Ley del cuadrado inverso

Ley física

S representa la fuente de luz, mientras que r representa los puntos medidos. Las líneas representan el flujo que emana de las fuentes y los flujos. El número total de líneas de flujo depende de la intensidad de la fuente de luz y es constante a medida que aumenta la distancia, donde una mayor densidad de líneas de flujo (líneas por unidad de área) significa un campo de energía más fuerte. La densidad de líneas de flujo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente porque el área de la superficie de una esfera aumenta con el cuadrado del radio. Por lo tanto, la intensidad del campo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente.

En ciencia , una ley del cuadrado inverso es cualquier ley científica que establece que la "intensidad" observada de una magnitud física específica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente de esa magnitud física. La causa fundamental de esto puede entenderse como la dilución geométrica correspondiente a la radiación de una fuente puntual en el espacio tridimensional.

La energía del radar se expande tanto durante la transmisión de la señal como durante el retorno reflejado , por lo que el cuadrado inverso para ambas trayectorias significa que el radar recibirá energía de acuerdo con la cuarta potencia inversa del rango.

Para evitar la dilución de energía durante la propagación de una señal, se pueden utilizar ciertos métodos, como una guía de ondas , que actúa como un canal para el agua, o cómo un cañón de pistola restringe la expansión del gas caliente a una dimensión para evitar la pérdida de transferencia de energía a una bala .

Fórmula

En notación matemática, la ley del cuadrado inverso se puede expresar como una intensidad (I) que varía en función de la distancia (d) desde un centro. La intensidad es proporcional (ver ∝ ) al recíproco del cuadrado de la distancia, por lo tanto: $${\displaystyle {\text{intensity}}\ \propto \ {\frac {1}{{\text{distance}}^{2}}}\,}$$

También se puede expresar matemáticamente como: $${\displaystyle {\frac {{\text{intensity}}_{1}}{{\text{intensity}}_{2}}}={\frac {{\text{distance}}_{2}^{2}}{{\text{distance}}_{1}^{2}}}}$$

o como la formulación de una cantidad constante: $${\displaystyle {\text{intensity}}_{1}\times {\text{distance}}_{1}^{2}={\text{intensity}}_{2}\times {\text{distance}}_{2}^{2}}$$

La divergencia de un campo vectorial resultante de campos radiales de ley del inverso del cuadrado con respecto a una o más fuentes es proporcional a la intensidad de las fuentes locales y, por lo tanto, cero fuentes externas. La ley de gravitación universal de Newton sigue una ley del inverso del cuadrado, al igual que los efectos de los fenómenos eléctricos , luminosos , sonoros y de radiación .

Justificación

La ley del cuadrado inverso se aplica generalmente cuando una fuente puntual irradia de manera uniforme hacia afuera alguna fuerza, energía u otra cantidad conservada en el espacio tridimensional . Dado que el área de la superficie de una esfera (que es 4π r ² ) es proporcional al cuadrado del radio, a medida que la radiación emitida se aleja de la fuente, se extiende sobre un área que aumenta en proporción al cuadrado de la distancia desde la fuente. Por lo tanto, la intensidad de la radiación que pasa a través de cualquier área unitaria (directamente orientada hacia la fuente puntual) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente puntual. La ley de Gauss para la gravedad es igualmente aplicable y se puede utilizar con cualquier cantidad física que actúe de acuerdo con la relación del cuadrado inverso.

Ocurrencias

Gravitación

La gravitación es la atracción entre objetos que tienen masa. La ley de Newton establece:

La fuerza de atracción gravitatoria entre dos masas puntuales es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La fuerza es siempre atractiva y actúa a lo largo de la línea que las une. ^{[ cita requerida ]}

Si la distribución de materia en cada cuerpo es esféricamente simétrica, entonces los objetos pueden ser tratados como masas puntuales sin aproximación, como se muestra en el teorema de capas . De lo contrario, si queremos calcular la atracción entre cuerpos masivos, necesitamos sumar todas las fuerzas de atracción punto-punto vectorialmente y la atracción neta podría no ser exactamente el cuadrado inverso. Sin embargo, si la separación entre los cuerpos masivos es mucho mayor en comparación con sus tamaños, entonces, para una buena aproximación, es razonable tratar las masas como una masa puntual ubicada en el centro de masa del objeto mientras se calcula la fuerza gravitacional.

