Esponja de Menger

Fractal tridimensional

Una ilustración de M ₄ , la esponja después de cuatro iteraciones del proceso de construcción.

En matemáticas , la esponja de Menger (también conocida como cubo de Menger , curva universal de Menger , cubo de Sierpinski o esponja de Sierpinski ) ^{[1] [2] [3]} es una curva fractal . Es una generalización tridimensional del conjunto unidimensional de Cantor y la alfombra bidimensional de Sierpinski . Fue descrita por primera vez por Karl Menger en 1926, en sus estudios del concepto de dimensión topológica . ^{[4] [5]}

Construcción

La construcción de una esponja de Menger se puede describir de la siguiente manera:

1. Comience con un cubo.
2. Divide cada cara del cubo en nueve cuadrados de manera similar a un cubo de Rubik . Esto subdivide el cubo en 27 cubos más pequeños.
3. Quita el cubo más pequeño del medio de cada cara y quita el cubo más pequeño del centro del cubo más grande, dejando 20 cubos más pequeños. Esta es una esponja Menger de nivel 1 (parecida a un cubo vacío ).
4. Repita los pasos dos y tres para cada uno de los cubos más pequeños restantes y continúe iterando hasta el infinito .

La segunda iteración da como resultado una esponja de nivel 2, la tercera iteración da como resultado una esponja de nivel 3, y así sucesivamente. La propia esponja de Menger es el límite de este proceso después de un número infinito de iteraciones.

Una ilustración de la construcción iterativa de una esponja de Menger hasta M ₃ , la tercera iteración

Propiedades

Sección transversal hexagonal de una esponja de Menger de nivel 4. (Parte de una serie de cortes perpendiculares a la diagonal espacial).

La etapa n de la esponja de Menger, , está formada por cubos más pequeños, cada uno con una longitud de lado de (1/3) n . El volumen total de es, por tanto , . El área superficial total de está dada por la expresión . ^{[6] [7]} Por lo tanto, el volumen de la construcción se acerca a cero mientras que su área superficial aumenta sin límite. Sin embargo, cualquier superficie elegida en la construcción será perforada completamente a medida que la construcción continúa, de modo que el límite no es ni un sólido ni una superficie; tiene una dimensión topológica de 1 y, en consecuencia, se identifica como una curva. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle 20^{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\textstyle \left({\frac {20}{27}}\right)^{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle 2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}}$

Cada cara de la construcción se convierte en una alfombra de Sierpinski , y la intersección de la esponja con cualquier diagonal del cubo o cualquier línea media de las caras es un conjunto de Cantor . La sección transversal de la esponja a través de su baricentro y perpendicular a una diagonal espacial es un hexágono regular perforado con hexagramas dispuestos en simetría séxtuple. ^[8] El número de estos hexagramas, en tamaño descendente, viene dado por la siguiente relación de recurrencia : , con . ^[9] ${\displaystyle a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}}$ ${\displaystyle a_{0}=1,\ a_{1}=6}$

La dimensión de Hausdorff de la esponja esregistro 20/registro 3⁠ ≅ 2.727. La dimensión de recubrimiento de Lebesgue de la esponja de Menger es uno, lo mismo que cualquier curva . Menger demostró, en la construcción de 1926, que la esponja es una curva universal , en el sentido de que cada curva es homeomorfa a un subconjunto de la esponja de Menger, donde una curva significa cualquier espacio métrico compacto de dimensión de recubrimiento de Lebesgue uno; esto incluye árboles y grafos con un número contable arbitrario de aristas, vértices y bucles cerrados, conectados de formas arbitrarias. De manera similar, la alfombra de Sierpinski es una curva universal para todas las curvas que se pueden dibujar en el plano bidimensional. La esponja de Menger construida en tres dimensiones extiende esta idea a grafos que no son planos y podrían estar incrustados en cualquier número de dimensiones.

La esponja de Menger es un conjunto cerrado ; como también está acotada, el teorema de Heine-Borel implica que es compacta . Tiene medida de Lebesgue 0. Como contiene caminos continuos, es un conjunto incontable .

Los experimentos también demostraron que los cubos con una estructura similar a una esponja de Menger podían disipar los impactos cinco veces mejor para el mismo material que los cubos sin poros. ^[10]

Definición formal

Formalmente, una esponja de Menger se puede definir de la siguiente manera (utilizando la intersección de conjuntos ):

${\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}$

¿Dónde está el cubo unitario y ${\displaystyle M_{0}}$

${\displaystyle M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\mbox{and at most one of }}i,j,k{\mbox{ is equal to 1}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.}$

Megamenger

MegaMenger fue un proyecto cuyo objetivo era construir el modelo fractal más grande, iniciado por Matt Parker de la Queen Mary University de Londres y Laura Taalman de la James Madison University . Cada cubo pequeño está hecho de seis tarjetas de presentación entrelazadas, lo que da un total de 960 000 para una esponja de nivel cuatro. Las superficies externas se cubren luego con paneles de papel o cartón impresos con un diseño de alfombra de Sierpinski para que sean más agradables estéticamente . ^[11] En 2014, se construyeron veinte esponjas Menger de nivel tres, que combinadas formarían una esponja Menger de nivel cuatro distribuida. ^[12]

• 
  Uno de los MegaMengers, en la Universidad de Bath
• 
  Un modelo de un tetríx visto a través del centro del MegaMenger de nivel 3 de Cambridge en el Festival de Ciencias de Cambridge de 2015

Fractales similares

Cubo de Jerusalén

Un cubo de Jerusalén es un objeto fractal descrito por primera vez por Eric Baird en 2011. Se crea perforando de forma recursiva agujeros con forma de cruz griega en un cubo. ^{[13] [14]} La construcción es similar a la esponja de Menger, pero con dos cubos de diferentes tamaños. El nombre proviene de la cara del cubo, que se asemeja a un patrón de cruz de Jerusalén . ^[15]

La construcción del cubo de Jerusalén se puede describir de la siguiente manera:

1. Comience con un cubo.
2. Corta una cruz a través de cada lado del cubo, dejando ocho cubos (de rango +1) en las esquinas del cubo original, así como doce cubos más pequeños (de rango +2) centrados en los bordes del cubo original entre los cubos de rango +1.
3. Repita el proceso en los cubos de los rangos 1 y 2.

Iterar un número infinito de veces da como resultado el cubo de Jerusalén.

Dado que la longitud del borde de un cubo de rango N es igual a la de 2 cubos de rango N+1 y un cubo de rango N+2, se deduce que el factor de escala debe satisfacer , por lo tanto, lo que significa que el fractal no se puede construir utilizando puntos en una red racional . ${\displaystyle k^{2}+2k=1}$ ${\displaystyle k={\sqrt {2}}-1}$

Como un cubo de rango N se subdivide en 8 cubos de rango N+1 y 12 de rango N+2, la dimensión de Hausdorff debe satisfacer . La solución exacta es ${\displaystyle 8k^{d}+12(k^{2})^{d}=1}$

${\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}$

que es aproximadamente 2,529

Al igual que con la esponja de Menger, las caras de un cubo de Jerusalén son fractales ^[15] con el mismo factor de escala. En este caso, la dimensión de Hausdorff debe satisfacer . La solución exacta es ${\displaystyle 4k^{d}+4(k^{2})^{d}=1}$

${\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}$

que es aproximadamente 1.786

• 
  Tercera iteración del cubo de Jerusalén
• 
  Modelo impreso en 3D del cubo de Jerusalén

Otros

Copo de nieve de Sierpinski-Menger

• Un copo de nieve de Mosely es un fractal basado en un cubo con esquinas eliminadas recursivamente. ^[16]
• Un tetrígono es un fractal basado en un tetraedro formado por cuatro copias más pequeñas, dispuestas en un tetraedro. ^[17]
• Un copo de nieve de Sierpinski-Menger es un fractal basado en cubos en el que ocho cubos de esquina y un cubo central se mantienen cada vez en los pasos de recursión más bajos. Este peculiar fractal tridimensional tiene la dimensión de Hausdorff del objeto bidimensional nativo como el plano, es decirregistro 9/registro 3⁠ =2

Véase también

• Junta apolínea
• Cubo de cantor
• Copo de nieve de Koch
• Tetraedro de Sierpinski
• Triángulo de Sierpinski
• Lista de fractales según la dimensión de Hausdorff

Referencias

1. Beck, Christian; Schögl, Friedrich (1995). Termodinámica de sistemas caóticos: una introducción. Cambridge University Press. pág. 97. ISBN 9780521484510.
2. Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (2013). Fractales en la ciencia. Springer. pág. 7. ISBN 9783642779534.
3. Menger, Karl (2013). Reminiscencias del Círculo de Viena y del Coloquio de Matemáticas. Springer Science & Business Media. pág. 11. ISBN 9789401111027.
4. Menger, Karl (1928), Teoría de las dimensiones , BG Teubner Publishers
5. Menger, Karl (1926), "Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.", Comunicaciones a la Academia de Ciencias de ÁmsterdamTraducción al inglés reimpresa en Edgar, Gerald A., ed. (2004), Classics on fractals , Studies in Nonlinearity, Westview Press. Advanced Book Program, Boulder, CO, ISBN 978-0-8133-4153-8, Sr.  2049443
6. Proyecto de demostraciones de Wolfram, volumen y área de superficie de la esponja de Menger
7. Grupo de investigación en educación en ciencias y matemáticas de la Universidad de Columbia Británica, Geometría matemática: esponja de Menger
8. Chang, Kenneth (27 de junio de 2011). "El misterio de la esponja de Menger". The New York Times . Consultado el 8 de mayo de 2017 en NYTimes.com.
9. "A299916 - OEIS". oeis.org . Consultado el 2 de agosto de 2018 .
10. Dattelbaum, Dana M.; Ionita, Axinte; Patterson, Brian M.; Branch, Brittany A.; Kuettner, Lindsey (1 de julio de 2020). "Disipación de ondas de choque mediante estructuras porosas dominadas por la interfaz". AIP Advances . 10 (7): 075016. Bibcode :2020AIPA...10g5016D. doi : 10.1063/5.0015179 .
11. Tim Chartier (10 de noviembre de 2014). "Un millón de tarjetas de presentación representan un desafío matemático". HuffPost . Consultado el 7 de abril de 2015 .
12. "MegaMenger" . Consultado el 15 de febrero de 2015 .
13. Robert Dickau (31 de agosto de 2014). «Cross Menger (Jerusalén) Cube Fractal». Robert Dickau . Consultado el 8 de mayo de 2017 .
14. Eric Baird (18 de agosto de 2011). "El cubo de Jerusalén". Alt.Fractals . Consultado el 13 de marzo de 2013 ., publicado en Revista Tangente 150, "l'art fractal" (2013), p. 45.
15. Eric Baird (30 de noviembre de 2011). "La plaza de Jerusalén". Alt.Fractals . Consultado el 9 de diciembre de 2021 .
16. Wade, Lizzie. "Arte fractal plegable a partir de 49.000 tarjetas de visita". Wired . Consultado el 8 de mayo de 2017 .
17. W., Weisstein, Eric. "Tetrix". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de mayo de 2017 .{{cite web}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

Lectura adicional

• Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2001), Teoría de funciones geométricas y análisis no lineal , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5, Sr.  1859913.
• Zhou, Li (2007), "Problema 11208: Números cromáticos de las esponjas de Menger", American Mathematical Monthly , 114 (9): 842, JSTOR  27642353

Enlaces externos

• Esponja Menger en Wolfram MathWorld
• La 'Esponja de Menger para tarjetas de presentación' de la Dra. Jeannine Mosely: una exhibición en línea sobre este fractal de origami gigante en el Institute for Figurer
• Una esponja de Menger interactiva
• Modelos Java interactivos
• Puzzle Hunt: video que explica las paradojas de Zenón usando una esponja de Menger-Sierpinski
• Esfera de Menger, renderizada en SunFlow
• Esponja Menger Post-It: una esponja Menger de nivel 3 que se fabrica a partir de Post-its
• El misterio de la esponja de Menger. Cortada en diagonal para revelar estrellas
• Secuencia OEIS A212596 (Número de tarjetas necesarias para construir una esponja de Menger de nivel n en origami)
• Pensamientos lanudos Nivel 2 Esponja Menger por dos "Mathekniticians"
• Dickau, R.: Cubo de Jerusalén Más discusión.
• Miller, P.: Discusión de esponjas de Menger explícitamente definidas para pruebas de estrés en sistemas de visualización y renderizado 3D