Subgrupos finitos de SU(2)

Uso de grupos matemáticos en magnetoquímica

Tablas de caracteres de los grupos binarios tetraédricos, octaédricos e icosaédricos según Frobenius (1899) ^[1]

En matemáticas aplicadas , los subgrupos finitos de SU(2) son grupos compuestos de rotaciones y transformaciones relacionadas, empleados particularmente en el campo de la química física . El grupo de simetría de un cuerpo físico generalmente contiene un subgrupo (típicamente finito) del grupo de rotación 3D . Puede ocurrir que el grupo {±1} con dos elementos actúe también sobre el cuerpo; este es típicamente el caso en magnetismo para el intercambio de polos norte y sur, o en mecánica cuántica para el cambio de signo de espín . En este caso, el grupo de simetría de un cuerpo puede ser una extensión central del grupo de simetrías espaciales por el grupo con dos elementos. Hans Bethe introdujo el término " grupo doble " ( Doppelgruppe ) para tal grupo, en el que dos elementos diferentes inducen la identidad espacial, y una rotación de 2 π puede corresponder a un elemento del grupo doble que no es la identidad.

La clasificación de los grupos dobles finitos y sus tablas de caracteres tiene, por tanto, un significado físico y constituye la parte principal de la teoría de los grupos dobles. Los grupos dobles finitos incluyen los grupos poliédricos binarios .

En química física, los grupos dobles se utilizan en el tratamiento de la magnetoquímica de complejos de iones metálicos que tienen un solo electrón desapareado en la capa d o f. ^{[2] [3]} Los casos en los que se utiliza habitualmente un grupo doble incluyen complejos de 6 coordenadas de cobre (II), titanio (III) y cerio (III). En estos grupos dobles, la rotación de 360° se trata como una operación de simetría separada de la operación de identidad; el grupo doble se forma combinando estas dos operaciones de simetría con un grupo puntual como un grupo diedro o el grupo octaédrico completo .

Definición y teoría

Sea Γ un subgrupo finito de SO(3) , el grupo de rotación tridimensional. Existe un homomorfismo natural f de SU(2) sobre SO(3) que tiene núcleo {±I}. ^[4] Esta doble cobertura se puede realizar utilizando la acción adjunta de SU(2) sobre el álgebra de Lie de matrices sesgadas-adjuntas 2 por 2 sin traza o utilizando la acción por conjugación de cuaterniones unitarios . El grupo doble Γ ' se define como f ⁻¹ ( Γ ). Por construcción {±I} es un subgrupo central de Γ ' y el cociente es isomorfo a Γ . Por lo tanto, Γ ' es una extensión central del grupo Γ por {±1}, el grupo cíclico de orden 2. Las representaciones ordinarias de Γ ' son simplemente aplicaciones de Γ en el grupo lineal general que son homomorfismos hasta un signo; De manera equivalente, son representaciones proyectivas de Γ con un sistema factorial o multiplicador de Schur en {±1}. Dos representaciones proyectivas de Γ están cerradas bajo la operación de producto tensorial, con sus correspondientes sistemas factoriales en {±1} multiplicándose. Las extensiones centrales de Γ por {±1} también tienen un producto natural. ^[5]

Los subgrupos finitos de SU(2) y SO(3) fueron determinados en 1876 por Felix Klein en un artículo en Mathematische Annalen , posteriormente incorporado en sus célebres "Conferencias sobre el icosaedro" de 1884: para SU(2), los subgrupos corresponden a los grupos cíclicos, los grupos diedros binarios , el grupo tetraédrico binario , el grupo octaédrico binario y el grupo icosaédrico binario ; y para SO(3), corresponden a los grupos cíclicos, los grupos diedros , el grupo tetraédrico , el grupo octaédrico y el grupo icosaédrico . La correspondencia se puede encontrar en numerosos libros de texto, y se remonta a la clasificación de los sólidos platónicos . De las clasificaciones de Klein de los subgrupos binarios se sigue que, si Γ es un subgrupo finito de SO(3), entonces, hasta la equivalencia, hay exactamente dos extensiones centrales de Γ por {±1}: la obtenida levantando la doble cubierta Γ ' = f ⁻¹ ( Γ ); y la extensión trivial Γ x {±1}. ^{[5] [6] [7] [8] [9]}

