Motivaciones newtonianas para la relatividad general

Algunos de los conceptos básicos de la relatividad general pueden esbozarse fuera del ámbito relativista . En particular, la idea de que la relación masa-energía genera curvatura en el espacio y que la curvatura afecta el movimiento de las masas puede ilustrarse en un contexto newtoniano . Utilizamos órbitas circulares como prototipo. Esto tiene la ventaja de que conocemos la cinética de las órbitas circulares. Esto nos permite calcular la curvatura de las órbitas en el espacio directamente y comparar los resultados con fuerzas dinámicas.

La equivalencia de la masa gravitacional y la inercial

Una característica única de la fuerza gravitatoria es que todos los objetos masivos se aceleran de la misma manera en un campo gravitatorio. Esto se expresa a menudo como "La masa gravitatoria es igual a la masa inercial". Esto nos permite pensar en la gravedad como una curvatura del espacio-tiempo . ^{[ cita requerida ]}

Prueba de planitud en el espacio-tiempo

Si las trayectorias inicialmente paralelas de dos partículas en geodésicas cercanas permanecen paralelas dentro de un cierto margen de precisión, entonces el espacio-tiempo es plano dentro de ese margen de precisión. [Ref. 2, p. 30]

Dos partículas cercanas en un campo gravitacional radial

Mecánica newtoniana para órbitas circulares

Órbitas circulares en el mismo radio.

Las ecuaciones geodésicas y de campo para órbitas circulares

Consideremos la situación en la que hay dos partículas en órbitas polares circulares cercanas de la Tierra con un radio y una velocidad de . Como las órbitas son circulares, la fuerza gravitacional sobre las partículas debe ser igual a la fuerza centrípeta , ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {v^{2} \over r}={GM \over r^{2}}}$

donde G es la constante gravitacional y es la masa de la tierra. ${\displaystyle M}$

Las partículas realizan un movimiento armónico simple alrededor de la Tierra y entre sí. Se encuentran a su máxima distancia entre sí cuando cruzan el ecuador. Sus trayectorias se cruzan en los polos.

A partir de la Ley de Gravitación de Newton se puede demostrar que el vector de separación viene dado por la "ecuación geodésica". ${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle {d^{2}\mathbf {h} \over d\tau ^{2}}+R\mathbf {h} =0}$

donde es la curvatura de la trayectoria y es la velocidad de la luz c por el tiempo. ${\displaystyle R={1 \over r^{2}}{v^{2} \over c^{2}}}$ ${\displaystyle \tau =ct}$

La curvatura de la trayectoria está generada por la masa de la Tierra . Esto se representa mediante la "ecuación de campo". ${\displaystyle M}$

${\displaystyle R={GM \over {r^{3}}}}$

En este ejemplo, la ecuación de campo es simplemente una declaración del concepto newtoniano de que la fuerza centrípeta es igual a la fuerza gravitacional para órbitas circulares. Nos referimos a esta expresión como una ecuación de campo para resaltar las similitudes con la ecuación de campo de Einstein . Esta ecuación tiene una forma muy diferente a la ley de Gauss , que es la caracterización habitual de la ecuación de campo en la mecánica newtoniana.

La posición de la partícula en movimiento con respecto a la partícula en reposo en el marco de referencia en co-movimiento.

Relación entre curvatura y densidad de masa

La masa se puede escribir en términos de la densidad de masa promedio dentro de una esfera de radio mediante la expresión ${\displaystyle \rho (r)}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle M={4\pi \rho (r)r^{3} \over 3}}$.

La ecuación de campo se convierte en

${\displaystyle R={4\pi G \over {3}}\rho (r)}$.

La curvatura de las trayectorias de las partículas es proporcional a la densidad de masa.

Medidas locales

Un requisito de la relatividad general es que todas las mediciones deben realizarse localmente. Imaginemos que las partículas están dentro de una nave espacial sin ventanas que orbita alrededor de la Tierra y cuyo centro de masas coincide con el de una de las partículas. Esa partícula estaría en reposo con respecto a la nave espacial. Un observador en la nave espacial no tendría ninguna indicación de que la nave estuviera orbitando alrededor de la Tierra. El observador solo puede medir el comportamiento de las partículas en el marco de la nave.

En este ejemplo, podemos definir un sistema de coordenadas local de modo que la dirección sea hacia el techo de la nave y este esté dirigido a lo largo de . La dirección sea hacia el frente de la nave y esté en la dirección de . La dirección sea hacia el lado izquierdo de la nave. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle y}$

En este marco, el vector es el vector de posición de la segunda partícula. Un observador en la nave pensaría que la segunda partícula oscilaba en un pozo de potencial generado por un campo gravitacional. Este es un ejemplo de aceleración de coordenadas debido a la elección de marcos en contraposición a una aceleración física debido a fuerzas reales. ${\displaystyle \mathbf {h} }$

Movimiento general en el campo gravitacional de la Tierra.

