Proceso de nacimiento-muerte

Tipo especial de proceso de Markov en tiempo continuo.

El proceso de nacimiento-muerte (o proceso de nacimiento y muerte ) es un caso especial de proceso de Markov de tiempo continuo donde las transiciones de estado son de sólo dos tipos: "nacimientos", que aumentan la variable de estado en uno y "muertes", que disminuyen el estado en uno. Fue introducido por William Feller . ^[1] El nombre del modelo proviene de una aplicación común, el uso de dichos modelos para representar el tamaño actual de una población donde las transiciones son nacimientos y muertes literales. Los procesos de nacimiento-muerte tienen muchas aplicaciones en demografía , teoría de colas , ingeniería del desempeño , epidemiología , biología y otras áreas. Se pueden utilizar, por ejemplo, para estudiar la evolución de las bacterias , el número de personas con una enfermedad dentro de una población o el número de clientes que hacen cola en el supermercado.

Definición

Cuando ocurre un nacimiento, el proceso pasa del estado n a n  + 1. Cuando ocurre una muerte, el proceso pasa del estado n al estado  n  − 1. El proceso se especifica mediante tasas de natalidad positivas y tasas de mortalidad positivas . El número de personas en el proceso en ese momento se denota por . El proceso tiene la propiedad de Markov y describe cómo cambia a través del tiempo. Para pequeños , se supone que la función satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty }}$ ${\displaystyle \{\mu _{i}\}_{i=1\dots \infty }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle P_{i,j}(t)={\mathsf {P}}\{X(t+s)=j|X(s)=i\}}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle \triangle t>0}$ ${\displaystyle P_{i,j}(\triangle t)}$

${\displaystyle P_{i,i+1}(\triangle t)=\lambda _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 0,}$

${\displaystyle P_{i,i-1}(\triangle t)=\mu _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1,}$

${\displaystyle P_{i,i}(\triangle t)=1-(\lambda _{i}+\mu _{i})\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1.}$

Este proceso está representado por la siguiente figura con los estados del proceso (es decir, el número de individuos en la población) representados por los círculos y las transiciones entre estados indicadas por las flechas.

Recurrencia y fugacidad

Para la recurrencia y la transitoriedad en los procesos de Markov, consulte la Sección 5.3 de la cadena de Markov .

Condiciones de recurrencia y transitoriedad

Samuel Karlin y James McGregor establecieron las condiciones para la recurrencia y la fugacidad . ^[2]

Un proceso de nacimiento y muerte es recurrente si y sólo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty .}$

Un proceso de nacimiento y muerte es ergódico si y sólo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}<\infty .}$

Un proceso de nacimiento y muerte es nulo-recurrente si y sólo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}=\infty .}$

Al utilizar la prueba de Bertrand ampliada (consulte la Sección 4.1.4 de la Prueba de relación ), las condiciones de recurrencia, transitoriedad, ergodicidad y recurrencia nula se pueden derivar de una forma más explícita. ^[3]

Para números enteros , denotemos el iterado del logaritmo natural , es decir, y para cualquiera ,. ${\displaystyle K\geq 1,}$ ${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$ ${\displaystyle 2\leq k\leq K}$ ${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$

Entonces, las condiciones para la recurrencia y la transitoriedad de un proceso de nacimiento y muerte son las siguientes.

El proceso de nacimiento y muerte es transitorio si existe y tal que para todos ${\displaystyle c>1,}$ ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}+{\frac {c}{n\prod _{j=1}^{K}\ln _{(j)}(n)}},}$

donde se supone que la suma vacía es 0. ${\displaystyle K=1}$

El proceso de nacimiento y muerte es recurrente si existe y tal que para todos ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}.}$

^{En [4]} se pueden encontrar clases más amplias de procesos de nacimiento y muerte, para los cuales se pueden establecer las condiciones de recurrencia y transitoriedad.

Solicitud

Considere el paseo aleatorio unidimensional que se define de la siguiente manera. Sea , y donde toma valores , y la distribución de está definida por las siguientes condiciones: ${\displaystyle S_{t},\ t=0,1,\ldots ,}$ ${\displaystyle S_{0}=1}$ ${\displaystyle S_{t}=S_{t-1}+e_{t},\ t\geq 1,}$ ${\displaystyle e_{t}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}+1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}-1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=1|S_{t}=0\}=1,}$

donde se cumple la condición . ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle 0<\alpha _{n}<\min\{C,n/2\},C>0}$

El paseo aleatorio descrito aquí es un análogo en tiempo discreto del proceso de nacimiento y muerte (ver cadena de Markov ) con las tasas de natalidad.