Las tablas de caracteres de los subgrupos finitos de SU(2) y SO(3) fueron determinadas y tabuladas por FG Frobenius en 1898, ^[1] con derivaciones alternativas por I. Schur y HE Jordan en 1907 de forma independiente. También se determinaron reglas de ramificación y fórmulas de producto tensorial . Para cada subgrupo binario, es decir, subgrupo finito de SU(2), las representaciones irreducibles de Γ están etiquetadas por diagramas de Dynkin extendidos de tipo A, D y E; las reglas para tensar con la representación vectorial bidimensional se dan gráficamente por un grafo no dirigido . ^{[6] [7] [8]} Por el lema de Schur , las representaciones irreducibles de Γ x {±1} son simplemente representaciones irreducibles de Γ multiplicadas por el carácter trivial o el carácter de signo de {±1}. Del mismo modo, las representaciones irreducibles de Γ ' que envían –1 a I son simplemente representaciones ordinarias de Γ ; mientras que los que envían –1 a – I son representaciones genuinamente de doble valor o espinoriales. ^[5]

Ejemplo. Para el grupo icosaédrico doble , si es la proporción áurea con inversa , la tabla de caracteres se da a continuación: los caracteres de espinor se indican con asteriscos. También se da la tabla de caracteres del grupo icosaédrico. ^{[10] [11]} ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {1 \over 2}(1+{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}={1 \over 2}(-1+{\sqrt {5}})}$

Las reglas del producto tensorial para tensar con la representación bidimensional se codifican esquemáticamente a continuación:

La numeración tiene en la parte superior y luego en la inferior, de izquierda a derecha, , , , , , , , y . Así, al etiquetar los vértices con caracteres irreducibles, el resultado de multiplicar por un carácter irreducible dado es igual a la suma de todos los caracteres irreducibles etiquetados por un vértice adyacente. ^[12] ${\displaystyle \chi _{3^{\prime }}}$ ${\displaystyle \chi _{2^{\prime }}^{*}}$ ${\displaystyle \chi _{4}}$ ${\displaystyle \chi _{6}^{*}}$ ${\displaystyle \chi _{5}}$ ${\displaystyle \chi _{4}^{*}}$ ${\displaystyle \chi _{3}}$ ${\displaystyle \chi _{2}^{*}}$ ${\displaystyle \chi _{1}}$ ${\displaystyle \chi _{2}^{*}}$

La teoría de la representación de SU(2) se remonta al siglo XIX y a la teoría de invariantes de formas binarias, con las figuras destacadas de Alfred Clebsch y Paul Gordan . ^{[13] [14] [15] [16] [17] [18 ] [ 19] [20] [21]} Las representaciones irreducibles de SU(2) están indexadas por semienteros no negativos j . Si V es la representación vectorial bidimensional, entonces V _j = S ^{2 j} V , la 2j ésima potencia simétrica de V , un espacio vectorial ( 2j + 1)-dimensional. Si G es el grupo compacto SU(2), el grupo G actúa irreduciblemente sobre cada V _j y satisface las reglas de Clebsch-Gordan:

${\displaystyle V_{i}\otimes V_{j}\cong V_{|i-j|}\oplus V_{|i-j|+1}\oplus \cdots \oplus V_{i+j-1}\oplus V_{i+j}.}$

En particular, para j > 0, y Por definición, la matriz que representa g en V _j es simplemente S ^{2 j} ( g ). Dado que cada g es conjugada a una matriz diagonal con entradas diagonales y (el orden no es importante), en este caso S ^{2 j} ( g ) tiene entradas diagonales , , ... , , . Al establecer esto, se obtiene la fórmula de caracteres ${\displaystyle V_{j}\otimes V_{1 \over 2}\cong V_{j-{1 \over 2}}\oplus V_{j+{1 \over 2}}}$ ${\displaystyle V_{0}\otimes V_{1 \over 2}\cong V_{1 \over 2}.}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta ^{-1}}$ ${\displaystyle \zeta ^{2j}}$ ${\displaystyle \zeta ^{2j-1}}$ ${\displaystyle \zeta ^{-2j+1}}$ ${\displaystyle \zeta ^{-2j}}$ ${\displaystyle \pi _{j}(g)=S^{2j}(g),}$

