Integración de Lebesgue

Método de integración

La integral de una función positiva se puede interpretar como el área bajo una curva.

En matemáticas , la integral de una función no negativa de una sola variable puede considerarse, en el caso más simple, como el área entre la gráfica de esa función y el eje X. La integral de Lebesgue , que lleva el nombre del matemático francés Henri Lebesgue , extiende la integral a una clase más amplia de funciones. También amplía los dominios en los que se pueden definir estas funciones.

Mucho antes del siglo XX, los matemáticos ya entendían que para funciones no negativas con una gráfica suficientemente suave (como funciones continuas en intervalos acotados cerrados ) el área bajo la curva podía definirse como la integral y calcularse utilizando técnicas de aproximación en la región. por polígonos . Sin embargo, a medida que surgió la necesidad de considerar funciones más irregulares (por ejemplo, como resultado de los procesos limitantes del análisis matemático y la teoría matemática de la probabilidad ), quedó claro que se necesitaban técnicas de aproximación más cuidadosas para definir una integral adecuada. Además, es posible que deseemos integrar espacios más generales que la línea real. La integral de Lebesgue proporciona las abstracciones necesarias para ello.

La integral de Lebesgue juega un papel importante en la teoría de la probabilidad , el análisis real y muchos otros campos de las matemáticas. Lleva el nombre de Henri Lebesgue (1875-1941), quien introdujo la integral (Lebesgue 1904). También es una parte fundamental de la teoría axiomática de la probabilidad .

El término integración de Lebesgue puede significar ya sea la teoría general de integración de una función con respecto a una medida general , como la introdujo Lebesgue, o el caso específico de integración de una función definida en un subdominio de la línea real con respecto a la Medida de Lebesgue .

Introducción

La integral de una función real positiva f entre los límites a y b se puede interpretar como el área bajo la gráfica de f , entre a y b . Esta noción de área se ajusta a algunas funciones, principalmente funciones continuas por tramos , incluidas funciones elementales , por ejemplo polinomios . Sin embargo, las gráficas de otras funciones, por ejemplo la función de Dirichlet , no encajan bien con la noción de área. Gráficos como el de este último plantean la pregunta: ¿para qué clase de funciones tiene sentido el "área bajo la curva"? La respuesta a esta pregunta tiene una gran importancia teórica.

Como parte de un movimiento general hacia el rigor en las matemáticas en el siglo XIX, los matemáticos intentaron poner el cálculo integral sobre una base firme. La integral de Riemann , propuesta por Bernhard Riemann (1826-1866), es un intento ampliamente exitoso de proporcionar esa base. La definición de Riemann comienza con la construcción de una secuencia de áreas fácilmente calculadas que convergen a la integral de una función dada. Esta definición es exitosa en el sentido de que da la respuesta esperada para muchos problemas ya resueltos y da resultados útiles para muchos otros problemas.

Sin embargo, la integración de Riemann no interactúa bien con la toma de límites de secuencias de funciones, lo que dificulta el análisis de dichos procesos limitantes. Esto es importante, por ejemplo, en el estudio de series de Fourier , transformadas de Fourier y otros temas. La integral de Lebesgue describe mejor cómo y cuándo es posible tomar límites bajo el signo integral (a través del teorema de convergencia monótona y el teorema de convergencia dominada ).

Mientras que la integral de Riemann considera que el área bajo una curva está formada por rectángulos verticales, la definición de Lebesgue considera losas horizontales que no son necesariamente solo rectángulos y, por lo tanto, es más flexible. Por este motivo, la definición de Lebesgue permite calcular integrales para una clase más amplia de funciones. Por ejemplo, la función de Dirichlet, que es 1 cuando su argumento es racional y 0 en caso contrario, tiene una integral de Lebesgue, pero no tiene una integral de Riemann. Además, la integral de Lebesgue de esta función es cero, lo que concuerda con la intuición de que al elegir un número real uniformemente al azar del intervalo unitario, la probabilidad de elegir un número racional debería ser cero.

Lebesgue resumió su enfoque de la integración en una carta a Paul Montel :

Tengo que pagar una determinada suma que he recogido en mi bolsillo. Saco los billetes y monedas de mi bolsillo y se los entrego al acreedor en el orden en que los encuentro hasta alcanzar la suma total. Esta es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de otra manera. Después de haber sacado todo el dinero de mi bolsillo, ordeno los billetes y monedas según el mismo valor y luego pago los distintos fajos, uno tras otro, al acreedor. Esta es mi integral.

—  Fuente : (Siegmund-Schultze 2008)

La idea es que uno debería poder reorganizar los valores de una función libremente, preservando al mismo tiempo el valor de la integral. Este proceso de reordenamiento puede convertir una función muy patológica en una que sea "agradable" desde el punto de vista de la integración, y así permitir que dichas funciones patológicas se integren.

Interpretación intuitiva

Se muestra una función medible, junto con el conjunto { x  : f ( x ) > t } (en el eje x ). La integral de Lebesgue se obtiene cortando a lo largo del eje y , utilizando la medida de Lebesgue unidimensional para medir el "ancho" de los cortes.

Folland (1999) resume la diferencia entre los enfoques de Riemann y Lebesgue así: "para calcular la integral de Riemann de f , se divide el dominio [ a , b ] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho, se está dividiendo el rango de f ."

Para la integral de Riemann, el dominio se divide en intervalos y se construyen barras para alcanzar la altura del gráfico. Las áreas de estas barras se suman, y esto se aproxima a la integral, en efecto sumando áreas de la forma f ( x ) dx donde f ( x ) es la altura de un rectángulo y dx es su ancho.

Para la integral de Lebesgue, el rango se divide en intervalos, por lo que la región bajo el gráfico se divide en "losas" horizontales (que no pueden ser conjuntos conectados). El área de una pequeña "losa" horizontal bajo la gráfica de f , de altura dy , es igual a la medida del ancho de la losa multiplicada por dy :

$${\displaystyle \mu \left(\{x\mid f(x)>y\}\right)\,dy.}$$

Funciones simples

Integración de Riemannian (arriba) frente a Lebesgue (abajo) de datos suavizados de casos diarios de COVID-19 de Serbia (verano-otoño de 2021).

Una forma equivalente de introducir la integral de Lebesgue es utilizar las llamadas funciones simples, que generalizan las funciones escalonadas de la integración de Riemann. Considere, por ejemplo, determinar el recuento acumulado de casos de COVID-19 a partir de un gráfico de casos suavizados cada día (derecha).

El enfoque de Riemann-Darboux

Divida el dominio (período de tiempo) en intervalos (ocho, en el ejemplo de la derecha) y construya barras con alturas que coincidan con el gráfico. El recuento acumulado se calcula sumando, en todas las barras, el producto del ancho del intervalo (tiempo en días) y la altura de la barra (casos por día).

El enfoque de Lebesgue

Elija un número finito de valores objetivo (ocho, en el ejemplo) en el rango de la función. Al construir barras con alturas iguales a estos valores, pero por debajo de la función, implican una partición del dominio en el mismo número de subconjuntos (los subconjuntos, indicados por color en el ejemplo, no necesitan estar conectados). Esta es una "función simple", como se describe a continuación. El recuento acumulado se calcula sumando, en todos los subconjuntos del dominio, el producto de la medida en ese subconjunto (tiempo total en días) y la altura de la barra (casos por día).

Teoría de la medida

La teoría de la medida se creó inicialmente para proporcionar una abstracción útil de la noción de longitud de subconjuntos de la línea real y, de manera más general, del área y volumen de subconjuntos de espacios euclidianos. En particular, proporcionó una respuesta sistemática a la pregunta de qué subconjuntos de R tienen una longitud. Como lo demostraron desarrollos posteriores de la teoría de conjuntos (ver conjunto no medible ), en realidad es imposible asignar una longitud a todos los subconjuntos de R de una manera que preserve algunas propiedades naturales de aditividad e invariancia de traducción. Esto sugiere que elegir una clase adecuada de subconjuntos mensurables es un requisito previo esencial.

