Cuaternión hiperbólico

Mutación de cuaterniones donde los vectores unitarios cuadran a +1

En álgebra abstracta , el álgebra de cuaterniones hiperbólicos es un álgebra no asociativa sobre números reales con elementos de la forma

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} \!}$

donde los cuadrados de i, j y k son +1 y los elementos distintos de {i, j, k} se multiplican con la propiedad anticonmutativa .

El álgebra de cuatro dimensiones de cuaterniones hiperbólicos incorpora algunas de las características del álgebra de bicuaterniones más antigua y más grande . Ambos contienen subálgebras isomorfas al plano de números complejos divididos . Además, así como el álgebra de cuaterniones H puede verse como una unión de planos complejos , el álgebra de cuaterniones hiperbólica es un lápiz de planos de números complejos divididos que comparten la misma recta real.

Fue Alexander Macfarlane quien promovió este concepto en la década de 1890 como su Álgebra de la Física , primero a través de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia en 1891, luego a través de su libro de cinco artículos sobre análisis espacial de 1894 , y en una serie de conferencias en Lehigh . Universidad en 1900.

estructura algebraica

Al igual que los cuaterniones , el conjunto de cuaterniones hiperbólicos forman un espacio vectorial sobre los números reales de dimensión 4. Una combinación lineal

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$

es un cuaternión hiperbólico cuando y son números reales y el conjunto de bases tiene estos productos: ${\displaystyle a,b,c,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$

${\displaystyle ij=k=-ji}$

${\displaystyle jk=i=-kj}$

${\displaystyle ki=j=-ik}$

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=+1}$

Usando la propiedad distributiva , estas relaciones se pueden usar para multiplicar dos cuaterniones hiperbólicos cualesquiera.

A diferencia de los cuaterniones ordinarios, los cuaterniones hiperbólicos no son asociativos . Por ejemplo, mientras . De hecho, este ejemplo muestra que los cuaterniones hiperbólicos ni siquiera son un álgebra alternativa . ${\displaystyle (ij)j=kj=-i}$ ${\displaystyle i(jj)=i}$

Las primeras tres relaciones muestran que los productos de los elementos de base (no reales) son anticonmutativos . Aunque este conjunto base no forma un grupo , el conjunto

${\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}$

forma un cuasigrupo . También se observa que cualquier subplano del conjunto M de cuaterniones hiperbólicos que contenga el eje real forma un plano de números complejos divididos . Si

${\displaystyle q^{*}=a-bi-cj-dk}$

es el conjugado de , entonces el producto ${\displaystyle q}$

${\displaystyle q(q^{*})=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}}$

es la forma cuadrática utilizada en la teoría del espacio-tiempo . De hecho, para los eventos p y q , la forma bilineal

${\displaystyle \eta (p,q)=-p_{0}q_{0}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}}$

Surge como el negativo de la parte real del producto cuaternión hiperbólico pq *, y se utiliza en el espacio de Minkowski .

Tenga en cuenta que el conjunto de unidades U = { q  : qq * ≠ 0 } no está cerrado bajo la multiplicación. Consulte las referencias (enlace externo) para obtener más detalles.

Discusión

Los cuaterniones hiperbólicos forman un anillo no asociativo ; el fracaso de la asociatividad en este álgebra reduce la facilidad de este álgebra en la teoría de la transformación. Sin embargo, esta álgebra se centró en la cinemática analítica al sugerir un modelo matemático : cuando se selecciona un vector unitario r en los cuaterniones hiperbólicos, entonces r ² = +1. El plano con multiplicación de cuaterniones hiperbólica es una subálgebra conmutativa y asociativa isomorfa al plano de números complejos divididos. El versor hiperbólico transforma D _r por ${\displaystyle D_{r}=\lbrace t+xr:t,x\in R\rbrace }$ ${\displaystyle \exp(ar)=\cosh(a)+r\sinh(a)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t+xr&&\mapsto \quad &\exp(ar)(t+xr)\\&&=\quad &(\cosh(a)t+x\sinh(a))+(\sinh(a)t+x\cosh(a))r.\end{aligned}}}$

Dado que la dirección r en el espacio es arbitraria, esta multiplicación hiperbólica de cuaterniones puede expresar cualquier impulso de Lorentz utilizando el parámetro llamado rapidez . Sin embargo, el álgebra de cuaterniones hiperbólica es deficiente para representar el grupo de Lorentz completo (ver bicuaternión en su lugar).

