En geometría , un antiparalelogramo es un tipo de cuadrilátero que se cruza consigo mismo . Al igual que un paralelogramo , un antiparalelogramo tiene dos pares opuestos de lados de igual longitud, pero estos pares de lados no son en general paralelos . En cambio, cada par de lados es antiparalelo con respecto al otro, y los lados del par más largo se cruzan entre sí como en un mecanismo de tijera . Mientras que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales y están orientados de la misma manera, los de un antiparalelogramo son iguales pero orientados de manera opuesta. Los antiparalelogramos también se denominan contraparalelogramos [1] o paralelogramos cruzados . [2]
Los antiparalelogramos se presentan como figuras de vértice de ciertos poliedros uniformes no convexos . En la teoría de los eslabones de cuatro barras , los eslabones con forma de antiparalelogramo también se denominan eslabones de mariposa o eslabones de pajarita , y se utilizan en el diseño de engranajes no circulares . En mecánica celeste , se presentan en ciertas familias de soluciones al problema de los 4 cuerpos .
Todo antiparalelogramo tiene un eje de simetría , con los cuatro vértices en un círculo. Se puede formar a partir de un trapezoide isósceles sumando las dos diagonales y quitando dos lados paralelos. El área con signo de cada antiparalelogramo es cero.
Un antiparalelogramo es un caso especial de un cuadrilátero cruzado , con dos pares de aristas de igual longitud. [3] En general, los cuadriláteros cruzados pueden tener aristas desiguales. [3] Una forma especial del antiparalelogramo es un rectángulo cruzado , en el que dos aristas opuestas son paralelas. [4] Cada antiparalelogramo es un cuadrilátero cíclico , lo que significa que sus cuatro vértices se encuentran todos en un solo círculo . [3] Además, los cuatro lados extendidos de cualquier antiparalelogramo son las bitangentes de dos círculos, lo que hace que los antiparalelogramos estén estrechamente relacionados con los cuadriláteros tangenciales , los cuadriláteros ex-tangenciales y las cometas (que son tanto tangenciales como ex-tangenciales). [5]
Todo antiparalelogramo tiene un eje de simetría que pasa por su punto de corte. Debido a esta simetría, tiene dos pares de ángulos iguales y dos pares de lados iguales. [2] Los cuatro puntos medios de sus lados se encuentran en una línea perpendicular al eje de simetría; es decir, para este tipo de cuadrilátero, el paralelogramo de Varignon es un cuadrilátero degenerado de área cero, que consta de cuatro puntos colineales. [6] [7] La envoltura convexa de un antiparalelogramo es un trapezoide isósceles , y todo antiparalelogramo puede formarse a partir de un trapezoide isósceles (o sus casos especiales, los rectángulos y cuadrados) reemplazando dos lados paralelos por las dos diagonales del trapezoide. [4]
Como un antiparalelogramo forma dos regiones triangulares congruentes del plano, pero da vueltas alrededor de esas dos regiones en direcciones opuestas, su área con signo es la diferencia entre las áreas de las regiones y, por lo tanto, es cero. [7] El área sin signo del polígono (el área total que rodea) es la suma, en lugar de la diferencia, de estas áreas. Para un antiparalelogramo con dos diagonales paralelas de longitudes y , separadas por una altura , esta suma es . [4] De la aplicación de la desigualdad del triángulo a estas dos regiones triangulares se deduce que el par de aristas que se cruzan en un antiparalelogramo siempre debe ser más largo que las dos aristas que no se cruzan. [8]
Varios poliedros uniformes no convexos , incluidos el tetrahemihexaedro , el cubohemioctaedro , el octahemioctaedro , el pequeño rombihexaedro , el pequeño icosihemidodecaedro y el pequeño dodecahemidodecaedro , tienen antiparalelogramos como figuras de vértice , las secciones transversales formadas al cortar el poliedro por un plano que pasa cerca de un vértice, perpendicularmente al eje entre el vértice y el centro. [9]
Una forma de poliedro no uniforme pero flexible , el octaedro de Bricard , puede construirse como una bipirámide sobre un antiparalelogramo. [10]
El antiparalelogramo se ha utilizado como una forma de articulación de cuatro barras , en la que cuatro vigas rígidas de longitud fija (los cuatro lados del antiparalelogramo) pueden rotar una con respecto a la otra en las juntas colocadas en los cuatro vértices del antiparalelogramo. En este contexto, también se denomina articulación de mariposa o de pajarita . Como articulación, tiene un punto de inestabilidad en el que se puede convertir en un paralelogramo y viceversa, pero cualquiera de estas articulaciones se puede arriostrar para evitar esta inestabilidad. [12] [11]
Tanto para los eslabones de paralelogramo como de antiparalelogramo, si uno de los bordes largos (cruzados) del eslabón está fijo como base, las articulaciones libres se mueven en círculos iguales, pero en un paralelogramo se mueven en la misma dirección con velocidades iguales mientras que en el antiparalelogramo se mueven en direcciones opuestas con velocidades desiguales. [13] Como descubrió James Watt , si un antiparalelogramo tiene su lado largo fijo de esta manera, el punto medio del borde largo no fijo trazará una lemniscata o curva en forma de ocho. Para el antiparalelogramo formado por los lados y diagonales de un cuadrado, es la lemniscata de Bernoulli . [14] [15]
El antiparalelogramo con su lado largo fijo es una variante del mecanismo de Watt . [14] Un antiparalelogramo es una característica importante en el diseño del inversor de Hart , un mecanismo que (como el mecanismo de Peaucellier-Lipkin ) puede convertir el movimiento rotatorio en movimiento en línea recta. [16] Un mecanismo con forma de antiparalelogramo también se puede utilizar para conectar los dos ejes de un vehículo de cuatro ruedas, disminuyendo el radio de giro del vehículo en relación con una suspensión que solo permite que gire un eje. [2] Un par de antiparalelogramos anidados se utilizó en un mecanismo definido por Alfred Kempe como parte del teorema de universalidad de Kempe , que establece que cualquier curva algebraica puede trazarse mediante las articulaciones de un mecanismo adecuadamente definido. Kempe llamó al mecanismo de antiparalelogramo anidado un "multiplicador", ya que podía usarse para multiplicar un ángulo por un número entero. [1] Si se utiliza en la otra dirección, para dividir ángulos, se puede utilizar para la trisección de ángulos (aunque no como una construcción con regla y compás ). [17] Las construcciones originales de Kempe que utilizaban este vínculo pasaban por alto la inestabilidad del paralelogramo-antiparalelogramo, pero al reforzar los vínculos se corrige su prueba del teorema de universalidad. [12]
Supongamos que uno de los bordes no cruzados de un mecanismo antiparalelogramo está fijo en su lugar y el mecanismo restante se mueve libremente. A medida que el mecanismo se mueve, cada antiparalelogramo formado puede dividirse en dos triángulos congruentes que se encuentran en el punto de cruce. En el triángulo basado en el borde fijo, las longitudes de los dos lados móviles suman la longitud constante de uno de los bordes cruzados del antiparalelogramo y, por lo tanto, el punto de cruce móvil traza una elipse con los puntos fijos como sus focos. Simétricamente, el segundo borde (móvil) no cruzado del antiparalelogramo tiene como puntos finales los focos de una segunda elipse, formada a partir de la primera por reflexión a través de una línea tangente a través del punto de cruce. [2] [18] Debido a que la segunda elipse gira alrededor de la primera, esta construcción de elipses a partir del movimiento de un antiparalelogramo puede usarse en el diseño de engranajes elípticos que convierten la rotación uniforme en rotación no uniforme o viceversa. [19]
En el problema de los n cuerpos , el estudio de los movimientos de masas puntuales bajo la ley de gravitación universal de Newton , las configuraciones centrales , soluciones al problema de los n cuerpos en las que todos los cuerpos giran alrededor de algún punto central como si estuvieran conectados rígidamente entre sí, desempeñan un papel importante . Por ejemplo, para tres cuerpos, hay cinco soluciones de este tipo, dadas por los cinco puntos lagrangianos . Para cuatro cuerpos, con dos pares de cuerpos que tienen masas iguales (pero con la relación entre las masas de los dos pares que varía continuamente), la evidencia numérica indica que existe una familia continua de configuraciones centrales, relacionadas entre sí por el movimiento de un enlace antiparalelogramo. [20]
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