Espacio de seis dimensiones

Espacio geométrico con seis dimensiones.

El espacio de seis dimensiones es cualquier espacio que tenga seis dimensiones, seis grados de libertad y que necesite seis datos, o coordenadas, para especificar una ubicación en este espacio. Hay un número infinito de estos, pero los que más interés tienen son los más simples que modelan algún aspecto del entorno. De particular interés sonEspacio euclidiano de seis dimensiones , en el que se construyen los 6-politopos y la 5-esfera. También se estudian el espacio elíptico de seis dimensiones y los espacios hiperbólicos , con curvatura positiva y negativa constante.

Formalmente, el espacio euclidiano de seis dimensiones, , se genera al considerar todas las tuplas de 6 reales como vectores de 6 en este espacio. Como tal, tiene las propiedades de todos los espacios euclidianos, por lo que es lineal, tiene una métrica y un conjunto completo de operaciones vectoriales. En particular, el producto escalar entre dos vectores de 6 se define fácilmente y se puede utilizar para calcular la métrica. Las matrices de 6 × 6 se pueden utilizar para describir transformaciones como rotaciones que mantienen el origen fijo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$

En términos más generales, cualquier espacio que pueda describirse localmente con seis coordenadas , no necesariamente euclidianas, es hexadimensional. Un ejemplo es la superficie de la 6-esfera, S ⁶ . Este es el conjunto de todos los puntos en el espacio hexadimensional (euclidiano) que están a una distancia fija del origen. Esta restricción reduce en uno el número de coordenadas necesarias para describir un punto en la 6-esfera, por lo que tiene seis dimensiones. Estos espacios no euclidianos son mucho más comunes que los espacios euclidianos, y en seis dimensiones tienen muchas más aplicaciones. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$

Geometría

6-politopo

Un politopo en seis dimensiones se llama 6-politopo. Los más estudiados son los politopos regulares , de los cuales solo hay tres en seis dimensiones : el 6-símplex , el 6-cubo y el 6-ortoplex . Una familia más amplia son los 6-politopos uniformes , construidos a partir de dominios de simetría fundamental de reflexión, cada dominio definido por un grupo de Coxeter . Cada politopo uniforme está definido por un diagrama de Coxeter-Dynkin anillado . El 6-demicubo es un politopo único de la familia D ₆ , y los politopos 2 21 y 1 22 de la familia E _{6 .}

5-esfera

La 5-esfera, o hiperesfera en seis dimensiones, es la superficie de cinco dimensiones equidistante de un punto. Tiene símbolo S ⁵ , y la ecuación para la 5-esfera, radio r , centro en el origen es

${\displaystyle S^{5}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{6}:\|x\|=r\right\}.}$

El volumen del espacio de seis dimensiones delimitado por esta 5-esfera es

${\displaystyle V_{6}={\frac {\pi ^{3}r^{6}}{6}}}$

que es 5,16771 × r ⁶ , o 0,0807 del 6-cubo más pequeño que contiene la 5-esfera.

6-esfera

La 6-esfera, o hiperesfera en siete dimensiones, es la superficie de seis dimensiones equidistante de un punto. Tiene símbolo S ⁶ , y la ecuación para la 6-esfera, radio r , centro en el origen es

${\displaystyle S^{6}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{7}:\|x\|=r\right\}.}$

El volumen del espacio delimitado por esta 6-esfera es

${\displaystyle V_{7}={\frac {16\pi ^{3}r^{7}}{105}}}$

que es 4,72477 × r ⁷ , o 0,0369 del 7-cubo más pequeño que contiene la 6-esfera.

Aplicaciones

Transformaciones en tres dimensiones

En el espacio tridimensional, una transformación rígida tiene seis grados de libertad , tres traslaciones a lo largo de los tres ejes de coordenadas y tres a partir del grupo de rotación SO(3) . A menudo, estas transformaciones se manejan por separado, ya que tienen estructuras geométricas muy diferentes, pero hay formas de abordarlas que las tratan como un único objeto de seis dimensiones.

Teoría del tornillo

En la teoría de los tornillos, la velocidad angular y lineal se combinan en un objeto de seis dimensiones, llamado torsión . Un objeto similar llamado llave combina fuerzas y pares de torsión en seis dimensiones. Estos pueden tratarse como vectores de seis dimensiones que se transforman linealmente al cambiar el marco de referencia. Las traslaciones y rotaciones no se pueden hacer de esta manera, pero están relacionadas con una torsión por exponenciación .

