Diferencia de dos cuadrados

Identidad matemática de polinomios

En matemáticas , la diferencia de dos cuadrados es un número elevado al cuadrado (multiplicado por sí mismo) restado de otro número elevado al cuadrado. Toda diferencia de cuadrados puede factorizarse según la identidad

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

en álgebra elemental .

Prueba

Prueba algebraica

La demostración de la identidad de factorización es sencilla. Empezando por el lado derecho , se aplica la ley distributiva para obtener

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}$

Por la ley conmutativa , los dos términos del medio se cancelan:

${\displaystyle ba-ab=0}$

partida

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

La identidad resultante es una de las más utilizadas en matemáticas. Entre sus múltiples usos, ofrece una demostración sencilla de la desigualdad AM-GM en dos variables.

La prueba es válida en cualquier anillo conmutativo .

Por el contrario, si esta identidad se cumple en un anillo R para todos los pares de elementos a y b , entonces R es conmutativo. Para comprobarlo, aplique la ley distributiva al lado derecho de la ecuación y obtenga

${\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}}$.

Para que esto sea igual a , debemos tener ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle ba-ab=0}$

para todos los pares a , b , entonces R es conmutativo.

Prueba geométrica

La diferencia de dos cuadrados también se puede ilustrar geométricamente como la diferencia de dos áreas cuadradas en un plano . En el diagrama, la parte sombreada representa la diferencia entre las áreas de los dos cuadrados, es decir . El área de la parte sombreada se puede encontrar sumando las áreas de los dos rectángulos; , que se puede factorizar a . Por lo tanto, . ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ ${\displaystyle a(a-b)+b(a-b)}$ ${\displaystyle (a+b)(a-b)}$ ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

Otra prueba geométrica procede de la siguiente manera: comenzamos con la figura que se muestra en el primer diagrama a continuación, un cuadrado grande al que se le quitó un cuadrado más pequeño. El lado de todo el cuadrado es a, y el lado del cuadrado pequeño eliminado es b. El área de la región sombreada es . Se hace un corte, dividiendo la región en dos piezas rectangulares, como se muestra en el segundo diagrama. La pieza más grande, en la parte superior, tiene ancho a y altura ab. La pieza más pequeña, en la parte inferior, tiene ancho ab y altura b. Ahora la pieza más pequeña se puede separar, rotar y colocar a la derecha de la pieza más grande. En esta nueva disposición, que se muestra en el último diagrama a continuación, las dos piezas juntas forman un rectángulo, cuyo ancho es y cuya altura es . El área de este rectángulo es . Dado que este rectángulo surgió de la reorganización de la figura original, debe tener la misma área que la figura original. Por lo tanto, . ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle (a+b)(a-b)}$ ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

Uso

Factorización de polinomios y simplificación de expresiones

La fórmula de la diferencia de dos cuadrados se puede utilizar para factorizar polinomios que contienen el cuadrado de una primera cantidad menos el cuadrado de una segunda cantidad. Por ejemplo, el polinomio se puede factorizar de la siguiente manera: ${\displaystyle x^{4}-1}$

${\displaystyle x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x+1)(x-1)}$

Como segundo ejemplo, los dos primeros términos de se pueden factorizar como , por lo que tenemos: ${\displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y}$ ${\displaystyle (x+y)(x-y)}$

${\displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y=(x+y)(x-y)+x-y=(x-y)(x+y+1)}$

Además, esta fórmula también se puede utilizar para simplificar expresiones:

${\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab}$

Caso de número complejo: suma de dos cuadrados

La diferencia de dos cuadrados se utiliza para encontrar los factores lineales de la suma de dos cuadrados, utilizando coeficientes de números complejos .

Por ejemplo, las raíces complejas de se pueden encontrar utilizando la diferencia de dos cuadrados: ${\displaystyle z^{2}+4}$

${\displaystyle z^{2}+4}$

${\displaystyle =z^{2}-4i^{2}}$ (desde ) ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle =z^{2}-(2i)^{2}}$

${\displaystyle =(z+2i)(z-2i)}$

Por lo tanto, los factores lineales son y . ${\displaystyle (z+2i)}$ ${\displaystyle (z-2i)}$

Dado que los dos factores que se encuentran con este método son conjugados complejos , podemos utilizarlo a la inversa como método para multiplicar un número complejo y obtener un número real. Esto se utiliza para obtener denominadores reales en fracciones complejas. ^[1]

Racionalización de denominadores

La diferencia de dos cuadrados también se puede utilizar en la racionalización de denominadores irracionales . ^[2] Este es un método para eliminar los radicales irracionales de las expresiones (o al menos moverlos), que se aplica a la división por algunas combinaciones que involucran raíces cuadradas .

Por ejemplo: El denominador de se puede racionalizar de la siguiente manera: ${\displaystyle {\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}}$

${\displaystyle {\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}\times {\dfrac {{\sqrt {3}}-4}{{\sqrt {3}}-4}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{({\sqrt {3}}+4)({\sqrt {3}}-4)}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{{\sqrt {3}}^{2}-4^{2}}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{3-16}}}$

${\displaystyle =-{\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{13}}.}$

Aquí, el denominador irracional se ha racionalizado a . ${\displaystyle {\sqrt {3}}+4}$ ${\displaystyle 13}$

Aritmética mental

La diferencia de dos cuadrados también se puede utilizar como un atajo aritmético. Si se multiplican dos números (cuyo promedio es un número que se puede elevar al cuadrado fácilmente), la diferencia de dos cuadrados se puede utilizar para obtener el producto de los dos números originales.

Por ejemplo:

${\displaystyle 27\times 33=(30-3)(30+3)}$

Usando la diferencia de dos cuadrados, se puede reformular como ${\displaystyle 27\times 33}$

${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$cual es . ${\displaystyle 30^{2}-3^{2}=891}$

Diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos

La diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es la suma de las dos bases n y n +1. Esto se puede ver de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(n+1)^{2}-n^{2}&=&((n+1)+n)((n+1)-n)\\&=&2n+1\end{array}}}$

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es un número impar. De manera similar, la diferencia de dos cuadrados perfectos arbitrarios se calcula de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(n+k)^{2}-n^{2}&=&((n+k)+n)((n+k)-n)\\&=&k(2n+k)\end{array}}}$

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados perfectos pares es múltiplo de 4 y la diferencia de dos cuadrados perfectos impares es múltiplo de 8.

Ley de los números impares de Galileo

Ley de los números impares de Galileo

La ley de los números impares de Galileo , una ramificación de la diferencia de cuadrados consecutivos, establece que la distancia recorrida por un objeto que cae sin resistencia en gravedad uniforme en intervalos de tiempo sucesivos iguales es linealmente proporcional a los números impares. Es decir, si un cuerpo que cae desde el reposo recorre una cierta distancia durante un intervalo de tiempo arbitrario, recorrerá 3, 5, 7, etc. veces esa distancia en los intervalos de tiempo subsiguientes de la misma duración.

De la ecuación de aceleración lineal uniforme, la distancia recorrida para una aceleración constante a velocidad inicial (aceleración debida a la gravedad sin resistencia del aire) y el tiempo transcurrido se deduce que la distancia es proporcional a (en símbolos, ), por lo tanto, la distancia desde el punto de partida son cuadrados consecutivos para valores enteros del tiempo transcurrido. ^[3] $${\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$$ ${\displaystyle u=0,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t^{2}}$ ${\displaystyle s\propto t^{2}}$

Factorización de números enteros

Varios algoritmos en teoría de números y criptografía utilizan diferencias de cuadrados para encontrar factores de números enteros y detectar números compuestos. Un ejemplo sencillo es el método de factorización de Fermat , que considera la secuencia de números , para . Si uno de los es igual a un cuadrado perfecto , entonces es una factorización (potencialmente no trivial) de . ${\displaystyle x_{i}:=a_{i}^{2}-N}$ ${\displaystyle a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)}$ ${\displaystyle N}$

Este truco se puede generalizar de la siguiente manera. Si mod y mod , entonces es compuesto con factores no triviales y . Esto forma la base de varios algoritmos de factorización (como la criba cuadrática ) y se puede combinar con la prueba de primalidad de Fermat para dar la prueba de primalidad de Miller-Rabin más fuerte . ${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a\not \equiv \pm b}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \gcd(a-b,N)}$ ${\displaystyle \gcd(a+b,N)}$

Generalizaciones

Los vectores a  (púrpura), b  (cian) y a + b  (azul) se muestran con flechas.

La identidad también se cumple en espacios de productos internos sobre el cuerpo de números reales , como por ejemplo para el producto escalar de vectores euclidianos :

${\displaystyle {\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {a} }-{\mathbf {b} }\cdot {\mathbf {b} }=({\mathbf {a} }+{\mathbf {b} })\cdot ({\mathbf {a} }-{\mathbf {b} })}$

La prueba es idéntica. Para el caso especial de que a y b tengan normas iguales (lo que significa que sus cuadrados de puntos son iguales), esto demuestra analíticamente el hecho de que dos diagonales de un rombo son perpendiculares . Esto se deduce de que el lado izquierdo de la ecuación es igual a cero, lo que requiere que el lado derecho también sea igual a cero, y por lo tanto la suma vectorial de a + b (la diagonal larga del rombo) punteada con la diferencia vectorial a - b (la diagonal corta del rombo) debe ser igual a cero, lo que indica que las diagonales son perpendiculares.

Diferencia de dos potencias n-ésimas

Prueba visual de las diferencias entre dos cuadrados y dos cubos

Si a y b son dos elementos de un anillo conmutativo R , entonces

$${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b){\biggl (}\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}{\biggr )}.}$$

Historia

Históricamente, los babilonios utilizaban la diferencia de dos cuadrados para calcular multiplicaciones. ^[4]

Por ejemplo:

93 × 87 = 90² − 3² = 8091

64 × 56 = 60² − 4² = 3584

Véase también

• Suma de dos cubos
• Número binomial
• La identidad de Sophie Germain
• Factorización aurifeuilleana
• Congruum , la diferencia compartida de tres cuadrados en progresión aritmética
• Conjugado (álgebra)
• Factorización

Notas

1. Números complejos o imaginarios TheMathPage.com, consultado el 22 de diciembre de 2011
2. Multiplicación de radicales TheMathPage.com, consultado el 22 de diciembre de 2011
3. RP Olenick et al., El universo mecánico: Introducción a la mecánica y al calor
4. "Matemáticas babilónicas".

Referencias

• Stanton, James Stuart (2005). Enciclopedia de matemáticas. Infobase Publishing. pág. 131. ISBN 0-8160-5124-0.
• Tussy, Alan S.; Gustafson, Roy David (2011). Álgebra elemental (quinta edición). Cengage Learning. págs. 467–469. ISBN 978-1-111-56766-8.

Enlaces externos

• Diferencia de dos cuadrados en mathpages.com