Gravitoelectromagnetismo

Analogías entre las ecuaciones de campo de Maxwell y Einstein

Diagrama sobre la confirmación del gravitomagnetismo por la sonda Gravity Probe B

El gravitoelectromagnetismo , abreviado GEM , se refiere a un conjunto de analogías formales entre las ecuaciones para el electromagnetismo y la gravitación relativista ; específicamente: entre las ecuaciones de campo de Maxwell y una aproximación, válida bajo ciertas condiciones, a las ecuaciones de campo de Einstein para la relatividad general . El gravitomagnetismo es un término ampliamente utilizado que se refiere específicamente a los efectos cinéticos de la gravedad, en analogía con los efectos magnéticos de la carga eléctrica en movimiento. ^[1] La versión más común de GEM es válida solo lejos de fuentes aisladas y para partículas de prueba que se mueven lentamente .

La analogía y las ecuaciones que difieren sólo en algunos pequeños factores fueron publicadas por primera vez en 1893, antes de la relatividad general, por Oliver Heaviside como una teoría separada que expandía la ley de gravitación universal de Newton . ^{[2] [ se necesita una mejor fuente ]}

Fondo

Esta reformulación aproximada de la gravitación, tal como la describe la relatividad general en el límite del campo débil, hace que aparezca un campo aparente en un marco de referencia diferente al de un cuerpo inercial que se mueve libremente. Este campo aparente puede describirse mediante dos componentes que actúan respectivamente como los campos eléctrico y magnético del electromagnetismo y, por analogía, se denominan campos gravitoeléctrico y gravitomagnético , ya que surgen de la misma manera alrededor de una masa que una carga eléctrica en movimiento es la fuente de los campos eléctrico y magnético. La principal consecuencia del campo gravitomagnético , o aceleración dependiente de la velocidad, es que un objeto en movimiento cerca de un objeto masivo que gira experimentará una aceleración que se desvía de la predicha por un campo gravitatorio (gravitoeléctrico) puramente newtoniano. Las predicciones más sutiles, como la rotación inducida de un objeto que cae y la precesión de un objeto que gira, se encuentran entre las últimas predicciones básicas de la relatividad general que se han puesto a prueba directamente.

Se han derivado validaciones indirectas de los efectos gravitomagnéticos a partir de análisis de chorros relativistas . Roger Penrose había propuesto un mecanismo que se basa en efectos relacionados con el arrastre de marco para extraer energía y momento de los agujeros negros en rotación . ^[3] Reva Kay Williams , de la Universidad de Florida, desarrolló una prueba rigurosa que validó el mecanismo de Penrose . ^[4] Su modelo mostró cómo el efecto Lense-Thirring podría explicar las altas energías y luminosidades observadas de los cuásares y los núcleos galácticos activos ; los chorros colimados sobre su eje polar; y los chorros asimétricos (en relación con el plano orbital). ^{[5] [6]} Todas esas propiedades observadas podrían explicarse en términos de efectos gravitomagnéticos. ^[7] La ​​aplicación de Williams del mecanismo de Penrose se puede aplicar a agujeros negros de cualquier tamaño. ^[8] Los chorros relativistas pueden servir como la forma más grande y brillante de validaciones para el gravitomagnetismo.

Un grupo de la Universidad de Stanford está analizando actualmente ^{[¿ cuándo? ]} los datos de la primera prueba directa de GEM, el experimento satelital Gravity Probe B , para ver si son consistentes con el gravitomagnetismo. ^[9] La Operación de medición de distancias por láser lunar del Observatorio Apache Point también planea observar los efectos del gravitomagnetismo. ^{[ cita requerida ]}

Análogos físicos de los campos ^[10]

• 
  Gravitomagnetismo – campo gravitomagnético H debido al momento angular (total ) J.
• 
  Electromagnetismo – campo magnético B debido a un momento dipolar m ...
• 
  ... o, equivalentemente, corriente I , mismo perfil de campo y generación de campo debido a la rotación.
• 
  Mecánica de fluidos : arrastre rotacionalde un fluido sobre una esfera sólida sumergida en un fluido, direcciones y sentidos de rotación análogos al magnetismo, interacción análoga al arrastre de cuadros para la interacción gravitomagnética.