Espacio de fases

Retrato de fase del oscilador de Van der Pol

El espacio de fases es un espacio formado por la posición y el momento de una partícula, que se pueden representar gráficamente en un diagrama de fases para resaltar la relación entre las cantidades. Una partícula general que se mueve en tres dimensiones tiene un espacio de fases con seis dimensiones, demasiadas para representar gráficamente, pero que se pueden analizar matemáticamente. ^[1]

Rotaciones en cuatro dimensiones

El grupo de rotación en cuatro dimensiones, SO(4), tiene seis grados de libertad. Esto se puede comprobar considerando la matriz 4 × 4 que representa una rotación: como es una matriz ortogonal la matriz está determinada, hasta un cambio de signo, por ejemplo por los seis elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal. Pero este grupo no es lineal, y tiene una estructura más compleja que otras aplicaciones vistas hasta ahora.

Otra forma de ver este grupo es con la multiplicación de cuaterniones . Cada rotación en cuatro dimensiones se puede lograr multiplicando por un par de cuaterniones unitarios , uno antes y otro después del vector. Estos cuaterniones son únicos, hasta un cambio de signo para ambos, y generan todas las rotaciones cuando se usan de esta manera, por lo que el producto de sus grupos, S 3 × S ³ , es una doble cobertura de SO(4), que debe tener seis dimensiones.

Aunque el espacio en el que vivimos se considera tridimensional, existen aplicaciones prácticas para el espacio cuatridimensional. Los cuaterniones, una de las formas de describir las rotaciones en tres dimensiones, consisten en un espacio cuatridimensional. Las rotaciones entre cuaterniones, por ejemplo para la interpolación, tienen lugar en cuatro dimensiones. El espacio-tiempo , que tiene tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal, también es cuatridimensional, aunque con una estructura diferente al espacio euclidiano .

Electromagnetismo

En electromagnetismo , se considera generalmente que el campo electromagnético está formado por dos elementos: el campo eléctrico y el campo magnético . Ambos son campos vectoriales tridimensionales , relacionados entre sí por las ecuaciones de Maxwell . Un segundo enfoque consiste en combinarlos en un único objeto, el tensor electromagnético de seis dimensiones , una representación tensorial o bivectorial del campo electromagnético. Con esto, las ecuaciones de Maxwell se pueden condensar a partir de cuatro ecuaciones en una única ecuación particularmente compacta:

${\displaystyle \partial \mathbf {F} =\mathbf {J} \,}$

donde F es la forma bivectorial del tensor electromagnético, J es la cuatricorriente y ∂ es un operador diferencial adecuado . ^[2]

Teoría de cuerdas

Colector Calabi-Yau ( proyección 3D )

En física, la teoría de cuerdas es un intento de describir la relatividad general y la mecánica cuántica con un único modelo matemático. Aunque se trata de un intento de modelar nuestro universo, se desarrolla en un espacio con más dimensiones que las cuatro del espacio-tiempo con las que estamos familiarizados. En particular, varias teorías de cuerdas se desarrollan en un espacio de diez dimensiones, lo que añade seis dimensiones adicionales. La teoría requiere estas dimensiones adicionales, pero como no se pueden observar, se cree que son bastante diferentes, tal vez compactadas para formar un espacio de seis dimensiones con una geometría particular demasiado pequeña para ser observable.

Desde 1997 ha surgido otra teoría de cuerdas que funciona en seis dimensiones. Las teorías de cuerdas pequeñas son teorías de cuerdas no gravitacionales en cinco y seis dimensiones que surgen al considerar los límites de la teoría de cuerdas de diez dimensiones. ^[3]

