El decimonoveno problema de Hilbert

¿Cuándo son analíticas las soluciones en el cálculo de variaciones?

El decimonoveno problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert , establecidos en una lista compilada por David Hilbert en 1900. ^[1] Pregunta si las soluciones de los problemas regulares en el cálculo de variaciones son siempre analíticas . ^[2] De manera informal, y quizás menos directa, dado que el concepto de Hilbert de un " problema variacional regular " identifica este precisamente como un problema variacional cuya ecuación de Euler-Lagrange es una ecuación diferencial parcial elíptica con coeficientes analíticos, ^[3] el decimonoveno problema de Hilbert, a pesar de su enunciado aparentemente técnico, simplemente pregunta si, en esta clase de ecuaciones diferenciales parciales , cualquier solución hereda la propiedad relativamente simple y bien entendida de ser una función analítica de la ecuación que satisface. El decimonoveno problema de Hilbert fue resuelto de forma independiente a fines de la década de 1950 por Ennio De Giorgi y John Forbes Nash, Jr.

Historia

Los orígenes del problema

Eine der begrifflich merkwürdigsten Thatsachen in den Elementen der Theorie der analytischen Funktionen erblicke ich darin, daß es Partielle Differentialgleichungen giebt, deren Integrale sämtlich notwendig analytische Funktionen der unabhängigen Variabeln sind, die also, kurz gesagt, nur analytischer Lösungen fähig d. ^[4]

—  David Hilbert , (Hilbert 1900, pág. 288).

David Hilbert presentó lo que ahora se llama su decimonoveno problema en su discurso en el segundo Congreso Internacional de Matemáticos . ^[5] En (Hilbert 1900, p. 288) afirma que, en su opinión, uno de los hechos más notables de la teoría de funciones analíticas es que existen clases de ecuaciones diferenciales parciales que admiten solo funciones analíticas como soluciones, enumerando la ecuación de Laplace , la ecuación de Liouville , ^[6] la ecuación de superficie mínima y una clase de ecuaciones diferenciales parciales lineales estudiadas por Émile Picard como ejemplos. ^[7] Luego señala que la mayoría de las ecuaciones diferenciales parciales que comparten esta propiedad son ecuaciones de Euler-Lagrange de un tipo bien definido de problema variacional, que satisfacen las siguientes tres propiedades: ^[8]

(1)      , ${\displaystyle {\iint F(p,q,z;x,y)dxdy}={\text{Minimum}}\qquad \left[{\frac {\partial z}{\partial x}}=p\quad ;\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}=q\right]}$

(2)      , ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}p}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}q}}-\left({\frac {\partial ^{2}F}{{\partial p}{\partial q}}}\right)^{2}>0}$

(3)       F es una función analítica de todos sus argumentos p , q , z , x e y .

Hilbert llama a esto un " problema variacional regular ". ^[9] La propiedad (1) significa que estos son problemas mínimos . La propiedad (2) es la condición de elipticidad en las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas al funcional dado , mientras que la propiedad (3) es una simple suposición de regularidad sobre la función F . ^[10] Habiendo identificado la clase de problemas considerados, plantea la siguiente pregunta: " ... ¿toda ecuación diferencial parcial lagrangiana de un problema de variación regular tiene la propiedad de admitir integrales analíticas exclusivamente? " ^[11] Pregunta además si este es el caso incluso cuando se requiere que la función asuma valores de contorno que son continuos, pero no analíticos, como sucede para el problema de Dirichlet para la función potencial . ^[8]