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{n}}{n}},}$

y las tasas de mortalidad

${\displaystyle \mu _{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{n}}{n}}}$.

Entonces, la recurrencia o transitoriedad del paseo aleatorio se asocia con la recurrencia o transitoriedad del proceso de nacimiento y muerte. ^[3]

El paseo aleatorio es transitorio si existe , y tal que para todos ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle \alpha _{n}\geq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K-1}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}+c\prod _{j=1}^{K}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right),}$

donde se supone que la suma vacía de es cero. ${\displaystyle K=1}$

El paseo aleatorio es recurrente si existe y tal que para todos ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle \alpha _{n}\leq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right).}$

Solución estacionaria

Si un proceso de nacimiento y muerte es ergódico, entonces existen probabilidades de estado estacionario donde es la probabilidad de que el proceso de nacimiento y muerte esté en estado en el momento El límite existe, independiente de los valores iniciales y se calcula mediante las relaciones : ${\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),}$ ${\displaystyle p_{k}(t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle p_{k}(0),}$

${\displaystyle \pi _{k}=\pi _{0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}},\quad k=1,2,\ldots ,}$

${\displaystyle \pi _{0}={\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}}}}.}$

Estas probabilidades límite se obtienen del sistema infinito de ecuaciones diferenciales para ${\displaystyle p_{k}(t):}$

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t)\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t),k=1,2,\ldots ,\,}$

y la condición inicial ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(t)=1.}$

A su vez, el último sistema de ecuaciones diferenciales se deriva del sistema de ecuaciones en diferencias que describe la dinámica del sistema en poco tiempo . Durante este pequeño tiempo sólo se consideran tres tipos de transiciones: una muerte, un nacimiento, o ningún nacimiento ni muerte. La probabilidad de las dos primeras de estas transiciones es del orden de . Otras transiciones durante este pequeño intervalo, como más de un nacimiento , más de una muerte , o al menos un nacimiento y al menos una muerte, tienen probabilidades de orden menor que y, por lo tanto, son insignificantes en las derivaciones. Si el sistema está en el estado k , entonces la probabilidad de nacimiento durante un intervalo es , la probabilidad de muerte es y la probabilidad de que no haya nacimiento ni muerte es . Para un proceso poblacional, el "nacimiento" es la transición hacia el aumento del tamaño de la población en 1, mientras que la "muerte" es la transición hacia la disminución del tamaño de la población en 1. ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \lambda _{k}\Delta t+o(\Delta t)}$ ${\displaystyle \mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}$ ${\displaystyle 1-\lambda _{k}\Delta t-\mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}$

Ejemplos de procesos de nacimiento-muerte.

Un proceso de nacimiento puro es un proceso de nacimiento-muerte donde para todos . ${\displaystyle \mu _{i}=0}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

Un proceso de muerte puro es un proceso de nacimiento-muerte donde para todos . ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

El modelo M/M/1 y el modelo M/M/c , ambos utilizados en la teoría de colas , son procesos de nacimiento-muerte que se utilizan para describir a los clientes en una cola infinita.

Uso en filodinámica

Los procesos de nacimiento-muerte se utilizan en filodinámica como distribución previa para filogenias , es decir, un árbol binario en el que los eventos de nacimiento corresponden a ramas del árbol y los eventos de muerte corresponden a nodos de hojas. ^[5] En particular, se utilizan en filodinámica viral ^[6] para comprender el proceso de transmisión y cómo el número de personas infectadas cambia con el tiempo. ^[7]

El uso de procesos generalizados de nacimiento y muerte en filodinámica ha estimulado investigaciones sobre el grado en que las tasas de nacimiento y muerte pueden identificarse a partir de datos. ^[8] Si bien el modelo no es identificable en general, el subconjunto de modelos que se utilizan típicamente son identificables. ^[9]

Uso en teoría de colas

En la teoría de colas, el proceso de nacimiento-muerte es el ejemplo más fundamental de un modelo de colas , la cola M/M/C/K/ /FIFO ${\displaystyle \infty }$ (en notación completa de Kendall ). Esta es una cola con llegadas de Poisson , extraídas de una población infinita, y servidores C con tiempos de servicio distribuidos exponencialmente con K lugares en la cola. A pesar del supuesto de una población infinita, este modelo es un buen modelo para varios sistemas de telecomunicaciones.