La integral de Riemann utiliza explícitamente la noción de longitud. De hecho, el elemento de cálculo de la integral de Riemann es el rectángulo [ a , b ] × [ c , d ] , cuyo área se calcula como ( b − a )( d − c ) . La cantidad b − a es la longitud de la base del rectángulo y d − c es la altura del rectángulo. Riemann sólo podía utilizar rectángulos planos para aproximar el área bajo la curva, porque no existía una teoría adecuada para medir conjuntos más generales.

En el desarrollo de la teoría en la mayoría de los libros de texto modernos (después de 1950), el enfoque de la medición y la integración es axiomático . Esto significa que una medida es cualquier función μ definida en una determinada clase X de subconjuntos de un conjunto E , que satisface una determinada lista de propiedades. Se puede demostrar que estas propiedades se mantienen en muchos casos diferentes.

Funciones medibles

Comenzamos con un espacio de medidas ( E , X , μ ) donde E es un conjunto , X es un álgebra σ de subconjuntos de E y μ es una medida (no negativa ) de E definida en los conjuntos de X.

Por ejemplo, E puede ser el espacio n euclidiano R ⁿ o algún subconjunto medible de Lebesgue del mismo, X es el σ-álgebra de todos los subconjuntos medibles de Lebesgue de E , y μ es la medida de Lebesgue. En la teoría matemática de la probabilidad, limitamos nuestro estudio a una medida  de probabilidad μ , que satisface μ ( E ) = 1 .

La teoría de Lebesgue define integrales para una clase de funciones llamadas funciones medibles . Una función f de valor real en E es medible si la preimagen de cada intervalo de la forma ( t , ∞) está en X :

$${\displaystyle \{x\,\mid \,f(x)>t\}\in X\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$$

Podemos demostrar que esto equivale a requerir que la imagen previa de cualquier subconjunto Borel de R esté en X. El conjunto de funciones medibles está cerrado bajo operaciones algebraicas, pero lo que es más importante, está cerrado bajo varios tipos de límites secuenciales puntuales :

$${\displaystyle \sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \liminf _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \limsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}}$$

son medibles si la secuencia original ( f _k ) , donde k ∈ N , consta de funciones medibles.

Existen varios enfoques para definir una integral para funciones f mensurables de valores reales definidas en E , y se utilizan varias notaciones para denotar dicha integral.

$${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f(x)\,d\mu (x)=\int _{E}f(x)\,\mu (dx).}$$

Siguiendo la identificación en la teoría de la distribución de medidas con distribuciones de orden 0 , o con medidas de radón , también se puede utilizar una notación de par dual y escribir la integral con respecto a μ en la forma

$${\displaystyle \langle \mu ,f\rangle .}$$

Definición

La teoría de la integral de Lebesgue requiere una teoría de conjuntos y medidas mensurables en estos conjuntos, así como una teoría de funciones e integrales mensurables en estas funciones.

A través de funciones simples

Aproximar una función mediante una función simple.

Un enfoque para construir la integral de Lebesgue es hacer uso de las llamadas funciones simples : combinaciones lineales reales finitas de funciones indicadoras . Las funciones simples que se encuentran directamente debajo de una función f dada se pueden construir dividiendo el rango de f en un número finito de capas. La intersección de la gráfica de f con una capa identifica un conjunto de intervalos en el dominio de f , que, en conjunto, se define como la preimagen del límite inferior de esa capa, bajo la función simple. De esta forma, la partición del rango de f implica una partición de su dominio. La integral de una función simple se encuentra sumando, sobre estos subconjuntos (no necesariamente conectados) del dominio, el producto de la medida del subconjunto y su imagen bajo la función simple (el límite inferior de la capa correspondiente); intuitivamente, este producto es la suma de las áreas de todas las barras de la misma altura. La integral de una función medible general no negativa se define entonces como un supremo apropiado de aproximaciones mediante funciones simples, y la integral de una función medible (no necesariamente positiva) es la diferencia de dos integrales de funciones mensurables no negativas. ^[1]

Funciones del indicador

Para asignar un valor a la integral de la función indicadora 1 _S de un conjunto medible S consistente con la medida dada μ , la única opción razonable es establecer:

$${\displaystyle \int 1_{S}\,d\mu =\mu (S).}$$

Observe que el resultado puede ser igual a +∞ , a menos que μ sea una medida finita .

Funciones simples

Una combinación lineal finita de funciones indicadoras.

$${\displaystyle \sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$

donde los coeficientes a _k son números reales y S _k son conjuntos disjuntos medibles, se llama función simple medible . Extendemos la integral por linealidad a funciones simples medibles no negativas . Cuando los coeficientes a _k son positivos, establecemos

$${\displaystyle \int \left(\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}\right)\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k})}$$

si esta suma es finita o +∞. Una función simple se puede escribir de diferentes maneras como una combinación lineal de funciones indicadoras, pero la integral será la misma por la aditividad de medidas.

Se necesita cierto cuidado al definir la integral de una función simple con valor real , para evitar la expresión indefinida ∞ − ∞ : se supone que la representación

$${\displaystyle f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$

es tal que μ( S _k ) < ∞ siempre que a _k ≠ 0 . Entonces la fórmula anterior para la integral de f tiene sentido y el resultado no depende de que la representación particular de f satisfaga los supuestos.

Si B es un subconjunto mensurable de E y s es una función simple mensurable, se define

$${\displaystyle \int _{B}s\,\mathrm {d} \mu =\int 1_{B}\,s\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}\cap B).}$$

Funciones no negativas

Sea f una función medible no negativa en E , a la que le permitimos alcanzar el valor +∞ ; en otras palabras, f toma valores no negativos en la recta numérica real extendida . Definimos

$${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\ s\ {\text{simple}}\,\right\}.}$$

Necesitamos demostrar que esta integral coincide con la anterior, definida sobre el conjunto de funciones simples, cuando E es un segmento [ a , b ] . También está la cuestión de si esto corresponde de alguna manera a una noción de integración de Riemann. Es posible demostrar que la respuesta a ambas preguntas es sí.

Hemos definido la integral de f para cualquier función mensurable extendida no negativa de valor real en E. Para algunas funciones, esta integral es infinita. ${\textstyle \int _{E}f\,d\mu }$

A menudo resulta útil tener una secuencia particular de funciones simples que se aproxime bien a la integral de Lebesgue (de forma análoga a una suma de Riemann). Para una función medible no negativa f , sea la función simple cuyo valor es siempre , para k un entero no negativo menor que, digamos ,. Entonces se puede demostrar directamente que ${\textstyle s_{n}(x)}$ ${\textstyle k/2^{n}}$ ${\textstyle k/2^{n}\leq f(x)<(k+1)/2^{n}}$ ${\textstyle 4^{n}}$

$${\displaystyle \int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int s_{n}\,d\mu }$$

Funciones firmadas

Para manejar funciones firmadas, necesitamos algunas definiciones más. Si f es una función medible del conjunto E elevado a los reales (incluido ±∞ ), entonces podemos escribir

$${\displaystyle f=f^{+}-f^{-},}$$

dónde

$${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}(x)&={\begin{cases}f(x){\hphantom {-}}&{\text{if }}f(x)>0,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}\\f^{-}(x)&={\begin{cases}-f(x)&{\text{if }}f(x)<0,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que tanto f ⁺ como f ⁻ son funciones mensurables no negativas. También tenga en cuenta que

$${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$$

Decimos que la integral de Lebesgue de la función medible f existe , o está definida si al menos uno de y es finito: ${\textstyle \int f^{+}\,d\mu }$ ${\textstyle \int f^{-}\,d\mu }$

$${\displaystyle \min \left(\int f^{+}\,d\mu ,\int f^{-}\,d\mu \right)<\infty .}$$

En este caso definimos

$${\displaystyle \int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .}$$

Si

$${\displaystyle \int |f|\,\mathrm {d} \mu <\infty ,}$$

decimos que f es integrable de Lebesgue .

Resulta que esta definición da las propiedades deseables de la integral.

A través de la integral de Riemann impropia

Suponiendo que f es medible y no negativa, la función

$${\displaystyle f^{*}(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \mu \left(\{x\in E\mid f(x)>t\}\right).}$$

integral de Riemann impropiaf ^∗[2]

$${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt.}$$

∞^{[3] [4]}

Como se indicó anteriormente, la integral de una función integrable de Lebesgue (no necesariamente no negativa) se define restando la integral de sus partes positiva y negativa.

Funciones de valores complejos

Las funciones de valores complejos se pueden integrar de manera similar, considerando la parte real y la parte imaginaria por separado. ^[5]

Si h = f + ig para funciones integrables de valor real f , g , entonces la integral de h está definida por

$${\displaystyle \int h\,d\mu =\int f\,d\mu +i\int g\,d\mu .}$$

La función es integrable de Lebesgue si y sólo si su valor absoluto es integrable de Lebesgue (ver Función absolutamente integrable ).

Ejemplo

Considere la función indicadora de los números racionales, 1 _Q , también conocida como función de Dirichlet. Esta función no es continua en ninguna parte .

• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$ no es integrable con Riemann en [ 0, 1] : No importa cómo se divida el conjunto [ 0, 1] en subintervalos, cada partición contiene al menos un número racional y al menos un número irracional, porque tanto los racionales como los irracionales son densos en el reales. Por tanto, las sumas de Darboux superiores son todas uno y las sumas de Darboux inferiores son todas cero.
• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$ es integrable de Lebesgue en [ 0, 1] usando la medida de Lebesgue : de hecho, es la función indicadora de los racionales, por definición
  $${\displaystyle \int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0,}$$
  porque Q es contable .

Dominio de integración

Un problema técnico en la integración de Lebesgue es que el dominio de integración se define como un conjunto (un subconjunto de un espacio de medidas), sin noción de orientación. En cálculo elemental, se define la integración con respecto a una orientación :

$${\displaystyle \int _{b}^{a}f=-\int _{a}^{b}f.}$$

formas diferenciales

$${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$$

AForma diferencial § Relación con medidasla integración homológicaGeorges de RhamHassler Whitney^[6]

Limitaciones de la integral de Riemann

Con la llegada de las series de Fourier , surgieron muchos problemas analíticos que involucraban integrales cuya solución satisfactoria requería intercambiar procesos límite y signos integrales. Sin embargo, las condiciones bajo las cuales las integrales

$${\displaystyle \sum _{k}\int f_{k}(x)\,dx,\quad \int \left[\sum _{k}f_{k}(x)\right]dx}$$

son igualmente difíciles de alcanzar en el marco de Riemann. Existen algunas otras dificultades técnicas con la integral de Riemann. Estos están relacionados con la dificultad de tomar límites discutida anteriormente.

Fallo de la convergencia monótona

Como se muestra arriba, la función indicadora 1 _Q sobre los racionales no es integrable de Riemann. En particular, el teorema de convergencia monótona falla. Para ver por qué, sea { a _k } una enumeración de todos los números racionales en [0, 1] (son contables, por lo que esto se puede hacer ). Entonces deja

$${\displaystyle g_{k}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x=a_{j},j\leq k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

La función g _k es cero en todas partes, excepto en un conjunto finito de puntos. Por tanto su integral de Riemann es cero. Cada g _k no es negativo, y esta secuencia de funciones aumenta monótonamente, pero su límite cuando k → ∞ es 1 _Q , que no es integrable de Riemann.

Inadecuación para intervalos ilimitados

La integral de Riemann sólo puede integrar funciones en un intervalo acotado. Sin embargo, se puede extender a intervalos ilimitados tomando límites, siempre y cuando esto no produzca una respuesta como ∞ − ∞ .

Integración en estructuras distintas al espacio euclidiano

La integral de Riemann está indisolublemente ligada a la estructura de orden de la recta real.

Teoremas básicos de la integral de Lebesgue

Se dice que dos funciones son iguales en casi todas partes ( para abreviar) si son un subconjunto de un conjunto nulo . No se requiere mensurabilidad del conjunto . ${\displaystyle f\ {\stackrel {\text{a.e.}}{=}}\ g}$ ${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$ ${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$

Los siguientes teoremas se demuestran en la mayoría de los libros de texto sobre teoría de la medida e integración de Lebesgue. ^[7]

• Si f y g son funciones medibles no negativas (posiblemente asumiendo el valor +∞ ) tales que f = g en casi todas partes, entonces
  $${\displaystyle \int f\,d\mu =\int g\,d\mu .}$$
  Es decir, la integral respeta la relación de equivalencia de igualdad en casi todas partes.
• Si f y g son funciones tales que f = g en casi todas partes, entonces f es integrable de Lebesgue si y sólo si g es integrable de Lebesgue, y las integrales de f y g son las mismas si existen.
• Linealidad : si f y g son funciones integrables de Lebesgue y a y b son números reales, entonces af + bg es integrable de Lebesgue y
  $${\displaystyle \int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .}$$
• Monotonicidad : si f ≤ g , entonces
  $${\displaystyle \int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .}$$
• Teorema de convergencia monótona : supongamos que { f _k } _{k ∈ N} es una secuencia de funciones medibles no negativas tales que
  $${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,\,\forall x\in E.}$$
  Entonces, el límite puntual f de f _k es medible según Lebesgue y
  $${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$
  Se permite que el valor de cualquiera de las integrales sea infinito.
• Lema de Fatou : si { f _k } _{k ∈ N} es una secuencia de funciones mensurables no negativas, entonces
  $${\displaystyle \int \liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\int f_{k}\,d\mu .}$$
  Nuevamente, el valor de cualquiera de las integrales puede ser infinito.
• Teorema de convergencia dominada : Supongamos que { f _k } _{k ∈ N} es una secuencia de funciones complejas medibles con límite puntual f , y hay una función integrable de Lebesgue g (es decir, g pertenece al espacio L ¹ ) tal que | f _k | ≤ g para todo k . Entonces f es integrable de Lebesgue y
  $${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

Cafiero demostró las condiciones necesarias y suficientes para el intercambio de límites e integrales, ^{[8] [9] [10] [11]} generalizando trabajos anteriores de Renato Caccioppoli, Vladimir Dubrovskii y Gaetano Fichera. ^[12]

Formulaciones alternativas

Es posible desarrollar la integral con respecto a la medida de Lebesgue sin depender de toda la maquinaria de la teoría de la medida. Uno de esos enfoques lo proporciona la integral de Daniell .

También existe un enfoque alternativo para desarrollar la teoría de la integración mediante métodos de análisis funcional . La integral de Riemann existe para cualquier función continua f de soporte compacto definido en R ⁿ (o un subconjunto abierto fijo). Se pueden construir integrales de funciones más generales a partir de estas integrales.

Sea C _c el espacio de todas las funciones continuas de R con soporte compacto y valores reales . Defina una norma en C _c por

$${\displaystyle \left\|f\right\|=\int |f(x)|\,dx.}$$

Entonces C _c es un espacio vectorial normado (y en particular, es un espacio métrico). Todos los espacios métricos tienen terminaciones de Hausdorff , así que sea L ¹ su terminación. Este espacio es isomorfo al espacio de funciones integrables de Lebesgue módulo el subespacio de funciones con integral cero. Además, la integral de Riemann ∫ es una funcional uniformemente continua con respecto a la norma en C _c , que es densa en L ¹ . Por tanto ∫ tiene una extensión única a todo L ¹ . Esta integral es precisamente la integral de Lebesgue.

De manera más general, cuando el espacio de medidas en el que se definen las funciones es también un espacio topológico localmente compacto (como es el caso de los números reales R ), se utilizan medidas compatibles con la topología en un sentido adecuado ( medidas de radón , de las cuales la medida de Lebesgue es un ejemplo) se puede definir una integral respecto de ellas de la misma manera, partiendo de las integrales de funciones continuas con soporte compacto . Más precisamente, las funciones soportadas de forma compacta forman un espacio vectorial que tiene una topología natural , y una medida (Radón) se define como una funcional lineal continua en este espacio. El valor de una medida en una función apoyada compactamente es también, por definición, la integral de la función. Luego se procede a expandir la medida (la integral) a funciones más generales por continuidad, y se define la medida de un conjunto como la integral de su función indicadora. Éste es el enfoque adoptado por Nicolas Bourbaki ^[13] y algunos otros autores. Para obtener más información, consulte Medidas de radón .

Limitaciones de la integral de Lebesgue

El objetivo principal de la integral de Lebesgue es proporcionar una noción integral donde los límites de las integrales se cumplen bajo supuestos suaves. No hay garantía de que todas las funciones sean integrables con Lebesgue. Pero puede suceder que existan integrales impropias para funciones que no son integrables según Lebesgue. Un ejemplo sería la función sinc :

$${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|dx=\infty .}$$

integral de Dirichlet ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$ ${\displaystyle \pi }$

Ver también

• Henri Lebesgue , para una descripción no técnica de la integración de Lebesgue
• Conjunto nulo
• Integración
• Medida
• sigma-álgebra
• Espacio Lebesgue
• Integración Lebesgue-Stieltjes
• integral de riemann
• Integral de Henstock-Kurzweil

Notas

1. Este enfoque se puede encontrar en la mayoría de los tratamientos de medida e integración, como Royden (1988).
2. Lieb y pérdida 2001
3. Si f  ^∗ es infinito en un punto interior del dominio, entonces la integral debe considerarse infinita. De lo contrario, f  ^∗ es finita en todos los puntos (0, +∞) y, por tanto, está acotada en cada intervalo finito [ a , b ] , donde a > 0 . Por tanto, la integral de Riemann impropia (ya sea finita o infinita) está bien definida.
4. De manera equivalente, se podría haber definido desde para casi todos ${\displaystyle f^{*}(t)\ =\ \mu \left(\{x\in E\mid f(x)\geq t\}\right),}$ ${\displaystyle \mu \left(\{x\in E\mid f(x)\geq t\}\right)=\mu \left(\{x\in E\mid f(x)>t\}\right)}$ ${\displaystyle t.}$
5. Rudin 1966
6. Whitney 1957
7. Follando 1999
8. Cafiero, F. (1953), "Sul passaggio al limite sotto il segno d'integrale per Successioni d'integrali di Stieltjes-Lebesgue negli spazi astratti, con masse variabili con gli integrandi [Sobre el paso al límite bajo el símbolo integral para secuencias de integrales de Stieltjes-Lebesgue en espacios abstractos, con masas que varían conjuntamente con los integrandos]" (italiano), Rediconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 22: 223–245, MR0057951, Zbl 0052.05003.
9. Cafiero, F. (1959), Misura e integrazione [Medida e integración] (italiano), Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche 5, Roma: Edizioni Cremonese, págs. VII+451, MR0215954, Zbl 0171.01503.
10. Letta, G. (2013), Argomenti scelti di Teoria della Misura [Temas seleccionados en teoría de la medida], (en italiano) Quaderni dell'Unione Matematica Italiana 54, Bolonia: Unione Matematica Italiana, págs. XI+183, ISBN 88- 371-1880-5, Zbl 1326.28001. Cap. VIII, págs. 110-128
11. Daniele Tampieri (https://mathoverflow.net/users/113756/daniele-tampieri), ¿Conoce teoremas importantes que aún se desconocen?, URL (versión: 2021-12-31): https://mathoverflow.net/ q/296839
12. Fichera, G. (1943), "Intorno al passaggio al limite sotto il segno d'integrale" [Sobre el paso al límite bajo el símbolo integral] (italiano), Portugaliae Mathematica, 4 (1): 1–20, MR0009192, Zbl 0063.01364.
13. Bourbaki 2004.

