La alfombra de Sierpiński es un fractal plano descrito por primera vez por Wacław Sierpiński en 1916. La alfombra es una generalización del conjunto de Cantor a dos dimensiones; otra generalización de este tipo es el polvo de Cantor .
La técnica de subdividir una forma en copias más pequeñas de sí misma , eliminar una o más copias y continuar recursivamente se puede extender a otras formas. Por ejemplo, subdividir un triángulo equilátero en cuatro triángulos equiláteros, eliminar el triángulo del medio y continuar recursivamente conduce al triángulo de Sierpiński . En tres dimensiones, una construcción similar basada en cubos se conoce como esponja de Menger .
La construcción de la alfombra de Sierpiński comienza con un cuadrado . El cuadrado se corta en 9 subcuadrados congruentes en una cuadrícula de 3 por 3, y se elimina el subcuadrado central. Luego se aplica el mismo procedimiento de forma recursiva a los 8 subcuadrados restantes, ad infinitum . Se puede realizar como el conjunto de puntos en el cuadrado unitario cuyas coordenadas escritas en base tres no tienen ambas un dígito '1' en la misma posición, utilizando la representación numérica infinitesimal de . [1]
El proceso de eliminar cuadrados de forma recursiva es un ejemplo de una regla de subdivisión finita .
El área de la alfombra es cero (en la medida estándar de Lebesgue ).
El interior de la alfombra está vacío.
La dimensión de Hausdorff de la alfombra es . [2]
Sierpiński demostró que su alfombra es una curva plana universal. [3] Es decir: la alfombra de Sierpiński es un subconjunto compacto del plano con dimensión de recubrimiento de Lebesgue 1, y cada subconjunto del plano con estas propiedades es homeomorfo a algún subconjunto de la alfombra de Sierpiński.
Esta "universalidad" de la alfombra de Sierpiński no es una verdadera propiedad universal en el sentido de la teoría de categorías: no caracteriza de manera única este espacio hasta el homeomorfismo. Por ejemplo, la unión disjunta de una alfombra de Sierpiński y un círculo es también una curva plana universal. Sin embargo, en 1958 Gordon Whyburn [4] caracterizó de manera única la alfombra de Sierpiński de la siguiente manera: cualquier curva que esté localmente conectada y no tenga "puntos de corte locales" es homeomorfa a la alfombra de Sierpiński. Aquí un punto de corte local es un punto p para el cual algún entorno conectado U de p tiene la propiedad de que U − { p } no está conectado. Entonces, por ejemplo, cualquier punto del círculo es un punto de corte local.
En el mismo artículo, Whyburn dio otra caracterización de la alfombra de Sierpiński. Recordemos que un continuo es un espacio métrico compacto conexo no vacío. Supongamos que X es un continuo embebido en el plano. Supongamos que su complemento en el plano tiene una cantidad contable de componentes conexos C 1 , C 2 , C 3 , ... y supongamos:
Entonces X es homeomorfo a la alfombra de Sierpiński.
El tema del movimiento browniano en la alfombra de Sierpiński ha atraído interés en los últimos años. [5] Martin Barlow y Richard Bass han demostrado que un paseo aleatorio en la alfombra de Sierpiński se difunde a un ritmo más lento que un paseo aleatorio sin restricciones en el plano. Este último alcanza una distancia media proporcional a √ n después de n pasos, pero el paseo aleatorio en la alfombra de Sierpiński discreta alcanza solo una distancia media proporcional a β √ n para algún β > 2 . También demostraron que este paseo aleatorio satisface desigualdades de desviación grande más fuertes (las llamadas "desigualdades subgaussianas") y que satisface la desigualdad elíptica de Harnack sin satisfacer la desigualdad parabólica. La existencia de un ejemplo de este tipo fue un problema abierto durante muchos años.
Una variación de la alfombra de Sierpiński, llamada tamiz de Wallis , comienza de la misma manera, subdividiendo el cuadrado unitario en nueve cuadrados más pequeños y eliminando el del medio. En el siguiente nivel de subdivisión, subdivide cada uno de los cuadrados en 25 cuadrados más pequeños y elimina el del medio, y continúa en el i -ésimo paso subdividiendo cada cuadrado en (2 i + 1) 2 (los cuadrados impares [6] ) cuadrados más pequeños y eliminando el del medio. Por el producto de Wallis , el área del conjunto resultante es π/4 , a diferencia de la alfombra de Sierpiński estándar que tiene un área límite cero. Aunque la criba de Wallis tiene una medida de Lebesgue positiva , ningún subconjunto que sea un producto cartesiano de dos conjuntos de números reales tiene esta propiedad, por lo que su medida de Jordan es cero. [7]
Las antenas fractales para teléfonos móviles y wifi se han producido en forma de unas pocas iteraciones de la alfombra de Sierpiński. Debido a su autosimilitud e invariancia de escala , se adaptan fácilmente a múltiples frecuencias. También son fáciles de fabricar y más pequeñas que las antenas convencionales de rendimiento similar, por lo que son óptimas para teléfonos móviles de bolsillo. [8] [9] [10]