Ecuaciones

Según la relatividad general , el campo gravitatorio producido por un objeto giratorio (o cualquier masa-energía rotatoria) puede, en un caso límite particular, describirse mediante ecuaciones que tienen la misma forma que en el electromagnetismo clásico . Partiendo de la ecuación básica de la relatividad general, la ecuación de campo de Einstein , y suponiendo un campo gravitatorio débil o un espacio-tiempo razonablemente plano , se pueden derivar los análogos gravitacionales de las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo , llamadas "ecuaciones GEM". Las ecuaciones GEM comparadas con las ecuaciones de Maxwell son: ^{[11] [12]}

dónde:

• E _g es el campo gravitoeléctrico ( campo gravitacional convencional ), con unidad SI m⋅s ⁻²
• E es el campo eléctrico
• B _g es el campo gravitomagnético, con unidad SI s ⁻¹
• B es el campo magnético
• ρ _g es la densidad de masa , con unidad SI kg⋅m ⁻³
• ρ es la densidad de carga
• J _g es la densidad de corriente másica o flujo másico ( J _g = ρ _g v _ρ , donde v _ρ es la velocidad del flujo másico), con unidad SI kg⋅m ⁻² ⋅s ⁻¹
• J es la densidad de corriente eléctrica
• G es la constante gravitacional
• ε ₀ es la permitividad del vacío
• c es tanto la velocidad de propagación de la gravedad como la velocidad de la luz .

Potenciales

La ley de inducción de Faraday (tercera línea de la tabla) y la ley de Gauss para el campo gravitomagnético (segunda línea de la tabla) se pueden resolver mediante la definición de un potencial gravitatorio y el potencial vectorial según: ${\displaystyle \phi _{\text{g}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{g}}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{g}}:=-{\mbox{grad}}~\phi _{\text{g}}-{\frac {\partial \mathbf {A} _{\text{g}}}{\partial t}}=-\nabla ~\phi _{\text{g}}-{\frac {\partial \mathbf {A} _{\text{g}}}{\partial t}}}$

y

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{g}}:={\mbox{rot}}~\mathbf {A} _{\text{g}}=\nabla \times \mathbf {A} _{\text{g}}}$

Insertando estos cuatro potenciales en la ley de Gauss para el campo gravitatorio (primera línea de la tabla) y la ley circuital de Ampère (cuarta línea de la tabla) y aplicando el calibre de Lorenz se obtienen las siguientes ecuaciones de onda no homogéneas: ${\displaystyle \left(\phi _{\text{g}},\mathbf {A} _{\text{g}}\right)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi _{\text{g}}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}~\phi _{\text{g}}=4\pi G\rho _{g}}$

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} _{\text{g}}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}~\mathbf {A} _{\text{g}}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}\rho _{g}\mathbf {v} }$

Para una situación estacionaria ( ) se obtiene la ecuación de Poisson de la teoría clásica de la gravitación. En el vacío ( ) se obtiene una ecuación de onda en condiciones no estacionarias. Por tanto, GEM predice la existencia de ondas gravitacionales . De este modo, GEM puede considerarse como una generalización de la teoría de la gravitación de Newton. ${\displaystyle \partial \phi _{\text{g}}/\partial t=0}$ ${\displaystyle \rho _{\text{g}}=0}$

La ecuación de onda para el potencial gravitomagnético también se puede resolver para un cuerpo esférico giratorio (que es un caso estacionario), lo que genera momentos gravitomagnéticos. ${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{g}}}$

Fuerza de Lorentz

Para una partícula de prueba cuya masa m es "pequeña", en un sistema estacionario, la fuerza neta (de Lorentz) que actúa sobre ella debido a un campo GEM se describe mediante el siguiente análogo GEM de la ecuación de fuerza de Lorentz :

dónde:

• v es la velocidad de la partícula de prueba
• m es la masa de la partícula de prueba
• q es la carga eléctrica de la partícula de prueba.

Vector de Poynting

El vector de Poynting GEM comparado con el vector de Poynting electromagnético viene dado por: ^[13]

Escalamiento de campos

La literatura no adopta una escala consistente para los campos gravitoeléctrico y gravitomagnético, lo que dificulta la comparación. Por ejemplo, para lograr una concordancia con los escritos de Mashhoon, todas las instancias de B _g en las ecuaciones GEM deben multiplicarse por − ⁠1/2 c⁠ y E _g por −1. Estos factores modifican de diversas formas los análogos de las ecuaciones para la fuerza de Lorentz. No hay una elección de escala que permita que todas las ecuaciones GEM y EM sean perfectamente análogas. La discrepancia en los factores surge porque la fuente del campo gravitacional es el tensor de tensión-energía de segundo orden , a diferencia de que la fuente del campo electromagnético es el tensor de cuatro corrientes de primer orden . Esta diferencia se vuelve más clara cuando uno compara la no invariancia de la masa relativista con la invariancia de la carga eléctrica . Esto se puede rastrear hasta el carácter de espín 2 del campo gravitacional, en contraste con el electromagnetismo que es un campo de espín 1. ^[14] (Ver Ecuaciones de onda relativistas para más sobre los campos de "espín 1" y "espín 2").

