Espacio universal de Urysohn

El espacio universal de Urysohn es un espacio métrico determinado que contiene todos los espacios métricos separables de una manera particularmente elegante. Este concepto matemático se debe a Pavel Urysohn .

Definición

Un espacio métrico ( U , d ) se llama universal de Urysohn ^[1] si es separable y completo y tiene la siguiente propiedad:

dado cualquier espacio métrico finito X , cualquier punto x en X , y cualquier incrustación isométrica f  : X \{ x } → U , existe una incrustación isométrica F  : X → U que extiende f , es decir, tal que F ( y ) = f ( y ) para todo y en X \{ x }.

Propiedades

Si U es universal de Urysohn y X es cualquier espacio métrico separable, entonces existe una incrustación isométrica f : X → U . (Otros espacios comparten esta propiedad: por ejemplo, el espacio l ^∞ de todas las sucesiones reales acotadas con la norma suprema admite incrustaciones isométricas de todos los espacios métricos separables (" incrustación de Fréchet "), al igual que el espacio C[0,1] de todas las funciones continuas [0,1]→ R , nuevamente con la norma suprema, un resultado debido a Stefan Banach .)

Además, toda isometría entre subconjuntos finitos de U se extiende a una isometría de U sobre sí mismo. Este tipo de "homogeneidad" caracteriza en realidad a los espacios universales de Urysohn: un espacio métrico completo separable que contiene una imagen isométrica de cada espacio métrico separable es universal de Urysohn si y solo si es homogéneo en este sentido.

Existencia y singularidad

Urysohn demostró que existe un espacio universal de Urysohn, y que dos espacios universales de Urysohn cualesquiera son isométricos . Esto se puede ver de la siguiente manera. Tomemos , dos espacios universales de Urysohn. Estos son separables, por lo que fijamos en los respectivos espacios subconjuntos densos contables . Estos deben ser propiamente infinitos, por lo que mediante un argumento de ida y vuelta, se pueden construir paso a paso isometrías parciales cuyo dominio (o rango) contenga (o rango ). La unión de estas aplicaciones define una isometría parcial cuyo dominio o rango son densos en los respectivos espacios. Y dichas aplicaciones se extienden (únicamente) a isometrías, ya que se requiere que un espacio universal de Urysohn sea completo. ${\displaystyle (X,d),(X',d')}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n},(x'_{n})_{n}}$ ${\displaystyle \phi _{n}:X\to X'}$ ${\displaystyle \{x_{k}:k<n\}}$ ${\displaystyle \{x'_{k}:k<n\}}$ ${\displaystyle \phi :X\to X'}$

Referencias

1. Juha Heinonen (enero de 2003), Incrustaciones geométricas de espacios métricos , consultado el 6 de enero de 2009