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Poder de tres

81 (3 4 ) combinaciones de pesos de 1 (3 0 ), 3 (3 1 ), 9 (3 2 ) y 27 (3 3 ) kg – cada peso en el plato izquierdo, el plato derecho o sin usar – permiten equilibrar pesos enteros de −40 a +40 kg; la figura muestra los valores positivos

En matemáticas , una potencia de tres es un número de la forma 3 n donde n es un entero , es decir, el resultado de la exponenciación con el número tres como base y el entero  n como exponente .

En base 10, cada potencia de 3 tiene un número par como su segundo último dígito.

Aplicaciones

Las potencias de tres dan los valores posicionales en el sistema de numeración ternario . [1]

Teoría de grafos

En la teoría de grafos , las potencias de tres aparecen en el límite de Moon-Moser 3 n /3 sobre el número de conjuntos independientes máximos de un grafo de n vértices , [2] y en el análisis temporal del algoritmo de Bron-Kerbosch para encontrar estos conjuntos. [3] Varios grafos fuertemente regulares importantes también tienen un número de vértices que es una potencia de tres, incluido el grafo de Brouwer-Haemers (81 vértices), el grafo de Berlekamp-van Lint-Seidel (243 vértices) y el grafo de Games (729 vértices). [4]

Combinatoria enumerativa

En la combinatoria enumerativa , hay 3 n subconjuntos con signo de un conjunto de n elementos. En la combinatoria poliédrica , el hipercubo y todos los demás politopos de Hanner tienen un número de caras (sin contar el conjunto vacío como cara) que es una potencia de tres. Por ejemplo, un 2-cubo , o cuadrado , tiene 4 vértices, 4 aristas y 1 cara, y 4 + 4 + 1 = 3 2 . La conjetura 3 d de Kalai establece que este es el número mínimo posible de caras para un politopo con simetría central . [5]

Potencia inversa de tres longitudes

En las matemáticas recreativas y la geometría fractal , las longitudes de potencias de tres inversas aparecen en las construcciones que conducen al copo de nieve de Koch , [6] el conjunto de Cantor , [7] la alfombra de Sierpinski y la esponja de Menger , en el número de elementos en los pasos de construcción de un triángulo de Sierpinski y en muchas fórmulas relacionadas con estos conjuntos. Hay 3 n estados posibles en un rompecabezas de la Torre de Hanoi de n discos o vértices en su grafo de Hanoi asociado . [8] En un rompecabezas de balanza con w pasos de pesaje, hay 3 w resultados posibles (secuencias donde la balanza se inclina hacia la izquierda o hacia la derecha o permanece equilibrada); las potencias de tres a menudo surgen en las soluciones de estos rompecabezas, y se ha sugerido que (por razones similares) las potencias de tres formarían un sistema ideal de monedas . [9]

Números de pacientes perfectos

En teoría de números , todas las potencias de tres son números totientes perfectos . [10] Las sumas de potencias de tres distintas forman una secuencia de Stanley , la secuencia lexicográficamente más pequeña que no contiene una progresión aritmética de tres elementos. [11] Una conjetura de Paul Erdős afirma que esta secuencia no contiene potencias de dos distintas de 1, 4 y 256. [12]

El número de Graham

El número de Graham , un número enorme que surge de una prueba de la teoría de Ramsey , es (en la versión popularizada por Martin Gardner ) una potencia de tres. Sin embargo, la publicación real de la prueba por Ronald Graham utilizó un número diferente que es una potencia de dos y mucho más pequeño. [13]

Véase también

Referencias

  1. ^ Ranucci, Ernest R. (diciembre de 1968), "Ternario tentador", The Arithmetic Teacher , 15 (8): 718–722, doi :10.5951/AT.15.8.0718, JSTOR  41185884
  2. ^ Moon, JW; Moser, L. (1965), "Sobre camarillas en grafos", Israel Journal of Mathematics , 3 : 23–28, doi :10.1007/BF02760024, MR  0182577, S2CID  9855414
  3. ^ Tomita, Etsuji; Tanaka, Akira; Takahashi, Haruhisa (2006), "La complejidad temporal del peor caso para generar todas las camarillas máximas y experimentos computacionales", Theoretical Computer Science , 363 (1): 28–42, doi :10.1016/j.tcs.2006.06.015
  4. ^ Para los grafos de Brouwer–Haemers y Games, véase Bondarenko, Andriy V.; Radchenko, Danylo V. (2013), "Sobre una familia de grafos fuertemente regulares con ", Journal of Combinatorial Theory , Serie B, 103 (4): 521–531, arXiv : 1201.0383 , doi : 10.1016/j.jctb.2013.05.005 , MR  3071380. Para los grafos de Berlekamp–van Lint–Seidel y Games, véase van Lint, JH ; Brouwer, AE (1984), "Strongly regular graphs and partial geometries" (PDF) , en Jackson, David M. ; Vanstone, Scott A. (eds.), Enumeration and Design: Papers from the conference on combinatorics held at the University of Waterloo, Waterloo, Ont., June 14–July 2, 1982 , Londres: Academic Press, pp. 85–122, MR  0782310
  5. ^ Kalai, Gil (1989), "El número de caras de politopos con simetría central", Graphs and Combinatorics , 5 (1): 389–391, doi :10.1007/BF01788696, MR  1554357, S2CID  8917264
  6. ^ von Koch, Helge (1904), "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une building géométrique élémentaire", Arkiv för Matematik (en francés), 1 : 681–704, JFM  35.0387.02
  7. ^ Véase, por ejemplo, Mihăilă, Ioana (2004), "Los racionales del conjunto de Cantor", The College Mathematics Journal , 35 (4): 251–255, doi :10.2307/4146907, JSTOR  4146907, MR  2076132
  8. ^ Hinz, Andreas M.; Klavžar, Sandi ; Milutinović, Uroš; Petr, Ciril (2013), "2.3 Gráficos de Hanoi", La torre de Hanoi: mitos y matemáticas , Basilea: Birkhäuser, págs. 120-134, doi :10.1007/978-3-0348-0237-6, ISBN 978-3-0348-0236-9, Sr.  3026271
  9. ^ Telser, LG (octubre de 1995), "Denominaciones óptimas para monedas y billetes", Economics Letters , 49 (4): 425–427, doi :10.1016/0165-1765(95)00691-8
  10. ^ Iannucci, Douglas E.; Deng, Moujie; Cohen, Graeme L. (2003), "Sobre números enteros perfectos", Journal of Integer Sequences , 6 (4), Artículo 03.4.5, Bibcode :2003JIntS...6...45I, MR  2051959
  11. ^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A005836", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation
  12. ^ Gupta, Hansraj (1978), "Potencias de 2 y sumas de potencias distintas de 3", Univerzitet u Beogradu Publikacije Elektrotehničkog Fakulteta, Serija Matematika i Fizika (602–633): 151–158 (1979), SEÑOR  0580438
  13. ^ Gardner, Martin (noviembre de 1977), "En el que la unión de conjuntos de puntos conduce a caminos diversos (y divergentes)", Scientific American , 237 (5): 18–28, Bibcode :1977SciAm.237e..18G, doi :10.1038/scientificamerican1177-18