Referencias

• Bartle, Robert G. (1995). Los elementos de integración y medida de Lebesgue . Biblioteca de clásicos de Wiley. Nueva York: John Wiley & Sons Inc.xii+179. ISBN 0-471-04222-6. SEÑOR  1312157.
• Bauer, Heinz (2001). Teoría de la medida y la integración . Estudios de De Gruyter en Matemáticas 26. Berlín: De Gruyter. 236.ISBN​ 978-3-11-016719-1.
• Bourbaki, Nicolás (2004). Integración. I. Capítulos 1 a 6. Traducido de los originales franceses de 1959, 1965 y 1967 por Sterling K. Berberian . Elementos de Matemáticas (Berlín). Berlín: Springer-Verlag. xvi+472. ISBN 3-540-41129-1. SEÑOR  2018901.
• Dudley, Richard M. (1989). Análisis real y probabilidad . La serie de matemáticas de Wadsworth & Brooks/Cole. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Libros y software avanzados. xii+436. ISBN 0-534-10050-3. SEÑOR  0982264.Tratamiento muy minucioso, sobre todo para probabilistas con buenas notas y referencias históricas.
• Folland, Gerald B. (1999). Análisis real: Técnicas modernas y sus aplicaciones . Matemática pura y aplicada (Nueva York) (Segunda ed.). Nueva York: John Wiley & Sons Inc. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0. SEÑOR  1681462.
• Halmos, Paul R. (1950). Teoría de la medida . Nueva York, NY: D. Van Nostrand Company, Inc. págs. xi+304. SEÑOR  0033869.Una presentación clásica, aunque algo anticuada.
• "Integral de Lebesgue", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctionsprimitives , París: Gauthier-Villars
• Lebesgue, Henri (1972). Oeuvres scientifiques (en cinq volúmenes) (en francés). Ginebra: Institut de Mathématiques de l'Université de Genève. pag. 405. SEÑOR  0389523.
• Lieb, Elliott ; Pérdida, Michael (2001). Análisis . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 14 (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0821827833.
• Loomis, Lynn H. (1953). Una introducción al análisis armónico abstracto . Toronto-Nueva York-Londres: D. Van Nostrand Company, Inc. págs. x+190. SEÑOR  0054173.Incluye una presentación de la integral de Daniell.
• Marsden (1974), Análisis clásico elemental , WH Freeman.
• Munroe, ME (1953). Introducción a la medida y la integración . Cambridge, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company Inc. págs. x+310. SEÑOR  0053186.Buen tratamiento de la teoría de las medidas exteriores.
• Royden, HL (1988). Análisis real (Tercera ed.). Nueva York: Macmillan Publishing Company. págs.xx+444. ISBN 0-02-404151-3. SEÑOR  1013117.
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada (Tercera ed.). Nueva York: McGraw-Hill Book Co. págs. x+342. SEÑOR  0385023. Conocido como El pequeño Rudin , contiene los fundamentos de la teoría de Lebesgue, pero no trata material como el teorema de Fubini .
• Rudin, Walter (1966). Análisis real y complejo . Nueva York: McGraw-Hill Book Co. págs. xi+412. SEÑOR  0210528.Conocido como el Gran Rudin . Una presentación completa y cuidada de la teoría. Buena presentación de los teoremas de extensión de Riesz. Sin embargo, hay un defecto menor (en la primera edición) en la demostración de uno de los teoremas de extensión, cuyo descubrimiento constituye el ejercicio 21 del Capítulo 2.
• Saks, Stanisław (1937). Teoría de la Integral. Monografía Matematyczne. vol. 7 (2ª ed.). Varsovia - Lwów : GE Stechert & Co. JFM  63.0183.05. Zbl  0017.30004.. Traducción al inglés de Laurence Chisholm Young , con dos notas adicionales de Stefan Banach .
• Shilov, GE; Gurevich, BL (1977). Integral, medida y derivada: un enfoque unificado. Traducido del ruso y editado por Richard A. Silverman . Libros de Dover sobre matemáticas avanzadas. Nueva York: Dover Publications Inc. xiv+233. ISBN 0-486-63519-8. SEÑOR  0466463.Destaca la integral de Daniell .
• Siegmund-Schultze, Reinhard (2008), "Henri Lebesgue", en Timothy Gowers; Junio ​​Barrow-Green; Imre Leader (eds.), Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press.
• Teschl, Gerald . Temas de Análisis Real y Funcional. (notas de lectura).
• Whitney, H. (1957), Teoría de la integración geométrica , Princeton Mathematical Series, vol. 21, Princeton, Nueva Jersey y Londres: Princeton University Press y Oxford University Press , págs. XV+387, MR  0087148, Zbl  0083.28204.
• Sí, James (2006). Análisis Real: Teoría de la Medida e Integral 2do. Edición rústica . Singapur: World Scientific Publishing Company Pte. Limitado. Ltd. pág. 760.ISBN​ 978-981-256-6.