Familia de conjuntos

Cualquier colección de conjuntos o subconjuntos de un conjunto

En teoría de conjuntos y ramas relacionadas de las matemáticas , una familia (o colección ) puede significar, dependiendo del contexto, cualquiera de los siguientes: conjunto , conjunto indexado , multiconjunto o clase . Una colección de subconjuntos de un conjunto dado se denomina familia de subconjuntos de o familia de conjuntos sobre De manera más general, una colección de cualquier conjunto se denomina familia de conjuntos , familia de conjuntos o sistema de conjuntos . Además, una familia de conjuntos puede definirse como una función de un conjunto , conocido como el conjunto índice, a , en cuyo caso los conjuntos de la familia están indexados por miembros de . ^[1] En algunos contextos, se puede permitir que una familia de conjuntos contenga copias repetidas de cualquier miembro dado, ^{[2] [3] [4]} y en otros contextos puede formar una clase propia . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle I}$

Una familia finita de subconjuntos de un conjunto finito también se denomina hipergrafo . El tema de la teoría de conjuntos extremos se ocupa de los ejemplos más grandes y más pequeños de familias de conjuntos que satisfacen ciertas restricciones. ${\displaystyle S}$

Ejemplos

El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado se denomina conjunto potencia de y se denota por El conjunto potencia de un conjunto dado es una familia de conjuntos sobre ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S).}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Un subconjunto de elementos se denomina -subconjunto de . Los -subconjuntos de un conjunto forman una familia de conjuntos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S^{(k)}}$ ${\displaystyle S}$

Sea Un ejemplo de una familia de conjuntos sobre (en el sentido de multiconjunto ) está dado por donde y ${\displaystyle S=\{a,b,c,1,2\}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\},}$ ${\displaystyle A_{1}=\{a,b,c\},A_{2}=\{1,2\},A_{3}=\{1,2\},}$ ${\displaystyle A_{4}=\{a,b,1\}.}$

La clase de todos los números ordinales es una gran familia de conjuntos, es decir, no es en sí misma un conjunto sino una clase propia . ${\displaystyle \operatorname {Ord} }$

Propiedades

Cualquier familia de subconjuntos de un conjunto es en sí misma un subconjunto del conjunto potencia si no tiene miembros repetidos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$

Cualquier familia de conjuntos sin repeticiones es una subclase de la clase propia de todos los conjuntos (el universo ).

El teorema del matrimonio de Hall , debido a Philip Hall , da las condiciones necesarias y suficientes para que una familia finita de conjuntos no vacíos (se permiten repeticiones) tenga un sistema de representantes distintos .

Si es cualquier familia de conjuntos entonces denota la unión de todos los conjuntos en donde en particular, Cualquier familia de conjuntos es una familia sobre y también una familia sobre cualquier superconjunto de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}:={\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}}F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \cup \varnothing =\varnothing .}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}.}$

Conceptos relacionados

Ciertos tipos de objetos de otras áreas de las matemáticas son equivalentes a familias de conjuntos, en el sentido de que pueden describirse puramente como una colección de conjuntos de objetos de algún tipo:

• Un hipergrafo , también llamado sistema de conjuntos, está formado por un conjunto de vértices junto con otro conjunto de hiperaristas , cada una de las cuales puede ser un conjunto arbitrario. Las hiperaristas de un hipergrafo forman una familia de conjuntos, y cualquier familia de conjuntos puede interpretarse como un hipergrafo que tiene como vértices la unión de los conjuntos.
• Un complejo simplicial abstracto es una abstracción combinatoria de la noción de complejo simplicial , una forma formada por uniones de segmentos de línea, triángulos, tetraedros y símplices de dimensiones superiores , unidos cara a cara. En un complejo simplicial abstracto, cada símplice se representa simplemente como el conjunto de sus vértices. Cualquier familia de conjuntos finitos sin repeticiones en la que los subconjuntos de cualquier conjunto de la familia también pertenecen a la familia forma un complejo simplicial abstracto.
• Una estructura de incidencia consta de un conjunto de puntos , un conjunto de líneas y una relación binaria (arbitraria) , denominada relación de incidencia , que especifica qué puntos pertenecen a qué líneas. Una estructura de incidencia se puede especificar mediante una familia de conjuntos (incluso si dos líneas distintas contienen el mismo conjunto de puntos), los conjuntos de puntos que pertenecen a cada línea y cualquier familia de conjuntos se puede interpretar como una estructura de incidencia de esta manera.
• Un código binario en bloque consiste en un conjunto de palabras de código, cada una de las cuales es una cadena de 0 y 1, todas de la misma longitud. Cuando cada par de palabras de código tiene una distancia de Hamming grande , se puede utilizar como un código de corrección de errores . Un código en bloque también se puede describir como una familia de conjuntos, describiendo cada palabra de código como el conjunto de posiciones en las que contiene un 1.
• Un espacio topológico consiste en un par donde es un conjunto (cuyos elementos se llaman puntos ) y es una topología en la que hay una familia de conjuntos (cuyos elementos se llaman conjuntos abiertos ) que contiene tanto al conjunto vacío como a sí mismo, y es cerrado bajo uniones de conjuntos arbitrarias e intersecciones de conjuntos finitos. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$

