Conjunto dirigido

Ordenamiento matemático con límites superiores

En matemáticas , un conjunto dirigido (o un preorden dirigido o un conjunto filtrado ) es un conjunto no vacío junto con una relación binaria reflexiva y transitiva (es decir, un preorden ), con la propiedad adicional de que cada par de elementos tiene un límite superior . ^[1] En otras palabras, para cualquiera y en debe existir en con y El preorden de un conjunto dirigido se llama dirección . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c.}$

La noción definida anteriormente a veces se denominaConjunto dirigido hacia arriba . AEl conjunto dirigido hacia abajo se define de manera análoga,^[2]lo que significa que cada par de elementos está acotado por debajo. ^[3] Algunos autores (y este artículo) asumen que un conjunto dirigido está dirigido hacia arriba, a menos que se indique lo contrario. Otros autores llaman a un conjunto dirigido si y sólo si está dirigido tanto hacia arriba como hacia abajo. ^[4]

Los conjuntos dirigidos son una generalización de conjuntos totalmente ordenados no vacíos . Es decir, todos los conjuntos totalmente ordenados son conjuntos dirigidos (a diferencia de los conjuntos parcialmente ordenados , que no necesitan ser dirigidos). Las semirrejillas de unión (que son conjuntos parcialmente ordenados) también son conjuntos dirigidos, pero no a la inversa. Asimismo, las celosías están dirigidas tanto hacia arriba como hacia abajo.

En topología , los conjuntos dirigidos se utilizan para definir redes , que generalizan secuencias y unen las diversas nociones de límite utilizadas en el análisis . Los conjuntos dirigidos también dan lugar a límites directos en álgebra abstracta y (más generalmente) en teoría de categorías .

Definición equivalente

Además de la definición anterior, existe una definición equivalente. Un conjunto dirigido es un conjunto con un preorden tal que cada subconjunto finito de tiene un límite superior. En esta definición, la existencia de un límite superior del subconjunto vacío implica que no está vacío. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

El conjunto de los números naturales de orden ordinario es uno de los ejemplos más importantes de conjunto dirigido. Todo conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido, que incluye y ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\geq ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq ).}$

Un ejemplo (trivial) de un conjunto parcialmente ordenado que no está dirigido es el conjunto en el que las únicas relaciones de orden son y Un ejemplo menos trivial es como el ejemplo anterior de los "reales dirigidos hacia " pero en el que la regla de ordenamiento sólo se aplica a pares de elementos en el mismo lado de (es decir, si se toma un elemento a la izquierda y a la derecha de, entonces y no son comparables y el subconjunto no tiene límite superior). ${\displaystyle \{a,b\},}$ ${\displaystyle a\leq a}$ ${\displaystyle b\leq b.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$

Producto de conjuntos dirigidos

Dejar y ser conjuntos dirigidos. Luego, el conjunto de productos cartesianos se puede convertir en un conjunto dirigido definiendo si y sólo si y. En analogía con el orden del producto , esta es la dirección del producto en el producto cartesiano. Por ejemplo, el conjunto de pares de números naturales se puede convertir en un conjunto dirigido definiendo si y sólo si y ${\displaystyle \mathbb {D} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{1}\times \mathbb {D} _{2}}$ ${\displaystyle \left(n_{1},n_{2}\right)\leq \left(m_{1},m_{2}\right)}$ ${\displaystyle n_{1}\leq m_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}\leq m_{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(n_{0},n_{1}\right)\leq \left(m_{0},m_{1}\right)}$ ${\displaystyle n_{0}\leq m_{0}}$ ${\displaystyle n_{1}\leq m_{1}.}$

Dirigido hacia un punto

Si es un número real , entonces el conjunto se puede convertir en un conjunto dirigido definiendo if (por lo que los elementos "mayores" están más cerca de ). Entonces decimos que los reales han sido dirigidos hacia Este es un ejemplo de un conjunto dirigido que no está ni parcialmente ordenado ni totalmente ordenado . Esto se debe a que la antisimetría se descompone para cada par y equidistante de donde y están en lados opuestos de Explícitamente, esto sucede cuando para algún real, en cuyo caso y aunque Si este preorden se hubiera definido en en lugar de entonces, todavía formaría un conjunto dirigido pero ahora tendría un elemento mayor (único) , específicamente ; sin embargo, aún no se ordenará parcialmente. Este ejemplo se puede generalizar a un espacio métrico definiendo on o el pedido anticipado si y sólo si ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle I:=\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }$ ${\displaystyle a\leq _{I}b}$ ${\displaystyle \left|a-x_{0}\right|\geq \left|b-x_{0}\right|}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \{a,b\}=\left\{x_{0}-r,x_{0}+r\right\}}$ ${\displaystyle r\neq 0,}$ ${\displaystyle a\leq _{I}b}$ ${\displaystyle b\leq _{I}a}$ ${\displaystyle a\neq b.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus \left\{x_{0}\right\}}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle d\left(a,x_{0}\right)\geq d\left(b,x_{0}\right).}$

Elementos máximos y mayores.

