo. Ahora bien, como y , se sigue que, cualquiera que sea el valor de , se tiene para todos los reales . En consecuencia, , como se deseaba. ${\displaystyle |a+b|=s(a+b)}$ ${\displaystyle s=\pm 1}$ ${\displaystyle -1\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle +1\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|}$

A continuación se indican algunas propiedades útiles adicionales, que son consecuencias inmediatas de la definición o están implícitas en las cuatro propiedades fundamentales anteriores.

Otras dos propiedades útiles relativas a las desigualdades son:

Estas relaciones se pueden utilizar para resolver desigualdades que involucran valores absolutos. Por ejemplo:

El valor absoluto, como "distancia desde cero", se utiliza para definir la diferencia absoluta entre números reales arbitrarios, la métrica estándar de los números reales.

Números complejos

El valor absoluto de un número complejo ${\displaystyle z}$ es la distancia ${\displaystyle r}$ de ${\displaystyle z}$ desde el origen. También se ve en la imagen que y su conjugado complejo tienen el mismo valor absoluto. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

Como los números complejos no están ordenados , la definición dada en la parte superior para el valor absoluto real no se puede aplicar directamente a los números complejos. Sin embargo, la interpretación geométrica del valor absoluto de un número real como su distancia a 0 se puede generalizar. El valor absoluto de un número complejo se define por la distancia euclidiana de su punto correspondiente en el plano complejo desde el origen . Esto se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras : para cualquier número complejo donde y son números reales, el valor absoluto o módulo de se denota y se define por ^[11] la adición pitagórica de y , donde y denotan las partes real e imaginaria de , respectivamente. Cuando la parte imaginaria es cero, esto coincide con la definición del valor absoluto del número real . $${\displaystyle z=x+iy,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$ $${\displaystyle |z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Cuando un número complejo se expresa en su forma polar como su valor absoluto es ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta },}$ ${\displaystyle |z|=r.}$

Dado que el producto de cualquier número complejo y su conjugado complejo , con el mismo valor absoluto, es siempre el número real no negativo , el valor absoluto de un número complejo es la raíz cuadrada de la cual se llama, por tanto, cuadrado absoluto o módulo al cuadrado de : Esto generaliza la definición alternativa para los números reales: . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ ${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\cdot {\overline {z}},}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.}$$ ${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$

El valor absoluto complejo comparte las cuatro propiedades fundamentales dadas anteriormente para el valor absoluto real. La identidad es un caso especial de multiplicidad que suele ser útil por sí sola. ${\displaystyle |z|^{2}=|z^{2}|}$

Función de valor absoluto

La gráfica de la función valor absoluto para números reales

Composición del valor absoluto con una función cúbica en diferentes órdenes

La función valor absoluto real es continua en todas partes. Es diferenciable en todas partes excepto en x = 0. Es monótonamente decreciente en el intervalo (−∞, 0] y monótonamente creciente en el intervalo [0, +∞) . Como un número real y su opuesto tienen el mismo valor absoluto, es una función par y, por lo tanto, no es invertible . La función valor absoluto real es una función lineal por partes y convexa .

Tanto para los números reales como para los complejos, la función de valor absoluto es idempotente (lo que significa que el valor absoluto de cualquier valor absoluto es él mismo).

Relación con la función de signo

La función de valor absoluto de un número real devuelve su valor independientemente de su signo, mientras que la función de signo (o signum) devuelve el signo de un número independientemente de su valor. Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre estas dos funciones:

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x),}$

o

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn}(x)=x,}$

y para x ≠ 0 ,

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.}$

Relación con las funciones max y min

Sea , entonces ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle |t-s|=-2\min(s,t)+s+t}$

y

${\displaystyle |t-s|=2\max(s,t)-s-t.}$

Derivado

La función de valor absoluto real tiene una derivada para cada x ≠ 0 , pero no es diferenciable en x = 0 . Su derivada para x ≠ 0 está dada por la función escalonada : ^{[12] [13]}

${\displaystyle {\frac {d\left|x\right|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}}$

La función de valor absoluto real es un ejemplo de una función continua que alcanza un mínimo global donde la derivada no existe.

El subdiferencial de  | x | en  x = 0 es el intervalo  [−1, 1] . ^[14]

La función de valor absoluto compleja es continua en todas partes pero no es compleja diferenciable en ninguna porque viola las ecuaciones de Cauchy-Riemann . ^[12]

La segunda derivada de  | x | con respecto a  x es cero en todas partes excepto en cero, donde no existe. Como función generalizada , la segunda derivada puede tomarse como dos veces la función delta de Dirac .