${\displaystyle \chi _{j}(g):={\rm {Tr}}\,\pi _{j}(g)=\sum _{k=-2j}^{2j}\zeta ^{k}={\zeta ^{2j+1}-\zeta ^{-2j-1} \over \zeta -\zeta ^{-1}}.}$

Sustituyendo , se deduce que, si g tiene entradas diagonales entonces ${\displaystyle \zeta =e^{i\alpha /2}}$ ${\displaystyle e^{\pm i\alpha /2},}$

${\displaystyle \chi _{j}(g)={\sin(j+{1/2})\alpha \over \sin \alpha /2}.}$

La teoría de representación de SU(2), incluida la de SO(3), se puede desarrollar de muchas maneras diferentes: ^[22]

• utilizando la complejización G _c = SL(2,C) y la descomposición de doble clase lateral G _c = B · w · B ∐ B , donde B denota matrices triangulares superiores y ; ${\displaystyle w={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$
• utilizando la acción infinitesimal de las álgebras de Lie de SU(2) y SL(2,C) donde aparecen como operadores de elevación y disminución E , F , H del momento angular en mecánica cuántica : aquí E = , F = E * y H = [ E , F ] de modo que [ H , E ] = 2 E y [ H , F ] = –2 F ; ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$
• utilizando la integración de funciones de clase sobre SU(2), identificando los cuaterniones unitarios con 3-esferas y medida de Haar como la forma de volumen: esto se reduce a la integración sobre las matrices diagonales, es decir, el grupo circular T.

Las propiedades de los coeficientes matriciales o funciones representativas del grupo compacto SU(2) (y SO(3)) están bien documentadas como parte de la teoría de funciones especiales: ^{[23] [24]} el operador de Casimir C = H ² + 2 EF + 2 FE conmuta con las álgebras y grupos de Lie. El operador ⁠1/4⁠ C puede identificarse con el Laplaciano Δ , de modo que en un coeficiente matricial φ de V _j , Δφ =( j ² + j ) φ .

Las funciones representativas A forman un álgebra no conmutativa bajo convolución con respecto a la medida de Haar μ . El análogo para un subgrupo finito de Γ de SU(2) es el álgebra de grupo de dimensión finita C [ Γ ] De las reglas de Clebsch-Gordan, el álgebra de convolución A es isomorfa a una suma directa de matrices n x n , con n = 2j + 1 y j ≥ 0. Los coeficientes matriciales para cada representación irreducible V _j forman un conjunto de unidades matriciales . Esta descomposición en suma directa es el teorema de Peter-Weyl . El resultado correspondiente para C [ Γ ] es el teorema de Maschke . El álgebra A tiene subespacios propios a(gζ) = a(g) o a(g)ζ , que se presentan como suma directa de V _j , sumados sobre j enteros no negativos o semienteros positivos – estos son ejemplos de representaciones inducidas . Permite el cálculo de reglas de ramificación desde SU(2) hasta Γ , de modo que V _j se puede descomponer como sumas directas de representaciones irreducibles de Γ . ^{[25] [26] [23] [12]}

Historia

Georg Frobenius derivó y enumeró en 1899 las tablas de caracteres de los subgrupos finitos de SU(2) , la doble cobertura del grupo de rotación SO(3) . En 1875, Felix Klein ya había clasificado estos subgrupos "binarios" finitos en los grupos cíclicos , los grupos diedros binarios , el grupo tetraédrico binario , el grupo octaédrico binario y el grupo icosaédrico binario . Issai Schur y H. E. Jordan dieron derivaciones alternativas de las tablas de caracteres en 1907; también se determinaron otras reglas de ramificación y fórmulas de productos tensoriales . ^{[6] [7] [8]}

En un artículo de 1929 sobre la división de átomos en cristales, el físico H. Bethe acuñó por primera vez el término "grupo doble" ( Doppelgruppe ), ^{[27] [28]} un concepto que permitió que las representaciones de doble valor o espinoriales de subgrupos finitos del grupo de rotación se consideraran representaciones lineales ordinarias de sus dobles cubiertas. ^{[a] [b]} En particular, Bethe aplicó su teoría a la mecánica cuántica relativista y a los grupos puntuales cristalográficos , donde ocurre una restricción física natural a 32 grupos puntuales. Posteriormente, el caso icosaédrico no cristalográfico también se ha investigado más ampliamente, lo que resultó más recientemente en avances innovadores sobre el carbono 60 y los fulerenos en los años 1980 y 1990. ^{[30] [31] [32]} En 1982-1984, hubo otro gran avance relacionado con el grupo icosaédrico, esta vez a través del notable trabajo del científico de materiales Dan Shechtman sobre los cuasicristales , por el que recibió el Premio Nobel de Química en 2011. ^{[33] [34] [35] [c]}

Aplicaciones

Magnetoquímica

En magnetoquímica, la necesidad de un grupo doble surge en una circunstancia muy particular, a saber, en el tratamiento de las propiedades magnéticas de complejos de un ion metálico en cuya estructura electrónica hay un solo electrón desapareado (o su equivalente, una sola vacante) en la capa d o f de un ion metálico . Esto ocurre, por ejemplo, con los elementos cobre , plata y oro en el estado de oxidación +2, donde hay una sola vacante en la capa de electrones d, con el titanio (III) que tiene un solo electrón en la capa 3d y con el cerio (III) que tiene un solo electrón en la capa 4f.

En teoría de grupos , el carácter , para la rotación, en un ángulo α, de una función de onda para un momento angular semientero viene dado por ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi ^{J}(\alpha )={\frac {\sin[J+1/2]\alpha }{\sin(1/2)\alpha }}}$

donde el momento angular es la suma vectorial del momento de giro y el momento orbital. Esta fórmula se aplica al momento angular en general. ${\displaystyle J=L+S}$

En átomos con un solo electrón desapareado, el carácter para una rotación a través de un ángulo de es igual a . El cambio de signo no puede ser cierto para una operación de identidad en ningún grupo puntual. Por lo tanto, se utiliza un grupo doble, en el que la rotación por se clasifica como distinta de la operación de identidad. A continuación se muestra una tabla de caracteres para el grupo doble D' _4. La nueva operación se etiqueta R en este ejemplo. La tabla de caracteres para el grupo puntual D ₄ se muestra a modo de comparación. ${\displaystyle 2\pi +\alpha }$ ${\displaystyle -\chi ^{J}(\alpha )}$ ${\displaystyle 2\pi }$

En la tabla del grupo doble, las operaciones de simetría como C ₄ y C ₄ R pertenecen a la misma clase , pero el encabezado se muestra, para mayor comodidad, en dos filas, en lugar de C ₄ , C ₄ R en una sola fila.

Las tablas de caracteres para los grupos dobles T', O', T _d ', D _3h ', C _6v ' , D ₆ ', D _2d ', C _4v ', D ₄ ', C _3v ', D ₃ ', C _2v ', D ₂ ' y R(3)' se dan en Koster et al. (1963), Salthouse & Ware (1972) y Cornwell (1984). ^{[37] [38] [39] [d]}

Subestructura en el centro de un complejo octaédrico

Estructura de un ion complejo cuadrado-planar como [AgF ₄ ] ^2-

Un átomo o ion (rojo) retenido en una jaula de fulereno C ₆₀

La necesidad de un grupo doble se presenta, por ejemplo, en el tratamiento de las propiedades magnéticas de complejos de cobre (II) de 6 coordenadas. La configuración electrónica del ion central Cu ²⁺ se puede escribir como [Ar]3 d ⁹ . Se puede decir que hay una única vacante, o hueco, en la capa electrónica 3 d del cobre , que puede contener hasta 10 electrones. El ion [Cu(H ₂ O) ₆ ] ²⁺ es un ejemplo típico de un compuesto con esta característica.

