Glosario de teoría de grupos

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Un grupo es un conjunto formado por una operación asociativa que admite un elemento identidad y tal que para cada elemento existe una inversa .

A lo largo de este glosario, utilizamos $e$ para denotar el elemento identidad de un grupo.

A

grupo abeliano: Un grupo $(G, •)$ es abeliano si $•$ es conmutativo, es decir, $g • h = h • g$ para todo $g, h \in G$ . Del mismo modo, un grupo es no abeliano si esta relación no se cumple para ningún par $g, h \in G$ .
subgrupo ascendente: Un subgrupo $H$ de un grupo $G$ es ascendente si existe una serie de subgrupos ascendente que comienza en $H$ y termina en $G$ , de modo que cada término de la serie es un subgrupo normal de su sucesor. La serie puede ser infinita. Si la serie es finita, entonces el subgrupo es subnormal.
automorfismo: Un automorfismo de un grupo es un isomorfismo del grupo a sí mismo.

do

centro de un grupo

El centro de un grupo

G

, denotado

Z(G)

, es el conjunto de aquellos elementos del grupo que conmutan con todos los elementos de

G

, es decir, el conjunto de todos

los h \in G

tales que

hg = gh

para todo

g \in G

Z(G)

es siempre un subgrupo normal de

G

. Un grupo

G

es abeliano si y solo si

Z(G) = G

grupo sin centro

Un grupo

G

no tiene centro si su centro

Z(G)

es trivial.

subgrupo central

Un subgrupo de un grupo es un subgrupo central de ese grupo si se encuentra dentro del centro del grupo.

centralizador

Para un subconjunto

S

de un grupo

G

, el centralizador de

S

G

, denotado

C G (S)

, es el subgrupo de

G

definido por

\mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\}.

subgrupo característico

Un subgrupo de un grupo es un subgrupo característico de ese grupo si se asigna a sí mismo mediante cada automorfismo del grupo padre.

grupo típicamente simple

Se dice que un grupo es característicamente simple si no tiene subgrupos característicos no triviales propios.

función de clase

Una función de clase en un grupo

G

es una función que es constante en las clases de conjugación de

G.

número de clase

El número de clase de un grupo es el número de sus clases de conjugación.

conmutador

El conmutador de dos elementos

g

h

de un grupo

G

es el elemento

[g, h] = g -1 h -1 gh

. Algunos autores definen el conmutador como

[g, h] = ghg ​​-1 h -1

. El conmutador de dos elementos

g

h

es igual a la identidad del grupo si y solo si

g

h

conmutan, es decir, si y solo si

gh = hg

subgrupo conmutador

El subgrupo de conmutadores o subgrupo derivado de un grupo es el subgrupo generado por todos los conmutadores del grupo.

serie de composiciones

Una serie de composición de un grupo

G

es una serie subnormal de longitud finita

1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,

con inclusiones estrictas, de modo que cada

H i

es un subgrupo normal estricto máximo de

H i +1

. De manera equivalente, una serie de composición es una serie subnormal de modo que cada grupo de factores

H i +1 / H i

es simple. Los grupos de factores se denominan factores de composición.

subgrupo cerrado por conjugación

Se dice que un subgrupo de un grupo está conjugadamente cerrado si dos elementos del subgrupo que son conjugados en el grupo también son conjugados en el subgrupo.

clase de conjugación

Las clases de conjugación de un grupo

G

son aquellos subconjuntos de

G

que contienen elementos del grupo que están conjugados entre sí.

elementos conjugados

Dos elementos

x

y

de un grupo

G

son conjugados si existe un elemento

g \in G

tal que

g -1 xg = y

. El elemento

g -1 xg

, denotado

x g

, se denomina conjugado de

x

por

g

. Algunos autores definen el conjugado de

x

por

g

como

gxg -1

. Esto se suele denotar

g x

. La conjugación es una relación de equivalencia . Sus clases de equivalencia se denominan clases de conjugación .

subgrupos conjugados

Dos subgrupos

H 1

H 2

de un grupo

G

son subgrupos conjugados si existe un

g \in G

tal que

gH 1 g -1 = H 2

subgrupo contranormal

Un subgrupo de un grupo

G

es un subgrupo contranormal de

G

si su cierre normal es el propio

G.

grupo cíclico

Un grupo cíclico es un grupo generado por un solo elemento, es decir, un grupo tal que hay un elemento

g

en el grupo tal que cualquier otro elemento del grupo puede obtenerse aplicando repetidamente la operación de grupo a

g

o su inversa.