Un elemento de un conjunto preordenado es un elemento máximo si para cada implica ^[5] Es un elemento mayor si para cada ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle j\in I,}$ ${\displaystyle m\leq j}$ ${\displaystyle j\leq m.}$ ${\displaystyle j\in I,}$ ${\displaystyle j\leq m.}$

Cualquier conjunto reservado con un elemento mayor es un conjunto dirigido con el mismo pedido anticipado. Por ejemplo, en un poset cada cierre inferior de un elemento; es decir, cada subconjunto de la forma hacia donde se dirige un elemento fijo . ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \{a\in P:a\leq x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P,}$

Cada elemento máximo de un conjunto preordenado dirigido es un elemento máximo. De hecho, un conjunto preordenado dirigido se caracteriza por la igualdad de los conjuntos (posiblemente vacíos) de elementos máximos y mayores.

Inclusión de subconjuntos

La relación de inclusión de subconjuntos junto con su dual definen órdenes parciales en cualquier familia de conjuntos dada . Una familia de conjuntos no vacía es un conjunto dirigido con respecto al orden parcial (respectivamente, ) si y sólo si la intersección (respectivamente, unión) de dos de sus miembros contiene como subconjunto (respectivamente, está contenida como subconjunto) de) algún tercer miembro. En símbolos, una familia de conjuntos está dirigida con respecto a (respectivamente, ) si y sólo si ${\displaystyle \,\subseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq ,\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

para todos existe algo tal que y (respectivamente, y ) ${\displaystyle A,B\in I,}$ ${\displaystyle C\in I}$ ${\displaystyle A\supseteq C}$ ${\displaystyle B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle B\subseteq C}$

o equivalente,

para todos existe algo tal que (respectivamente, ). ${\displaystyle A,B\in I,}$ ${\displaystyle C\in I}$ ${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

Se pueden definir muchos ejemplos importantes de conjuntos dirigidos utilizando estos órdenes parciales. Por ejemplo, por definición, un prefiltro o base de filtro es una familia de conjuntos no vacíos que es un conjunto dirigido con respecto al orden parcial y que además no contiene el conjunto vacío (esta condición evita la trivialidad porque de lo contrario, el conjunto vacío entonces sería un elemento mayor con respecto a ). Cada sistema π , que es una familia de conjuntos no vacía que está cerrada bajo la intersección de dos de sus miembros cualesquiera, es un conjunto dirigido con respecto a Cada sistema λ es un conjunto dirigido con respecto a Cada filtro , topología , y σ-álgebra es un conjunto dirigido con respecto a ambos y ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,.}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,.}$

Colas de redes

Por definición, una red es una función de un conjunto dirigido y una secuencia es una función de los números naturales. Cada secuencia canónicamente se convierte en una red al dotarse de ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq .\,}$

Si cualquier red es de un conjunto dirigido , entonces para cualquier índice el conjunto se llama cola de inicio en La familia de todas las colas es un conjunto dirigido con respecto a, de hecho, es incluso un prefiltro. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle x_{\geq i}:=\left\{x_{j}:j\geq i{\text{ with }}j\in I\right\}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right):=\left\{x_{\geq i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \,\supseteq ;\,}$

Barrios

Si es un espacio topológico y es un punto en el conjunto de todas las vecindades de se puede convertir en un conjunto dirigido escribiendo si y sólo si contiene For each y  : ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle U\leq V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle U\leq U}$ya que se contiene a sí mismo. ${\displaystyle U}$
• si y entonces y que implica Así ${\displaystyle U\leq V}$ ${\displaystyle V\leq W,}$ ${\displaystyle U\supseteq V}$ ${\displaystyle V\supseteq W,}$ ${\displaystyle U\supseteq W.}$ ${\displaystyle U\leq W.}$
• porque y desde que ambos y tenemos y ${\displaystyle x_{0}\in U\cap V,}$ ${\displaystyle U\supseteq U\cap V}$ ${\displaystyle V\supseteq U\cap V,}$ ${\displaystyle U\leq U\cap V}$ ${\displaystyle V\leq U\cap V.}$

Subconjuntos finitos

El conjunto de todos los subconjuntos finitos de un conjunto está dirigido con respecto a dado que dados dos cualesquiera su unión es un límite superior de y en Este conjunto dirigido en particular se utiliza para definir la suma de una serie generalizada de una colección de números indexados (o más generalmente, la suma de elementos en un grupo topológico abeliano , como vectores en un espacio vectorial topológico ) como el límite de la red de sumas parciales que es: ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle A,B\in \operatorname {Finite} (I),}$ ${\displaystyle A\cup B\in \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I).}$ ${\displaystyle {\textstyle \sum \limits _{i\in I}}r_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {Finite} (I)\mapsto {\textstyle \sum \limits _{i\in F}}r_{i};}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}~:=~\lim _{F\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in F}r_{i}~=~\lim \left\{\sum _{i\in F}r_{i}\,:F\subseteq I,F{\text{ finite }}\right\}.}$$

