variedad topológica

En topología , una rama de las matemáticas , una variedad topológica es un espacio topológico que localmente se parece al espacio euclidiano real de n dimensiones . Las variedades topológicas son una clase importante de espacios topológicos, con aplicaciones en todas las matemáticas. Todas las variedades son variedades topológicas por definición. Otros tipos de variedades se forman agregando estructura a una variedad topológica (por ejemplo, las variedades diferenciables son variedades topológicas equipadas con una estructura diferencial ). Cada variedad tiene una variedad topológica "subyacente", obtenida simplemente "olvidando" la estructura agregada. ^[1] Sin embargo, no todas las variedades topológicas pueden dotarse de una estructura adicional particular. Por ejemplo, la variedad E8 es una variedad topológica a la que no se le puede dotar de una estructura diferenciable.

Definicion formal

Un espacio topológico X se llama localmente euclidiano si hay un número entero no negativo n tal que cada punto en X tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio n real R ⁿ . ^[2]

Una variedad topológica es un espacio de Hausdorff localmente euclidiano . Es común imponer requisitos adicionales a las variedades topológicas. En particular, muchos autores los definen como paracompactos ^[3] o segundos contables . ^[2]

En el resto de este artículo, una variedad significará una variedad topológica. Una n-variedad significará una variedad topológica tal que cada punto tiene una vecindad homeomorfa a R ⁿ .

Ejemplos

n -colectores

El espacio de coordenadas real R ⁿ es una n -variedad.
Cualquier espacio discreto es una variedad de dimensión 0.
Un círculo es una variedad 1 compacta .
Un toroide y una botella de Klein son 2 colectores (o superficies ) compactos.
La esfera n -dimensional S ⁿ es una variedad n compacta .
El toro n -dimensional T ⁿ (el producto de n círculos) es una variedad n compacta .

Colectores proyectivos

Los espacios proyectivos sobre reales , complejos o cuaterniones son variedades compactas.
- El espacio proyectivo real RP ⁿ es una variedad n -dimensional.
- El espacio proyectivo complejo CP ⁿ es una variedad de 2 n dimensiones.
- El espacio proyectivo cuaterniónico HP ⁿ es una variedad de 4 n dimensiones.
Las variedades relacionadas con el espacio proyectivo incluyen las variedades Grassmannianas , las variedades bandera y las variedades Stiefel .

Otros colectores

Las variedades diferenciables son una clase de variedades topológicas equipadas con una estructura diferencial .
Los espacios de lentes son una clase de variedades diferenciables que son cocientes de esferas de dimensiones impares.
Los grupos de mentira son una clase de variedades diferenciables equipadas con una estructura de grupo compatible .
La variedad E8 es una variedad topológica a la que no se le puede dar una estructura diferenciable.

Propiedades

La propiedad de ser localmente euclidiano se conserva mediante homeomorfismos locales . Es decir, si X es localmente euclidiano de dimensión n y f : Y → X es un homeomorfismo local, entonces Y es localmente euclidiano de dimensión n . En particular, ser localmente euclidiano es una propiedad topológica .

Las variedades heredan muchas de las propiedades locales del espacio euclidiano. En particular, son localmente compactos , localmente conectados , primero contables , localmente contráctiles y localmente metrizables . Al ser espacios de Hausdorff localmente compactos, las variedades son necesariamente espacios de Tychonoff .

Agregar la condición de Hausdorff puede hacer que varias propiedades se vuelvan equivalentes para una variedad. Como ejemplo, podemos mostrar que para una variedad de Hausdorff, las nociones de σ-compacidad y segunda contabilidad son las mismas. De hecho, una variedad de Hausdorff es un espacio de Hausdorff localmente compacto, por lo que es (completamente) regular. ^[4] Supongamos que dicho espacio X es σ-compacto. Entonces es Lindelöf, y como Lindelöf + regular implica paracompacto, X es metrizable. Pero en un espacio metrizable, la segunda contable coincide con ser Lindelöf, por lo que X es segundo contable. Por el contrario, si X es una segunda variedad contable de Hausdorff, debe ser σ-compacta. ^[5]

No es necesario que una variedad esté conectada, pero toda variedad M es una unión disjunta de variedades conectadas. Estos son solo los componentes conectados de M , que son conjuntos abiertos ya que las variedades están conectadas localmente. Al estar conectado localmente por ruta, una variedad está conectada por ruta si y solo si está conectada. De ello se deduce que los componentes de la ruta son los mismos que los componentes.

El axioma de Hausdorff

La propiedad Hausdorff no es local; entonces, aunque el espacio euclidiano sea Hausdorff, un espacio localmente euclidiano no tiene por qué serlo . Es cierto, sin embargo, que todo espacio localmente euclidiano es T 1 .

