Efecto geodésico

Precesión de las órbitas de los satélites debido a la presencia de un cuerpo celeste que afecta el espacio-tiempo

Una representación del efecto geodésico, con valores para Gravity Probe B.

El efecto geodésico (también conocido como precesión geodésica , precesión de De Sitter o efecto de Sitter ) representa el efecto de la curvatura del espacio-tiempo , predicho por la relatividad general , sobre un vector transportado por un cuerpo en órbita. Por ejemplo, el vector podría ser el momento angular de un giroscopio que orbita la Tierra, como se llevó a cabo mediante el experimento Gravity Probe B. El efecto geodésico fue predicho por primera vez por Willem de Sitter en 1916, quien proporcionó correcciones relativistas al movimiento del sistema Tierra-Luna. El trabajo de De Sitter fue ampliado en 1918 por Jan Schouten y en 1920 por Adriaan Fokker . ^[1] También se puede aplicar a una precesión secular particular de las órbitas astronómicas, equivalente a la rotación del vector de Laplace-Runge-Lenz . ^[2]

El término efecto geodésico tiene dos significados ligeramente diferentes, ya que el cuerpo en movimiento puede estar girando o no. Los cuerpos que no giran se mueven en geodésicas , mientras que los cuerpos que giran se mueven en órbitas ligeramente diferentes. ^[3]

La diferencia entre la precesión de De Sitter y la precesión de Lense-Thirring (arrastre del marco) es que el efecto de De Sitter se debe simplemente a la presencia de una masa central, mientras que la precesión de Lense-Thirring se debe a la rotación de la masa central. La precesión total se calcula combinando la precesión de De Sitter con la precesión de Lense-Thirring.

Confirmación experimental

El efecto geodésico fue verificado con una precisión mejor que el 0,5% por Gravity Probe B , un experimento que mide la inclinación del eje de giro de los giroscopios en órbita alrededor de la Tierra. ^[4] Los primeros resultados se anunciaron el 14 de abril de 2007 en la reunión de la American Physical Society . ^[5]

Fórmulas

Para derivar la precesión, supongamos que el sistema está en una métrica de Schwarzschild rotatoria . La métrica no rotatoria es

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi '^{2}),}$

donde  c  = G  = 1.

Introducimos un sistema de coordenadas rotatorio, con una velocidad angular , tal que un satélite en una órbita circular en el plano θ = π/2 permanece en reposo. Esto nos da ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle d\phi =d\phi '-\omega \,dt.}$

En este sistema de coordenadas, un observador en la posición radial r ve un vector ubicado en r como si girara con una frecuencia angular ω. Sin embargo, este observador ve un vector ubicado en algún otro valor de r como si girara a una velocidad diferente, debido a la dilatación del tiempo relativista. Transformando la métrica de Schwarzschild en el marco giratorio y suponiendo que es una constante, encontramos ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)\left(dt-{\frac {r^{2}\beta \omega }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi \right)^{2}-\\&-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-{\frac {r^{2}\beta -2mr\beta }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi ^{2},\end{aligned}}}$

con . Para un cuerpo que orbita en el plano θ = π/2, tendremos β = 1, y la línea de universo del cuerpo mantendrá coordenadas espaciales constantes en todo momento. Ahora, la métrica está en la forma canónica ${\displaystyle \beta =\sin ^{2}(\theta )}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{2\Phi }\left(dt-w_{i}\,dx^{i}\right)^{2}-k_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.}$

A partir de esta forma canónica, podemos determinar fácilmente la velocidad de rotación de un giroscopio en el tiempo adecuado.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &={\frac {\sqrt {2}}{4}}e^{\Phi }[k^{ik}k^{jl}(\omega _{i,j}-\omega _{j,i})(\omega _{k,l}-\omega _{l,k})]^{1/2}=\\&={\frac {{\sqrt {\beta }}\omega (r-3m)}{r-2m-\beta \omega ^{2}r^{3}}}={\sqrt {\beta }}\omega .\end{aligned}}}$

donde la última igualdad es verdadera solo para observadores en caída libre para los cuales no hay aceleración, y por lo tanto . Esto conduce a ${\displaystyle \Phi ,_{i}=0}$

${\displaystyle \Phi ,_{i}={\frac {2m/r^{2}-2r\beta \omega ^{2}}{2(1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2})}}=0.}$