El camino hacia la solución completa

Hilbert planteó su decimonoveno problema como un problema de regularidad para una clase de ecuación diferencial parcial elíptica con coeficientes analíticos. ^[8] Por lo tanto, los primeros esfuerzos de los investigadores que buscaron resolverlo se dirigieron a estudiar la regularidad de las soluciones clásicas para ecuaciones pertenecientes a esta clase. Para soluciones C 3   , el problema de Hilbert fue respondido positivamente por Sergei Bernstein  (1904) en su tesis. Demostró que las soluciones C 3   de ecuaciones analíticas elípticas no lineales en 2 variables son analíticas. El resultado de Bernstein fue mejorado a lo largo de los años por varios autores, como Petrowsky (1939), quien redujo los requisitos de diferenciabilidad en la solución necesaria para demostrar que es analítica. Por otro lado, los métodos directos en el cálculo de variaciones mostraron la existencia de soluciones con propiedades de diferenciabilidad muy débiles. Durante muchos años hubo una brecha entre estos resultados. Se sabía que las soluciones que podían construirse tenían derivadas segundas integrables al cuadrado, pero esto no era lo suficientemente fuerte como para alimentar la maquinaria que podía probar que eran analíticas, lo que necesitaba continuidad de las derivadas primeras. Esta brecha fue llenada independientemente por Ennio De Giorgi  (1956, 1957) y John Forbes Nash  (1957, 1958), quienes pudieron demostrar que las soluciones tenían derivadas primeras que eran continuas en el sentido de Hölder . Por resultados anteriores esto implicaba que las soluciones son analíticas siempre que la ecuación diferencial tenga coeficientes analíticos, completando así la solución del decimonoveno problema de Hilbert. Posteriormente, Jürgen Moser dio una prueba alternativa de los resultados obtenidos por Ennio De Giorgi  (1956, 1957) y John Forbes Nash  (1957, 1958).

Contraejemplos de diversas generalizaciones del problema

La respuesta afirmativa al decimonoveno problema de Hilbert dada por Ennio De Giorgi y John Forbes Nash planteó la cuestión de si la misma conclusión se aplica también a las ecuaciones de Euler-Lagrange de funcionales más generales . A finales de la década de 1960, Maz'ya (1968), ^[12] De Giorgi (1968) y Giusti & Miranda (1968) construyeron independientemente varios contraejemplos , ^[13] mostrando que en general no hay esperanza de probar tales resultados de regularidad sin añadir más hipótesis.

Precisamente, Maz'ya (1968) dio varios contraejemplos que involucraban una única ecuación elíptica de orden mayor que dos con coeficientes analíticos. ^[14] Para los expertos, el hecho de que tales ecuaciones pudieran tener soluciones no analíticas e incluso no suaves creó sensación. ^[15]

De Giorgi (1968) y Giusti & Miranda (1968) dieron contraejemplos que mostraban que en el caso en que la solución es vectorial en lugar de escalar, no necesita ser analítica; el ejemplo de De Giorgi consiste en un sistema elíptico con coeficientes acotados, mientras que el de Giusti y Miranda tiene coeficientes analíticos. ^[16] Más tarde, Nečas (1977) proporcionó otros ejemplos más refinados para el problema vectorial. ^[17]

Teorema de De Giorgi

El teorema clave demostrado por De Giorgi es una estimación a priori que establece que si u es una solución de una EDP estrictamente elíptica lineal de segundo orden adecuada de la forma

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)\,D_{j}u)=0}$

y tiene derivadas primeras integrables al cuadrado, entonces Hölder es continuo. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Aplicación del teorema de De Giorgi al problema de Hilbert

El problema de Hilbert pregunta si los minimizadores de un funcional de energía como ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \int _{U}L(Dw)\,\mathrm {d} x}$

son analíticas. Aquí hay una función en algún conjunto compacto de R ⁿ , es su vector gradiente y es el lagrangiano, una función de las derivadas de que satisface ciertas condiciones de crecimiento, suavidad y convexidad. La suavidad de se puede demostrar utilizando el teorema de De Giorgi de la siguiente manera. La ecuación de Euler-Lagrange para este problema variacional es la ecuación no lineal ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Dw}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i}}(Dw))_{x_{i}}=0}$

y diferenciando esto con respecto a da ${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i}p_{j}}(Dw)w_{x_{j}x_{k}})_{x_{i}}=0}$

Esto significa que satisface la ecuación lineal ${\displaystyle u=w_{x_{k}}}$

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0}$

con

${\displaystyle a^{ij}=L_{p_{i}p_{j}}(Dw)}$

Por lo tanto, según el resultado de De Giorgi, la solución w tiene derivadas primeras continuas según Hölder, siempre que la matriz esté acotada. Cuando este no es el caso, se necesita un paso más: se debe demostrar que la solución es continua según Lipschitz , es decir, que el gradiente es una función. ${\displaystyle L_{p_{i}p_{j}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle Dw}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$

Una vez que se sabe que w tiene derivadas ( n +1) continuas de Hölder para algún n ≥ 1, entonces los coeficientes a ^ij tienen derivadas n- ésimas continuas de Hölder, por lo que un teorema de Schauder implica que las derivadas ( n +2) también son continuas de Hölder, por lo que repetir esto infinitamente a menudo muestra que la solución w es suave.

Teorema de Nash

John Nash dio una estimación de continuidad para las soluciones de la ecuación parabólica

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=D_{t}(u)}$

donde u es una función acotada de x ₁ ,..., x _n , t definida para t ≥ 0. A partir de su estimación, Nash pudo deducir una estimación de continuidad para las soluciones de la ecuación elíptica

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0}$considerando el caso especial cuando u no depende de t .

Notas

1. Véase (Hilbert 1900) o, equivalentemente, una de sus traducciones.
2. " ¿Son las soluciones de los problemas regulares en el cálculo de variaciones siempre necesariamente analíticas? " (traducción al español de Mary Frances Winston Newson : "¿ Son las soluciones de los problemas regulares en el cálculo de variaciones siempre necesariamente analíticas? "), formulando el problema con las mismas palabras de Hilbert (1900, p. 288).
3. Véase (Hilbert 1900, pp. 288-289), o la sección correspondiente sobre el decimonoveno problema en cualquiera de sus traducciones o reimpresiones, o la subsección "Los orígenes del problema" en la sección histórica de esta entrada.
4. Traducción al español de Mary Frances Winston Newson:-" Uno de los hechos más notables en los elementos de la teoría de funciones analíticas me parece éste: que existen ecuaciones diferenciales parciales cuyas integrales son todas necesariamente funciones analíticas de las variables independientes, es decir, en resumen, ecuaciones susceptibles de soluciones únicamente analíticas ".
5. Para un análisis histórico detallado, véase la entrada correspondiente " Los problemas de Hilbert ".
6. Hilbert no cita explícitamente a Joseph Liouville y considera la curvatura gaussiana constante K como igual a -1/2 : compárese la entrada relevante con (Hilbert 1900, p. 288).
7. A diferencia del trabajo de Liouville, el trabajo de Picard es citado explícitamente por Hilbert (1900, p. 288 y nota al pie 1 en la misma página).
8. Véase (Hilbert 1900, pág. 288).
9. En sus palabras exactas: " Regulares Variationsproblem ". La definición de Hilbert de un problema variacional regular es más sólida que la que se utiliza actualmente, por ejemplo, en (Gilbarg & Trudinger 2001, p. 289).
10. Dado que Hilbert considera todas las derivadas en el sentido "clásico", es decir, no en el débil sino en el fuerte , incluso antes de la afirmación de su analiticidad en (3) , se supone que la función F es al menos C 2   , como implica el uso del determinante hessiano en (2) .
11. Traducción al inglés de Mary Frances Winston Newson: Las palabras precisas de Hilbert (1900, p. 288) son: - " ... dh ob jede Lagrangesche partielle Differentialgleichung eines reguläres Variationsproblem die Eigenschaft at, daß sie nur analytische Integrale zuläßt " ( énfasis en cursiva por el propio Hilbert).
12. Ver (Giaquinta 1983, p. 59), (Giusti 1994, p. 7 nota al pie 7 y p. 353), (Gohberg 1999, p. 1), (Hedberg 1999, pp. 10-11), (Kristensen y Mingione 2011, p. 5 y p. 8), y (Mingione 2006, p. 368).
13. Ver (Giaquinta 1983, págs. 54–59), (Giusti 1994, pág. 7 y págs. 353).
14. Véase (Hedberg 1999, págs. 10-11), (Kristensen y Mingione 2011, págs. 5 y pág. 8) y (Mingione 2006, pág. 368).
15. Según (Gohberg 1999, p. 1).
16. Véase (Giaquinta 1983, pp. 54-59) y (Giusti 1994, p. 7, pp. 202-203 y pp. 317-318).
17. Para más información sobre el trabajo de Jindřich Nečas, véase el trabajo de Kristensen & Mingione (2011, §3.3, pp. 9–12) y (Mingione 2006, §3.3, pp. 369–370).

Referencias

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