Prueba de razón

Criterio para la convergencia de una serie.

En matemáticas , la prueba de razón es una prueba (o "criterio") para la convergencia de una serie .

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}$

donde cada término es un número real o complejo y n es distinto _de cero cuando n es grande. La prueba fue publicada por primera vez por Jean le Rond d'Alembert y a veces se la conoce como prueba de proporción de d'Alembert o como prueba de proporción de Cauchy . ^[1]

La prueba

Diagrama de decisión para la prueba de razón.

La forma habitual de la prueba hace uso del límite.

La prueba de razón establece que:

• si L < 1 entonces la serie converge absolutamente ;
• si L > 1 entonces la serie diverge ;
• si L = 1 o el límite no existe, entonces la prueba no es concluyente, porque existen series convergentes y divergentes que satisfacen este caso.

Es posible hacer que la prueba de relación sea aplicable a ciertos casos en los que el límite L no existe, si se utilizan el límite superior y el límite inferior . Los criterios de la prueba también se pueden refinar de modo que la prueba sea a veces concluyente incluso cuando L = 1. Más específicamente, sea

${\displaystyle R=\lim \sup \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

${\displaystyle r=\lim \inf \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$.

Entonces la prueba de razón establece que: ^{[2] [3]}

• si R < 1, la serie converge absolutamente;
• si r > 1, la serie diverge; o de manera equivalente si para todo n grande (independientemente del valor de r ), la serie también diverge; esto se debe a que es distinto de cero y creciente y, por lo tanto, _n no se aproxima a cero; ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}$ ${\displaystyle |a_{n}|}$
• por lo demás, la prueba no es concluyente.

Si el límite L en ( 1 ) existe, debemos tener L = R = r . Entonces, la prueba de proporción original es una versión más débil de la refinada.

Ejemplos

Convergente porque L < 1

Considere la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}$

Aplicando la prueba de la razón, se calcula el límite

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|={\frac {1}{e}}<1.}$

Como este límite es menor que 1, la serie converge.

Divergente porque L > 1

Considere la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.}$

Poniendo esto en la prueba de proporción:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=e>1.}$

Así la serie diverge.

No concluyente porque L = 1

Considere las tres series.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1,}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.}$

La primera serie ( 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ) diverge, la segunda (la central del problema de Basilea ) converge absolutamente y la tercera (la serie armónica alterna ) converge condicionalmente. Sin embargo, los ratios de magnitud término por término de las tres series son respectivamente    y    . Entonces, en los tres casos, el límite es igual a 1. Esto ilustra que cuando L = 1, la serie puede converger o divergir y, por lo tanto, la prueba de razón original no es concluyente. En tales casos, se requieren pruebas más refinadas para determinar la convergencia o divergencia. ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ${\displaystyle 1,}$    ${\displaystyle {\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

Prueba

En este ejemplo, la proporción de términos adyacentes en la secuencia azul converge a L=1/2. Elegimos r  = (L+1)/2 = 3/4. Entonces la secuencia azul está dominada por la secuencia roja ^rk para todo n ≥ 2. La secuencia roja converge, por lo que la secuencia azul también lo hace.

A continuación se muestra una prueba de la validez de la prueba de proporción original.

Suponer que . Entonces podemos demostrar que la serie converge absolutamente mostrando que sus términos eventualmente serán menores que los de una determinada serie geométrica convergente . Para hacer esto, considere un número real r tal que . Esto implica que para n suficientemente grande ; digamos, para todo n mayor que N . Por lo tanto, para cada n > N e i > 0, y así ${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}$ ${\displaystyle L<r<1}$ ${\displaystyle |a_{n+1}|<r|a_{n}|}$ ${\displaystyle |a_{n+i}|<r^{i}|a_{n}|}$

${\displaystyle \sum _{i=N+1}^{\infty }|a_{i}|=\sum _{i=1}^{\infty }\left|a_{N+i}\right|<\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}|a_{N}|=|a_{N}|\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}=|a_{N}|{\frac {r}{1-r}}<\infty .}$

Es decir, la serie converge absolutamente.