Lógica

Sea una teoría formal , que es un conjunto de oraciones con ciertas propiedades (cuyos detalles se pueden encontrar en el artículo sobre el tema ). Por ejemplo, podría ser una teoría de primer orden (como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ) o una teoría de orden cero más simple . El conjunto preordenado es un conjunto dirigido porque if y if denota la oración formada por la conjunción lógica entonces y donde If es el álgebra de Lindenbaum-Tarski asociada con entonces es un conjunto parcialmente ordenado que también es un conjunto dirigido. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S,\Leftarrow )}$ ${\displaystyle A,B\in S}$ ${\displaystyle C:=A\wedge B}$ ${\displaystyle \,\wedge ,\,}$ ${\displaystyle A\Leftarrow C}$ ${\displaystyle B\Leftarrow C}$ ${\displaystyle C\in S.}$ ${\displaystyle S/\sim }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(S/\sim ,\Leftarrow \right)}$

Contraste con semiredes

Ejemplo de un conjunto dirigido que no es una semired de unión

El conjunto dirigido es un concepto más general que la semired (de unión): cada semired de unión es un conjunto dirigido, ya que la unión o el límite superior mínimo de dos elementos es el deseado. Sin embargo, lo contrario no se cumple, como lo demuestra el conjunto dirigido {1000,0001, 1101,1011,1111} ordenado bit a bit (por ejemplo, se mantiene, pero no, ya que en el último bit 1 > 0), donde {1000,0001} tiene tres límites superiores pero ningún límite superior mínimo , cf. imagen. (Tenga en cuenta también que sin 1111, el conjunto no está dirigido). ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle 1000\leq 1011}$ ${\displaystyle 0001\leq 1000}$

Subconjuntos dirigidos

No es necesario que la relación de orden en un conjunto dirigido sea antisimétrica y, por lo tanto, los conjuntos dirigidos no siempre son órdenes parciales . Sin embargo, el término conjunto dirigido también se utiliza con frecuencia en el contexto de posets. En este contexto, un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado se llama subconjunto dirigido si es un conjunto dirigido según el mismo orden parcial: en otras palabras, no es el conjunto vacío y cada par de elementos tiene un límite superior. Aquí la relación de orden de los elementos de se hereda de ; por esta razón, no es necesario exigir explícitamente la reflexividad y la transitividad. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$

No es necesario que un subconjunto dirigido de un poset esté cerrado hacia abajo ; un subconjunto de un poset está dirigido si y sólo si su cierre descendente es ideal . Si bien la definición de conjunto dirigido es para un conjunto "dirigido hacia arriba" (cada par de elementos tiene un límite superior), también es posible definir un conjunto dirigido hacia abajo en el que cada par de elementos tiene un límite inferior común. Un subconjunto de un poset está dirigido hacia abajo si y sólo si su cierre superior es un filtro .

Los subconjuntos dirigidos se utilizan en la teoría de dominios , que estudia los órdenes parciales completos dirigidos . ^[6] Estos son posets en los que se requiere que cada conjunto dirigido hacia arriba tenga un límite superior mínimo . En este contexto, los subconjuntos dirigidos nuevamente proporcionan una generalización de secuencias convergentes. ^{[ Se necesita más explicación ]}

Ver también

• Conjunto centrado  – Teoría del orden
• Categoría filtrada
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Conjunto vinculado  : concepto matemático sobre posets en la teoría del orden (parcial)
• Net (matemáticas)  : una generalización de una secuencia de puntos.

Notas

1. Kelley, pág. sesenta y cinco.
2. Robert S. Borden (1988). Un curso de cálculo avanzado . Corporación de mensajería. pag. 20.ISBN _ 978-0-486-15038-3.
3. Arlen marrón; Carl Pearcy (1995). Una introducción al análisis . Saltador. pag. 13.ISBN _ 978-1-4612-0787-0.
4. Sigfrido Carl; Seppo Heikkilä (2010). Teoría del punto fijo en conjuntos ordenados y aplicaciones: de las ecuaciones diferenciales e integrales a la teoría de juegos . Saltador. pag. 77.ISBN _ 978-1-4419-7585-0.
5. Esto implica que es un conjunto parcialmente ordenado . ${\displaystyle j=m}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$
6. Gierz, pág. 2.

Referencias

• JL Kelley (1955), Topología general .
• Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Dominios y redes continuas , Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1 .