Como ley de la gravitación, esta ley fue sugerida en 1645 por Ismaël Bullialdus . Pero Bullialdus no aceptó la segunda y tercera leyes de Kepler , ni apreció la solución de Christiaan Huygens para el movimiento circular (movimiento en línea recta arrastrado por la fuerza central). De hecho, Bullialdus sostuvo que la fuerza del sol era atractiva en el afelio y repulsiva en el perihelio. Robert Hooke y Giovanni Alfonso Borelli expusieron la gravitación en 1666 como una fuerza atractiva. ^[1] La conferencia de Hooke "Sobre la gravedad" fue en la Royal Society, en Londres, el 21 de marzo. ^[2] La "Teoría de los planetas" de Borelli se publicó más tarde en 1666. ^[3] La conferencia de Hooke en Gresham de 1670 explicó que la gravitación se aplicaba a "todos los cuerpos celestes" y agregó los principios de que el poder gravitatorio disminuye con la distancia y que en ausencia de tal poder los cuerpos se mueven en línea recta. En 1679, Hooke pensaba que la gravitación tenía una dependencia inversa del cuadrado y lo comunicó en una carta a Isaac Newton : ^[4] Mi suposición es que la atracción siempre es doblemente proporcional a la distancia desde el centro recíproco . ^[5]

Hooke permaneció resentido por el hecho de que Newton afirmara haber inventado este principio, a pesar de que los Principia de Newton de 1686 reconocían que Hooke, junto con Wren y Halley, habían apreciado por separado la ley del cuadrado inverso en el sistema solar, ^[6] además de dar cierto crédito a Bullialdus. ^[7]

Electrostática

La fuerza de atracción o repulsión entre dos partículas cargadas eléctricamente, además de ser directamente proporcional al producto de las cargas eléctricas, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas; esto se conoce como ley de Coulomb . La desviación del exponente respecto de 2 es menor que una parte en 10 ¹⁵ . ^[8]

$${\displaystyle F=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$$

Luz y otras radiaciones electromagnéticas

La intensidad (o iluminancia o irradiancia ) de la luz u otras ondas lineales que irradian desde una fuente puntual (energía por unidad de área perpendicular a la fuente) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente, por lo que un objeto (del mismo tamaño) dos veces más lejos recibe solo una cuarta parte de la energía (en el mismo período de tiempo).

De manera más general, la irradiancia, es decir, la intensidad (o potencia por unidad de área en la dirección de propagación ), de un frente de onda esférico varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde la fuente (suponiendo que no hay pérdidas causadas por absorción o dispersión ).

Por ejemplo, la intensidad de la radiación del Sol es de 9.126 vatios por metro cuadrado a la distancia de Mercurio (0,387 UA ); pero sólo de 1.367 vatios por metro cuadrado a la distancia de la Tierra (1 UA): un aumento aproximado de tres veces en la distancia resulta en una disminución aproximada de nueve veces en la intensidad de la radiación.

En el caso de los radiadores no isótropos, como las antenas parabólicas , los faros y los láseres , el origen efectivo se encuentra muy por detrás de la apertura del haz. Si estás cerca del origen, no tienes que ir muy lejos para duplicar el radio, por lo que la señal cae rápidamente. Cuando estás lejos del origen y aún tienes una señal fuerte, como con un láser, tienes que viajar muy lejos para duplicar el radio y reducir la señal. Esto significa que tienes una señal más fuerte o tienes una ganancia de antena en la dirección del haz estrecho en relación con un haz ancho en todas las direcciones de una antena isótropa .

