conjunto superior

Subconjunto de un pedido anticipado que contiene todos los elementos más grandes

Un diagrama de Hasse de los divisores de , ordenados por la relación es divisor de , con el conjunto superior de color verde. Los conjuntos blancos forman el conjunto inferior. ${\displaystyle 210}$ ${\displaystyle \uparrow 2}$ ${\displaystyle \downarrow 105.}$

En matemáticas , un conjunto superior (también llamado conjunto cerrado hacia arriba , trastornado o conjunto de isótonas en X ) ^[1] de un conjunto parcialmente ordenado es un subconjunto con la siguiente propiedad: si s está en S y si x en X es mayor que s (es decir, si ), entonces x está en S . En otras palabras, esto significa que cualquier elemento x de X que sea relativo a algún elemento de S es necesariamente también un elemento de S. El término conjunto inferior (también llamado conjunto cerrado descendente , conjunto descendente , conjunto decreciente , segmento inicial o semiideal ) se define de manera similar como un subconjunto S de X con la propiedad de que cualquier elemento x de X que sea de algún elemento de S es necesariamente también un elemento de S . ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle s<x}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Definición

Sea un conjunto reservado . Un conjunto superior en (también llamado conjunto cerrado hacia arriba , malestar o conjunto de isótonos ) ^[1] es un subconjunto que está "cerrado hacia arriba", en el sentido de que ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$

para todos y todas si entonces ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle u\leq x}$ ${\displaystyle x\in U.}$

La noción dual es un conjunto inferior (también llamado conjunto cerrado hacia abajo , conjunto hacia abajo , conjunto decreciente , segmento inicial o semiideal ), que es un subconjunto que está "cerrado hacia abajo", en el sentido de que ${\displaystyle L\subseteq X}$

para todos y todas si entonces ${\displaystyle l\in L}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\leq l}$ ${\displaystyle x\in L.}$

Los términos orden ideal o ideal a veces se utilizan como sinónimos de conjunto inferior. ^{[2] [3] [4]} Esta elección de terminología no refleja la noción de un ideal de red porque un conjunto inferior de red no es necesariamente una subred. ^[2]

Propiedades

• Todo conjunto parcialmente ordenado es un conjunto superior de sí mismo.
• La intersección y unión de cualquier familia de conjuntos superiores es nuevamente un conjunto superior.
• El complemento de cualquier conjunto superior es un conjunto inferior y viceversa.
• Dado un conjunto parcialmente ordenado, la familia de conjuntos superiores de ordenados con la relación de inclusión es una red completa , la red del conjunto superior . ${\displaystyle (X,\leq ),}$ ${\displaystyle X}$
• Dado un subconjunto arbitrario de un conjunto parcialmente ordenado, el conjunto superior más pequeño que contiene se indica mediante una flecha hacia arriba como (ver cierre superior y cierre inferior). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \uparrow Y}$
  • De manera dual, el conjunto inferior más pequeño que contiene se indica usando una flecha hacia abajo como ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \downarrow Y.}$
• Un conjunto inferior se llama principal si tiene la forma donde es un elemento de ${\displaystyle \downarrow \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$
• Cada conjunto inferior de un conjunto finito parcialmente ordenado es igual al conjunto inferior más pequeño que contiene todos los elementos máximos de ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
  • ${\displaystyle \downarrow Y=\downarrow \operatorname {Max} (Y)}$donde denota el conjunto que contiene los elementos máximos de ${\displaystyle \operatorname {Max} (Y)}$ ${\displaystyle Y.}$
• Un conjunto inferior dirigido se llama ideal de orden .
• Para órdenes parciales que satisfacen la condición de cadena descendente , las anticadenas y los conjuntos superiores están en correspondencia uno a uno a través de las siguientes biyecciones : asignar cada anticadena a su cierre superior (ver más abajo); por el contrario, asigne cada conjunto superior al conjunto de sus elementos mínimos. Esta correspondencia no es válida para pedidos parciales más generales; por ejemplo, los conjuntos de números reales y ambos están asignados a la anticadena vacía. ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>0\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>1\}}$

