Número cuadrado

En matemáticas , un número cuadrado o cuadrado perfecto es un número entero que es el cuadrado de un número entero; ^[1] en otras palabras, es el producto de algún número entero consigo mismo. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado, ya que es igual a $32$ y se puede escribir como $3 \times 3$ .

La notación habitual para el cuadrado de un número $n$ no es el producto $n \times n$ , sino la potencia equivalente $n 2$ , que suele pronunciarse como " $n al$ cuadrado". El nombre de número cuadrado proviene del nombre de la forma. La unidad de área se define como el área de un cuadrado unitario ( $1 \times 1$ ). Por lo tanto, un cuadrado con una longitud de lado $n$ tiene un área $n 2$ . Si un número cuadrado se representa con n puntos, los puntos se pueden organizar en filas como un cuadrado cada lado del cual tiene el mismo número de puntos que la raíz cuadrada de n ; por lo tanto, los números cuadrados son un tipo de números figurados (otros ejemplos son los números cúbicos y los números triangulares ).

En el sistema de números reales , los números cuadrados no son negativos . Un entero no negativo es un número cuadrado cuando su raíz cuadrada es también un entero. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado. ${\sqrt {9}}=3,$

Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados excepto 1 se llama libre de cuadrados .

Para un entero no negativo $n$ , el $n$ º número cuadrado es $n 2$ , siendo $02 = 0$ el cero . El concepto de cuadrado se puede extender a otros sistemas numéricos. Si se incluyen los números racionales , entonces un cuadrado es el cociente de dos enteros cuadrados y, a la inversa, el cociente de dos enteros cuadrados es un cuadrado, por ejemplo, . $\textstyle {\frac {4}{9}}=\izquierda({\frac {2}{3}}\derecha)^{2}$

A partir de 1, existen números cuadrados hasta $m$ inclusive , donde la expresión representa la base del número $x$ . $\lfloor {\sqrt {m}}\rfloor$ $\lpiso x\rpiso$

Ejemplos

Los cuadrados (secuencia A000290 en la OEIS ) menores que 60 ² = 3600 son:

0 ² = 0

1 ² = 1

2 ² = 4

3 ² = 9

4 ² = 16

5 ² = 25

6 ² = 36

7 ² = 49

8 ² = 64

9 ² = 81

10 ² = 100

11 ² = 121

12 ² = 144

13 ² = 169

14 ² = 196

15 ² = 225

16 ² = 256

17 ² = 289

18 ² = 324

19 ² = 361

20 ² = 400

21 ² = 441

22 ² = 484

23 ² = 529

24 ² = 576

25 ² = 625

26 ² = 676

27 ² = 729

28 ² = 784

29 ² = 841

30 ² = 900

31 ² = 961

32 ² = 1024

33 ² = 1089

34 ² = 1156

35 ² = 1225

36 ² = 1296

37 ² = 1369

38 ² = 1444

39 ² = 1521

40 ² = 1600

41 ² = 1681

42 ² = 1764

43 ² = 1849

44 ² = 1936

45 ² = 2025

46 ² = 2116

47 ² = 2209

48 ² = 2304

49 ² = 2401

50 ² = 2500

51 ² = 2601

52 ² = 2704

53 ² = 2809

54 ² = 2916

55 ² = 3025

56 ² = 3136

57 ² = 3249

58 ² = 3364

59 ² = 3481

La diferencia entre cualquier cuadrado perfecto y su predecesor está dada por la identidad $n 2 - (n - 1) 2 = 2 n - 1$ . De manera equivalente, es posible contar números cuadrados sumando el último cuadrado, la raíz del último cuadrado y la raíz actual, es decir, $n 2 = (n - 1) 2 + (n - 1) + n$ .

Propiedades

El número m es un número cuadrado si y sólo si se pueden disponer m puntos en un cuadrado:

La expresión para el $n-$ ésimo número cuadrado es $n 2$ . Esto también es igual a la suma de los primeros $n$ números impares como se puede ver en las imágenes anteriores, donde un cuadrado resulta del anterior sumando un número impar de puntos (mostrados en magenta). La fórmula es la siguiente: Por ejemplo, $5$ $2$ $= 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$ . $n^{2}=\suma _{k=1}^{n}(2k-1).$

Existen varios métodos recursivos para calcular números cuadrados. Por ejemplo, el $n-$ ésimo número cuadrado se puede calcular a partir del cuadrado anterior mediante $n 2 = (n - 1) 2 + (n - 1) + n = (n - 1) 2 + (2 n - 1)$ . Alternativamente, el $n-$ ésimo número cuadrado se puede calcular a partir de los dos anteriores duplicando el $(n - 1)$ ésimo cuadrado, restando el $(n - 2)$ ésimo número cuadrado y sumando 2, porque $n 2 = 2(n - 1) 2 - (n - 2) 2 + 2$ . Por ejemplo,

2 \times 5 2 - 4 2 + 2 = 2 \times 25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36 = 6 2

El cuadrado menos uno de un número $m$ es siempre el producto de y es decir, Por ejemplo, como $7$ $2$ $= 49$ , se tiene . Como un número primo tiene factores de solo $1$ y él mismo, y como $m$ $= 2$ es el único valor distinto de cero de $m$ que da un factor de $1$ en el lado derecho de la ecuación anterior, se deduce que $3$ es el único número primo uno menos que un cuadrado ( $3 = 2$ $2$ $- 1$ ). ${\estilo de visualización m-1}$ ${\estilo de visualización m+1;}$ $m^{2}-1=(m-1)(m+1).$ $6\times 8=48$

En términos más generales, la diferencia de los cuadrados de dos números es el producto de su suma por su diferencia. Es decir, Esta es la fórmula de la diferencia de cuadrados , que puede ser útil para el cálculo mental: por ejemplo, $47 \times 53$ se puede calcular fácilmente como $50$ $2$ $- 3$ $2$ $= 2500 - 9 = 2491.$ Un número cuadrado también es la suma de dos números triangulares consecutivos . La suma de dos números cuadrados consecutivos es un número cuadrado centrado . Todo cuadrado impar es también un número octogonal centrado . $a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)$

Otra propiedad de un número cuadrado es que (excepto el 0) tiene un número impar de divisores positivos, mientras que otros números naturales tienen un número par de divisores positivos. Una raíz entera es el único divisor que se empareja consigo mismo para dar el número cuadrado, mientras que otros divisores vienen en pares.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo puede escribirse como la suma de cuatro o menos cuadrados perfectos. Tres cuadrados no son suficientes para números de la forma $4 k (8 m + 7)$ . Un número entero positivo puede representarse como una suma de dos cuadrados precisamente si su factorización prima no contiene potencias impares de primos de la forma $4 k + 3$ . Esto se generaliza mediante el problema de Waring .

En base 10 , un número cuadrado solo puede terminar con los dígitos 0, 1, 4, 5, 6 o 9, de la siguiente manera:

si el último dígito de un número es 0, su cuadrado termina en 00;
si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado termina en un dígito par seguido de un 1;
si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado termina en un dígito par seguido de un 4;
si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado termina en un dígito par seguido de un 9;
si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado termina en un dígito impar seguido de un 6; y
Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado termina en 25.

En base 12 , un número cuadrado solo puede terminar con dígitos cuadrados (como en base 12, un número primo solo puede terminar con dígitos primos o 1), es decir, 0, 1, 4 o 9, de la siguiente manera:

si un número es divisible tanto por 2 como por 3 (es decir, divisible por 6), su cuadrado termina en 0, y su dígito precedente debe ser 0 o 3;
si un número no es divisible ni por 2 ni por 3, su cuadrado termina en 1, y su cifra precedente debe ser par;
si un número es divisible por 2, pero no por 3, su cuadrado termina en 4, y su dígito precedente debe ser 0, 1, 4, 5, 8 o 9; y
Si un número no es divisible por 2, sino por 3, su cuadrado termina en 9, y su dígito precedente debe ser 0 o 6.

Se pueden dar reglas similares para otras bases o para dígitos anteriores (por ejemplo, las decenas en lugar de las unidades). ^{[ cita requerida ]} Todas estas reglas se pueden demostrar comprobando un número fijo de casos y utilizando aritmética modular .

En general, si un primo $p$ divide a un número cuadrado $m,$ entonces el cuadrado de $p$ también debe dividir $a m$ ; si $p$ no divide $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}a ⁠metro/pag⁠$ , entonces $m$ definitivamente no es cuadrado. Repitiendo las divisiones de la oración anterior, se concluye que todo primo debe dividir un cuadrado perfecto dado un número par de veces (incluidas posiblemente 0 veces). Por lo tanto, el número $m$ es un número cuadrado si y solo si, en su representación canónica , todos los exponentes son pares.

La prueba de cuadratura se puede utilizar como una forma alternativa de factorizar números grandes. En lugar de probar la divisibilidad, pruebe la cuadratura: para un $m$ dado y un número $k$ , si $k 2 - m$ es el cuadrado de un entero $n,$ entonces $k - n$ divide $a m$ . (Esta es una aplicación de la factorización de una diferencia de dos cuadrados ). Por ejemplo, $1002 - 9991$ es el cuadrado de 3, por lo que, en consecuencia, $100 - 3$ divide a 9991. Esta prueba es determinista para divisores impares en el rango de $k - n$ a $k + n,$ donde $k$ cubre algún rango de números naturales. $k\geq {\sqrt {m}}.$

Un número cuadrado no puede ser un número perfecto .

La suma de los n primeros números cuadrados es Los primeros valores de estas sumas, los números piramidales cuadrados , son: (secuencia A000330 en la OEIS ) $\sum_{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.$

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 00, 5525, 6201...

Prueba sin palabras del teorema de la suma de números impares

La suma de los primeros números enteros impares, comenzando por uno, es un cuadrado perfecto: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, etc. Esto explica la ley de los números impares de Galileo : si un cuerpo que cae desde el reposo recorre una unidad de distancia en el primer intervalo de tiempo arbitrario, recorre 3, 5, 7, etc., unidades de distancia en intervalos de tiempo posteriores de la misma longitud. De , para $u$ $= 0 y$ $a$ constante (aceleración debida a la gravedad sin resistencia del aire); por lo que $s$ es proporcional a $t$ $2$ , y la distancia desde el punto de partida son cuadrados consecutivos para valores enteros del tiempo transcurrido. ^[2] $s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$

La suma de los n primeros cubos es el cuadrado de la suma de los n primeros números enteros positivos; este es el teorema de Nicómaco .

Todas las cuartas potencias, sextas potencias, octavas potencias, etc., son cuadrados perfectos.

Una relación única con los números triangulares es: $Estilo de visualización T_{n}$ $(T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}$

Números cuadrados pares e impares

Los cuadrados de los números pares son pares y divisibles por 4, ya que $(2 n) 2 = 4 n 2$ . Los cuadrados de los números impares son impares y congruentes con 1 módulo 8, ya que $(2 n + 1) 2 = 4 n (n + 1) + 1$ , y $n (n + 1)$ es siempre par. En otras palabras, todos los números cuadrados impares tienen un resto de 1 cuando se dividen por 8.

Todo cuadrado perfecto impar es un número octogonal centrado . La diferencia entre dos cuadrados perfectos impares cualesquiera es un múltiplo de 8. La diferencia entre 1 y cualquier cuadrado perfecto impar superior siempre es ocho veces un número triangular, mientras que la diferencia entre 9 y cualquier cuadrado perfecto impar superior es ocho veces un número triangular menos ocho. Como todos los números triangulares tienen un factor impar, pero no hay dos valores de $2 n$ que difieran en una cantidad que contenga un factor impar, el único cuadrado perfecto de la forma $2 n - 1$ es 1, y el único cuadrado perfecto de la forma $2 n + 1$ es 9.

Casos especiales

Si el número tiene la forma $m 5$ donde $m$ representa los dígitos anteriores, su cuadrado es $n 25$ donde $n = m (m + 1)$ y representa los dígitos anteriores al 25. Por ejemplo, el cuadrado de 65 se puede calcular mediante $n = 6 \times (6 + 1) = 42,$ lo que hace que el cuadrado sea igual a 4225.
Si el número tiene la forma $m 0$ donde $m$ representa los dígitos anteriores, su cuadrado es $n 00$ donde $n = m 2$ . Por ejemplo, el cuadrado de 70 es 4900.
Si el número tiene dos dígitos y es de la forma $5 m$ donde $m$ representa el dígito de las unidades, su cuadrado es $aabb$ donde $aa = 25 + m$ y $bb = m 2$ . Por ejemplo, para calcular el cuadrado de 57, $m = 7$ y $25 + 7 = 32$ y $72 = 49$ , por lo que $572 = 3249$ .
Si el número termina en 5, su cuadrado terminará en 5; de manera similar para terminar en 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, etc. Si el número termina en 6, su cuadrado terminará en 6, de manera similar para terminar en 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Por ejemplo, el cuadrado de 55376 es 3066501376, ambos terminados en 376. (Los números 5, 6, 25, 76, etc. se llaman números automórficos . Son la secuencia A003226 en la OEIS . ^[3] )
En base 10, los dos últimos dígitos de los números cuadrados siguen un patrón repetitivo reflejado simétricamente alrededor de los múltiplos de 25. En el ejemplo de 24 y 26, ambos 1 de diferencia de 25, $242 = 576$ y $262 = 676$ , ambos terminando en 76. En general, . Un patrón análogo se aplica a los últimos 3 dígitos alrededor de los múltiplos de 250, y así sucesivamente. Como consecuencia, de los 100 últimos 2 dígitos posibles, solo 22 de ellos ocurren entre números cuadrados (ya que 00 y 25 se repiten). ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$

Véase también

Identidad de Brahmagupta-Fibonacci : expresión de un producto de sumas de cuadrados como una suma de cuadrados
Número cúbico – Número elevado a la tercera potencia
Identidad de cuatro cuadrados de Euler : producto de sumas de cuatro cuadrados expresado como suma de cuatro cuadrados
Teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados – Condición bajo la cual un primo impar es una suma de dos cuadrados
Algunas identidades que involucran varios cuadrados
Raíz cuadrada entera : mayor entero menor o igual a la raíz cuadrada
Métodos para calcular raíces cuadradas – Algoritmos para calcular raíces cuadradas
Potencia de dos – Dos elevado a una potencia entera
Triple pitagórico : longitudes de lados enteros de un triángulo rectángulo
Residuo cuadrático : entero que es un cuadrado perfecto módulo algún entero
Función cuadrática – Función polinómica de grado dos
Número triangular cuadrado : entero que es a la vez un cuadrado perfecto y un número triangular.

Notas

^ Algunos autores también llaman cuadrados perfectos a los cuadrados de números racionales .
^ Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (14 de enero de 2008). El universo mecánico: Introducción a la mecánica y el calor. Cambridge University Press. pág. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A003226 (Números automórficos: n^2 termina en n.)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.

Lectura adicional

Conway, JH y Guy, RK El libro de los números . Nueva York: Springer-Verlag, págs. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
Kiran Parulekar. Propiedades asombrosas de los cuadrados y sus cálculos . Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC