Sistema Dynkin

Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables

Un sistema Dynkin , ^[1] llamado así por Eugene Dynkin , es una colección de subconjuntos de otro conjunto universal que satisface un conjunto de axiomas más débiles que los del álgebra 𝜎 . Los sistemas Dynkin a veces se denominan sistemas 𝜆 (el propio Dynkin utilizó este término) o sistema d . ^[2] Estas familias de conjuntos tienen aplicaciones en la teoría de la medida y la probabilidad . ${\displaystyle \Omega }$

Una aplicación importante de los sistemas 𝜆 es el teorema π -𝜆, véase más abajo.

Definición

Sea un conjunto no vacío y sea una colección de subconjuntos de (es decir, es un subconjunto del conjunto potencia de ). Entonces es un sistema Dynkin si ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$

1. ${\displaystyle \Omega \in D;}$
2. ${\displaystyle D}$está cerrado bajo complementos de subconjuntos en superconjuntos: si y entonces ${\displaystyle A,B\in D}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle B\setminus A\in D;}$
3. ${\displaystyle D}$está cerrado bajo uniones crecientes contables : si es una secuencia creciente ^{[nota 1]} de conjuntos en entonces ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$

Es fácil comprobar ^{[prueba 1]} que cualquier sistema Dynkin satisface: ${\displaystyle D}$

4. ${\displaystyle \varnothing \in D;}$
5. ${\displaystyle D}$está cerrado bajo complementos en : si entonces ${\displaystyle \Omega }$ ${\textstyle A\in D,}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A\in D;}$
   • Tomando muestra que ${\displaystyle A:=\Omega }$ ${\displaystyle \varnothing \in D.}$
6. ${\displaystyle D}$está cerrado bajo uniones contables de conjuntos disjuntos por pares : si es una secuencia de conjuntos disjuntos por pares en (lo que significa que para todos ) entonces ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$
   • Para ser claros, esta propiedad también es válida para secuencias finitas de conjuntos disjuntos por pares (suponiendo que para todo ). ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle A_{i}:=\varnothing }$ ${\displaystyle i>n}$

Por el contrario, es fácil comprobar que una familia de conjuntos que satisfacen las condiciones 4-6 es una clase Dynkin. ^{[prueba 2]} Por esta razón, un pequeño grupo de autores ha adoptado las condiciones 4-6 para definir un sistema Dynkin.

Un hecho importante es que cualquier sistema de Dynkin que sea también un sistema π (es decir, cerrado bajo intersecciones finitas) es un álgebra 𝜎 . Esto se puede verificar observando que las condiciones 2 y 3 junto con el cierre bajo intersecciones finitas implican cierre bajo uniones finitas, lo que a su vez implica cierre bajo uniones numerables.

Dada cualquier colección de subconjuntos de existe un sistema Dynkin único denotado que es mínimo con respecto a contener Es decir, si es cualquier sistema Dynkin que contiene entonces se llama sistema Dynkin generado por Por ejemplo, Para otro ejemplo, sea y ; entonces ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}.}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}},}$ ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}\subseteq {\tilde {D}}.}$ ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}.}$ ${\displaystyle D\{\varnothing \}=\{\varnothing ,\Omega \}.}$ ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}=\{1\}}$ ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3,4\},\Omega \}.}$

Teorema π-λ de Sierpiński-Dynkin

Teorema π -𝜆 de Sierpiński-Dynkin : ^[3] Si es un sistema π y es un sistema Dynkin con entonces ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P\subseteq D,}$ ${\displaystyle \sigma \{P\}\subseteq D.}$

En otras palabras, el álgebra 𝜎 generada por está contenida en Por lo tanto, un sistema Dynkin contiene un sistema π si y solo si contiene el álgebra 𝜎 generada por ese sistema π . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D.}$

Una aplicación del teorema π -𝜆 de Sierpiński-Dynkin es la unicidad de una medida que evalúa la longitud de un intervalo (conocida como medida de Lebesgue ):

Sea el intervalo unitario [0,1] con la medida de Lebesgue en los conjuntos de Borel . Sea otra medida en que satisface y sea la familia de conjuntos tales que Sea y observe que es cerrado bajo intersecciones finitas, que y que es el álgebra 𝜎 generada por Se puede demostrar que satisface las condiciones anteriores para un sistema de Dynkin. Del teorema π -𝜆 de Sierpiński-Dynkin se deduce que de hecho incluye todos los , lo que es equivalente a demostrar que la medida de Lebesgue es única en . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}},\ell )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle m[(a,b)]=b-a,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m[S]=\ell [S].}$ ${\displaystyle I:=\{(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]:0<a\leq b<1\},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subseteq D,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Aplicación a distribuciones de probabilidad

El teorema π -𝜆 motiva la definición común de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria en términos de su función de distribución acumulativa . Recordemos que la distribución acumulativa de una variable aleatoria se define como mientras que la ley aparentemente más general de la variable es la medida de probabilidad donde es el álgebra 𝜎 de Borel. Las variables aleatorias y (en dos espacios de probabilidad posiblemente diferentes ) son iguales en distribución (o ley ), denotada por si tienen las mismas funciones de distribución acumulativa; es decir, si La motivación para la definición surge de la observación de que si entonces eso es exactamente decir que y están de acuerdo con el sistema π que genera y así por el ejemplo anterior: ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$ ${\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}$

Un resultado similar se aplica a la distribución conjunta de un vector aleatorio. Por ejemplo, supongamos que y son dos variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad con sistemas π generados respectivamente y La función de distribución acumulativa conjunta de es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ $${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}$$

Sin embargo, y Debido a que es un sistema π generado por el par aleatorio, se utiliza el teorema π -𝜆 para demostrar que la función de distribución acumulativa conjunta es suficiente para determinar la ley conjunta de En otras palabras, y tienen la misma distribución si y solo si tienen la misma función de distribución acumulativa conjunta. ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}$ $${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}$$ ${\displaystyle (X,Y),}$ ${\displaystyle (X,Y).}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle (W,Z)}$

En la teoría de procesos estocásticos , se sabe que dos procesos son iguales en distribución si y solo si concuerdan en todas las distribuciones de dimensión finita; es decir, para todas las ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}$ $${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}$$

La prueba de esto es otra aplicación del teorema π -𝜆. ^[4]

Véase también

• Álgebra de conjuntos  – Identidades y relaciones que involucran conjuntos
• δ -ring  – Anillo cerrado bajo intersecciones contables
• Campo de conjuntos  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también denominado álgebra de conjuntos
• Clase monótona  – teoremaPages displaying wikidata descriptions as a fallbackPages displaying short descriptions with no spaces
• Sistema π  – Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• σ-álgebra  – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos
• 𝜎-ideal  – Familia cerrada bajo subconjuntos y uniones contables
• Anillo 𝜎  – Familia de conjuntos cerrados bajo uniones contables

Notas

1. Una secuencia de conjuntos se llama creciente si para todos ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$

Pruebas

1. Suponga que satisface (1), (2) y (3). Prueba de (5) : La propiedad (5) se sigue de (1) y (2) mediante el uso de El siguiente lema se utilizará para demostrar (6). Lema : Si son disjuntos entonces Prueba del lema : implica donde por (5). Ahora (2) implica que contiene de modo que (5) garantiza que lo que demuestra el lema. Prueba de (6) Suponga que son conjuntos disjuntos por pares en Para cada entero el lema implica que donde porque es creciente, (3) garantiza que contiene su unión como se desea. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle B:=\Omega .}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {D}}.}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ ${\displaystyle B\subseteq \Omega \setminus A,}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (\Omega \setminus A)\setminus B=\Omega \setminus (A\cup B)}$ ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {D}},}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$ ${\displaystyle n>0,}$ ${\displaystyle D_{n}:=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq D_{3}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle D_{1}\cup D_{2}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots ,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Suponga que satisface (4), (5) y (6). prueba de (2) : Si satisface entonces (5) implica y dado que (6) implica que contiene de modo que finalmente (4) garantiza que está en Prueba de (3) : Suponga que es una secuencia creciente de subconjuntos en sea y sea para cada donde (2) garantiza que todos pertenecen a Dado que son disjuntos por pares, (6) garantiza que su unión pertenece a lo que prueba (3). ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \Omega \setminus B\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (\Omega \setminus B)\cap A=\varnothing ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (\Omega \setminus B)\cup A=\Omega \setminus (B\setminus A)}$ ${\displaystyle \Omega \setminus (\Omega \setminus (B\setminus A))=B\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$ ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}},}$ ${\displaystyle D_{1}=A_{1},}$ ${\displaystyle D_{i}=A_{i}\setminus A_{i-1}}$ ${\displaystyle i>1,}$ ${\displaystyle D_{2},D_{3},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$ ${\displaystyle D_{1},D_{2},D_{3},\ldots }$ ${\displaystyle D_{1}\cup D_{2}\cup D_{3}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

1. Dynkin, E., "Fundamentos de la teoría de los procesos de Markov", Moscú, 1959
2. Aliprantis, Charalambos; Border, Kim C. (2006). Análisis de dimensión infinita: una guía para el autoestopista (tercera edición). Springer. ISBN 978-3-540-29587-7. Recuperado el 23 de agosto de 2010 .
3. Sengupta. "Conferencias sobre teoría de la medida, lección 6: El teorema π − λ de Dynkin" (PDF) . Math.lsu . Consultado el 3 de enero de 2023 .
4. Kallenberg, Fundamentos de la probabilidad moderna, pág. 48

Referencias

• Gut, Allan (2005). Probabilidad: un curso de posgrado . Springer Texts in Statistics. Nueva York: Springer. doi :10.1007/b138932. ISBN . 0-387-22833-0.
• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Williams, David (2007). Probabilidad con martingalas. Cambridge University Press. pág. 193. ISBN 978-0-521-40605-5.

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