En geometría , un polígono de Petrie para un politopo regular de n dimensiones es un polígono oblicuo en el que cada n – 1 lados consecutivos (pero ningún n ) pertenece a una de las facetas . El polígono de Petrie de un polígono regular es el polígono regular en sí mismo; el de un poliedro regular es un polígono oblicuo tal que cada dos lados consecutivos (pero no tres) pertenece a una de las caras . [1] Los polígonos de Petrie reciben su nombre del matemático John Flinders Petrie .
Para cada politopo regular existe una proyección ortogonal sobre un plano tal que un polígono de Petrie se convierte en un polígono regular con el resto de la proyección interior a él. El plano en cuestión es el plano de Coxeter del grupo de simetría del polígono, y el número de lados, h , es el número de Coxeter del grupo de Coxeter . Estos polígonos y gráficos proyectados son útiles para visualizar la estructura simétrica de los politopos regulares de dimensiones superiores.
Los polígonos de Petrie se pueden definir de manera más general para cualquier gráfico incrustado . Forman las caras de otra incrustación del mismo gráfico, generalmente en una superficie diferente, llamada dual de Petrie . [2]
John Flinders Petrie (1907-1972) era hijo de los egiptólogos Hilda y Flinders Petrie . Nació en 1907 y, siendo un niño de la escuela, demostró tener una notable capacidad matemática. En períodos de intensa concentración, podía responder preguntas sobre objetos cuatridimensionales complejos visualizándolos .
Fue el primero en señalar la importancia de los polígonos oblicuos regulares que aparecen en la superficie de los poliedros regulares y de los politopos superiores. Coxeter explicó en 1937 cómo él y Petrie comenzaron a ampliar el tema clásico de los poliedros regulares:
En 1938, Petrie colaboró con Coxeter, Patrick du Val y HT Flather para producir The Fifty-Nine Icosahedra para su publicación. [4] Al darse cuenta de la facilidad geométrica de los polígonos oblicuos utilizados por Petrie, Coxeter los nombró en honor a su amigo cuando escribió Regular Polytopes .
La idea de los polígonos de Petrie se extendió posteriormente a los politopos semirregulares .
Los duales regulares , { p , q } y { q , p }, están contenidos dentro del mismo polígono de Petrie proyectado. En las imágenes de compuestos duales de la derecha se puede ver que sus polígonos de Petrie tienen intersecciones rectangulares en los puntos donde las aristas tocan la esfera media común .
Los polígonos de Petrie de los poliedros de Kepler-Poinsot son hexágonos {6} y decagramos {10/3}.
Los polígonos regulares oblicuo infinitos ( apeirogon ) también pueden definirse como los polígonos de Petrie de las teselaciones regulares, que tienen ángulos de 90, 120 y 60 grados en sus caras cuadradas, hexagonales y triangulares respectivamente.
Los polígonos oblicuos regulares infinitos también existen como polígonos de Petrie de los mosaicos hiperbólicos regulares, como el mosaico triangular de orden 7 , {3,7}:
El polígono de Petrie para el policoro regular { p , q , r } también se puede determinar de manera que cada tres lados consecutivos (pero no cuatro) pertenezcan a una de las celdas del policoro. Como la superficie de un 4-politopo es un espacio tridimensional (la 3-esfera ), el polígono de Petrie de un 4-politopo regular es una hélice tridimensional en esta superficie.
Las proyecciones de polígonos de Petrie son útiles para la visualización de politopos de dimensión cuatro y superior.
Un hipercubo de dimensión n tiene un polígono de Petrie de tamaño 2 n , que es también el número de sus facetas .
Por lo tanto, cada uno de los ( n − 1)-cubos que forman su superficie tiene n − 1 lados del polígono de Petrie entre sus aristas.
Esta tabla representa proyecciones de polígonos de Petrie de tres familias regulares ( símplex , hipercubo , ortoplex ) y el excepcional grupo de Lie E n que generan politopos semirregulares y uniformes para dimensiones 4 a 8.