Antiderivada

La antiderivada ( integral indefinida ) de la función de valor absoluto real es

${\displaystyle \int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,}$

donde C es una constante arbitraria de integración . Esta no es una antiderivada compleja porque las antiderivadas complejas solo pueden existir para funciones complejas diferenciables ( holomórficas ), lo que no es el caso de la función de valor absoluto compleja.

Derivados de composiciones

Las dos fórmulas siguientes son casos especiales de la regla de la cadena :

${\displaystyle {d \over dx}f(|x|)={x \over |x|}(f'(|x|))}$

Si el valor absoluto está dentro de una función, y

${\displaystyle {d \over dx}|f(x)|={f(x) \over |f(x)|}f'(x)}$

Si otra función está dentro del valor absoluto, en el primer caso la derivada siempre es discontinua en en el primer caso y donde en el segundo caso. ${\textstyle x=0}$ ${\textstyle f(x)=0}$

Distancia

El valor absoluto está estrechamente relacionado con la idea de distancia . Como se señaló anteriormente, el valor absoluto de un número real o complejo es la distancia desde ese número hasta el origen, a lo largo de la línea de números reales, para los números reales, o en el plano complejo, para los números complejos, y de manera más general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos es la distancia entre ellos.

La distancia euclidiana estándar entre dos puntos

${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

y

${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

En euclidiano el n -espacio se define como:

${\displaystyle {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Esto puede verse como una generalización, ya que para y real, es decir en un 1-espacio, según la definición alternativa del valor absoluto, ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle b_{1}}$

${\displaystyle |a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},}$

y para números complejos, es decir en un 2-espacio, ${\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}}$ ${\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}}$

Lo anterior muestra que la distancia de "valor absoluto", para números reales y complejos, concuerda con la distancia euclidiana estándar, que heredan como resultado de considerarlos como espacios euclidianos unidimensionales y bidimensionales, respectivamente.

Las propiedades del valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos: no negatividad, identidad de indiscernibles, simetría y la desigualdad triangular dada anteriormente, pueden verse como una motivación para la noción más general de una función de distancia , como sigue:

Una función de valor real d en un conjunto X  ×  X se denomina métrica (o función de distancia ) en  X , si satisface los siguientes cuatro axiomas: ^[15]

Generalizaciones

Anillos ordenados

La definición de valor absoluto dada anteriormente para los números reales se puede extender a cualquier anillo ordenado . Es decir, si  a es un elemento de un anillo ordenado  R , entonces el valor absoluto de  a , denotado por | a | , se define como: ^[16]

${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.}$

donde − a es el inverso aditivo de  a , 0 es la identidad aditiva , y < y ≥ tienen el significado habitual con respecto al ordenamiento en el anillo.

Campos

Las cuatro propiedades fundamentales del valor absoluto de los números reales se pueden utilizar para generalizar la noción de valor absoluto a un campo arbitrario, de la siguiente manera.

Una función de valor real  v en un campo  F se denomina valor absoluto (también módulo , magnitud , valor o valoración ) ^[17] si satisface los cuatro axiomas siguientes:

Donde 0 denota la identidad aditiva de  F . De la definitividad positiva y la multiplicidad se deduce que v ( 1 ) = 1 , donde 1 denota la identidad multiplicativa de  F . Los valores absolutos reales y complejos definidos anteriormente son ejemplos de valores absolutos para un campo arbitrario.

Si v es un valor absoluto en  F , entonces la función  d en F  ×  F , definida por d ( a ,  b ) = v ( a − b ) , es una métrica y las siguientes son equivalentes:

• d satisface la desigualdad ultramétrica para todos los x , y , z en  F . ${\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$está acotado en  R .
• ${\displaystyle v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\ }$para cada . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }$Para todos . ${\displaystyle a\in F}$
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\ }$Para todos . ${\displaystyle a,b\in F}$

Un valor absoluto que satisface cualquiera (y por lo tanto todas) de las condiciones anteriores se dice que no es arquimediano ; de lo contrario, se dice que es arquimediano . ^[18]

Espacios vectoriales

Nuevamente, las propiedades fundamentales del valor absoluto para números reales pueden usarse, con una ligera modificación, para generalizar la noción a un espacio vectorial arbitrario.

Una función de valor real en un espacio vectorial  V sobre un cuerpo  F , representada como ‖ · ‖ , se denomina valor absoluto , pero más habitualmente norma , si satisface los siguientes axiomas:

Para todo  a en  F , y v , u en  V ,

La norma de un vector también se llama longitud o magnitud .