Cierre superior y cierre inferior

Dado un elemento de un conjunto parcialmente ordenado, el cierre superior o cierre ascendente de denota por o está definido por ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\leq ),}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle x^{\uparrow },}$ ${\displaystyle \uparrow \!x,}$

$${\displaystyle x^{\uparrow X}=\;\uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}}$$

cierre inferiorcierre hacia abajo ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\downarrow X},}$ ${\displaystyle x^{\downarrow },}$ ${\displaystyle \downarrow \!x,}$

$${\displaystyle x^{\downarrow X}=\;\downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.}$$

Los conjuntos y son, respectivamente, los conjuntos superior e inferior más pequeños que contienen como elemento. De manera más general, dado un subconjunto, defina el cierre superior / hacia arriba y el cierre inferior / hacia abajo denotados por y respectivamente, como ${\displaystyle \uparrow \!x}$ ${\displaystyle \downarrow \!x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle A^{\downarrow X}}$

$${\displaystyle A^{\uparrow X}=A^{\uparrow }=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a}$$

$${\displaystyle A^{\downarrow X}=A^{\downarrow }=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a.}$$

De esta forma, y ​​donde se denominan conjuntos superiores y conjuntos inferiores de esta forma principal . El cierre superior y el cierre inferior de un conjunto son, respectivamente, el conjunto superior y el conjunto inferior más pequeños que lo contienen. ${\displaystyle \uparrow x=\uparrow \{x\}}$ ${\displaystyle \downarrow x=\downarrow \{x\},}$

Los cierres superior e inferior, cuando se ven como funciones del conjunto de potencias hacia sí mismo, son ejemplos de operadores de cierre ya que satisfacen todos los axiomas de cierre de Kuratowski . Como resultado, el cierre superior de un conjunto es igual a la intersección de todos los conjuntos superiores que lo contienen, y de manera similar para los conjuntos inferiores. (De hecho, este es un fenómeno general de los operadores de cierre. Por ejemplo, el cierre topológico de un conjunto es la intersección de todos los conjuntos cerrados que lo contienen; el lapso de un conjunto de vectores es la intersección de todos los subespacios que lo contienen; el subgrupo generado por un subconjunto de un grupo es la intersección de todos los subgrupos que lo contienen; el ideal generado por un subconjunto de un anillo es la intersección de todos los ideales que lo contienen; y así sucesivamente). ${\displaystyle X}$

Números ordinales

Un número ordinal suele identificarse con el conjunto de todos los números ordinales menores. Así, cada número ordinal forma un conjunto inferior en la clase de todos los números ordinales, que están totalmente ordenados por inclusión de conjuntos.

Ver también

• Complejo simplicial abstracto (también llamado: sistema de independencia ): una familia de conjuntos cerrada hacia abajo con respecto a la relación de contención.
• Conjunto cofinal : un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado que contiene para cada elemento algún elemento tal que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y.}$

Referencias

1. Dolecki y Mynard 2016, págs.
2. Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (2002). Introducción a las celosías y al orden (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . págs.20, 44. ISBN 0-521-78451-4. LCCN  2001043910.
3. Stanley, RP (2002). Combinatoria enumerativa . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. vol. 1. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 100.ISBN​ 978-0-521-66351-9.
4. Lawson, MV (1998). Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales . Científico mundial. pag. 22.ISBN​ 978-981-02-3316-7.

• Blanck, J. (2000). "Representaciones de dominio de espacios topológicos" (PDF) . Informática Teórica . 247 (1–2): 229–255. doi : 10.1016/s0304-3975(99)00045-6 .
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: Compañía Mundial de Publicaciones Científicas. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Hoffman, KH (2001), Los axiomas de baja separación (T0) y (T1)