(1) Los complejos de seis coordenadas del ion Cu(II), con la fórmula genérica [CuL ₆ ] ²⁺ , están sujetos al efecto Jahn-Teller , de modo que la simetría se reduce de octaédrica (grupo puntual O _h ) a tetragonal (grupo puntual D _{4 h} ). Dado que los orbitales d son centrosimétricos, los símbolos de los términos atómicos relacionados se pueden clasificar en el subgrupo D ₄ .

(2) En una primera aproximación, se puede ignorar el acoplamiento espín-órbita y se predice que el momento magnético será de 1,73 magnetones de Bohr , el llamado valor de solo espín. Sin embargo, para una predicción más precisa, se debe tener en cuenta el acoplamiento espín-órbita. Esto significa que el número cuántico relevante es J , donde J = L + S .

(3) Cuando J es un número entero, el carácter de una rotación de un ángulo de α + 2π radianes es igual a menos el carácter de una rotación de un ángulo α. Esto no puede ser cierto para una identidad en un grupo de puntos. En consecuencia, se debe utilizar un grupo en el que las rotaciones de α + 2π se clasifiquen como operaciones de simetría distintas de las rotaciones de un ángulo α. Este grupo se conoce como el grupo doble, D ₄ '.

En especies como el complejo cuadrado-planar del ion plata (II) [AgF ₄ ] ^2- el grupo doble relevante también es D ₄ '; las desviaciones del valor de solo espín son mayores a medida que la magnitud del acoplamiento espín-órbita es mayor para la plata (II) que para el cobre (II). ^[40]

También se utiliza un grupo doble para algunos compuestos de titanio en el estado de oxidación +3. Los compuestos de titanio (III) tienen un solo electrón en la capa 3 d . Se ha descubierto que los momentos magnéticos de los complejos octaédricos con la fórmula genérica [TiL ₆ ] ⁿ⁺ se encuentran en el rango de 1,63 - 1,81 BM a temperatura ambiente. ^[41] El grupo doble O' se utiliza para clasificar sus estados electrónicos.

El ion cerio (III), Ce ³⁺ , tiene un solo electrón en la capa 4 f . Las propiedades magnéticas de los complejos octaédricos de este ion se tratan utilizando el grupo doble O' .

Cuando un ion de cerio (III) está encapsulado en una jaula de C ₆₀ , la fórmula del fulereno endoédrico se escribe como {Ce ³⁺ @C ₆₀ ^3- }. ^[42]

Radicales libres

Los grupos dobles pueden utilizarse en relación con los radicales libres . Esto se ha demostrado para las especies CH ₃ F ⁺ y CH ₃ BF ₂ ⁺ que contienen un solo electrón desapareado. ^[43]

Véase también

• Gráfico de McKay
• Clasificación ADE
• Simetría molecular
• Grupo de puntos
• Grupo espacial

Notas

1. En su libro de 1931 Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren , ^{[29] [14]} Eugene Wigner describe en detalle cómo SU(2) surge como una doble cobertura de SO(3), siguiendo a Hermann Weyl . Refiriéndose a un artículo de 1928 de von Neumann y Wigner en Zeitschrift für Physik (vol. 49), Bethe (1929) explica por qué están involucradas representaciones de grupos finitos con doble valor.
2. En lenguaje matemático, un grupo doble Γ ' se define como una extensión central del grupo Γ por {±1}, el grupo cíclico de orden 2: por lo tanto, las representaciones ordinarias de Γ ' son simplemente aplicaciones de Γ en el grupo lineal general que son homomorfismos hasta un signo; equivalentemente, son representaciones proyectivas de Γ con un sistema de factores o multiplicador de Schur en {±1}.
3. Ted Janssen ha esbozado cómo los caracteres del grupo icosaédrico doble parecen desempeñar un papel. ^[36]
4. R(3) ' se refiere a SU(2) , la doble cubierta del grupo de rotación tridimensional SO(3)

Referencias

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Lectura adicional

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