Resolviendo esta ecuación para ω obtenemos

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {m}{r^{3}\beta }}.}$

En esencia, se trata de la ley de los períodos de Kepler , que resulta ser relativistamente exacta cuando se expresa en términos de la coordenada temporal t de este sistema de coordenadas rotatorio particular. En el marco rotatorio, el satélite permanece en reposo, pero un observador a bordo del satélite ve el vector de momento angular del giroscopio en precesión a una velocidad ω. Este observador también ve que las estrellas distantes giran, pero giran a una velocidad ligeramente diferente debido a la dilatación del tiempo. Sea τ el tiempo propio del giroscopio . Entonces

${\displaystyle \Delta \tau =\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)^{1/2}\,dt=\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}\,dt.}$

El término −2 m / r se interpreta como la dilatación del tiempo gravitacional, mientras que el − m / r adicional se debe a la rotación de este marco de referencia. Sea α' la precesión acumulada en el marco giratorio. Como , la precesión a lo largo de una órbita, en relación con las estrellas distantes, viene dada por: ${\displaystyle \alpha '=\Omega \Delta \tau }$

${\displaystyle \alpha =\alpha '+2\pi =-2\pi {\sqrt {\beta }}{\Bigg (}\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}-1{\Bigg )}.}$

Con una serie de Taylor de primer orden encontramos

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {3\pi m}{r}}{\sqrt {\beta }}={\frac {3\pi m}{r}}\sin(\theta ).}$

Precesión de Thomas

Se puede intentar descomponer la precesión de De Sitter en un efecto cinemático llamado precesión de Thomas combinada con un efecto geométrico causado por el espacio-tiempo curvado gravitacionalmente. Al menos un autor ^[6] lo describe de esta manera, pero otros afirman que "La precesión de Thomas entra en juego para un giroscopio en la superficie de la Tierra..., pero no para un giroscopio en un satélite que se mueve libremente". ^[7] Una objeción a la primera interpretación es que la precesión de Thomas requerida tiene el signo incorrecto. La ecuación de transporte de Fermi-Walker ^[8] proporciona tanto el efecto geodésico como la precesión de Thomas y describe el transporte del 4-vector de espín para el movimiento acelerado en el espacio-tiempo curvado. El 4-vector de espín es ortogonal al 4-vector de velocidad. El transporte de Fermi-Walker preserva esta relación. Si no hay aceleración, el transporte de Fermi-Walker es simplemente un transporte paralelo a lo largo de una geodésica y proporciona la precesión de espín debido al efecto geodésico. Para la aceleración debida al movimiento circular uniforme en el espaciotiempo plano de Minkowski, el transporte de Fermi-Walker da la precesión de Thomas.

Véase también

• Arrastre de fotogramas
• Geodésicas en relatividad general
• Pozo de gravedad
• Cronología de la física gravitacional y la relatividad

Notas

1. Jean Eisenstaedt; Anne J. Kox (1988). Estudios de Historia de la Relatividad General. Birkhäuser . pag. 42.ISBN​ 0-8176-3479-7.
2. de Sitter, W (1916). "Sobre la teoría de la gravitación de Einstein y sus consecuencias astronómicas". Mon. Not. R. Astron. Soc . 77 : 155–184. Bibcode :1916MNRAS..77..155D. doi : 10.1093/mnras/77.2.155 .
3. Rindler, pág. 254.
4. Everitt, CWF; Parkinson, BW (2009). "Resultados científicos de la sonda Gravity Probe B: informe final de la NASA" (PDF) . Consultado el 2 de mayo de 2009 .
5. Kahn, Bob (14 de abril de 2007). "¿Tenía razón Einstein? Los científicos ofrecen el primer vistazo público a los resultados de Gravity Probe B" (PDF) . Stanford News . Consultado el 3 de enero de 2023 .
6. Rindler, página 234
7. Misner, Thorne y Wheeler, Gravitación, pág. 1118
8. Misner, Thorne y Wheeler, Gravitación, pág. 165, págs. 175-176, págs. 1117-1121

Referencias

• Wolfgang Rindler (2006) Relatividad: especial, general y cosmológica (2.ª ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856731-8 

Enlaces externos

• Sitios web de Gravity Probe B en la NASA y la Universidad de Stanford
• Precesión en el espacio curvo “El efecto geodésico”
• Efecto geodésico