Un ejemplo de un espacio localmente euclidiano no Hausdorff es la recta con dos orígenes . Este espacio se crea reemplazando el origen de la línea real con dos puntos, una vecindad abierta de cualquiera de los cuales incluye todos los números distintos de cero en algún intervalo abierto centrado en cero. Este espacio no es Hausdorff porque los dos orígenes no pueden separarse.

Axiomas de compacidad y contabilidad.

Una variedad es metrizable si y sólo si es paracompacta . La línea larga es un ejemplo de una variedad topológica unidimensional normal de Hausdorff que no es metrizable ni paracompacta. Dado que la metrizabilidad es una propiedad tan deseable para un espacio topológico, es común agregar paracompacidad a la definición de una variedad. En cualquier caso, las variedades no paracompactas generalmente se consideran patológicas . Un ejemplo de variedad no paracompacta lo da la línea larga . Las variedades paracompactas tienen todas las propiedades topológicas de los espacios métricos. En particular, son espacios de Hausdorff perfectamente normales .

También se suele exigir que los colectores sean contables en segundo lugar . Esta es precisamente la condición requerida para garantizar que la variedad se incruste en algún espacio euclidiano de dimensión finita. Para cualquier variedad, las propiedades de ser segundo contable, Lindelöf y σ-compacto son todas equivalentes.

Cada segunda variedad contable es paracompacta, pero no al revés. Sin embargo, lo contrario es casi cierto: una variedad paracompacta es contable en segundos si y solo si tiene un número contable de componentes conectados . En particular, una variedad conectada es paracompacta si y solo si es contable en segundos. Cada segunda variedad contable es separable y paracompacta. Además, si una variedad es separable y paracompacta, entonces también es contable en segundos.

Cada variedad compacta es contable en segundos y paracompacta.

Dimensionalidad

Por invariancia de dominio , una n -variedad no vacía no puede ser una m -variedad para n ≠ m . ^{[6] La dimensión de una}n -colectora no vacía es n . Ser una n -variedad es una propiedad topológica , lo que significa que cualquier espacio topológico homeomorfo a una n -variedad también es una n -variedad. ^[7]

gráficos de coordenadas

Por definición, cada punto de un espacio localmente euclidiano tiene una vecindad homeomorfa a un subconjunto abierto de . Estos barrios se denominan barrios euclidianos . De la invariancia de dominio se deduce que las vecindades euclidianas son siempre conjuntos abiertos. Siempre se pueden encontrar barrios euclidianos que sean homeomorfos a conjuntos abiertos "agradables" en . De hecho, un espacio M es localmente euclidiano si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

cada punto de M tiene una vecindad homeomorfa a una bola abierta en . $\mathbb {R} ^{n}$
cada punto de M tiene una vecindad homeomorfa consigo mismo. $\mathbb {R} ^{n}$

Una vecindad euclidiana homeomorfa a una bola abierta se llama bola euclidiana . Las bolas euclidianas forman la base de la topología de un espacio localmente euclidiano. $\mathbb {R} ^{n}$

Para cualquier vecindad euclidiana U , un homeomorfismo se denomina gráfico de coordenadas en U (aunque la palabra gráfico se utiliza con frecuencia para referirse al dominio o rango de dicho mapa). Un espacio M es localmente euclidiano si y sólo si puede ser cubierto por vecindades euclidianas. Un conjunto de vecindades euclidianas que cubren M , junto con sus cartas de coordenadas, se denomina atlas de M. (La terminología proviene de una analogía con la cartografía , según la cual un globo esférico puede describirse mediante un atlas de mapas o cartas planas). $\phi :U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R} ^{n}$

Dados dos gráficos y con dominios superpuestos U y V , existe una función de transición $\phi$ $\psi$

\psi \phi ^{-1}:\phi \left(U\cap V\right)\rightarrow \psi \left(U\cap V\right)

Tal mapa es un homeomorfismo entre subconjuntos abiertos de . Es decir, los gráficos de coordenadas coinciden en superposiciones hasta el homeomorfismo. Se pueden definir diferentes tipos de variedades imponiendo restricciones a los tipos de mapas de transición permitidos. Por ejemplo, para variedades diferenciables se requiere que los mapas de transición sean suaves . $\mathbb {R} ^{n}$

Clasificación de colectores.

Espacios discretos (colector 0)

Una variedad 0 es solo un espacio discreto . Un espacio discreto es contable en segundo lugar si y sólo si es contable . ^[7]

Curvas (1 colector)

Cada variedad 1 conectada, paracompacta y no vacía es homeomórfica para R o para el círculo . ^[7]

Superficies (2 colectores)

Cada 2-variedad (o superficie ) no vacía, compacta y conectada es homeomorfa a la esfera , una suma conexa de toros o una suma conexa de planos proyectivos . ^[8]

Volúmenes (3 colectores)

Una clasificación de 3 variedades resulta de la conjetura de geometrización de Thurston , probada por Grigori Perelman en 2003. Más específicamente, los resultados de Perelman proporcionan un algoritmo para decidir si dos tres variedades son homeomórficas entre sí. ^[9]

General n -colector

Se sabe que la clasificación completa de n -variedades para n mayor que tres es imposible; es al menos tan difícil como el problema verbal de la teoría de grupos , que se sabe que es algorítmicamente indecidible . ^[10]

De hecho, no existe ningún algoritmo para decidir si una variedad determinada es simplemente conexa . Sin embargo, existe una clasificación de variedades simplemente conexas de dimensión ≥ 5. ^[11]^[12]

Colectores con límite

A veces resulta útil un concepto un poco más general. Una variedad topológica con límite es un espacio de Hausdorff en el que cada punto tiene una vecindad homeomorfa a un subconjunto abierto del semiespacio euclidiano (para un n fijo ):

\mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\ geq 0\}.

Toda variedad topológica es una variedad topológica con límite, pero no al revés. ^[7]

Construcciones

Existen varios métodos para crear variedades a partir de otras variedades.

Colectores de productos

Si M es una variedad m y N es una variedad n , el producto cartesiano M × N es una variedad ( m + n ) cuando se le da la topología del producto . ^[13]

Unión disjunta

La unión disjunta de una familia contable de n -variedades es una n -variedad (todas las piezas deben tener la misma dimensión). ^[7]

Suma conectada

La suma conectada de dos n -colectores se define quitando una bola abierta de cada colector y tomando el cociente de la unión disjunta de los colectores resultantes con el límite, tomando el cociente con respecto a un homeomorfismo entre las esferas límite de las bolas eliminadas. . Esto da como resultado otra n -colectora. ^[7]

subcolector

Cualquier subconjunto abierto de una n -variedad es una n -variedad con la topología subespacial . ^[13]

Notas a pie de página

^ Rajendra Bhatia (6 de junio de 2011). Actas del Congreso Internacional de Matemáticos: Hyderabad, 19 al 27 de agosto de 2010. World Scientific. págs. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9.
^ ab John M. Lee (6 de abril de 2006). Introducción a las variedades topológicas. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-22727-6.
^ Thierry Aubin (2001). Un curso de geometría diferencial. Sociedad Matemática Estadounidense. págs.25–. ISBN 978-0-8218-7214-7.
^ Subwiki de topoespacios, Hausdorff localmente compacto implica completamente regular
^ Stack Exchange, Hausdorff localmente compacto y el segundo contable es sigma-compacto
^ Tammo tom Dieck (2008). Topología algebraica. Sociedad Matemática Europea. págs. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7.
^ abcdef John Lee (25 de diciembre de 2010). Introducción a las variedades topológicas. Medios de ciencia y negocios de Springer. págs.64–. ISBN 978-1-4419-7940-7.
^ Jean Gallier; Dianna Xu (5 de febrero de 2013). Una guía para el teorema de clasificación de superficies compactas . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-34364-3.
^ Geometrización de 3 colectores. Sociedad Matemática Europea. 2010. ISBN 978-3-03719-082-1.
^ Lawrence Conlon (17 de abril de 2013). Colectores diferenciables: un primer curso. Medios de ciencia y negocios de Springer. págs.90–. ISBN 978-1-4757-2284-0.
^ Žubr AV (1988) Clasificación de 6 variedades topológicas simplemente conectadas. En: Viro OY, Vershik AM (eds) Topología y geometría - Seminario Rohlin. Lecture Notes in Mathematics, vol 1346. Springer, Berlín, Heidelberg
^ Barden, D. "Cinco colectores simplemente conectados". Anales de Matemáticas, vol. 82, núm. 3, 1965, págs. 365–385. JSTOR, www.jstor.org/stable/1970702.
^ ab Jeffrey Lee; Jeffrey Marc Lee (2009). Colectores y Geometría Diferencial. Sociedad Matemática Estadounidense. págs.7–. ISBN 978-0-8218-4815-9.

Referencias

Gauld, DB (1974). "Propiedades topológicas de las variedades". El Mensual Matemático Estadounidense . Asociación Matemática de América. 81 (6): 633–636. doi :10.2307/2319220. JSTOR 2319220.
Kirby, Robion C .; Siebenmann, Laurence C. (1977). Ensayos fundamentales sobre variedades topológicas. Suavizados y triangulaciones (PDF) . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08191-3.
Lee, John M. (2000). Introducción a las variedades topológicas. Textos de Graduado en Matemáticas 202 . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-98759-2.

enlaces externos

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