En el caso del espacio euclidiano , la función definida por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

es una norma llamada norma euclidiana. Cuando los números reales se consideran como el espacio vectorial unidimensional , el valor absoluto es una norma , y ​​es la p -norma (véase L espacio p ) para cualquier  p . De hecho, el valor absoluto es la "única" norma en , en el sentido de que, para cada norma ‖ · ‖ en , ‖ x ‖ = ‖ 1 ‖ ⋅ | x | . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

El valor absoluto complejo es un caso especial de la norma en un espacio de producto interno , que es idéntico a la norma euclidiana cuando el plano complejo se identifica como el plano euclidiano  . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Álgebras de composición

Toda álgebra de composición A tiene una involución x → x * llamada su conjugación . El producto en A de un elemento x y su conjugado x * se escribe N ( x )= xx * y se llama norma de x .

Los números reales , los números complejos y los cuaterniones son álgebras de composición con normas dadas por formas cuadráticas definidas . El valor absoluto en estas álgebras de división está dado por la raíz cuadrada de la norma del álgebra de composición. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

En general, la norma de un álgebra de composición puede ser una forma cuadrática que no está definida y tiene vectores nulos . Sin embargo, como en el caso de las álgebras de división, cuando un elemento x tiene una norma distinta de cero, entonces x tiene un inverso multiplicativo dado por x */ N ( x ).

Véase también

• Valores absolutos mínimos

Notas

1. Oxford English Dictionary , borrador revisado, junio de 2008
2. Nahin, O'Connor y Robertson, y funciones. Wolfram.com.; para el sentido francés, véase Littré , 1877
3. Lazare Nicolas M. Carnot , Mémoire sur la relacion qui existe entre les distancias respectivas de cinq point quelconques pris dans l'espace , p. 105 en libros de Google
4. James Mill Peirce, A Text-book of Analytic Geometry en Internet Archive. La cita más antigua en la segunda edición del Oxford English Dictionary es de 1907. El término valor absoluto también se utiliza en contraste con valor relativo .
5. Nicholas J. Higham, Manual de escritura para las ciencias matemáticas , SIAM. ISBN  0-89871-420-6 , pág. 25
6. Spivak, Michael (1965). Cálculo de variedades . Boulder, CO: Westview. p. 1. ISBN. 0805390219.
7. Munkres, James (1991). Análisis de variedades . Boulder, CO: Westview. pág. 4. ISBN. 0201510359.
8. Mendelson, pág. 2.
9. Smith, Karl (2013). Precálculo: un enfoque funcional para la representación gráfica y la resolución de problemas. Jones & Bartlett Publishers. pág. 8. ISBN 978-0-7637-5177-7.
10. Stewart, James B. (2001). Cálculo: conceptos y contextos . Australia: Brooks/Cole. pág. A5. ISBN 0-534-37718-1.
11. González, Mario O. (1992). Análisis complejo clásico. CRC Press. p. 19. ISBN 9780824784157.
12. "Weisstein, Eric W. Valor absoluto. De MathWorld – Un recurso web de Wolfram".
13. Bartle y Sherbert, pág. 163
14. Peter Wriggers, Panagiotis Panatiotopoulos, eds., Nuevos desarrollos en problemas de contacto , 1999, ISBN 3-211-83154-1 , pág. 31–32 
15. Estos axiomas no son mínimos; por ejemplo, la no negatividad puede derivarse de los otros tres: 0 = d ( a ,  a ) ≤ d ( a ,  b ) + d ( b ,  a ) = 2 d ( a ,  b ) .
16. Mac Lane, pág. 264.
17. Shechter, p. 260. Este significado de valoración es poco frecuente. Por lo general, una valoración es el logaritmo del inverso de un valor absoluto.
18. Shechter, págs. 260-261.

Referencias

• Bartle; Sherbert; Introducción al análisis real (4ª ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6 . 
• Nahin, Paul J.; Un cuento imaginario ; Princeton University Press; (tapa dura, 1998). ISBN 0-691-02795-1 . 
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Álgebra , American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2 . 
• Mendelson, Elliott, Esquema de cálculo inicial de Schaum , McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2 . 
• O'Connor, JJ y Robertson, EF; "Jean Robert Argand".
• Schechter, Eric; Manual de análisis y sus fundamentos , págs. 259–263, "Valores absolutos", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8 . 

Enlaces externos

• "Valor absoluto". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• valor absoluto en PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Valor absoluto". MundoMatemático .