Fundamento teórico

Bivectores en cuatro dimensiones

Varias de las aplicaciones anteriores se pueden relacionar entre sí algebraicamente considerando los bivectores reales de seis dimensiones en cuatro dimensiones. Estos se pueden escribir para el conjunto de bivectores en el espacio euclidiano o para el conjunto de bivectores en el espacio-tiempo. Las coordenadas de Plücker son bivectores en mientras que el tensor electromagnético discutido en la sección anterior es un bivector en . Los bivectores se pueden usar para generar rotaciones en o a través del mapa exponencial (por ejemplo, aplicar el mapa exponencial de todos los bivectores en genera todas las rotaciones en ). También se pueden relacionar con transformaciones generales en tres dimensiones a través de coordenadas homogéneas, que se pueden considerar como rotaciones modificadas en . ${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{3,1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Los bivectores surgen de las sumas de todos los productos de cuña posibles entre pares de 4-vectores. Por lo tanto, tienen C4
2 = 6 componentes, y se puede escribir de forma más general como

${\displaystyle \mathbf {B} =B_{12}\mathbf {e} _{12}+B_{13}\mathbf {e} _{13}+B_{14}\mathbf {e} _{14}+B_{23}\mathbf {e} _{23}+B_{24}\mathbf {e} _{24}+B_{34}\mathbf {e} _{34}}$

Son los primeros bivectores que no pueden ser generados todos por productos de pares de vectores. Los que sí pueden son bivectores simples y las rotaciones que generan son rotaciones simples . Otras rotaciones en cuatro dimensiones son rotaciones dobles e isoclínicas y corresponden a bivectores no simples que no pueden ser generados por producto de cuña simple. ^[4]

6-vectores

Los 6-vectores son simplemente los vectores del espacio euclidiano de seis dimensiones. Al igual que otros vectores similares, son lineales , se pueden sumar, restar y escalar como en otras dimensiones. En lugar de usar letras del alfabeto, las dimensiones superiores suelen utilizar sufijos para designar dimensiones, por lo que un vector general de seis dimensiones se puede escribir a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ , a ₆ ) . Escritos así, los seis vectores base son (1, 0, 0, 0, 0, 0) , (0, 1, 0 , 0, 0, 0) , (0, 0, 1, 0 , 0, 0) , (0, 0, 0, 1, 0, 0) , ( 0, 0, 0, 0, 1, 0) y (0, 0, 0, 0, 0, 1) .

De los operadores vectoriales, el producto vectorial no se puede utilizar en seis dimensiones; en cambio, el producto en cuña de dos vectores de 6 dimensiones da como resultado un bivector con 15 dimensiones. El producto escalar de dos vectores es

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}+a_{5}b_{5}+a_{6}b_{6}.}$

Se puede utilizar para encontrar el ángulo entre dos vectores y la norma ,

${\displaystyle \left|\mathbf {a} \right\vert ={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}+{a_{4}}^{2}+{a_{5}}^{2}+{a_{6}}^{2}}}.}$

Esto se puede utilizar, por ejemplo, para calcular la diagonal de un cubo de 6 caras ; con una esquina en el origen, bordes alineados con los ejes y longitud de lado 1, la esquina opuesta podría estar en (1, 1, 1, 1, 1, 1) , cuya norma es

${\displaystyle {\sqrt {1+1+1+1+1+1}}={\sqrt {6}}=2.4495,}$

que es la longitud del vector y por tanto de la diagonal del 6-cubo.

Bivectores de Gibbs

En 1901, J. W. Gibbs publicó un trabajo sobre vectores que incluía una cantidad de seis dimensiones que llamó bivector . Consistía en dos vectores tridimensionales en un único objeto, que utilizó para describir elipses en tres dimensiones. Ha caído en desuso a medida que se han desarrollado otras técnicas, y el nombre bivector ahora se asocia más estrechamente con el álgebra geométrica. ^[5]

Notas al pie

1. Arthur Besier (1969). Perspectivas de la física moderna . McGraw-Hill.
2. Lounesto (2001), págs. 109-110
3. Aharony (2000)
4. Lounesto (2001), págs. 86-89
5. Josiah Willard Gibbs, Edwin Bidwell Wilson (1901). Análisis vectorial: un libro de texto para uso de estudiantes de matemáticas y física . Yale University Press. pág. 481ff.

Referencias

• Lounesto, Pertti (2001). Álgebras de Clifford y espinores . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 978-0-521-00551-7.

• Aharony, Ofer (2000). "Una breve revisión de las "teorías de cuerdas pequeñas"". Gravedad clásica y cuántica . 17 (5). arXiv : hep-th/9911147 . Código Bibliográfico :2000CQGra..17..929A. doi :10.1088/0264-9381/17/5/302.