Trayectorias elípticas e hiperbólicas

Órbitas elípticas coplanares. La partícula en la órbita exterior viaja más lentamente que la partícula en la órbita interior. Se separarán con el tiempo.

En términos más generales, las partículas se mueven en trayectorias elípticas o hiperbólicas en un plano que contiene el centro de la Tierra. Las órbitas no necesitan ser circulares . También se pueden obtener ecuaciones geodésicas y de campo intuitivas en esas situaciones [Ref. 2, Capítulo 1]. Sin embargo, a diferencia de las órbitas circulares, la velocidad de las partículas en trayectorias elípticas o hiperbólicas no es constante. Por lo tanto, no tenemos una velocidad constante con la que escalar la curvatura. Por lo tanto, en previsión de la transición a la mecánica relativista, las trayectorias y curvaturas se escalan con la velocidad de la luz . ${\displaystyle c}$

De la ley de gravitación de Newton

${\displaystyle {d^{2}\mathbf {r} \over dt^{2}}=-{GM \over r^{3}}\mathbf {r} }$

Se puede obtener la ecuación geodésica para la separación de dos partículas en trayectorias cercanas.

${\displaystyle {d^{2}\mathbf {h} \over d\tau ^{2}}+R\mathbf {h} =0}$

y la ecuación de campo

${\displaystyle R=R_{\perp }={GM \over {c^{2}r^{3}}}={4\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)}$

Si la separación de partículas es perpendicular a y ${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle R=R_{\|}=-{2GM \over {c^{2}r^{3}}}=-{8\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)}$

Si la separación es paralela a . En el cálculo del radio se amplió en función de . Solo se conservó el término lineal . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle R_{\|}}$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

En el caso de que la separación de las partículas sea radial, la curvatura es negativa. Esto hará que las partículas se separen en lugar de atraerse entre sí como en el caso en que tienen el mismo radio. Esto es fácil de entender. Las órbitas externas viajan más lentamente que las órbitas internas. Esto conduce a la separación de partículas.

Sistema de coordenadas local

Sistema de coordenadas "diagonal" local para una órbita elíptica.

Se puede definir nuevamente un sistema de coordenadas local para una nave espacial que se mueve junto con una de las partículas. La dirección , hacia el techo, está en la dirección de . La dirección , hacia el frente de la nave, es perpendicular a, pero todavía está en el plano de la trayectoria. A diferencia de una órbita circular, esta nave ya no apunta necesariamente en la dirección de la velocidad. La dirección , está hacia el lado izquierdo de la nave. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle y}$

Descripción del tensor

Marco diagonal simple

La ecuación geodésica en un campo gravitacional radial se puede describir sucintamente en notación tensorial [Ref. 2, p. 37] en el marco de movimiento conjunto en el que el techo de la nave espacial está en la dirección ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle {d^{2}h^{i} \over ds^{2}}+R_{j}^{i}h^{j}=0}$

donde los índices latinos se encuentran sobre las direcciones espaciales en el sistema que se mueve conjuntamente, y hemos utilizado la convención de suma de Einstein en la que se suman los índices repetidos. El tensor de curvatura está dado por ${\displaystyle R_{j}^{i}}$

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}R_{1}^{1}&R_{1}^{2}&R_{1}^{3}\\R_{2}^{1}&R_{2}^{2}&R_{2}^{3}\\R_{3}^{1}&R_{3}^{2}&R_{3}^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}R_{\perp }&0&0\\0&R_{\perp }&0\\0&0&R_{\|}\end{Vmatrix}}}$

y el vector de separación está dado por

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}h^{1}&h^{2}&h^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {x}} &\mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {y}} &\mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {z}} \end{Vmatrix}}}$

donde es el componente de en la dirección, es el componente en la dirección y es el componente en la dirección. ${\displaystyle \mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {y}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {y}} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} \cdot \mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$

En este sistema de coordenadas que se mueven conjuntamente, el tensor de curvatura es diagonal. Esto no es así en general.

Orientación arbitraria del marco local

La nave espacial que se mueve en paralelo no tiene ventanas. Un observador no puede saber en qué dirección está la dirección ni en qué dirección está la velocidad con respecto a la Tierra. La orientación de la nave espacial puede ser muy diferente del sistema de coordenadas simple en el que el techo está en la dirección y la parte delantera de la nave está en una dirección coplanar con el radio y la velocidad. Podemos transformar nuestras coordenadas simples en un sistema de coordenadas orientado arbitrariamente mediante rotaciones . Sin embargo, esto destruye la naturaleza diagonal de la matriz de curvatura. ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

Las rotaciones se realizan con una matriz de rotación de modo que el vector de separación esté relacionado con el vector de separación antes de la rotación mediante la relación ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {h}} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle {\bar {h}}^{i}={\mathcal {M}}_{j}^{i}h^{j}}$.

La inversa de se define por ${\displaystyle {\bar {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{i}{\mathcal {M}}_{k}^{j}=\delta _{k}^{i}}$,

que produce

${\displaystyle h^{i}={\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}}$.

Aquí está el delta de Kronecker . ${\displaystyle \delta _{k}^{i}}$

Una matriz de rotación simple que gira el eje de coordenadas a través de un ángulo sobre el eje es ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}{\mathcal {M}}_{1}^{1}&{\mathcal {M}}_{1}^{2}&{\mathcal {M}}_{1}^{3}\\{\mathcal {M}}_{2}^{1}&{\mathcal {M}}_{2}^{2}&{\mathcal {M}}_{2}^{3}\\{\mathcal {M}}_{3}^{1}&{\mathcal {M}}_{3}^{2}&{\mathcal {M}}_{3}^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{Vmatrix}}}$.

Se trata de una rotación en el plano yz. La inversa se obtiene cambiando el signo de . ${\displaystyle \theta }$

Si la matriz de rotación no depende del tiempo, entonces la ecuación geodésica se convierte en, tras la rotación

${\displaystyle {d^{2}{\bar {h}}^{i} \over ds^{2}}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$

dónde

${\displaystyle {\bar {R}}_{j}^{i}={\mathcal {M}}_{k}^{i}R_{l}^{k}{\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{l}}$.

La curvatura en el nuevo sistema de coordenadas no es diagonal. El problema inverso de transformar un sistema de coordenadas arbitrario en un sistema diagonal se puede resolver matemáticamente con el proceso de diagonalización .

Diagrama 1. Cambios en la visión del espacio-tiempo a lo largo de la línea del universo de un observador que acelera rápidamente. En esta animación, la línea discontinua es la trayectoria del espacio-tiempo (" línea del universo ") de una partícula. Las bolas están colocadas a intervalos regulares de tiempo propio a lo largo de la línea del universo. Las líneas diagonales sólidas son los conos de luz para el evento actual del observador y se intersecan en ese evento. Los puntos pequeños son otros eventos arbitrarios en el espacio-tiempo. Para el marco de referencia inercial instantáneo actual del observador, la dirección vertical indica el tiempo y la dirección horizontal indica la distancia. La pendiente de la línea del universo (desviación de ser vertical) es la velocidad de la partícula en esa sección de la línea del universo. Por lo tanto, en una curva en la línea del universo, la partícula está siendo acelerada. Observe cómo cambia la visión del espacio-tiempo cuando el observador acelera, cambiando el marco de referencia inercial instantáneo. Estos cambios están gobernados por las transformaciones de Lorentz. Observe también que:
• las bolas en la línea del universo antes/después de las aceleraciones futuras/pasadas están más espaciadas debido a la dilatación del tiempo.
• los eventos que eran simultáneos antes de una aceleración ocurren en momentos diferentes después (debido a la relatividad de la simultaneidad ),
• los eventos pasan a través de las líneas del cono de luz debido a la progresión del tiempo propio, pero no debido al cambio de puntos de vista causado por las aceleraciones, y
• la línea del mundo siempre permanece dentro de los conos de luz futuros y pasados ​​del evento actual.

Rotación del marco local en función del tiempo: símbolos de Christoffel

La nave espacial puede dar volteretas sobre su centro de masas. En ese caso, la matriz de rotación depende del tiempo. Si la matriz de rotación depende del tiempo, entonces no conmuta con la derivada del tiempo.

En ese caso, la rotación de la velocidad de separación se puede escribir

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}^{k}{dh^{i} \over ds}={\mathcal {M}}_{i}^{k}{d{\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j} \over ds}}$

que se convierte en

${\displaystyle {d{\bar {h}}^{k} \over ds}+\Gamma _{j}^{k}{\bar {h}}^{j}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {D{\bar {h}}^{k} \over Ds}}$

dónde

${\displaystyle \Gamma _{j}^{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\mathcal {M}}_{i}^{k}{d{\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{i} \over ds}}$

Se le conoce como el símbolo de Christoffel .

La ecuación geodésica se convierte en

${\displaystyle {D^{2}{\bar {h}}^{i} \over Ds^{2}}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$,

que es lo mismo que antes con la excepción de que las derivadas se han generalizado.

Arbitrariedad en la curvatura

La velocidad en el marco de la nave espacial se puede escribir

${\displaystyle {\bar {u}}^{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {D{\bar {h}}^{i} \over Ds}}$.

La ecuación geodésica se convierte en

${\displaystyle {d{\bar {u}}^{i} \over ds}+\Gamma _{j}^{i}{\bar {u}}^{j}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$.

${\displaystyle {d^{2}{\bar {h}}^{i} \over ds^{2}}+2\Gamma _{j}^{i}{d{\bar {h}}^{i} \over ds}+{d\Gamma _{j}^{i} \over ds}{\bar {h}}^{j}+\Gamma _{j}^{i}\Gamma _{k}^{j}{\bar {h}}^{k}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$.

En una nave espacial que gira arbitrariamente, la curvatura del espacio se debe a dos términos, uno debido a la densidad de masa y otro debido a la rotación arbitraria de la nave espacial. La rotación arbitraria no es física y debe eliminarse en cualquier teoría física real de la gravitación. En la relatividad general, esto se hace con un proceso llamado transporte de Fermi-Walker . En un sentido euclidiano , el transporte de Fermi-Walker es simplemente una declaración de que la nave espacial no puede dar volteretas.

${\displaystyle \Gamma _{j}^{i}=0}$

para todos los i y j. Las únicas rotaciones dependientes del tiempo permitidas son las generadas por la densidad de masa.

Ecuaciones geodésicas y de campo generales en un contexto newtoniano

Ecuación geodésica

${\displaystyle {D^{2}{\bar {h}}^{i} \over Ds^{2}}+{\bar {R}}_{j}^{i}{\bar {h}}^{j}=0}$

dónde

${\displaystyle {D \over Ds}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {d \over ds}+\Gamma }$

y es un símbolo de Christoffel . ${\displaystyle \Gamma }$

Ecuación de campo

${\displaystyle {\bar {R}}_{j}^{i}={\mathcal {M}}_{k}^{i}R_{l}^{k}{\bar {\mathcal {M}}}_{j}^{l}}$

donde es una matriz de rotación y el tensor de curvatura es ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{j}^{i}}$

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}R_{1}^{1}&R_{1}^{2}&R_{1}^{3}\\R_{2}^{1}&R_{2}^{2}&R_{2}^{3}\\R_{3}^{1}&R_{3}^{2}&R_{3}^{3}\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}R_{\perp }&0&0\\0&R_{\perp }&0\\0&0&R_{\|}\end{Vmatrix}}}$.

La curvatura es proporcional a la densidad de masa.

${\displaystyle R_{\perp }={4\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)}$

${\displaystyle R_{\|}=-{8\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)}$.

Visión general de la imagen newtoniana

Las ecuaciones geodésicas y de campo son simplemente una reformulación de la Ley de gravitación de Newton vista desde un marco de referencia local que se mueve junto con la masa dentro del marco local. Esta imagen contiene muchos de los elementos de la relatividad general, incluido el concepto de que las partículas viajan a lo largo de geodésicas en un espacio curvo (espacio-tiempo en el caso relativista) y que la curvatura se debe a la presencia de densidad de masa (densidad de masa/energía en el caso relativista). Esta imagen también contiene parte de la maquinaria matemática de la relatividad general, como los tensores , los símbolos de Christoffel y el transporte de Fermi-Walker .

Generalización relativista

Línea de universo de una órbita circular alrededor de la Tierra representada en dos dimensiones espaciales X e Y (el plano de la órbita) y una dimensión temporal, que normalmente se coloca como eje vertical. Nótese que la órbita alrededor de la Tierra es (casi) un círculo en el espacio, pero su línea de universo es una hélice en el espacio-tiempo.

La relatividad general generaliza la ecuación geodésica y la ecuación de campo al ámbito relativista, en el que las trayectorias en el espacio se sustituyen por líneas de universo en el espacio-tiempo . Las ecuaciones también se generalizan a curvaturas más complicadas.

Véase también

Biografías

Albert Einstein

Elie Cartan

Bernhard Riemann

Enrique Fermi

Matemáticas relacionadas

Matemáticas de la relatividad general

Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo

Tensor de marea

Campos de trama en la relatividad general

Referencias

[1] Einstein, A. (1961). Relatividad: teoría especial y general . Nueva York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.

[2] Misner, Charles; Thorne, Kip S. y Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.

[3] Landau, LD y Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de campos (cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.

[4] PAM Dirac (1996). Teoría general de la relatividad . Princeton University Press . ISBN 0-691-01146-X.