Curva de ancho constante

Forma con ancho independiente de la orientación

Medición del ancho de un triángulo de Reuleaux como la distancia entre líneas de apoyo paralelas . Como esta distancia no depende de la dirección de las líneas, el triángulo de Reuleaux es una curva de ancho constante.

En geometría , una curva de ancho constante es una curva simple cerrada en el plano cuyo ancho (la distancia entre líneas de apoyo paralelas ) es el mismo en todas las direcciones. La forma delimitada por una curva de ancho constante es un cuerpo de ancho constante o un orbiforme , el nombre dado a estas formas por Leonhard Euler . ^[1] Los ejemplos estándar son el círculo y el triángulo de Reuleaux . Estas curvas también se pueden construir utilizando arcos circulares centrados en los cruces de una disposición de líneas , como las involutas de ciertas curvas, o mediante la intersección de círculos centrados en una curva parcial.

Todo cuerpo de anchura constante es un conjunto convexo , cuyo límite es cruzado como máximo dos veces por cualquier línea, y si la línea lo cruza perpendicularmente lo hace en ambos cruces, separados por la anchura. Por el teorema de Barbier , el perímetro del cuerpo es exactamente π por su anchura, pero su área depende de su forma, siendo el triángulo de Reuleaux el que tiene la menor área posible para su anchura y el círculo el mayor. Todo superconjunto de un cuerpo de anchura constante incluye pares de puntos que están más separados que la anchura, y toda curva de anchura constante incluye al menos seis puntos de curvatura extrema. Aunque el triángulo de Reuleaux no es suave, las curvas de anchura constante siempre pueden aproximarse de forma arbitraria mediante curvas suaves de la misma anchura constante.

Los cilindros con una sección transversal de ancho constante se pueden utilizar como rodillos para sostener una superficie nivelada. Otra aplicación de las curvas de ancho constante es la de las formas de las monedas , donde los polígonos de Reuleaux regulares son una opción común. La posibilidad de que curvas distintas de los círculos puedan tener un ancho constante hace que sea más complicado comprobar la redondez de un objeto .

Las curvas de ancho constante se han generalizado de varias maneras a dimensiones superiores y a la geometría no euclidiana .

Definiciones

El ancho y el ancho constante se definen en términos de las líneas de apoyo de las curvas; estas son líneas que tocan una curva sin cruzarla. Toda curva compacta en el plano tiene dos líneas de apoyo en cualquier dirección dada, con la curva intercalada entre ellas. La distancia euclidiana entre estas dos líneas es el ancho de la curva en esa dirección, y una curva tiene un ancho constante si esta distancia es la misma para todas las direcciones de las líneas. El ancho de un conjunto convexo acotado se puede definir de la misma manera que para las curvas, por la distancia entre pares de líneas paralelas que tocan el conjunto sin cruzarlo, y un conjunto convexo es un cuerpo de ancho constante cuando esta distancia es distinta de cero y no depende de la dirección de las líneas. Todo cuerpo de ancho constante tiene una curva de ancho constante como su límite, y toda curva de ancho constante tiene un cuerpo de ancho constante como su envoltura convexa . ^{[2] [3]}

Otra forma equivalente de definir el ancho de una curva compacta o de un conjunto convexo es observando su proyección ortogonal sobre una línea. En ambos casos, la proyección es un segmento de línea , cuya longitud es igual a la distancia entre líneas de apoyo que son perpendiculares a la línea. Por lo tanto, una curva o un conjunto convexo tiene un ancho constante cuando todas sus proyecciones ortogonales tienen la misma longitud. ^{[2] [3]}

Ejemplos

Una curva de ancho constante definida por un polinomio de octavo grado

Los círculos tienen un ancho constante, igual a su diámetro . Por otro lado, los cuadrados no: las líneas de apoyo paralelas a dos lados opuestos del cuadrado están más juntas que las líneas de apoyo paralelas a una diagonal. En términos más generales, ningún polígono puede tener un ancho constante. Sin embargo, existen otras formas de ancho constante. Un ejemplo estándar es el triángulo de Reuleaux , la intersección de tres círculos, cada uno centrado donde se cruzan los otros dos círculos. ^[2] Su curva límite consiste en tres arcos de estos círculos, que se encuentran en ángulos de 120°, por lo que no es suave y, de hecho, estos ángulos son los más agudos posibles para cualquier curva de ancho constante. ^[3]

Otras curvas de ancho constante pueden ser suaves pero no circulares, y ni siquiera tener arcos circulares en sus límites. Por ejemplo, el conjunto cero del polinomio siguiente forma una curva algebraica suave no circular de ancho constante: ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)={}&(x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}\\&+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}+48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}\\&+x(x^{2}-3y^{2})\left(16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382\right)-720^{3}.\end{aligned}}}$$

Su grado , ocho, es el grado mínimo posible para un polinomio que define una curva no circular de ancho constante. ^[5]

Construcciones

Un polígono de Reuleaux irregular

Aplicación del método de líneas cruzadas a una disposición de cuatro líneas . Los límites del cuerpo azul de ancho constante son arcos circulares de cuatro pares de círculos anidados (círculos internos de color rojo oscuro y círculos externos de color rojo claro).

