Subconjunto

Conjunto cuyos elementos pertenecen todos a otro conjunto

Diagrama de Euler que muestra que
A es un subconjunto de B (denotado ) y, a la inversa, B es un superconjunto de A (denotado ). ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B\supseteq A}$

En matemáticas, un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A son también elementos de B ; B es entonces un superconjunto de A . Es posible que A y B sean iguales; si son desiguales, entonces A es un subconjunto propio de B . La relación de que un conjunto sea un subconjunto de otro se denomina inclusión (o a veces contención ). A es un subconjunto de B también puede expresarse como B incluye (o contiene) a A o A está incluido (o contenido) en B . Un k -subconjunto es un subconjunto con k elementos.

Cuando se cuantifica, se representa como ^[1] ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right).}$

Se puede probar la afirmación aplicando una técnica de prueba conocida como argumento elemental ^[2] : ${\displaystyle A\subseteq B}$

Sean los conjuntos A y B dados. Para demostrar que ${\displaystyle A\subseteq B,}$

1. Supongamos que a es un elemento particular pero elegido arbitrariamente de A.
2. Demuestre que a es un elemento de B.

La validez de esta técnica puede verse como una consecuencia de la generalización universal : la técnica muestra para un elemento elegido arbitrariamente c . La generalización universal implica entonces que es equivalente a lo indicado anteriormente. ${\displaystyle (c\in A)\Rightarrow (c\in B)}$ ${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right),}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$

Definición

Si A y B son conjuntos y cada elemento de A es también un elemento de B , entonces:

• A es un subconjunto de B , denotado por , o equivalentemente, ${\displaystyle A\subseteq B}$
• B es un superconjunto de A , denotado por ${\displaystyle B\supseteq A.}$

Si A es un subconjunto de B , pero A no es igual a B (es decir, existe al menos un elemento de B que no es un elemento de A ), entonces:

• A es un subconjunto propio (o estricto ) de B , denotado por , o equivalentemente, ${\displaystyle A\subsetneq B}$
• B es un superconjunto propio (o estricto ) de A , denotado por ${\displaystyle B\supsetneq A.}$

El conjunto vacío , escrito o no tiene elementos, y por lo tanto es vacuamente un subconjunto de cualquier conjunto X. ${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystyle \varnothing ,}$

Propiedades básicas

${\displaystyle A\subseteq B}$y implica ${\displaystyle B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C.}$

• Reflexividad : Dado cualquier conjunto, ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subseteq A}$
• Transitividad : Siy, entonces ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$
• Antisimetría : Siy, entonces. ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle A=B}$

Subconjunto propio

• Irreflexividad : Dado cualquier conjunto,es falso. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subsetneq A}$
• Transitividad : Siy, entonces ${\displaystyle A\subsetneq B}$ ${\displaystyle B\subsetneq C}$ ${\displaystyle A\subsetneq C}$
• Asimetría : Sientonceses Falso. ${\displaystyle A\subsetneq B}$ ${\displaystyle B\subsetneq A}$

Símbolos ⊂ y ⊃

Algunos autores utilizan los símbolos y para indicar subconjunto y superconjunto respectivamente; es decir, con el mismo significado que y en lugar de los símbolos y ^[4] Por ejemplo, para estos autores, es cierto de todo conjunto A que (una relación reflexiva ). ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \supseteq .}$ ${\displaystyle A\subset A.}$

Otros autores prefieren usar los símbolos y para indicar subconjunto propio (también llamado estricto) y superconjunto propio respectivamente; es decir, con el mismo significado que y en lugar de los símbolos y ^[5] Este uso hace que y sea análogo a los símbolos de desigualdad y Por ejemplo, si entonces x puede o no ser igual a y , pero si entonces x definitivamente no es igual a y , y es menor que y (una relación irreflexiva ). De manera similar, usando la convención de que es subconjunto propio, si entonces A puede o no ser igual a B , pero si entonces A definitivamente no es igual a B . ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \subsetneq }$ ${\displaystyle \supsetneq .}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <.}$ ${\displaystyle x\leq y,}$ ${\displaystyle x<y,}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A\subset B,}$

Ejemplos de subconjuntos

Los polígonos regulares forman un subconjunto de los polígonos.