En fotografía e iluminación escénica , se utiliza la ley del cuadrado inverso para determinar la “caída” o la diferencia de iluminación sobre un sujeto a medida que se acerca o se aleja de la fuente de luz. Para aproximaciones rápidas, basta recordar que duplicar la distancia reduce la iluminación a una cuarta parte; ^[9] o de manera similar, para reducir a la mitad la iluminación, aumente la distancia por un factor de 1,4 (la raíz cuadrada de 2 ), y para duplicar la iluminación, reduzca la distancia a 0,7 (raíz cuadrada de 1/2). Cuando el iluminante no es una fuente puntual, la regla del cuadrado inverso suele ser una aproximación útil; cuando el tamaño de la fuente de luz es menor que una quinta parte de la distancia al sujeto, el error de cálculo es menor del 1%. ^[10]

La reducción fraccionaria de la fluencia electromagnética (Φ) para la radiación ionizante indirecta con el aumento de la distancia desde una fuente puntual se puede calcular utilizando la ley del cuadrado inverso. Dado que las emisiones de una fuente puntual tienen direcciones radiales, se interceptan en una incidencia perpendicular. El área de dicha capa es 4π r ² donde r es la distancia radial desde el centro. La ley es particularmente importante en la radiografía diagnóstica y la planificación del tratamiento de radioterapia , aunque esta proporcionalidad no se cumple en situaciones prácticas a menos que las dimensiones de la fuente sean mucho menores que la distancia. Como se afirma en la teoría de Fourier del calor, "como la fuente puntual se magnifica con las distancias, su radiación se diluye proporcionalmente al seno del ángulo, del arco de circunferencia creciente desde el punto de origen".

Ejemplo

Sea P   la potencia total irradiada desde una fuente puntual (por ejemplo, un radiador isótropo omnidireccional ). A grandes distancias de la fuente (en comparación con el tamaño de la fuente), esta potencia se distribuye sobre superficies esféricas cada vez más grandes a medida que aumenta la distancia desde la fuente. Como el área de superficie de una esfera de radio r es A  = 4 πr  ² , la intensidad I (potencia por unidad de área) de la radiación a la distancia r es $${\displaystyle I={\frac {P}{A}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}.\,}$$

La energía o intensidad disminuye (dividida por 4) a medida que se duplica la distancia r ; si se mide en dB , disminuiría en 6,02 dB por cada duplicación de la distancia. Cuando se hace referencia a mediciones de magnitudes de potencia, una relación se puede expresar como un nivel en decibelios evaluando diez veces el logaritmo de base 10 de la relación entre la magnitud medida y el valor de referencia.

Sonido en un gas

En acústica , la presión sonora de un frente de onda esférico que irradia desde una fuente puntual disminuye un 50% a medida que se duplica la distancia r ; medida en dB , la disminución sigue siendo de 6,02 dB, ya que dB representa una relación de intensidad. La relación de presión (a diferencia de la relación de potencia) no es inversamente proporcional al cuadrado, sino inversamente proporcional (ley de la distancia inversa):

$${\displaystyle p\ \propto \ {\frac {1}{r}}\,}$$

Lo mismo ocurre con el componente de la velocidad de la partícula que está en fase con la presión sonora instantánea : ${\displaystyle v\,}$ ${\displaystyle p\,}$

$${\displaystyle v\ \propto {\frac {1}{r}}\ \,}$$

En el campo cercano hay un componente de cuadratura de la velocidad de la partícula que está desfasado 90° con respecto a la presión sonora y no contribuye a la energía promediada en el tiempo ni a la intensidad del sonido. La intensidad del sonido es el producto de la presión sonora RMS y el componente en fase de la velocidad RMS de la partícula, ambos inversamente proporcionales. En consecuencia, la intensidad sigue un comportamiento de cuadrado inverso:

$${\displaystyle I\ =\ pv\ \propto \ {\frac {1}{r^{2}}}.\,}$$

Interpretación de la teoría de campos

Para un campo vectorial irrotacional en un espacio tridimensional, la ley del cuadrado inverso corresponde a la propiedad de que la divergencia es cero fuera de la fuente. Esto se puede generalizar a dimensiones superiores. En general, para un campo vectorial irrotacional en un espacio euclidiano n -dimensional , la intensidad "I" del campo vectorial disminuye con la distancia "r" siguiendo la ley de potencia ^{inversa (} n  − 1)

$${\displaystyle I\propto {\frac {1}{r^{n-1}}},}$$

dado que el espacio fuera de la fuente está libre de divergencia. ^{[ cita requerida ]}