Coberturas y topologías

Se dice que una familia de conjuntos cubre un conjunto si cada punto de pertenece a algún miembro de la familia. Una subfamilia de una cubierta de que también es una cubierta de se llama subcubierta . Una familia se llama colección de puntos finitos si cada punto de se encuentra en solo un número finito de miembros de la familia. Si cada punto de una cubierta se encuentra en exactamente un miembro de , la cubierta es una partición de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Cuando es un espacio topológico , una cubierta cuyos miembros son todos conjuntos abiertos se denomina cubierta abierta . Una familia se denomina localmente finita si cada punto del espacio tiene un entorno que interseca solo un número finito de miembros de la familia. Una colección σ-localmente finita o localmente finita numerable es una familia que es la unión de un número numerable de familias localmente finitas. ${\displaystyle X}$

Se dice que una cubierta refina otra cubierta (más basta) si cada miembro de está contenido en algún miembro de Un refinamiento de estrella es un tipo particular de refinamiento. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Tipos especiales de familias de conjuntos

Una familia de Sperner es una familia de conjuntos en la que ninguno de los conjuntos contiene a ninguno de los otros. El teorema de Sperner limita el tamaño máximo de una familia de Sperner.

Una familia de Helly es una familia de conjuntos en la que cualquier subfamilia mínima con intersección vacía tiene un tamaño acotado. El teorema de Helly establece que los conjuntos convexos en espacios euclidianos de dimensión acotada forman familias de Helly.

Un complejo simplicial abstracto es una familia de conjuntos (que consta de conjuntos finitos) que está cerrada hacia abajo ; es decir, cada subconjunto de un conjunto en también está en Un matroide es un complejo simplicial abstracto con una propiedad adicional llamada propiedad de aumento . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$

Cada filtro es una familia de conjuntos.

Un espacio de convexidad es una familia de conjuntos cerrada bajo intersecciones y uniones arbitrarias de cadenas (con respecto a la relación de inclusión ).

Otros ejemplos de familias de conjuntos son los sistemas de independencia , los gredoides , los antimatroides y los espacios bornológicos .

Véase también

• Álgebra de conjuntos  – Identidades y relaciones que involucran conjuntos
• Clase (teoría de conjuntos)  : Colección de conjuntos en matemáticas que se pueden definir en función de una propiedad de sus miembros.
• Diseño combinatorio  – Disposición simétrica de conjuntos finitos
• δ-ring  – Anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también denominado álgebra de conjuntos
• Cuantificador generalizado  : expresión que denota un conjunto de conjuntos en semántica formal
• Familia indexada  : colección de objetos, cada uno asociado con un elemento de algún conjunto de índices
• Sistema λ (sistema Dynkin)  : familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables
• Sistema π  – Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• Paradoja de Russell  – Paradoja en la teoría de conjuntos (o Conjunto de conjuntos que no se contienen a sí mismos )
• σ-álgebra  – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• σ-ring  – Familia de conjuntos cerrados bajo uniones contables

Notas

1. P. Halmos, Naive Set Theory , p. 34. The University Series in Undergraduate Mathematics, 1960. Litton Educational Publishing, Inc.
2. Brualdi 2010, pág. 322
3. Roberts y Tesman 2009, pág. 692
4. Biggs 1985, pág. 89

Referencias

• Biggs, Norman L. (1985), Matemáticas discretas , Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0
• Brualdi, Richard A. (2010), Combinatoria introductoria (5.ª ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, ISBN 0-13-602040-2
• Roberts, Fred S.; Tesman, Barry (2009), Combinatoria aplicada (2ª ed.), Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9

Enlaces externos

• Medios relacionados con Familias de conjuntos en Wikimedia Commons