Transporte de Fermi-Walker

Técnica matemática en relatividad general

El transporte de Fermi-Walker es un proceso de la relatividad general que se utiliza para definir un sistema de coordenadas o marco de referencia de modo que toda curvatura en el marco se deba a la presencia de densidad de masa/energía y no a un giro o rotación arbitrarios del marco. Fue descubierto por Fermi en 1921 y redescubierto por Walker en 1932. ^[1]

Diferenciación de Fermi-Walker

En la teoría de variedades lorentzianas , la diferenciación de Fermi-Walker es una generalización de la diferenciación covariante . En la relatividad general, las derivadas de Fermi-Walker de los campos vectoriales espaciales en un campo de marco, tomadas con respecto al campo vectorial unitario temporal en el campo de marco, se utilizan para definir marcos no inerciales y no rotatorios, estipulando que las derivadas de Fermi-Walker deben anularse. En el caso especial de los marcos inerciales , las derivadas de Fermi-Walker se reducen a derivadas covariantes.

Con una convención de signos, esto se define para un campo vectorial X a lo largo de una curva : ${\displaystyle (-+++)}$ ${\displaystyle \gamma (s)}$

${\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}-\left(X,{\frac {DV}{ds}}\right)V+(X,V){\frac {DV}{ds}},}$

donde V es la velocidad cuadrática, D es la derivada covariante y es el producto escalar. Si ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}=0,}$

entonces el campo vectorial X es transportado por Fermi-Walker a lo largo de la curva. ^[2] Los vectores perpendiculares al espacio de cuatro velocidades en el espacio-tiempo de Minkowski , por ejemplo, los vectores de polarización, bajo el transporte de Fermi-Walker experimentan la precesión de Thomas .

Utilizando la derivada de Fermi, la ecuación de Bargmann-Michel-Telegdi ^[3] para la precesión de espín del electrón en un campo electromagnético externo se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {D_{F}a^{\tau }}{ds}}=2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },}$

donde y son los cuatro vectores de polarización y el momento magnético , es la velocidad del electrón, , y es el tensor de intensidad del campo electromagnético . El lado derecho describe la precesión de Larmor . ${\displaystyle a^{\tau }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle u^{\tau }}$ ${\displaystyle a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1}$ ${\displaystyle u^{\tau }a_{\tau }=0}$ ${\displaystyle F^{\tau \sigma }}$

Sistemas de coordenadas en co-movimiento

Se puede definir un sistema de coordenadas que se mueve junto con una partícula. Si tomamos el vector unitario como eje que define el sistema de coordenadas que se mueve junto con ella, se dice que cualquier sistema que se transforma con el tiempo propio está experimentando transporte de Fermi-Walker. ^[4] ${\displaystyle v^{\mu }}$

Diferenciación generalizada de Fermi-Walker

La diferenciación de Fermi-Walker se puede extender a cualquier punto (es decir, a un vector que no sea de tipo luz ). Esto se define para un campo vectorial a lo largo de una curva : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (V,V)\neq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma (s)}$

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}+\left(X,{\frac {DV}{ds}}\right){\frac {V}{(V,V)}}-{\frac {(X,V)}{(V,V)}}{\frac {DV}{ds}}-\left(V,{\frac {DV}{ds}}\right){\frac {(X,V)}{(V,V)^{2}}}V,}$^[5]

A excepción del último término, que es nuevo, y causado básicamente por la posibilidad de que no sea constante, se puede derivar tomando la ecuación anterior y dividiendo cada una por . ${\displaystyle (V,V)}$ ${\displaystyle V^{2}}$ ${\displaystyle (V,V)}$

Si , entonces recuperamos la diferenciación de Fermi-Walker: ${\displaystyle (V,V)=-1}$

${\displaystyle \left(V,{\frac {DV}{ds}}\right)={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(V,V)=0\ ,}$y ${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}}={\frac {D_{F}X}{ds}}.}$

Véase también

• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo
• Enrique Fermi
• Arthur Geoffrey Walker
• Transición de la mecánica newtoniana a la relatividad general

Notas

1. Bini, Donato; Jantzen, Robert T. (2002). "Holonomía circular, efectos de reloj y gravitoelectromagnetismo: todavía dando vueltas en círculos después de todos estos años". Nuovo Cimento B . 117 (9–11): 983–1008. arXiv : gr-qc/0202085 .
2. Hawking y Ellis 1973, pág. 80
3. Bargmann, Michel y Telegdi 1959
4. Misner, Thorne y Wheeler 1973, pág. 170
5. Kocharyan, AA (2004). "Geometría de sistemas dinámicos". arXiv : astro-ph/0411595 .

Referencias

• Bargmann, V. ; Michel, L.; Telegdi, VL (1959). "Precesión de la polarización de partículas que se mueven en un campo electromagnético homogéneo". Physical Review Letters . 2 (10): 435. Bibcode :1959PhRvL...2..435B. doi :10.1103/PhysRevLett.2.435..
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939]. La teoría clásica de campos . Curso de física teórica. Vol. 2 (4.ª ed.). Butterworth–Heinemann . ISBN 0-7506-2768-9.
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John A. (1973). Gravitación . WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Hawking, Stephen W. ; Ellis, George FR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.
• Kocharyan, AA (2004). "Geometría de sistemas dinámicos". arXiv : astro-ph/0411595 .