Implicaciones no euclidianas

La ley del cuadrado inverso, fundamental en los espacios euclidianos , también se aplica a las geometrías no euclidianas , incluido el espacio hiperbólico . La curvatura presente en estos espacios altera las leyes físicas, influyendo en una variedad de campos como la cosmología , la relatividad general y la teoría de cuerdas . ^[11]

John D. Barrow , en su artículo de 2020 "Cosmología newtoniana no euclidiana", amplía el comportamiento de la fuerza (F) y el potencial (Φ) dentro del espacio hiperbólico tridimensional (H3). Explica que F y Φ obedecen a las relaciones F ∝ 1 / R² sinh²(r/R) y Φ ∝ coth(r/R), donde R representa el radio de curvatura y r representa la distancia desde el punto focal.

El concepto de dimensionalidad espacial, propuesto por primera vez por Immanuel Kant, sigue siendo un tema de debate en relación con la ley del cuadrado inverso. ^[12] Dimitria Electra Gatzia y Rex D. Ramsier, en su artículo de 2021, sostienen que la ley del cuadrado inverso está más estrechamente relacionada con la simetría de la distribución de fuerzas que con la dimensionalidad del espacio.

En el contexto de las geometrías no euclidianas y la relatividad general, las desviaciones de la ley del inverso del cuadrado no surgen de la ley en sí, sino más bien de la suposición de que la fuerza entre dos cuerpos es instantánea, lo que contradice la relatividad especial . La relatividad general reinterpreta la gravedad como la curvatura del espacio-tiempo, lo que lleva a las partículas a moverse a lo largo de geodésicas en este espacio-tiempo curvado. ^[13]

Historia

John Dumbleton, de los Calculadores de Oxford del siglo XIV , fue uno de los primeros en expresar relaciones funcionales en forma gráfica. Dio una prueba del teorema de la velocidad media afirmando que "la latitud de un movimiento uniformemente difuso corresponde al grado del punto medio" y utilizó este método para estudiar la disminución cuantitativa de la intensidad de la iluminación en su Summa logicæ et philosophiæ naturalis (ca. 1349), afirmando que no era linealmente proporcional a la distancia, pero no pudo exponer la ley del cuadrado inverso. ^[14]

El astrónomo alemán Johannes Kepler analizó la ley del cuadrado inverso y cómo afecta la intensidad de la luz.

En la proposición 9 del Libro 1 de su obra Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (1604), el astrónomo Johannes Kepler argumentó que la propagación de la luz desde una fuente puntual obedece a una ley del cuadrado inverso: ^{[15] [16]}

En 1645, en su libro Astronomia Philolaica ..., el astrónomo francés Ismaël Bullialdus (1605-1694) refutó la sugerencia de Johannes Kepler de que la "gravedad" ^[17] se debilita como la inversa de la distancia; en cambio, Bullialdus argumentó que la "gravedad" se debilita como la inversa del cuadrado de la distancia: ^{[18] [19]}

En Inglaterra, el obispo anglicano Seth Ward (1617-1689) publicó las ideas de Bullialdus en su crítica In Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae fundamenta inquisitio brevis (1653) y publicó la astronomía planetaria de Kepler en su libro Astronomia geométrica (1656).

En 1663-1664, el científico inglés Robert Hooke estaba escribiendo su libro Micrographia (1666) en el que discutía, entre otras cosas, la relación entre la altura de la atmósfera y la presión barométrica en la superficie. Dado que la atmósfera rodea la Tierra, que es una esfera, el volumen de la atmósfera que incide sobre cualquier unidad de área de la superficie de la Tierra es un cono truncado (que se extiende desde el centro de la Tierra hasta el vacío del espacio; obviamente, solo la sección del cono desde la superficie de la Tierra hasta el espacio incide sobre la superficie de la Tierra). Aunque el volumen de un cono es proporcional al cubo de su altura, Hooke argumentó que la presión del aire en la superficie de la Tierra es en cambio proporcional a la altura de la atmósfera porque la gravedad disminuye con la altitud. Aunque Hooke no lo afirmó explícitamente, la relación que propuso sería verdadera solo si la gravedad disminuye como el cuadrado inverso de la distancia desde el centro de la Tierra. ^{[20] [21]}

Véase también

• Flujo
• Antena (radio)
• Ley de Gauss
• Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario
• Problema de Kepler
• Telecomunicaciones , en particular:
  • William Thomson, primer barón Kelvin
  • Protocolos de enrutamiento que tienen en cuenta el consumo de energía
• Proporcionalidad inversa
• Inverso multiplicativo
• Decaimiento de la distancia
• Paradoja de Fermi
• Ley del cuadrado-cubo
• Principio de similitud

Referencias

 Este artículo incorpora material de dominio público de la Norma Federal 1037C. Administración de Servicios Generales . Archivado desde el original el 22 de enero de 2022.

1. La gravitación de Hooke tampoco era todavía universal, aunque se acercaba más a la universalidad que las hipótesis anteriores. Véase la página 239 en: Taton, René ; Wilson, Curtis; Hoskin, Michael A., eds. (2009). "El logro newtoniano en astronomía". Historia general de la astronomía . Vol. 2 Pt. A: Astronomía planetaria desde el Renacimiento hasta el surgimiento de la astrofísica Tycho Brahe a Newton (1. ed.). Cambridge: Cambridge University Press . págs. 233–274. ISBN 978-0-521-54205-0.
2. Birch, Thomas (1756). Historia de la Royal Society de Londres. Vol. 2. págs. 68–73.; véanse especialmente las páginas 70-72.
3. Borelli, Giovanni Alfonso (1666). Theoricae mediceorum planetarum ex causis physicis deductae [ Teoría [del movimiento] de los planetas mediceos [es decir, lunas de Júpiter] deducida de causas físicas ] (en latín). Ex tipografía SMD Bibcode : 1666tmpe.book.....B.
4. Koyré, Alexandre (1952). "Una carta inédita de Robert Hooke a Isaac Newton". Isis . 43 (4): 312–337. doi :10.1086/348155. ISSN  0021-1753. JSTOR  227384. PMID  13010921. S2CID  41626961.
5. Carta de Hooke a Newton del 6 de enero de 1680 (Koyré 1952:332).
6. Newton reconoció a Wren, Hooke y Halley en relación con esto en el Escolio de la Proposición 4 del Libro 1 (en todas las ediciones): Véase, por ejemplo: Newton, Isaac (1729). Los principios matemáticos de la filosofía natural. B. Motte. pág. 66.
7. En una carta a Edmund Halley fechada el 20 de junio de 1686, Newton escribió: "Bullialdus escribió que toda fuerza que tenga como centro al Sol y que dependa de la materia debe estar recíprocamente en una proporción duplicada de la distancia al centro". Véase: Cohen, I. Bernard ; Smith, George E. (2002). The Cambridge Companion to Newton. Cambridge University Press. pág. 204. ISBN. 978-0-521-65696-2.
8. Williams, ER; Faller, JE; Hill, HA (1971). "Nueva prueba experimental de la ley de Coulomb: un límite superior de laboratorio para la masa en reposo del fotón". Physical Review Letters . 26 (12): 721–724. Bibcode :1971PhRvL..26..721W. doi :10.1103/PhysRevLett.26.721. ISSN  0031-9007.
9. Millerson, Gerald (1999). Iluminación para televisión y cine. CRC Press. pág. 27. ISBN 978-1-136-05522-5.
10. Ryder, Alexander D. (1997). Manual de medición de la luz (PDF) . International Light. pág. 26. ISBN 978-0-96-583569-5.
11. Barrow, John D (2020). "Cosmología newtoniana no euclidiana". Gravedad clásica y cuántica . 37 (12): 125007. arXiv : 2002.10155 . Código Bibliográfico :2020CQGra..37l5007B. doi :10.1088/1361-6382/ab8437. ISSN  0264-9381.
12. Gatzia, Dimitria Electra; Ramsier, Rex D. (2021). "Dimensionalidad, simetría y la ley del cuadrado inverso". Notas y registros: The Royal Society Journal of the History of Science . 75 (3): 333–348. doi :10.1098/rsnr.2019.0044. ISSN  0035-9149.
13. Guth, Alan (2018). "Introducción a la relatividad general no euclidiana" (PDF) . MIT OpenCourseWare . Consultado el 30 de julio de 2023 .
14. Freely, John (2012). Antes de Galileo: el nacimiento de la ciencia moderna en la Europa medieval . Overlook Duckworth. ISBN 978-0-71-564536-9.
15. Kepler, Johannes (1604). Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (en latín). Apud Claudium Marnium y haeredes Ioannis Aubrii. pag. 10.
16. Ad Vitellionem paralipomena de Kepler es de: Gal, Ofer; Chen-Morris, Raz (2005). "La arqueología de la ley del cuadrado inverso: (1) Imágenes metafísicas y prácticas matemáticas". Historia de la ciencia . 43 (4): 391–414. Bibcode : 2005HisSc..43..391G . doi :10.1177/007327530504300402. ; véase especialmente la pág. 397.
17. Nota: Tanto Kepler como William Gilbert casi habían anticipado la concepción moderna de la gravedad, faltando únicamente la ley del cuadrado inverso en su descripción de la "gravitas". En la página 4 del capítulo 1, Introductio, de Astronomia Nova , Kepler establece su descripción de la siguiente manera: "La verdadera teoría de la gravedad se basa en los siguientes axiomas: Toda sustancia corpórea, en la medida en que es corpórea, tiene una aptitud natural para reposar en cualquier lugar donde pueda situarse por sí misma más allá de la esfera de influencia de un cuerpo afín a ella. La gravedad es una afección mutua entre cuerpos afines hacia la unión o conjunción (similar en especie a la virtud magnética), de modo que la tierra atrae a una piedra mucho más de lo que la piedra busca la tierra. ... Si se colocaran dos piedras en cualquier parte del mundo cerca una de la otra, y más allá de la esfera de influencia de un tercer cuerpo afín, estas piedras, como dos agujas magnéticas, se unirían en el punto intermedio, acercándose cada una a la otra por un espacio proporcional a la masa relativa de la otra . Si la luna y la tierra no estuvieran retenidas en sus órbitas por su fuerza animada o algún otro equivalente, la tierra se elevaría a la luna por una quincuagésima cuarta parte de su distancia, y la La luna cae hacia la tierra a través de las otras cincuenta y tres partes, y allí se encontrarían, suponiendo, sin embargo, que la sustancia de ambas es de la misma densidad." Nótese que al decir " la tierra atrae a una piedra mucho más de lo que la piedra busca la tierra", Kepler está rompiendo con la tradición aristotélica de que los objetos buscan estar en su lugar natural, que una piedra busca estar con la tierra.
18. Boulliau, Ismael (1645). Astronomia Philolaica (en latín). Simeón Piget. pag. 23. Bibcode : 1645ibap.book.....B . doi : 10.3931/e-rara-549.
19. La traducción de la cita latina de 'Astronomia Philolaica' de Bullialdus... proviene de: O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2006). "Ismael Boulliau". Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor . Universidad de Saint Andrews .
20. Gal y Chen-Morris 2005, págs. 391-392
21. Hooke, Robert (1665). Micrografía. Patrimonio científico. pág. 227. ISBN 978-0-940095-07-6Digo un cilindro , no un trozo de cono , porque , como puedo demostrar en otra parte de la Explicación de la Gravedad, supongo que esa proporción triple de las capas de una esfera con sus respectivos diámetros se elimina en este caso por la disminución del poder de la Gravedad.

Enlaces externos

• Amortiguación del nivel sonoro con la distancia
• Presión sonora p y ley de la distancia inversa 1/r