D

subgrupo derivado: Sinónimo de subgrupo conmutador.
producto directo: El producto directo de dos grupos $G$ y $H$ , denotado $G \times H$ , es el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes de $G$ y $H$ , equipado con una operación binaria definida componente por componente $(g 1, h 1) \cdot (g 2, h 2) = (g 1 \cdot g 2, h 1 \cdot h 2)$ . Con esta operación, $G \times H$ forma en sí mismo un grupo.

mi

exponente de un grupo: El exponente de un grupo $G$ es el número entero positivo más pequeño $n$ tal que $g n = e$ para todo $g \in G$ . Es el mínimo común múltiplo de los órdenes de todos los elementos del grupo. Si no existe tal número entero positivo, se dice que el exponente del grupo es infinito.

F

grupo de factores: Sinónimo de grupo cociente.
Grupo FC: Un grupo es un grupo FC si cada clase de conjugación de sus elementos tiene cardinalidad finita.
grupo finito: Un grupo finito es un grupo de orden finito, es decir, un grupo con un número finito de elementos.
grupo finitamente generado: Un grupo $G$ es finitamente generado si existe un conjunto generador finito, es decir, si existe un conjunto finito $S$ de elementos de $G$ tales que cada elemento de $G$ puede escribirse como la combinación de un número finito de elementos de $S$ y de inversos de elementos de $S.$

GRAMO

grupo electrógeno: Un conjunto generador de un grupo $G$ es un subconjunto $S$ de $G$ tal que cada elemento de $G$ puede expresarse como una combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos de $S$ e inversos de elementos de $S$ . Dado un subconjunto $S$ de $G$ . Denotamos por $⟨ S ⟩$ el subgrupo más pequeño de $G$ que contiene $a S$ . $⟨ S ⟩$ se denomina subgrupo de $G$ generado por $S$ .
automorfismo de grupo: Véase automorfismo.
homomorfismo de grupo: Véase homomorfismo.
isomorfismo de grupo: Véase isomorfismo.

yo

homomorfismo: Dados dos grupos $(G, •)$ y $(H, \cdot)$ , un homomorfismo de $G$ a $H$ es una función $h : G \to H$ tal que para todo $a$ y $b$ en $G$ , $h (a • b) = h (a) \cdot h (b)$ .

I

índice de un subgrupo: El índice de un subgrupo $H$ de un grupo $G$ , denotado $| G : H |$ o $[G : H]$ o $(G : H)$ , es el número de clases laterales de $H$ en $G$ . Para un subgrupo normal $N$ de un grupo $G$ , el índice de $N$ en $G$ es igual al orden del grupo cociente $G / N$ . Para un subgrupo finito $H$ de un grupo finito $G$ , el índice de $H$ en $G$ es igual al cociente de los órdenes de $G$ y $H$ .
isomorfismo: Dados dos grupos $(G, •)$ y $(H, \cdot)$ , un isomorfismo entre $G$ y $H$ es un homomorfismo biyectivo de $G$ a $H$ , es decir, una correspondencia biyectiva entre los elementos de los grupos de una manera que respeta las operaciones de grupo dadas. Dos grupos son isomorfos si existe una aplicación de isomorfismo de grupo de uno a otro. Los grupos isomorfos pueden considerarse esencialmente iguales, solo que con diferentes etiquetas en los elementos individuales.

yo

red de subgrupos: La red de subgrupos de un grupo es la red definida por sus subgrupos, parcialmente ordenada por inclusión de conjuntos .
grupo cíclico local: Un grupo es localmente cíclico si cada subgrupo finitamente generado es cíclico. Todo grupo cíclico es localmente cíclico y todo grupo localmente cíclico finitamente generado es cíclico. Todo grupo localmente cíclico es abeliano. Todo subgrupo, todo grupo cociente y toda imagen homomórfica de un grupo localmente cíclico es localmente cíclico.

norte

ningún subgrupo pequeño

Un grupo topológico no tiene subgrupo pequeño si existe un vecindario del elemento identidad que no contiene ningún subgrupo no trivial.

cierre normal

El cierre normal de un subconjunto

S

de un grupo

G

es la intersección de todos los subgrupos normales de

G

que contienen a

S.

núcleo normal

El núcleo normal de un subgrupo

H

de un grupo

G

es el subgrupo normal más grande de

G

que está contenido en

H.

serie normal

Una serie normal de un grupo

G

es una secuencia de subgrupos normales de

G

tales que cada elemento de la secuencia es un subgrupo normal del siguiente elemento:

1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G

con

A_{i}\triangleleft G

subgrupo normal

Un subgrupo

N

de un grupo

G

es normal en

G

(denotado

N ◅ G

) si la conjugación de un elemento

n

N

por un elemento

g

G

está siempre en

N

, es decir, si para todo

g \in G

n \in N

gng -1 \in N

. Un subgrupo normal

N

de un grupo

G

se puede utilizar para construir el grupo cociente

G / N

normalizador

Para un subconjunto

S

de un grupo

G

, el normalizador de

S

G

, denotado

N G (S)

, es el subgrupo de

G

definido por

\mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}.

Oh

órbita: Consideremos un grupo $G$ que actúa sobre un conjunto $X.$ La órbita de un elemento $x$ en $X$ es el conjunto de elementos en $X$ al que $x$ puede ser movido por los elementos de $G.$ La órbita de $x$ se denota por $G \cdot x$
orden de un grupo: El orden de un grupo $(G, •)$ es la cardinalidad (es decir, el número de elementos) de $G.$ Un grupo con orden finito se denomina grupo finito .
orden de un elemento del grupo: El orden de un elemento $g$ de un grupo $G$ es el número entero positivo más pequeño $n$ tal que $g$ $n$ $=$ $e$ . Si no existe tal número entero, se dice que el orden de $g$ es infinito. El orden de un grupo finito es divisible por el orden de cada elemento.

PAG

núcleo perfecto: El núcleo perfecto de un grupo es su subgrupo perfecto más grande.
grupo perfecto: Un grupo perfecto es un grupo que es igual a su propio subgrupo conmutador.
grupo periódico: Un grupo es periódico si cada elemento del grupo tiene un orden finito. Todo grupo finito es periódico.
grupo de permutación: Un grupo de permutaciones es un grupo cuyos elementos son permutaciones de un conjunto $M$ dado (las funciones biyectivas del conjunto $M$ sobre sí mismo) y cuya operación de grupo es la composición de esas permutaciones. El grupo que consiste en todas las permutaciones de un conjunto $M$ es el grupo simétrico de $M$ .
p -grupo: Si $p$ es un número primo , entonces un $p$ -grupo es aquel en el que el orden de cada elemento es una potencia de $p$ . Un grupo finito es un $p$ -grupo si y solo si el orden del grupo es una potencia de $p$ .
p -subgrupo: Un subgrupo que es también un p-grupo. El estudio de $los p$ -subgrupos es el objeto central de los teoremas de Sylow .

Q

grupo cociente: Dado un grupo $G$ y un subgrupo normal $N$ de $G$ , el grupo cociente es el conjunto $G / N$ de clases laterales izquierdas ${aN : a \in G}$ junto con la operación $aN • bN = abN$ . La relación entre subgrupos normales, homomorfismos y grupos factoriales se resume en el teorema fundamental sobre homomorfismos .

R

elemento real: Un elemento $g$ de un grupo $G$ se denomina elemento real de $G$ si pertenece a la misma clase de conjugación que su inverso, es decir, si existe una $h$ en $G$ con $g h = g -1$ , donde $g h$ se define como $h -1 gh$ . Un elemento de un grupo $G$ es real si y solo si para todas las representaciones de $G$ la traza de la matriz correspondiente es un número real.

S

subgrupo serial

Un subgrupo

H

de un grupo

G

es un subgrupo serial de

G

si existe una cadena

C

de subgrupos de

G

desde

H

hasta

G

tales que para cada par de subgrupos consecutivos

X

Y

C

X

es un subgrupo normal de

Y

. Si la cadena es finita, entonces

H

es un subgrupo subnormal de

G

grupo simple

Un grupo simple es un grupo no trivial cuyos únicos subgrupos normales son el grupo trivial y el grupo mismo.

subgrupo

Un subgrupo de un grupo

G

es un subconjunto

H

de los elementos de

G

que a su vez forma un grupo cuando está equipado con la restricción de la operación de grupo de

G

H \times H

. Un subconjunto

H

de un grupo

G

es un subgrupo de

G

si y solo si no está vacío y es cerrado bajo productos e inversos, es decir, si y solo si para cada

a

b

H

ab

a -1

también están en

H

serie de subgrupos

Una serie de subgrupos de un grupo

G

es una secuencia de subgrupos de

G

tales que cada elemento de la serie es un subgrupo del siguiente elemento:

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G.

subgrupo subnormal

Un subgrupo

H

de un grupo

G

es un subgrupo subnormal de

G

si existe una cadena finita de subgrupos del grupo, cada uno normal al siguiente, comenzando en

H

y terminando en

G.

grupo simétrico

Dado un conjunto

M

, el grupo simétrico de

M

es el conjunto de todas las permutaciones de

M

(el conjunto de todas las funciones biyectivas de

M

M

) con la composición de las permutaciones como operación de grupo. El grupo simétrico de un conjunto finito de tamaño

n

se denota

S n

. (Los grupos simétricos de dos conjuntos cualesquiera del mismo tamaño son isomorfos .)

yo

grupo de torsión: Sinónimo de grupo periódico.
subgrupo transitivamente normal: Se dice que un subgrupo de un grupo es transitivamente normal en el grupo si cada subgrupo normal del subgrupo también es normal en todo el grupo.
grupo trivial: Un grupo trivial es un grupo que consta de un solo elemento, es decir, el elemento identidad del grupo. Todos estos grupos son isomorfos y a menudo se habla de grupo trivial.

Definiciones básicas

Tanto los subgrupos como los subgrupos normales de un grupo dado forman una red completa bajo la inclusión de subconjuntos; esta propiedad y algunos resultados relacionados se describen mediante el teorema de red .

Núcleo de un homomorfismo de grupo . Es la preimagen de la identidad en el codominio de un homomorfismo de grupo. Todo subgrupo normal es el núcleo de un homomorfismo de grupo y viceversa.

Producto directo , suma directa y producto semidirecto de grupos. Son formas de combinar grupos para construir nuevos grupos; consulte los enlaces correspondientes para obtener una explicación.

Tipos de grupos

Grupo finitamente generado . Si existe un conjunto finito $S$ tal que $⟨ S ⟩ = G$ , entonces $se dice que G$ es finitamente generado . Sise puede considerar que $S tiene un solo elemento,$ $G$ es un grupo cíclico de orden finito, un grupo cíclico infinito o, posiblemente, un grupo ${e}$ con un solo elemento.

Grupo simple . Los grupos simples son aquellos grupos que tienen solo $e$ y a ellos mismos como subgrupos normales . El nombre es engañoso porque un grupo simple puede, de hecho, ser muy complejo. Un ejemplo es el grupo monstruo , cuyo orden es de aproximadamente 10^54. Todo grupo finito se construye a partir de grupos simples a través de extensiones de grupo , por lo que el estudio de los grupos simples finitos es central para el estudio de todos los grupos finitos. Los grupos simples finitos son conocidos y clasificados .

La estructura de cualquier grupo abeliano finito es relativamente simple; cada grupo abeliano finito es la suma directa de p-grupos cíclicos . Esto se puede extender a una clasificación completa de todos los grupos abelianos finitamente generados , es decir, todos los grupos abelianos que son generados por un conjunto finito.

La situación es mucho más complicada para los grupos no abelianos.

Grupo libre . Dado cualquier conjunto $A$ , se puede definir un grupo como el grupo más pequeño que contiene el semigrupo libre de $A.$ El grupo consiste en las cadenas finitas (palabras) que pueden estar compuestas por elementos de $A$ , junto con otros elementos que son necesarios para formar un grupo. La multiplicación de cadenas se define por concatenación, por ejemplo $(abb) • (bca) = abbbca$ .

Cada grupo $(G, •)$ es básicamente un grupo factorial de un grupo libre generado por $G.$ Consulta Presentación de un grupo para obtener más explicaciones. A continuación, se pueden plantear preguntas algorítmicas sobre estas presentaciones, como:

¿Estas dos presentaciones especifican grupos isomorfos?; o
¿Esta presentación especifica el grupo trivial?

El caso general de esto es el problema de las palabras , y varias de estas preguntas, de hecho, no se pueden resolver mediante ningún algoritmo general.

El grupo lineal general , denotado por $GL(n, F)$ , es el grupo de matrices invertibles $n$ por $n$ , donde los elementos de las matrices se toman de un cuerpo $F$ como los números reales o los números complejos.

Representación de grupo (no debe confundirse con la presentación de un grupo). Una representación de grupo es un homomorfismo de un grupo a un grupo lineal general. Básicamente, se intenta "representar" un grupo abstracto dado como un grupo concreto de matrices invertibles , que es mucho más fácil de estudiar.

Glosario de teoría de grupos

A

do

D

mi

F

GRAMO

yo

I

yo

norte

Oh

PAG

Q

R

S

yo

Definiciones básicas

Tipos de grupos

Véase también