• El conjunto A = {1, 2} es un subconjunto propio de B = {1, 2, 3}, por lo tanto ambas expresiones y son verdaderas. ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle A\subsetneq B}$
• El conjunto D = {1, 2, 3} es un subconjunto (pero no un subconjunto propio) de E = {1, 2, 3}, por lo tanto es verdadero y no es verdadero (falso). ${\displaystyle D\subseteq E}$ ${\displaystyle D\subsetneq E}$
• El conjunto { x : x es un número primo mayor que 10} es un subconjunto propio de { x : x es un número impar mayor que 10}
• El conjunto de los números naturales es un subconjunto propio del conjunto de los números racionales ; de la misma manera, el conjunto de puntos de un segmento de recta es un subconjunto propio del conjunto de puntos de una recta . Estos son dos ejemplos en los que tanto el subconjunto como el conjunto entero son infinitos, y el subconjunto tiene la misma cardinalidad (el concepto que corresponde al tamaño, es decir, el número de elementos, de un conjunto finito) que el conjunto entero; tales casos pueden ir en contra de la intuición inicial.
• El conjunto de los números racionales es un subconjunto propio del conjunto de los números reales . En este ejemplo, ambos conjuntos son infinitos, pero el último conjunto tiene una cardinalidad (o potencia ) mayor que el primero.

Otro ejemplo en un diagrama de Euler :

• 
  A es un subconjunto propio de B.
• 
  C es un subconjunto pero no un subconjunto propio de B.

Conjunto de potencia

El conjunto de todos los subconjuntos de se llama su conjunto potencia y se denota por . ^[6] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$

La relación de inclusión es un orden parcial en el conjunto definido por . También podemos ordenar parcialmente por inclusión inversa del conjunto definiendo ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle A\leq B{\text{ if and only if }}B\subseteq A.}$

Para el conjunto potencia de un conjunto S , el orden parcial de inclusión es —hasta un isomorfismo de orden— el producto cartesiano de (la cardinalidad de S ) copias del orden parcial en para el cual Esto se puede ilustrar enumerando , y asociando con cada subconjunto (es decir, cada elemento de ) la k -tupla de cuya i ésima coordenada es 1 si y solo si es un miembro de T . ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)}$ ${\displaystyle k=|S|}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle 0<1.}$ ${\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},}$ ${\displaystyle T\subseteq S}$ ${\displaystyle 2^{S}}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{k},}$ ${\displaystyle s_{i}}$

El conjunto de todos los subconjuntos de se denota por , de forma análoga a la notación para coeficientes binomiales , que cuentan el número de subconjuntos de un conjunto de elementos. En teoría de conjuntos , la notación también es común, especialmente cuando es un número cardinal transfinito . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tbinom {A}{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [A]^{k}}$ ${\displaystyle k}$

Otras propiedades de la inclusión

• Un conjunto A es un subconjunto de B si y sólo si su intersección es igual a A. Formalmente:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B=A.}$

• Un conjunto A es un subconjunto de B si y sólo si su unión es igual a B. Formalmente:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B=B.}$

• Un conjunto finito A es un subconjunto de B , si y sólo si la cardinalidad de su intersección es igual a la cardinalidad de A. Formalmente:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.}$

• La relación de subconjuntos define un orden parcial de los conjuntos. De hecho, los subconjuntos de un conjunto dado forman un álgebra de Boole bajo la relación de subconjuntos, en la que la unión y el encuentro están dados por la intersección y la unión , y la relación de subconjuntos en sí misma es la relación de inclusión de Boole .
• La inclusión es el orden parcial canónico , en el sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado es isomorfo a alguna colección de conjuntos ordenados por inclusión. Los números ordinales son un ejemplo sencillo: si cada ordinal n se identifica con el conjunto de todos los ordinales menores o iguales a n , entonces si y solo si ${\displaystyle (X,\preceq )}$ ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

Véase también

• Subconjunto convexo  : En geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un solo segmento de línea.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Orden de inclusión  : orden parcial que surge como relación de inclusión de subconjuntos en alguna colección de objetos
• Mereología  – Estudio de las partes y los todos que forman.
• Región  – Subconjunto abierto conectado de un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Problema de suma de subconjuntos  : problema de decisión en informática
• Contención subsuntiva  – Sistema de elementos que están subordinados entre sí
• Subespacio  : conjunto matemático con cierta estructura añadidaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Subconjunto total  – Subconjunto T de un espacio vectorial topológico X donde el espacio lineal de T es un subconjunto denso de X

Referencias

1. Rosen, Kenneth H. (2012). Matemática discreta y sus aplicaciones (7.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 119. ISBN 978-0-07-338309-5.
2. Epp, Susanna S. (2011). Matemática discreta con aplicaciones (cuarta edición). pág. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.
3. Stoll, Robert R. Teoría de conjuntos y lógica . San Francisco, CA: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
4. Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , pág. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, Sr.  0924157
5. Subconjuntos y subconjuntos propios (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 23 de enero de 2013 , consultado el 7 de septiembre de 2012
6. Weisstein, Eric W. "Subconjunto". mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de agosto de 2020 .

Bibliografía

• Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Subconjuntos en Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Subconjunto". MathWorld .