Por otro lado, si L > 1, entonces para n lo suficientemente grande , de modo que el límite de los sumandos sea distinto de cero. Por tanto, la serie diverge. ${\displaystyle |a_{n+1}|>|a_{n}|}$

Extensiones para L = 1

Como se vio en el ejemplo anterior, la prueba de razón puede no ser concluyente cuando el límite de la razón es 1. Sin embargo, las extensiones a la prueba de razón a veces permiten abordar este caso. ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]}

En todas las pruebas siguientes se supone que Σ a _n es una suma con a _n positivo . Estas pruebas también pueden aplicarse a cualquier serie con un número finito de términos negativos. Cualquier serie de este tipo puede escribirse como:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}}$

donde a _N es el término negativo indexado más alto. La primera expresión de la derecha es una suma parcial que será finita, por lo que la convergencia de toda la serie estará determinada por las propiedades de convergencia de la segunda expresión de la derecha, que puede volver a indexarse ​​para formar una serie de todos términos positivos que comienzan en n =1.

Cada prueba define un parámetro de prueba (ρ _n ) que especifica el comportamiento de ese parámetro necesario para establecer convergencia o divergencia. Para cada prueba, existe una forma más débil de la prueba que, en cambio, impondrá restricciones a lim _n->∞ ρ _n .

Todas las pruebas tienen regiones en las que no describen las propiedades de convergencia de Σa _n . De hecho, ninguna prueba de convergencia puede describir completamente las propiedades de convergencia de la serie. ^{[4] [10]} Esto se debe a que si Σa _n es convergente, se puede encontrar una segunda serie convergente Σb _n que converge más lentamente: es decir, tiene la propiedad de que lim _n->∞ (b _n /a _n ) = ∞ . Además, si Σa _n es divergente, se puede encontrar una segunda serie divergente Σb _n que diverge más lentamente: es decir, tiene la propiedad de que lim _n->∞ (b _n /a _n ) = 0. Las pruebas de convergencia utilizan esencialmente la comparación prueba en alguna familia particular de an _y falla en secuencias que convergen o divergen más lentamente.

Jerarquía de Morgan

Augustus De Morgan propuso una jerarquía de pruebas de tipo ratio ^{[4] [9]}

Los parámetros de prueba de razón ( ) a continuación generalmente involucran términos de la forma . Este término se puede multiplicar por para obtener . Este término puede sustituir al anterior en la definición de los parámetros de prueba y las conclusiones extraídas seguirán siendo las mismas. En consecuencia, no se hará distinción entre las referencias que utilizan una u otra forma del parámetro de prueba. ${\displaystyle \rho _{n}}$ ${\displaystyle D_{n}a_{n}/a_{n+1}-D_{n+1}}$ ${\displaystyle a_{n+1}/a_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}-D_{n+1}a_{n+1}/a_{n}}$

1. Prueba del ratio de d'Alembert

La primera prueba en la jerarquía de De Morgan es la prueba de razón como se describió anteriormente.

2. Prueba de Raabe

Esta ampliación se debe a Joseph Ludwig Raabe . Definir:

${\displaystyle \rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}$

(y algunos términos adicionales, ver Ali, Blackburn, Feld, Duris (ninguno), Duris2)

La serie: ^{[7] [10] [9]}

• Convergen cuando existe un c> 1 tal que para todo n>N . ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$
• Divergencia cuando para todos n>N . ${\displaystyle \rho _{n}\leq 1}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para la versión límite, ^[12] la serie:

• Convergir si (esto incluye el caso ρ = ∞) ${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• Divergencia si . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• Si ρ = ​​1, la prueba no es concluyente.

Cuando el límite anterior no existe, podrá ser posible utilizar límites superiores e inferiores. ^[4] La serie:

• converger si ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• divergir si ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }\rho _{n}<1}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Prueba de la prueba de Raabe

Al definir , no necesitamos asumir que el límite existe; si , entonces diverge, mientras que si la suma converge. ${\displaystyle \rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}$ ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$

La prueba procede esencialmente por comparación con . Supongamos primero que . Por supuesto, si entonces es grande , la suma diverge; supongamos entonces que . Existe tal eso para todos , es decir eso . Así , lo que implica que para ; ya que esto muestra que diverge. ${\displaystyle \sum 1/n^{R}}$ ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$ ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<0}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq \limsup \rho _{n}<1}$ ${\displaystyle R<1}$ ${\displaystyle \rho _{n}\leq R}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle a_{n}/a_{n+1}\leq \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\leq e^{R/n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}e^{-R/n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{N}e^{-R(1/N+\dots +1/n)}\geq ca_{N}e^{-R\log(n)}=ca_{N}/n^{R}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle R<1}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

La prueba de la otra mitad es enteramente análoga: la mayoría de las desigualdades simplemente se invierten. Necesitamos una desigualdad preliminar para usar en lugar de la simple que se usó anteriormente: Fix y . Tenga en cuenta que . Entonces ; por eso . ${\displaystyle 1+t<e^{t}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \log \left(1+{\frac {R}{n}}\right)={\frac {R}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \log \left(\left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\right)=R\left({\frac {1}{N}}+\dots +{\frac {1}{n}}\right)+O(1)=R\log(n)+O(1)}$ ${\displaystyle \left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\geq cn^{R}}$

Supongamos ahora que . Argumentando como en el primer párrafo, utilizando la desigualdad establecida en el párrafo anterior, vemos que existe tal que para ; ya que esto muestra que converge. ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$ ${\displaystyle R>1}$ ${\displaystyle a_{n+1}\leq ca_{N}n^{-R}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle R>1}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

3. Prueba de Bertrand

Esta ampliación se debe a Joseph Bertrand y Augustus De Morgan .

Definiendo:

${\displaystyle \rho _{n}\equiv n\ln n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln n}$

La prueba de Bertrand ^{[4] [10]} afirma que la serie:

• Convergen cuando existe un c>1 tal que para todos n>N . ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$
• Divergencia cuando para todos n>N . ${\displaystyle \rho _{n}\leq 1}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para la versión límite, la serie:

• Convergir si (esto incluye el caso ρ = ∞) ${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• Divergencia si . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• Si ρ = ​​1, la prueba no es concluyente.

Cuando el límite anterior no existe, podrá ser posible utilizar límites superiores e inferiores. ^{[4] [9] [13]} La serie:

• converger si ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$
• divergir si ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

4. Prueba de Bertrand ampliada

Esta extensión probablemente apareció por primera vez por Margaret Martin en 1941. ^[14] Vyacheslav Abramov proporcionó una breve prueba basada en la prueba de Kummer y sin supuestos técnicos (como la existencia de límites, por ejemplo) en 2019. ^[15]

Sea un número entero y denotemos el iterado del logaritmo natural , es decir, y para cualquiera ,. ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$ ${\displaystyle 2\leq k\leq K}$ ${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$

Supongamos que la razón , cuando es grande, se puede presentar en la forma ${\displaystyle a_{n}/a_{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}},\quad K\geq 1.}$

(Se supone que la suma vacía es 0. Con , la prueba se reduce a la prueba de Bertrand). ${\displaystyle K=1}$

El valor se puede presentar explícitamente en la forma ${\displaystyle \rho _{n}}$

${\displaystyle \rho _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n).}$

La prueba de Bertrand ampliada afirma que la serie

• Convergir cuando exista algo así para todos . ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$ ${\displaystyle n>N}$
• Divergencia cuando para todos . ${\displaystyle \rho _{n}\leq 1}$ ${\displaystyle n>N}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para la versión límite, la serie

• Convergir si (esto incluye el caso ) ${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$ ${\displaystyle \rho =\infty }$
• Divergencia si . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• Si , la prueba no es concluyente. ${\displaystyle \rho =1}$

Cuando el límite anterior no existe, podrá ser posible utilizar límites superiores e inferiores. Las series

• converger si ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$
• divergir si ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para aplicaciones de la prueba de Bertrand extendida, consulte Proceso de nacimiento-muerte .

5. Prueba de Gauss

Esta ampliación se debe a Carl Friedrich Gauss .

Suponiendo a _n > 0 y r > 1 , si se puede encontrar una secuencia acotada C _n tal que para todo n : ^{[5] [7] [9] [10]}

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\rho }{n}}+{\frac {C_{n}}{n^{r}}}}$

entonces la serie:

• converger si ${\displaystyle \rho >1}$
• divergir si ${\displaystyle \rho \leq 1}$

6. Prueba de Kummer

Esta ampliación se debe a Ernst Kummer .

Sea ζ _n una secuencia auxiliar de constantes positivas. Definir

${\displaystyle \rho _{n}\equiv \left(\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\right)}$

La prueba de Kummer establece que la serie: ^{[5] [6] [10] [11]}

• Converja si existe tal que para todo n>N. (Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que decir ) ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$ ${\displaystyle \rho _{n}>0}$
• Divergencia si para todos n>N y diverge. ${\displaystyle \rho _{n}\leq 0}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}}$

Para la versión límite, la serie: ^{[16] [7] [9]}

• Convergir si (esto incluye el caso ρ = ∞) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}>0}$
• Divergencia si y diverge. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<0}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Cuando el límite anterior no existe, podrá ser posible utilizar límites superiores e inferiores. ^[4] La serie

• converger si ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>0}$
• Divergencia si y diverge. ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<0}$ ${\displaystyle \sum 1/\zeta _{n}}$

Casos especiales

Todas las pruebas de la jerarquía de De Morgan, excepto la prueba de Gauss, pueden verse fácilmente como casos especiales de la prueba de Kummer: ^[4]

• Para la prueba de razón, sea ζ _n =1. Entonces:

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1/\rho _{\text{Ratio}}-1}$

• Para la prueba de Raabe, sea ζ _n =n. Entonces:

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\right)=\rho _{\text{Raabe}}-1}$

• Para la prueba de Bertrand, sea ζ _n =n ln(n). Entonces:

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)-(n+1)\ln(n+1)}$

Usando y aproximando para n grande , que es insignificante en comparación con los otros términos, se puede escribir: ${\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+\ln(1+1/n)}$ ${\displaystyle \ln(1+1/n)\rightarrow 1/n}$ ${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}}$

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln(n)-1=\rho _{\text{Bertrand}}-1}$

• Para la prueba de Bertrand extendida, De la expansión en serie de Taylor para grandes llegamos a la aproximación ${\displaystyle \zeta _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n).}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \ln _{(k)}(n+1)=\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),}$

donde se supone que el producto vacío es 1. Entonces,

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\left[\prod _{k=1}^{K}\left(\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}\right)\right]+o(1)=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n)-1+o(1).}$

Por eso,

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\rho _{\text{Extended Bertrand}}-1.}$

Tenga en cuenta que para estas cuatro pruebas, cuanto más arriba estén en la jerarquía de De Morgan, más lentamente diverge la serie. ${\displaystyle 1/\zeta _{n}}$

Prueba de la prueba de Kummer

Si entonces fija un número positivo . Existe un número natural tal que por cada ${\displaystyle \rho _{n}>0}$ ${\displaystyle 0<\delta <\rho _{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \delta \leq \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}.}$

Ya que , por cada ${\displaystyle a_{n+1}>0}$ ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle 0\leq \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}.}$

En particular para todos , lo que significa que a partir del índice la secuencia es monótonamente decreciente y positiva, lo que en particular implica que está limitada por debajo de 0. Por lo tanto, el límite ${\displaystyle \zeta _{n+1}a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \zeta _{n}a_{n}>0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\zeta _{n}a_{n}=L}$existe.

Esto implica que la serie telescópica positiva

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}\right)}$es convergente,

y ya que para todos ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}}$

mediante la prueba de comparación directa para series positivas, la serie es convergente. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\delta a_{n+1}}$

Por otro lado, si , entonces hay un N tal que es creciente para . En particular, existe un para cual para todos , y por eso diverge en comparación con . ${\displaystyle \rho <0}$ ${\displaystyle \zeta _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \zeta _{n}a_{n}>\epsilon }$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}=\sum _{n}{\frac {a_{n}\zeta _{n}}{\zeta _{n}}}}$ ${\displaystyle \sum _{n}{\frac {\epsilon }{\zeta _{n}}}}$

Modificación de Tong de la prueba de Kummer

Tong estableció una nueva versión de la prueba de Kummer. ^[6] Ver también ^{[8] [11] [17]} para más discusiones y nuevas pruebas. La modificación proporcionada del teorema de Kummer caracteriza a todas las series positivas, y la convergencia o divergencia puede formularse en forma de dos condiciones necesarias y suficientes, una para la convergencia y otra para la divergencia.

• La serie converge si y sólo si existe una secuencia positiva , , tal que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\geq c>0.}$

• La serie diverge si y sólo si existe una secuencia positiva , , tal que y ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\leq 0,}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .}$

La primera de estas afirmaciones se puede simplificar de la siguiente manera: ^[18]

• La serie converge si y sólo si existe una secuencia positiva , , tal que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=1.}$

La segunda afirmación se puede simplificar de manera similar:

• La serie diverge si y sólo si existe una secuencia positiva , , tal que y ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=0,}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .}$

Sin embargo, se vuelve inútil, ya que la condición en este caso se reduce a la reclamación original. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty }$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\infty .}$

Prueba de proporción de Frink

Otra prueba de razón que puede establecerse en el marco del teorema de Kummer fue presentada por Orrin Frink ^[19] en 1948.

Supongamos que es una secuencia en , ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

• Si , entonces la serie converge absolutamente. ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}<{\frac {1}{e}}}$ ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$
• Si existe tal cosa para todos , entonces diverge. ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}\geq {\frac {1}{e}}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|}$

Este resultado se reduce a una comparación con una serie de potencias y puede verse que está relacionado con la prueba de Raabe. ^[20] ${\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|}$ ${\displaystyle \sum _{n}n^{-p}}$

Segunda prueba de proporción de Ali

Una prueba de razón más refinada es la segunda prueba de razón: ^{[7] [9]} Para definir: ${\displaystyle a_{n}>0}$

Según la segunda prueba de proporción, la serie:

• converger si ${\displaystyle L<{\frac {1}{2}}}$
• divergir si ${\displaystyle L>{\frac {1}{2}}}$
• Si entonces la prueba no es concluyente. ${\displaystyle L={\frac {1}{2}}}$

Si los límites anteriores no existen, es posible utilizar los límites superior e inferior. Definir:

Entonces la serie:

• converger si ${\displaystyle L<{\frac {1}{2}}}$
• divergir si ${\displaystyle \ell >{\frac {1}{2}}}$
• Si entonces la prueba no es concluyente. ${\displaystyle \ell \leq {\frac {1}{2}}\leq L}$

Prueba de la relación m- ésima de Ali

Esta prueba es una extensión directa de la segunda prueba de razón. ^{[7] [9]} Para y positivo defina: ${\displaystyle 0\leq k\leq m-1,}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Según la prueba de proporción, la serie: ${\displaystyle m}$

• converger si ${\displaystyle L<{\frac {1}{m}}}$
• divergir si ${\displaystyle L>{\frac {1}{m}}}$
• Si entonces la prueba no es concluyente. ${\displaystyle L={\frac {1}{m}}}$

Si los límites anteriores no existen, es posible utilizar los límites superior e inferior. Para definir: ${\displaystyle 0\leq k\leq m-1}$

Entonces la serie:

• converger si ${\displaystyle L<{\frac {1}{m}}}$
• divergir si ${\displaystyle \ell >{\frac {1}{m}}}$
• Si , entonces la prueba no es concluyente. ${\displaystyle \ell \leq {\frac {1}{m}}\leq L}$

Prueba de relación φ de Ali--Deutsche Cohen

Esta prueba es una extensión de la prueba de la proporción enésima. ^[21] ${\displaystyle m}$

Supongamos que la secuencia es una secuencia decreciente positiva. ${\displaystyle a_{n}}$

Sea tal lo que existe. Denota y supone . ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}}$ ${\displaystyle \alpha =\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Supongamos también que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{\varphi (n)}}{a_{n}}}=L.}$

Entonces la serie:

• converger si ${\displaystyle L<\alpha }$
• divergir si ${\displaystyle L>\alpha }$
• Si , entonces la prueba no es concluyente. ${\displaystyle L=\alpha }$

Ver también

• prueba de raíz
• Radio de convergencia

Notas a pie de página

1. Weisstein, Eric W. "Prueba de relación". MundoMatemático .
2. Rudin 1976, §3.34
3. Apóstol 1974, §8.14
4. Bromwich, TJ I'A (1908). Introducción a la teoría de las series infinitas . Libros mercantiles.
5. Knopp, Konrad (1954). Teoría y Aplicación de Series Infinitas. Londres: Blackie & Son Ltd.
6. Tong, Jingcheng (mayo de 1994). "La prueba de Kummer ofrece caracterizaciones de la convergencia o divergencia de todas las series positivas". El Mensual Matemático Estadounidense . 101 (5): 450–452. doi :10.2307/2974907. JSTOR  2974907.
7. Ali, Sayel A. (2008). "La prueba de relación mth: nueva prueba de convergencia para series" (PDF) . El Mensual Matemático Estadounidense . 115 (6): 514–524. doi :10.1080/00029890.2008.11920558. S2CID  16336333 . Consultado el 21 de noviembre de 2018 .
8. Samelson, Hans (noviembre de 1995). "Más sobre la prueba de Kummer". El Mensual Matemático Estadounidense . 102 (9): 817–818. doi :10.2307/2974510. JSTOR  2974510.
9. Blackburn, Kyle (4 de mayo de 2012). "La prueba de convergencia de la relación mth y otras pruebas de convergencia no convencionales" (PDF) . Facultad de Artes y Ciencias de la Universidad de Washington . Consultado el 27 de noviembre de 2018 .
10. Ďuriš, František (2009). Series infinitas: Pruebas de convergencia (tesis de licenciatura). Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava . Consultado el 28 de noviembre de 2018 .
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Referencias

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