Al escribir en 1967 sobre el diálogo sobre métodos vectoriales en la década de 1890, un historiador comentó

La introducción de otro sistema de análisis vectorial, incluso una especie de sistema de compromiso como el de Macfarlane, difícilmente pudo ser bien recibido por los defensores de los sistemas ya existentes y, además, probablemente contribuyó a ampliar la cuestión más allá de la comprensión del lector aún no iniciado. . ^[1]

Geometría

Posteriormente, Macfarlane publicó un artículo en Proceedings of the Royal Society of Edinburgh en 1900. En él trata un modelo para el espacio hiperbólico H ³ sobre el hiperboloide.

${\displaystyle H^{3}=\{q\in M:q(q^{*})=1\}.}$

Este modelo isotrópico se llama modelo hiperboloide y consta de todos los versores hiperbólicos en el anillo de cuaterniones hiperbólicos.

Reseña histórica

La década de 1890 sintió la influencia de las publicaciones póstumas de WK Clifford y los grupos continuos de Sophus Lie . Un ejemplo de un grupo de un parámetro es el versor hiperbólico con el parámetro de ángulo hiperbólico . Este parámetro es parte de la descomposición polar de un número complejo dividido. Pero es un aspecto sorprendente de las matemáticas finitas lo que hace que el anillo del cuaternión hiperbólico sea diferente:

La base del espacio vectorial de los cuaterniones hiperbólicos no está cerrada bajo la multiplicación: por ejemplo, . Sin embargo, el conjunto está cerrado bajo la multiplicación. Satisface todas las propiedades de un grupo abstracto excepto la propiedad de asociatividad; al ser finito, es un cuadrado latino o cuasigrupo , una estructura matemática periférica . La pérdida de la propiedad de asociatividad de la multiplicación como se encuentra en la teoría de cuasigrupos no es consistente con el álgebra lineal , ya que todas las transformaciones lineales se componen de manera asociativa. Sin embargo, en la década de 1890 los científicos físicos pedían la mutación de los cuadrados de , , y ser en lugar de  : El físico de la Universidad de Yale , Willard Gibbs , tenía folletos con el cuadrado más uno en su sistema vectorial tridimensional. Oliver Heaviside en Inglaterra escribió columnas en el Electrician , un periódico comercial, defendiendo el cuadrado positivo. En 1892 reunió su trabajo en Transactions of the Royal Society A ^[2] donde dice que su sistema vectorial es ${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k\}}$ ${\displaystyle ji=-\!k}$ ${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k,\,-\!1,\,-\!i,\,-\!j,\,-\!k\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$

simplemente los elementos de Cuaterniones sin cuaterniones, con la notación simplificada al máximo y eliminando el muy inconveniente signo menos antes del producto escalar.

Así pues, la aparición de los cuaterniones hiperbólicos de Macfarlane tuvo alguna motivación, pero la desagradable no asociatividad precipitó una reacción. Cargill Gilston Knott fue movido a ofrecer lo siguiente:

Teorema (Knott ^[3] 1892)

Si un álgebra de 4 en base es asociativo y los productos fuera de la diagonal están dados por las reglas de Hamilton, entonces . ${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k\}}$ ${\displaystyle i^{2}=-\!1=j^{2}=k^{2}}$

Prueba:

${\displaystyle j=ki=(-ji)i=-j(ii)}$, entonces . Ciclo las letras , , para obtener . QED . ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i^{2}=-1=j^{2}=k^{2}}$

Este teorema necesitaba una declaración para justificar la resistencia al llamado de los físicos y del electricista . El cuasigrupo estimuló un considerable revuelo en la década de 1890: la revista Nature fue especialmente propicia para una exhibición de lo que se sabía al ofrecer dos resúmenes del trabajo de Knott, así como los de varios otros teóricos de los vectores. Michael J. Crowe dedica el capítulo seis de su libro A History of Vector Analysis a las diversas opiniones publicadas y señala el cuaternión hiperbólico:

Macfarlane construyó un nuevo sistema de análisis vectorial más en armonía con el sistema Gibbs-Heaviside que con el sistema de cuaterniones. ...él...definió un producto completo de dos vectores que era comparable al producto completo del cuaternión excepto que la parte escalar era positiva, no negativa como en el sistema anterior. ^[1]

En 1899 , Charles Jasper Joly notó el cuaternión hiperbólico y la propiedad de no asociatividad ^[4] mientras atribuyeba su origen a Oliver Heaviside.