Cola M/M/1

M /M/1 es una cola de servidor único con un tamaño de búfer infinito. En un entorno no aleatorio, el proceso de nacimiento y muerte en los modelos de colas tiende a ser promedios a largo plazo, por lo que la tasa promedio de llegada se da como y el tiempo promedio de servicio como . El proceso de nacimiento y muerte es una cola M/M/1 cuando, ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 1/\mu }$

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ and }}\mu _{i}=\mu {\text{ for all }}i.\,}$

Las ecuaciones diferenciales para la probabilidad de que el sistema esté en el estado k en el momento t son

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}$

Proceso de nacimiento puro asociado con una cola M/M/1

El proceso de nacimiento puro es un caso particular del proceso de cola M/M/1. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales : ${\displaystyle \lambda _{k}\equiv \lambda }$

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)-\lambda p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}$

Bajo la condición inicial y , la solución del sistema es ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$ ${\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=1,2,\ldots }$

${\displaystyle p_{k}(t)={\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda t}.}$

Es decir, un proceso de Poisson (homogéneo) es un proceso de nacimiento puro.

Cola M/M/c

M/M/C es una cola multiservidor con servidores C y un búfer infinito. Se caracteriza por los siguientes parámetros de nacimiento y muerte:

${\displaystyle \mu _{i}=i\mu \quad {\text{ for }}i\leq C-1,\,}$

y

${\displaystyle \mu _{i}=C\mu \quad {\text{ for }}i\geq C,\,}$

con

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for all }}i.\,}$

El sistema de ecuaciones diferenciales en este caso tiene la forma:

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+(k+1)\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +k\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,C-1,\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+C\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +C\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k\geq C.\,}$

Proceso de muerte puro asociado con una cola M/M/C

El proceso de muerte pura es un caso particular del proceso de cola M/M/C. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales : ${\displaystyle \mu _{k}=k\mu }$

${\displaystyle p_{C}^{\prime }(t)=-C\mu p_{C}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=(k+1)\mu p_{k+1}(t)-k\mu p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=0,1,\ldots ,C-1.\,}$

Bajo la condición inicial obtenemos la solución. ${\displaystyle p_{C}(0)=1}$ ${\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=0,1,\ldots ,C-1,}$

${\displaystyle p_{k}(t)={\binom {C}{k}}\mathrm {e} ^{-k\mu t}\left(1-\mathrm {e} ^{-\mu t}\right)^{C-k},}$

que presenta la versión de la distribución binomial dependiendo del parámetro de tiempo (ver Proceso binomial ). ${\displaystyle t}$

Cola M/M/1/K

La cola M/M/1/K es una cola de servidor único con un búfer de tamaño K. Esta cola tiene aplicaciones en telecomunicaciones, así como en biología cuando una población tiene un límite de capacidad. En telecomunicaciones volvemos a utilizar los parámetros de la cola M/M/1 con,

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for }}0\leq i<K,\,}$

${\displaystyle \lambda _{i}=0\quad {\text{ for }}i\geq K,\,}$

${\displaystyle \mu _{i}=\mu \quad {\text{ for }}1\leq i\leq K.\,}$

En biología, particularmente en el crecimiento de bacterias, cuando la población es cero no hay capacidad de crecer, por lo que,

${\displaystyle \lambda _{0}=0.\,}$

Además si la capacidad representa un límite donde el individuo muere por sobrepoblación,

${\displaystyle \mu _{K}=0.\,}$

Las ecuaciones diferenciales para la probabilidad de que el sistema esté en el estado k en el momento t son

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{ for }}k\leq K-1,\,}$

${\displaystyle p_{K}^{\prime }(t)=\lambda p_{K-1}(t)-(\lambda +\mu )p_{K}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}(t)=0\quad {\text{ for }}k>K.\,}$

Equilibrio

Se dice que una cola está en equilibrio si existen probabilidades de estado estacionario . La condición para la existencia de estas probabilidades de estado estacionario en el caso de la cola M/M/1 es y en el caso de la cola M/M/C es . El parámetro generalmente se denomina parámetro de carga o parámetro de utilización . En ocasiones también se le llama intensidad del tráfico . ${\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),\ k=0,1,\ldots ,}$ ${\displaystyle \rho =\lambda /\mu <1}$ ${\displaystyle \rho =\lambda /(C\mu )<1}$ ${\displaystyle \rho }$

Usando la cola M/M/1 como ejemplo, las ecuaciones de estado estacionario son

${\displaystyle \lambda \pi _{0}=\mu \pi _{1},\,}$

${\displaystyle (\lambda +\mu )\pi _{k}=\lambda \pi _{k-1}+\mu \pi _{k+1}.\,}$

Esto se puede reducir a

${\displaystyle \lambda \pi _{k}=\mu \pi _{k+1}{\text{ for }}k\geq 0.\,}$

Entonces, teniendo en cuenta que obtenemos ${\displaystyle \pi _{0}+\pi _{1}+\ldots =1}$

${\displaystyle \pi _{k}=(1-\rho )\rho ^{k}.}$

Proceso bilateral de nacimiento y muerte

El proceso bilateral de nacimiento y muerte se define de manera similar al estándar con la única diferencia de que las tasas de natalidad y mortalidad se definen para los valores del parámetro índice . ^[10] Después de esto, un proceso bilateral de nacimiento y muerte es recurrente si y sólo si ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle i=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{-n}}{\mu _{-n}}}=\infty .}$

Las nociones de ergodicidad y nula recurrencia se definen de manera similar ampliando las nociones correspondientes del proceso estándar de nacimiento y muerte.

Ver también

• unidad erlang
• teoría de colas
• Modelos de cola
• Proceso de cuasi nacimiento-muerte
• proceso morán

Notas

1. Feller, William (1939). "Die Grundlagen der Volterraschen Theorie des Kampfes ums Dasein in wahrscheinlichkeitstheoretischer Behandlung". Acta Bioteórica . 5 (1): 11–40. doi :10.1007/BF01602932.
2. Karlín, Samuel ; McGregor, James (1957). «La clasificación de los procesos de nacimiento y muerte» (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 86 (2): 366–400. doi :10.1090/S0002-9947-1957-0094854-8.
3. Abramov, Vyacheslav M. (2020). "Ampliación de la prueba Bertrand-De Morgan y su aplicación". El Mensual Matemático Estadounidense . 127 (5): 444–448. arXiv : 1901.05843 . doi : 10.1080/00029890.2020.1722551. S2CID  199552015.
4. Abramov, Vyacheslav M. (2022). «Condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de series positivas» (PDF) . Revista de análisis clásico . 19 (2): 117–125. arXiv : 2104.01702 . doi :10.7153/jca-2022-19-09. S2CID  233025219.
5. Stadler T (diciembre de 2010). "Muestreo a lo largo del tiempo en árboles de nacimiento y muerte". Revista de Biología Teórica . 267 (3): 396–404. Código Bib : 2010JThBi.267..396S. doi :10.1016/j.jtbi.2010.09.010. PMID  20851708.
6. Kühnert D, Wu CH, Drummond AJ (diciembre de 2011). "Modelado filogenético y epidémico de enfermedades infecciosas en rápida evolución". Infección, genética y evolución . 11 (8): 1825–41. doi : 10.1016/j.meegid.2011.08.005 . PMC 7106223 . PMID  21906695. 
7. Zarebski AE, du Plessis L, Parag KV, Pybus OG (febrero de 2022). "Un modelo de nacimiento-muerte computacionalmente manejable que combina datos filogenéticos y epidemiológicos". PLOS Biología Computacional . 18 (2): e1009805. Código Bib : 2022PLSCB..18E9805Z. doi : 10.1371/journal.pcbi.1009805 . PMC 8903285 . PMID  35148311. 
8. Louca S, Pennell MW (abril de 2020). "Los árboles del tiempo existentes son consistentes con una miríada de historias de diversificación" (PDF) . Naturaleza . 508 (7804): 502–505. Código Bib : 2020Natur.580..502L. doi :10.1038/s41586-020-2176-1. PMID  32322065. S2CID  215775763.
9. Legried B, Terhorst (agosto de 2022). "Una clase de modelos filogenéticos de nacimiento-muerte identificables". PNAS . 119 (35): e2119513119. Código Bib : 2022PNAS..11919513L. doi :10.1073/pnas.2119513119. PMC 9436344 . PMID  35994663. 
10. Pruitt, William E. (1963). «Procesos bilaterales de nacimiento y muerte» (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 107 (3): 508–525. doi :10.1090/S0002-9947-1963-0150858-0.

Referencias

• Latouche, G.; Ramaswami, V. (1999). "Procesos de cuasi nacimiento y muerte". Introducción a los métodos analíticos matriciales en el modelado estocástico (1ª ed.). ASA SIAM. ISBN 0-89871-425-7.
• Nowak, MA (2006). Dinámica evolutiva: exploración de las ecuaciones de la vida . Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 0-674-02338-2.
• Virtamo, J. "Procesos de nacimiento-muerte" (PDF) . 38.3143 Teoría de colas . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .