Gravedad linealizada

Perturbaciones lineales para soluciones de ecuaciones de campo de Einstein no lineales

En la teoría de la relatividad general , la gravedad linealizada es la aplicación de la teoría de perturbaciones al tensor métrico que describe la geometría del espacio-tiempo . En consecuencia, la gravedad linealizada es un método eficaz para modelar los efectos de la gravedad cuando el campo gravitacional es débil. El uso de la gravedad linealizada es fundamental para el estudio de las ondas gravitacionales y el efecto de lente gravitacional de campo débil .

Aproximación de campo débil

La ecuación de campo de Einstein (EFE) que describe la geometría del espacio-tiempo se da como

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

donde es el tensor de Ricci , es el escalar de Ricci , es el tensor de energía-momento , es la constante gravitacional de Einstein y es el tensor métrico del espacio-tiempo que representa las soluciones de la ecuación. ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \kappa =8\pi G/c^{4}}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Aunque sucinta cuando se escribe utilizando la notación de Einstein , oculta dentro del tensor de Ricci y el escalar de Ricci hay dependencias excepcionalmente no lineales del tensor métrico que hacen que la perspectiva de encontrar soluciones exactas sea impráctica en la mayoría de los sistemas. Sin embargo, al describir sistemas para los cuales la curvatura del espacio-tiempo es pequeña (lo que significa que los términos en la EFE que son cuadráticos en no contribuyen significativamente a las ecuaciones de movimiento), se puede modelar la solución de las ecuaciones de campo como la métrica de Minkowski ^{[nota 1]} más un pequeño término de perturbación . En otras palabras: ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1.}$

En este régimen, al sustituir la métrica general por esta aproximación perturbativa se obtiene una expresión simplificada para el tensor de Ricci: ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }),}$

donde es la traza de la perturbación, denota la derivada parcial con respecto a la coordenada del espacio-tiempo, y es el operador d'Alembert . ${\displaystyle h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$

Junto con el escalar de Ricci,

${\displaystyle R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\square h,}$

El lado izquierdo de la ecuación del campo se reduce a

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\square h).}$

y por lo tanto la EFE se reduce a una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden en términos de . ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Invariancia de calibre

El proceso de descomposición del espacio-tiempo general en la métrica de Minkowski más un término de perturbación no es único. Esto se debe a que diferentes elecciones de coordenadas pueden dar diferentes formas para . Para capturar este fenómeno, se introduce la aplicación de la simetría de calibre . ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Las simetrías de calibre son un mecanismo matemático para describir un sistema que no cambia cuando el sistema de coordenadas subyacente se "desplaza" en una cantidad infinitesimal. Por lo tanto, aunque la métrica de perturbación no está definida de manera uniforme entre diferentes sistemas de coordenadas, el sistema general que describe es . ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Para capturar esto formalmente, la no unicidad de la perturbación se representa como una consecuencia de la diversa colección de difeomorfismos en el espacio-tiempo que dejan suficientemente pequeños. Por lo tanto, se requiere que se defina en términos de un conjunto general de difeomorfismos, luego se selecciona el subconjunto de estos que preservan la pequeña escala que requiere la aproximación de campo débil. Por lo tanto, se puede definir para denotar un difeomorfismo arbitrario que mapea el espacio-tiempo plano de Minkowski al espacio-tiempo más general representado por la métrica . Con esto, la métrica de perturbación puede definirse como la diferencia entre el pullback de y la métrica de Minkowski: ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }.}$

Los difeomorfismos pueden entonces elegirse de tal manera que . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |h_{\mu \nu }|\ll 1}$

Dado entonces un campo vectorial definido en el espacio-tiempo de fondo plano, se puede definir una familia adicional de difeomorfismos como aquellos generados por y parametrizados por . Estos nuevos difeomorfismos se utilizarán para representar las transformaciones de coordenadas para "desplazamientos infinitesimales" como se discutió anteriormente. Junto con , una familia de perturbaciones está dada por ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi _{\epsilon }}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}&=[(\phi \circ \psi _{\epsilon })^{*}g]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=[\psi _{\epsilon }^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=\psi _{\epsilon }^{*}(h+\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=(\psi _{\epsilon }^{*}h)_{\mu \nu }+\epsilon \left[{\frac {(\psi _{\epsilon }^{*}\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}{\epsilon }}\right].\end{aligned}}}$

Por lo tanto, en el límite , ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon {\mathcal {L}}_{\xi }\eta _{\mu \nu }}$

donde es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }}$ ${\displaystyle \xi _{\mu }}$

La derivada de Lie funciona para producir la transformación de calibre final de la métrica de perturbación : ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon (\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }),}$

que definen con precisión el conjunto de métricas de perturbación que describen el mismo sistema físico. En otras palabras, caracteriza la simetría de calibración de las ecuaciones de campo linealizadas.

Elección del calibre

Al explotar la invariancia del calibre, se pueden garantizar ciertas propiedades de la métrica de perturbación eligiendo un campo vectorial adecuado . ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

Calibre transversal

Para estudiar cómo la perturbación distorsiona las mediciones de longitud, es útil definir el siguiente tensor espacial: ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle s_{ij}=h_{ij}-{\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}\delta _{ij}}$

(Tenga en cuenta que los índices abarcan solo componentes espaciales: ). Por lo tanto, al utilizar , los componentes espaciales de la perturbación se pueden descomponer como ${\displaystyle i,j\in \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle s_{ij}}$

${\displaystyle h_{ij}=s_{ij}-\Psi \delta _{ij}}$

dónde . ${\displaystyle \Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}}$

El tensor , por construcción, no tiene trazas y se lo denomina deformación, ya que representa la cantidad en que la perturbación estira y contrae las mediciones del espacio . En el contexto del estudio de la radiación gravitacional , la deformación es particularmente útil cuando se utiliza con el calibre transversal. Este calibre se define eligiendo los componentes espaciales de para satisfacer la relación ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\xi ^{j}+{\frac {1}{3}}\partial _{j}\partial _{i}\xi ^{i}=-\partial _{i}s^{ij},}$

luego elegir el componente de tiempo a satisfacer ${\displaystyle \xi ^{0}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\xi ^{0}=\partial _{i}h_{0i}+\partial _{0}\partial _{i}\xi ^{i}.}$

Después de realizar la transformación de calibre utilizando la fórmula de la sección anterior, la deformación se vuelve espacialmente transversal:

${\displaystyle \partial _{i}s_{(\epsilon )}^{ij}=0,}$

con la propiedad adicional:

${\displaystyle \partial _{i}h_{(\epsilon )}^{0i}=0.}$

Calibre sincrónico

El indicador sincrónico simplifica la métrica de perturbación al exigir que la métrica no distorsione las mediciones de tiempo. Más precisamente, el indicador sincrónico se elige de modo que los componentes no espaciales de sean cero, es decir ${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}}$

${\displaystyle h_{0\nu }^{(\epsilon )}=0.}$

Esto se puede lograr exigiendo el componente de tiempo para satisfacer ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{0}\xi ^{0}=-h_{00}}$

y requiriendo que los componentes espaciales satisfagan

${\displaystyle \partial _{0}\xi ^{i}=\partial _{i}\xi ^{0}-h_{0i}.}$

Calibre armónico

El calibre armónico (también conocido como calibre de Lorenz ^{[nota 2]} ) se selecciona siempre que sea necesario reducir las ecuaciones de campo linealizadas tanto como sea posible. Esto se puede hacer si la condición

${\displaystyle \partial _{\mu }h_{\nu }^{\mu }={\frac {1}{2}}\partial _{\nu }h}$

es cierto. Para lograrlo se requiere satisfacer la relación ${\displaystyle \xi _{\mu }}$

${\displaystyle \square \xi _{\mu }=-\partial _{\nu }h_{\mu }^{\nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h.}$

En consecuencia, al utilizar el calibre armónico, el tensor de Einstein se reduce a ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }}$

${\displaystyle G_{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\square \left(h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }\right).}$

Por lo tanto, al escribirlo en términos de una métrica de "traza invertida", , las ecuaciones de campo linealizadas se reducen a ${\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }}$

${\displaystyle \square {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=-2\kappa T_{\mu \nu }.}$

Esto se puede resolver con exactitud, para producir las soluciones de onda que definen la radiación gravitacional .

Véase también

• Principio de correspondencia
• Gravitoelectromagnetismo
• Tensor de Lanczos
• Formalismo post-newtoniano parametrizado
• Expansión post-newtoniana
• Modo cuasiconnormal

Notas

1. Esto supone que el espacio-tiempo de fondo es plano. La teoría de perturbaciones aplicada a un espacio-tiempo que ya es curvo puede funcionar igual de bien cuando este término se reemplaza por la métrica que representa el fondo curvo.
2. No debe confundirse con Lorentz.

Lectura adicional

• Sean M. Carroll (2003). Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . Pearson. ISBN 978-0805387322.

Enlaces externos

• Citas relacionadas con Gravedad linealizada en Wikiquote