Cuerpo de ancho constante (amarillo) formado por discos que se entrecruzan (azul) centrados en una semielipse (negra). El círculo rojo muestra una circunferencia tangente a una línea de apoyo, en un punto de mínima curvatura de la semielipse. La excentricidad de la semielipse en la figura es la máxima posible para esta construcción.

Todo polígono regular con un número impar de lados da lugar a una curva de ancho constante, un polígono de Reuleaux , formado a partir de arcos circulares centrados en sus vértices que pasan por los dos vértices más alejados del centro. Por ejemplo, esta construcción genera un triángulo de Reuleaux a partir de un triángulo equilátero. Algunos polígonos irregulares también generan polígonos de Reuleaux. ^{[6] [7]} En una construcción estrechamente relacionada, llamada por Martin Gardner el "método de las líneas cruzadas", una disposición de líneas en el plano (no dos paralelas pero por lo demás arbitrarias) se clasifica en orden cíclico por las pendientes de las líneas. Las líneas se conectan entonces por una curva formada a partir de una secuencia de arcos circulares; cada arco conecta dos líneas consecutivas en el orden ordenado y está centrado en su cruce. El radio del primer arco debe elegirse lo suficientemente grande para hacer que todos los arcos sucesivos terminen en el lado correcto del siguiente punto de cruce; sin embargo, todos los radios suficientemente grandes funcionan. Para dos líneas, esto forma un círculo; para tres líneas en los lados de un triángulo equilátero, con el mínimo radio posible, forma un triángulo de Reuleaux, y para las líneas de un polígono estrellado regular puede formar un polígono de Reuleaux. ^{[2] [6]}

Leonhard Euler construyó curvas de ancho constante a partir de involutas de curvas con un número impar de singularidades de cúspide , que tienen solo una línea tangente en cada dirección (es decir, erizos proyectivos ). ^{[1] [8]} Una forma intuitiva de describir la construcción de la involuta es rodar un segmento de línea alrededor de dicha curva, manteniéndolo tangente a la curva sin deslizarse a lo largo de ella, hasta que regrese a su punto de inicio de tangencia. El segmento de línea debe ser lo suficientemente largo para alcanzar los puntos de cúspide de la curva, de modo que pueda rodar más allá de cada cúspide hasta la siguiente parte de la curva, y su posición de inicio debe elegirse cuidadosamente de modo que al final del proceso de rodadura esté en la misma posición desde la que comenzó. Cuando eso sucede, la curva trazada por los puntos finales del segmento de línea es una involuta que encierra la curva dada sin cruzarla, con un ancho constante igual a la longitud del segmento de línea. ^[9] Si la curva de inicio es suave (excepto en las cúspides), la curva resultante de ancho constante también será suave. ^{[1] [8]} Un ejemplo de una curva de inicio con las propiedades correctas para esta construcción es la curva deltoidea , y las involutas del deltoide que la encierran forman curvas suaves de ancho constante, que no contienen ningún arco circular. ^{[10] [11]}

Otra construcción escoge la mitad de la curva de ancho constante, cumpliendo ciertos requisitos, y forma a partir de ella un cuerpo de ancho constante que tiene la curva dada como parte de su límite. La construcción comienza con un arco curvo convexo, cuyos puntos finales están separados por el ancho deseado. Los dos puntos finales deben tocar líneas de apoyo paralelas a una distancia entre sí. Además, cada línea de apoyo que toca otro punto del arco debe ser tangente en ese punto a un círculo de radio que contenga todo el arco; este requisito evita que la curvatura del arco sea menor que la del círculo. El cuerpo completo de ancho constante es entonces la intersección de los interiores de una familia infinita de círculos, de dos tipos: los tangentes a las líneas de apoyo, y más círculos del mismo radio centrados en cada punto del arco dado. Esta construcción es universal: todas las curvas de ancho constante pueden construirse de esta manera. ^[3] Victor Puiseux , un matemático francés del siglo XIX, encontró curvas de ancho constante que contienen arcos elípticos ^[12] que se pueden construir de esta manera a partir de una semielipse . Para cumplir la condición de curvatura, la semielipse debe estar limitada por el semieje mayor de su elipse, y la elipse debe tener una excentricidad como máximo de . Equivalentemente, el semieje mayor debe ser como máximo el doble del semieje menor. ^[6] ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$

Dados dos cuerpos cualesquiera de ancho constante, su suma de Minkowski forma otro cuerpo de ancho constante. ^[13] Una generalización de las sumas de Minkowski a las sumas de funciones de soporte de erizos produce una curva de ancho constante a partir de la suma de un erizo proyectivo y un círculo, siempre que el resultado sea una curva convexa. Todas las curvas de ancho constante se pueden descomponer en una suma de erizos de esta manera. ^[14]

Propiedades

El triángulo de Reuleaux gira dentro de un cuadrado mientras toca en todo momento los cuatro lados

Una curva de ancho constante puede rotar entre dos líneas paralelas separadas por su ancho, mientras que en todo momento toca esas líneas, que actúan como líneas de apoyo para la curva rotada. De la misma manera, una curva de ancho constante puede rotar dentro de un rombo o cuadrado, cuyos pares de lados opuestos están separados por el ancho y descansan sobre líneas de apoyo paralelas. ^{[2] [6] [3]} No todas las curvas de ancho constante pueden rotar dentro de un hexágono regular de la misma manera, porque sus líneas de apoyo pueden formar diferentes hexágonos irregulares para diferentes rotaciones en lugar de formar siempre uno regular. Sin embargo, cada curva de ancho constante puede estar encerrada por al menos un hexágono regular con lados opuestos sobre líneas de apoyo paralelas. ^[15]

Una curva tiene anchura constante si y sólo si, para cada par de líneas de apoyo paralelas, toca a esas dos líneas en puntos cuya distancia es igual a la separación entre las líneas. En particular, esto implica que sólo puede tocar cada línea de apoyo en un único punto. Equivalentemente, cada línea que cruza la curva perpendicularmente la cruza exactamente en dos puntos de distancia igual a la anchura. Por lo tanto, una curva de anchura constante debe ser convexa, ya que toda curva simple cerrada no convexa tiene una línea de apoyo que la toca en dos o más puntos. ^{[3] [8]} Las curvas de anchura constante son ejemplos de curvas autoparalelas o autoparalelas, curvas trazadas por ambos puntos extremos de un segmento de línea que se mueve de tal manera que ambos puntos extremos se mueven perpendicularmente al segmento de línea. Sin embargo, existen otras curvas autoparalelas, como la espiral infinita formada por la involuta de un círculo, que no tienen anchura constante. ^[16]

El teorema de Barbier afirma que el perímetro de cualquier curva de ancho constante es igual al ancho multiplicado por . Como caso especial, esta fórmula concuerda con la fórmula estándar para el perímetro de un círculo dado su diámetro. ^{[17] [18]} Por la desigualdad isoperimétrica y el teorema de Barbier, el círculo tiene el área máxima de cualquier curva de ancho constante dado. El teorema de Blaschke-Lebesgue dice que el triángulo de Reuleaux tiene el área menor de cualquier curva convexa de ancho constante dado. ^[19] Todo superconjunto propio de un cuerpo de ancho constante tiene un diámetro estrictamente mayor, y todo conjunto euclidiano con esta propiedad es un cuerpo de ancho constante. En particular, no es posible que un cuerpo de ancho constante sea un subconjunto de un cuerpo diferente con el mismo ancho constante. ^{[20] [21]} Toda curva de ancho constante puede aproximarse de forma arbitrariamente cercana mediante una curva circular por partes o mediante una curva analítica del mismo ancho constante. ^[22] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi d}$

Un vértice de una curva suave es un punto donde su curvatura es un máximo o mínimo local; para un arco circular, todos los puntos son vértices, pero las curvas no circulares pueden tener un conjunto discreto finito de vértices. Para una curva que no es suave, los puntos donde no es suave también pueden considerarse como vértices, de curvatura infinita. Para una curva de ancho constante, cada vértice de curvatura localmente mínima se empareja con un vértice de curvatura localmente máxima, opuesto a él en un diámetro de la curva, y debe haber al menos seis vértices. Esto contrasta con el teorema de los cuatro vértices , según el cual cada curva suave cerrada simple en el plano tiene al menos cuatro vértices. Algunas curvas, como las elipses, tienen exactamente cuatro vértices, pero esto no es posible para una curva de ancho constante. ^{[14] [23]} Como los mínimos locales de curvatura son opuestos a los máximos locales de curvatura, las únicas curvas de ancho constante con simetría central son los círculos, para los cuales la curvatura es la misma en todos los puntos. ^[13] Para cada curva de ancho constante, el círculo mínimo que encierra la curva y el círculo más grande que contiene son concéntricos, y el promedio de sus diámetros es el ancho de la curva. Estos dos círculos juntos tocan la curva en al menos tres pares de puntos opuestos, pero estos puntos no son necesariamente vértices. ^[13]

Un cuerpo convexo tiene un ancho constante si y solo si la suma de Minkowski del cuerpo y su rotación de 180° es un disco circular; si es así, el ancho del cuerpo es el radio del disco. ^{[13] [15]}

Aplicaciones

Rodillos de ancho constante

Debido a la capacidad de las curvas de ancho constante de rodar entre líneas paralelas, cualquier cilindro con una curva de ancho constante como sección transversal puede actuar como un "rodillo" , sosteniendo un plano nivelado y manteniéndolo plano mientras rueda a lo largo de cualquier superficie nivelada. Sin embargo, el centro del rodillo se mueve hacia arriba y hacia abajo mientras rueda, por lo que esta construcción no funcionaría para ruedas de esta forma unidas a ejes fijos. ^{[2] [6] [3]}

Algunas formas de monedas son cuerpos no circulares de ancho constante. Por ejemplo, las monedas británicas de 20 y 50 peniques son heptágonos Reuleaux, y el loonie canadiense es un Reuleaux de 11 gones. ^[24] Estas formas permiten que las máquinas de monedas automatizadas reconozcan estas monedas por sus anchos, independientemente de la orientación de la moneda en la máquina. ^{[2] [6]} Por otro lado, probar el ancho es inadecuado para determinar la redondez de un objeto , porque tales pruebas no pueden distinguir círculos de otras curvas de ancho constante. ^{[2] [6]} Pasar por alto este hecho puede haber jugado un papel en el desastre del transbordador espacial Challenger , ya que la redondez de las secciones del cohete en ese lanzamiento se probó solo midiendo los anchos, y las formas no redondas pueden causar tensiones inusualmente altas que podrían haber sido uno de los factores que causaron el desastre. ^[25]

Generalizaciones

Las curvas de ancho constante pueden generalizarse a ciertas curvas no convexas, las curvas que tienen dos rectas tangentes en cada dirección, con la misma separación entre estas dos rectas independientemente de su dirección. Como caso límite, las curvas proyectivas erizo (curvas con una recta tangente en cada dirección) también han sido llamadas "curvas de ancho cero". ^[26]

Una forma de generalizar estos conceptos a tres dimensiones es a través de las superficies de ancho constante . El análogo tridimensional de un triángulo de Reuleaux, el tetraedro de Reuleaux , no tiene un ancho constante, pero cambios menores en él producen los cuerpos de Meissner , que sí lo tienen. ^{[2] [13]} Las curvas de ancho constante también pueden generalizarse a los cuerpos de brillo constante , formas tridimensionales cuyas proyecciones bidimensionales tienen todas el mismo área; estas formas obedecen a una generalización del teorema de Barbier. ^[13] Una clase diferente de generalizaciones tridimensionales, las curvas espaciales de ancho constante, se definen por las propiedades de que cada plano que cruza la curva la interseca perpendicularmente en exactamente otro punto, donde también es perpendicular, y que todos los pares de puntos intersectados por planos perpendiculares están separados por la misma distancia. ^{[27] [28] [29] [30]}

También se han estudiado curvas y cuerpos de ancho constante en geometría no euclidiana ^{[31] y para} espacios vectoriales normados no euclidianos . ^[20]

Véase también

• Ancho medio , el ancho de una curva promediado en todas las direcciones posibles
• Curva de Zindler , una curva en la que todas las cuerdas que bisecan el perímetro tienen la misma longitud.

Referencias

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Enlaces externos

• Applet interactivo archivado el 23 de noviembre de 2015 en Wayback Machine por Michael Borcherds que muestra una forma irregular de ancho constante (que se puede cambiar) creada con GeoGebra.
• Weisstein, Eric W. "Curva de ancho constante". MathWorld .
• Mould, Steve. "Formas y sólidos de ancho constante". Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 19 de marzo de 2016 . Consultado el 17 de noviembre de 2013 .
• Formas de ancho constante al cortar el nudo