Los cuaterniones hiperbólicos, como el álgebra de la física , socavan la afirmación que los cuaterniones ordinarios hacían sobre la física. En cuanto a las matemáticas, el cuaternión hiperbólico es otro número hipercomplejo , como se denominaba en su momento a este tipo de estructuras. En la década de 1890, Richard Dedekind había introducido el concepto de anillo en el álgebra conmutativa, y Giuseppe Peano estaba abstrayendo el concepto de espacio vectorial . En 1899, Alfred North Whitehead promovió el álgebra universal , abogando por la inclusión. Los conceptos de cuasigrupo y álgebra sobre un campo son ejemplos de estructuras matemáticas que describen cuaterniones hiperbólicos.

El artículo sobre el cuaternión hiperbólico de Macfarlane de 1900

Las Actas de la Royal Society of Edinburgh publicaron "Hyperbolic Quaternions" en 1900, un artículo en el que Macfarlane recupera la asociatividad para la multiplicación volviendo a cuaterniones complejizados . Mientras estuvo allí, utilizó algunas expresiones que Wolfgang Pauli hizo famosas más tarde : donde Macfarlane escribió

${\displaystyle ij=k{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle jk=i{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle ki=j{\sqrt {-1}},}$

las matrices de Pauli satisfacen

${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=\sigma _{3}{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{1}{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{2}{\sqrt {-1}}}$

mientras se refiere a los mismos cuaterniones complejados.

La frase inicial del artículo es "Es bien sabido que los cuaterniones están íntimamente relacionados con la trigonometría esférica y, de hecho, reducen el tema a una rama del álgebra". Esta afirmación puede verificarse haciendo referencia al trabajo contemporáneo Vector Analysis que trabaja con un sistema de cuaterniones reducido basado en producto escalar y producto cruzado . En el artículo de Macfarlane hay un esfuerzo por producir "trigonometría en la superficie de los hiperboloides equiláteros" a través del álgebra de cuaterniones hiperbólicos, ahora reidentificados en un anillo asociativo de ocho dimensiones reales. El esfuerzo se ve reforzado por una lámina de nueve figuras en la página 181. Ilustran el poder descriptivo de su método de "análisis espacial". Por ejemplo, la figura 7 es el diagrama de Minkowski común que se utiliza hoy en día en relatividad especial para analizar el cambio de velocidad de un sistema de referencia y la relatividad de simultaneidad .

En la página 173, Macfarlane amplía su teoría mayor de las variables de cuaterniones. A modo de contraste, señala que Felix Klein parece no mirar más allá de la teoría de los cuaterniones y la rotación espacial .

Referencias

1. Crowe, MJ (1967). Una historia del análisis vectorial . Universidad de Notre Dame. pag. 191.
2. Heaviside 1892, págs. 427–430
3. Knott, CG (1893). "Innovaciones recientes en teoría de vectores". Naturaleza . 47 (1225): 590–3. Código bibliográfico : 1893Natur..47R.590.. doi : 10.1038/047590b0 .leído ante la Royal Society de Edimburgo el 19 de diciembre de 1892 y publicado en Proceedings
4. Hamilton (1899). Joly, CJ (ed.). Elementos de Cuaterniones (2ª ed.). Londres: Longmans, Green y Co. p. 163.

• Heaviside, Oliver (1892). "Sobre las fuerzas, tensiones y flujos de energía en el campo electromagnético". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres A. 183 : 423–480. Código Bib : 1892RSPTA.183..423H. doi : 10.1098/rsta.1892.0011 . JSTOR  90590.
• Macfarlane, A. (1891). "Principios del Álgebra de la Física". Actas de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia . 40 : 65-117.
• Macfarlane, A. (1894). "Prueba 2: El imaginario del álgebra". Artículos sobre análisis espacial. Nueva York: B. Westerman.
• Macfarlane, A. (1900). "Análisis espacial: un resumen de doce conferencias". Universidad de Lehigh .
• Macfarlane, A. (enero de 1902). "Cuaterniones hiperbólicos". Actas de la Real Sociedad de Edimburgo . 23 : 169–180. doi :10.1017/S0370164600010385.Internet Archive (gratis) o Google Books (gratis). (Nota: P. 177 y placa de figuras escaneadas de forma incompleta en versiones gratuitas).
• Mathews, GBM (1913). "Un álgebra para físicos". Naturaleza . 91 (2284): 595–6. Código Bib :1913Natur..91..595G. doi : 10.1038/091595b0 .
• Alexander Macfarlane y el anillo de cuaterniones hiperbólicos