Efectos de orden superior

Algunos efectos gravitomagnéticos de orden superior pueden reproducir efectos que recuerdan a las interacciones de cargas polarizadas más convencionales. Por ejemplo, si dos ruedas giran sobre un eje común, la atracción gravitatoria mutua entre las dos ruedas será mayor si giran en direcciones opuestas que si lo hacen en la misma dirección ^{[ cita requerida ]} . Esto se puede expresar como un componente gravitomagnético atractivo o repulsivo.

Los argumentos gravitomagnéticos también predicen que una masa toroidal flexible o fluida que experimenta una aceleración rotacional en el eje menor (rotación acelerada en forma de " anillo de humo ") tenderá a atraer materia a través de la garganta (un caso de arrastre de marco rotacional, que actúa a través de la garganta). En teoría, esta configuración podría utilizarse para acelerar objetos (a través de la garganta) sin que dichos objetos experimenten ninguna fuerza g . ^[15]

Consideremos una masa toroidal con dos grados de rotación (tanto en el eje mayor como en el eje menor, ambos girando de adentro hacia afuera y girando). Esto representa un "caso especial" en el que los efectos gravitomagnéticos generan un campo gravitatorio quiral similar a un sacacorchos alrededor del objeto. Se esperaría normalmente que las fuerzas de reacción al arrastre en los ecuadores interno y externo fueran iguales y opuestas en magnitud y dirección respectivamente en el caso más simple que involucra solo el giro en el eje menor. Cuando ambas rotaciones se aplican simultáneamente, se puede decir que estos dos conjuntos de fuerzas de reacción ocurren a diferentes profundidades en un campo de Coriolis radial que se extiende a través del toro giratorio, lo que hace más difícil establecer que la cancelación es completa. ^{[ cita requerida ]}

Modelar este comportamiento complejo como un problema de espacio-tiempo curvo aún no se ha hecho y se cree que es muy difícil. ^{[ cita requerida ]}

Campos gravitomagnéticos de objetos astronómicos

Un cuerpo esférico giratorio con una distribución de densidad homogénea produce un potencial gravitomagnético estacionario, que se describe por:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} _{\text{g}}=-{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\rho _{g}\mathbf {v} }$

Debido a la velocidad angular del cuerpo, la velocidad dentro del cuerpo se puede describir como . Por lo tanto ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} _{\text{g}}=-{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\rho _{g}\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }$

Para obtener el potencial gravitomagnético es necesario resolver el problema . La solución analítica fuera del cuerpo es (véase por ejemplo ^[16] ): ${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{g}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{g}}=-{\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} \times \mathbf {r} }{r^{3}}}\quad {\text{with}}\quad \mathbf {L} ={\frac {2}{5}}mR^{2}\mathbf {\omega } \quad {\text{or}}\quad L=I_{\text{ball}}\omega ={\frac {2mR^{2}}{5}}{\frac {2\pi }{T}}\quad }$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {L} }$es el vector del momento angular ;
• ${\displaystyle I_{\text{ball}}={\frac {2mR^{2}}{5}}}$es el momento de inercia de un cuerpo con forma de bola (ver: lista de momentos de inercia );
• ${\displaystyle \omega \ }$es la velocidad angular ;
• m es la masa ;
• R es el radio ;
• T es el período de rotación.

La fórmula para el campo gravitomagnético B _g ahora se puede obtener mediante:

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{g}}=\nabla \times \mathbf {A} _{\text{g}}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} -3(\mathbf {L} \cdot \mathbf {r} /r)\mathbf {r} /r}{r^{3}}},}$

Es exactamente la mitad de la velocidad de precesión de Lense-Thirring . Esto sugiere que el análogo gravitomagnético del factor g es dos. Este factor de dos se puede explicar de forma completamente análoga al factor g del electrón teniendo en cuenta los cálculos relativistas. En el plano ecuatorial, r y L son perpendiculares, por lo que su producto escalar se anula y esta fórmula se reduce a:

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{g}}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} }{r^{3}}},}$

Las ondas gravitacionales tienen componentes gravitomagnéticos y gravitoeléctricos iguales. ^[17]

Tierra

Por lo tanto, la magnitud del campo gravitomagnético de la Tierra en su ecuador es:

${\displaystyle B_{\text{g,Earth}}={\frac {G}{5c^{2}}}{\frac {m}{r}}{\frac {2\pi }{T}}={\frac {2\pi rg}{5c^{2}T}},}$

¿Dónde está la gravedad de la Tierra ? La dirección del campo coincide con la dirección del momento angular, es decir, el norte. ${\displaystyle g=G{\frac {m}{r^{2}}}}$

De este cálculo se deduce que la fuerza del campo gravitomagnético ecuatorial de la Tierra es de aproximadamente1,012 × 10 ⁻¹⁴  Hz . ^[18] Un campo de este tipo es extremadamente débil y requiere mediciones extremadamente sensibles para detectarlo. Un experimento para medir dicho campo fue la misión Gravity Probe B.

Pulsar

Si se utiliza la fórmula anterior con el púlsar PSR J1748-2446ad (que gira 716 veces por segundo), suponiendo un radio de 16 km y una masa de dos masas solares, entonces

${\displaystyle B_{\text{g}}={\frac {2\pi Gm}{5rc^{2}T}}}$

equivale a unos 166 Hz. Esto sería fácil de notar. Sin embargo, el púlsar gira a una cuarta parte de la velocidad de la luz en el ecuador, y su radio es solo tres veces su radio de Schwarzschild . Cuando existen un movimiento tan rápido y campos gravitatorios tan fuertes en un sistema, el enfoque simplificado de separar las fuerzas gravitomagnéticas y gravitoeléctricas solo se puede aplicar como una aproximación muy aproximada.

Falta de invariancia

Mientras que las ecuaciones de Maxwell son invariantes ante las transformaciones de Lorentz , las ecuaciones GEM no lo son. El hecho de que ρ _g y j _g no formen un cuatrivector (sino que son simplemente una parte del tensor de tensión-energía ) es la base de esta diferencia. ^{[ cita requerida ]}

Aunque la GEM puede cumplirse aproximadamente en dos sistemas de referencia diferentes conectados por un impulso de Lorentz , no hay forma de calcular las variables GEM de uno de esos sistemas a partir de las variables GEM del otro, a diferencia de lo que ocurre con las variables del electromagnetismo. De hecho, sus predicciones (sobre qué movimiento es la caída libre) probablemente entrarán en conflicto entre sí.

Tenga en cuenta que las ecuaciones GEM son invariantes ante traslaciones y rotaciones espaciales, pero no ante impulsos y transformaciones curvilíneas más generales. Las ecuaciones de Maxwell se pueden formular de manera que sean invariantes ante todas estas transformaciones de coordenadas.

Véase también

• Antigravedad
• Gravedad artificial
• Arrastre de fotogramas
• Efecto geodésico
• Radiación gravitacional
• Sonda de gravedad B
• Teoría de Kaluza-Klein
• Gravedad linealizada
• Dinámica newtoniana modificada
• Campos gravitacionales no relativistas
• Velocidad de la gravedad § Analogías electrodinámicas
• Espacio-tiempo estacionario

Referencias

1. David Delphenich (2015). "El electromagnetismo premétrico como camino hacia la unificación". Mecánica de campo unificada: ciencias naturales más allá del velo del espacio-tiempo, Universidad Estatal Morgan, EE. UU., 16-19 de noviembre de 2014 : 215-220. arXiv : 1512.05183 . doi :10.1142/9789814719063_0023. ISBN 978-981-4719-05-6.S2CID118596433  .​
2. O. Heaviside (1893). Teoría electromagnética: una analogía gravitacional y electromagnética. Vol. 1. El electricista. págs. 455–464.
3. R. Penrose (1969). "Colapso gravitacional: el papel de la relatividad general". Rivista del Nuevo Cimento . Número especial 1: 252–276. Código bibliográfico : 1969NCimR...1..252P.
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7. RK Williams (2005). "Campo gravitomagnético y procesos de dispersión de Penrose". Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York . Vol. 1045. págs. 232–245.
8. RK Williams (2001). "Extracción de energía y momento colimados de agujeros negros giratorios en cuásares y microcuásares utilizando el mecanismo de Penrose". Actas de la conferencia AIP . Vol. 586. págs. 448–453. arXiv : astro-ph/0111161 . Código Bibliográfico :2001AIPC..586..448W. doi :10.1063/1.1419591.
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10. Gravitación e inercia, I. Ciufolini y JA Wheeler, Princeton Physics Series, 1995, ISBN 0-691-03323-4 
11. B. Mashhoon; F. Gronwald; H. I. M. Lichtenegger (2001), "Gravitomagnetismo y el efecto del reloj", Giroscopios, relojes, interferómetros...: Pruebas de la gravedad relativista en el espacio , Lecture Notes in Physics, vol. 562, págs. 83-108, arXiv : gr-qc/9912027 , Bibcode :2001LNP...562...83M, CiteSeerX 10.1.1.340.8408 , doi :10.1007/3-540-40988-2_5, ISBN  978-3-540-41236-6, Número de identificación del sujeto  32411999
12. SJ Clark; RW Tucker (2000). "Simetría de calibre y gravito-electromagnetismo". Gravedad clásica y cuántica . 17 (19): 4125–4157. arXiv : gr-qc/0003115 . Código Bibliográfico :2000CQGra..17.4125C. doi :10.1088/0264-9381/17/19/311. S2CID  15724290.
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18. 2 π R 🜨 g 0 /(5 c ² × 1  día )

Lectura adicional

Libros

• MP Hobson; GP Efstathiou; AN Lasenby (2006). Relatividad general: una introducción para físicos. Cambridge University Press. págs. 490–491. ISBN 9780521829519.
• LH Ryder (2009). Introducción a la relatividad general. Cambridge University Press. pp. 200–207. ISBN 9780521845632.
• JB Hartle (2002). Gravedad: una introducción a la relatividad general de Einstein . Addison-Wesley. págs. 296, 303. ISBN. 9780805386622.
• S. Carroll (2003). Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . Addison-Wesley. pág. 281. ISBN. 9780805387322.
• JA Wheeler (1990). "El próximo premio de la gravedad: el gravitomagnetismo". Un viaje a la gravedad y el espacio-tiempo . Scientific American Library. págs. 232-233. ISBN 978-0-7167-5016-1.
• L. Iorio, ed. (2007). Medición del gravitomagnetismo: una tarea desafiante . Nova. ISBN 978-1-60021-002-0.
• OD Jefimenko (1992). Causalidad, inducción electromagnética y gravitación: un enfoque diferente a la teoría de los campos electromagnéticos y gravitacionales . Electret Scientific. ISBN 978-0-917406-09-6.
• OD Jefimenko (2006). Gravitación y cogravitación . Electret Scientific. ISBN 978-0-917406-15-7.

Papeles

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• RL Forward (1963). "Directrices para la antigravedad". Revista estadounidense de física . 31 (3): 166–170. Código Bibliográfico :1963AmJPh..31..166F. doi :10.1119/1.1969340.
• RT Jantzen; P. Carini; D. Bini (1992). "Las muchas caras del gravitoelectromagnetismo". Anales de Física . 215 (1): 1–50. arXiv : gr-qc/0106043 . Código Bib : 1992AnPhy.215....1J. doi :10.1016/0003-4916(92)90297-Y. S2CID  6691986.
• B. Mashhoon (2000). "Gravitoelectromagnetismo". Marcos de referencia y gravitomagnetismo – Actas de la XXIII Reunión Española de Relatividad . pp. 121–132. arXiv : gr-qc/0011014 . Bibcode :2001rfg..conf..121M. CiteSeerX  10.1.1.339.476 . doi :10.1142/9789812810021_0009. ISBN 978-981-02-4631-0.S2CID263798773  .​
• B. Mashhoon (2003). "Gravitoelectromagnetismo: una breve revisión". arXiv : gr-qc/0311030 .en
• L. Iorio, ed. (2007). Medición del gravitomagnetismo: una tarea desafiante . Nova. pp. 29–39. ISBN 978-1-60021-002-0.
• M. Tajmar; CJ de Matos (2001). "Efecto gravitomagnético Barnett". Indian Journal of Physics B . 75 : 459–461. arXiv : gr-qc/0012091 . Código Bibliográfico :2000gr.qc....12091D.
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Enlaces externos

• Sonda de gravedad B: probando el universo de Einstein
• Noticias sobre los efectos gravitomagnéticos superconductores giroscópicos y los resultados provisionales de la investigación de la Agencia Espacial Europea ( ESA )
• En busca del gravitomagnetismo Archivado el 9 de octubre de 2006 en Wayback Machine , NASA, 20 de abril de 2004.
• Momento gravitomagnético de Londres: ¿una nueva prueba de la relatividad general?
• Medición de campos gravitomagnéticos y de aceleración alrededor de superconductores rotatorios M. Tajmar, et al., 17 de octubre de 2006.
• Prueba del efecto Lense-Thirring con la sonda MGS Mars, New Scientist , enero de 2007.