En matemáticas , un operador de cierre en un conjunto S es una función del conjunto potencia de S hacia sí mismo que satisface las siguientes condiciones para todos los conjuntos
Los operadores de cierre están determinados por sus conjuntos cerrados , es decir, por los conjuntos de la forma cl( X ), ya que el cierre cl( X ) de un conjunto X es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a X. Estas familias de "conjuntos cerrados" a veces se denominan sistemas de cierre o " familias Moore ". [1] Un conjunto junto con un operador de cierre a veces se denomina espacio de cierre . Los operadores de cierre también se denominan " operadores de casco ", lo que evita confusiones con los "operadores de cierre" estudiados en topología .
EH Moore estudió los operadores de cierre en su Introducción a una forma de análisis general de 1910 , mientras que el concepto de cierre de un subconjunto se originó en el trabajo de Frigyes Riesz en relación con los espacios topológicos. [2] Aunque no se formalizó en ese momento, la idea de cierre se originó a finales del siglo XIX con contribuciones notables de Ernst Schröder , Richard Dedekind y Georg Cantor . [3]
El cierre de conjunto habitual de la topología es un operador de cierre. Otros ejemplos incluyen el tramo lineal de un subconjunto de un espacio vectorial , la cáscara convexa o la cáscara afín de un subconjunto de un espacio vectorial o la cáscara semicontinua inferior de una función , donde es, por ejemplo, un espacio normado , definido implícitamente , donde está el epígrafe. de una función .
El interior relativo no es un operador de cierre: aunque es idempotente, no es creciente y si es un cubo en y es una de sus caras, entonces , pero y , por lo que no es creciente. [4]
En topología, los operadores de cierre son operadores de cierre topológicos , que deben satisfacer
para todos (Ten en cuenta que para esto da ).
En álgebra y lógica , muchos operadores de cierre son operadores de cierre finitos , es decir, satisfacen
En la teoría de conjuntos parcialmente ordenados , que son importantes en informática teórica , los operadores de cierre tienen una definición más general que reemplaza con . (Ver § Operadores de cierre en conjuntos parcialmente ordenados).
El cierre topológico de un subconjunto X de un espacio topológico consta de todos los puntos y del espacio, de modo que cada vecindad de y contiene un punto de X. La función que asocia a cada subconjunto X su cierre es un operador de cierre topológico. Por el contrario, cada operador de cierre topológico en un conjunto da lugar a un espacio topológico cuyos conjuntos cerrados son exactamente los conjuntos cerrados con respecto al operador de cierre.
Los operadores de cierre finito desempeñan un papel relativamente destacado en el álgebra universal y, en este contexto, se les denomina tradicionalmente operadores de cierre algebraico . Cada subconjunto de un álgebra genera una subálgebra : la subálgebra más pequeña que contiene el conjunto. Esto da lugar a un operador de cierre finito.
Quizás el ejemplo más conocido de esto sea la función que asocia a cada subconjunto de un espacio vectorial dado su tramo lineal . De manera similar, la función que asocia a cada subconjunto de un grupo dado el subgrupo generado por él, y de manera similar para los campos y todos los demás tipos de estructuras algebraicas .
El intervalo lineal en un espacio vectorial y el cierre algebraico similar en un campo satisfacen la propiedad de intercambio: si x está en el cierre de la unión de A y { y } pero no en el cierre de A , entonces y está en el cierre de la unión de A y { x }. Un operador de cierre finito con esta propiedad se llama matroide . La dimensión de un espacio vectorial, o el grado de trascendencia de un campo (sobre su campo primo ) es exactamente el rango de la matroide correspondiente.
La función que asigna cada subconjunto de un campo dado a su cierre algebraico también es un operador de cierre finito y, en general, es diferente del operador mencionado antes. Los operadores de cierre finito que generalizan estos dos operadores se estudian en teoría de modelos como dcl (para cierre definible ) y acl (para cierre algebraico ).
La carcasa convexa en el espacio euclidiano de n dimensiones es otro ejemplo de operador de cierre finito. Satisface la propiedad antiintercambio: si x está en el cierre de la unión de { y } y A , pero no en la unión de { y } y el cierre de A , entonces y no está en el cierre de la unión de { x } y A . Los operadores de cierre finito con esta propiedad dan lugar a los antimatroides .
Como otro ejemplo de operador de cierre utilizado en álgebra, si algún álgebra tiene el universo A y X es un conjunto de pares de A , entonces el operador que asigna a X la congruencia más pequeña que contiene X es un operador de cierre finito en A x A. [5]
Supongamos que tiene algún formalismo lógico que contiene ciertas reglas que le permiten derivar nuevas fórmulas a partir de otras dadas. Considere el conjunto F de todas las fórmulas posibles, y sea P el conjunto potencia de F , ordenado por ⊆. Para un conjunto X de fórmulas, sea cl( X ) el conjunto de todas las fórmulas que pueden derivarse de X . Entonces cl es un operador de cierre en P . Más precisamente, podemos obtener cl de la siguiente manera. Llame "continuo" a un operador J tal que, para cada clase dirigida T ,
Esta condición de continuidad se basa en un teorema del punto fijo para J. Considere el operador de un paso J de una lógica monótona. Este es el operador que asocia cualquier conjunto X de fórmulas con el conjunto J ( X ) de fórmulas que son axiomas lógicos o se obtienen mediante una regla de inferencia a partir de fórmulas en X o que están en X. Entonces dicho operador es continuo y podemos definir cl( X ) como el punto menos fijo para J mayor o igual a X . De acuerdo con este punto de vista, Tarski, Brown, Suszko y otros autores propusieron un enfoque general de la lógica basado en la teoría del operador de cierre. Además, esta idea se propone en lógica de programación (ver Lloyd 1987) y en lógica difusa (ver Gerla 2000).
Alrededor de 1930, Alfred Tarski desarrolló una teoría abstracta de deducciones lógicas que modela algunas propiedades de los cálculos lógicos. Matemáticamente, lo que describió es simplemente un operador de cierre finito en un conjunto (el conjunto de oraciones ). En lógica algebraica abstracta , los operadores de cierre finito todavía se estudian bajo el nombre de operador de consecuencia , que fue acuñado por Tarski. El conjunto S representa un conjunto de oraciones, un subconjunto T de S una teoría, y cl( T ) es el conjunto de todas las oraciones que se derivan de la teoría. Hoy en día el término puede referirse a operadores de cierre que no necesitan ser finitos; Los operadores de cierre finito a veces se denominan operadores de consecuencia finita .
Los conjuntos cerrados con respecto a un operador de cierre en S forman un subconjunto C del conjunto potencia P ( S ). Cualquier intersección de conjuntos en C está nuevamente en C. En otras palabras, C es una subsemilred completa de P ( S ). Por el contrario, si C ⊆ P ( S ) es cerrado bajo intersecciones arbitrarias, entonces la función que asocia a cada subconjunto X de S el conjunto más pequeño Y ∈ C tal que X ⊆ Y es un operador de cierre.
Existe un algoritmo simple y rápido para generar todos los conjuntos cerrados de un operador de cierre determinado. [6]
Un operador de cierre en un conjunto es topológico si y sólo si el conjunto de conjuntos cerrados está cerrado bajo uniones finitas, es decir, C es una subred completa de P ( S ). Incluso para operadores de cierre no topológicos, se puede considerar que C tiene la estructura de una red. (La unión de dos conjuntos X , Y ⊆ P ( S ) es cl( X Y ).) Pero entonces C no es una subred de la red P ( S ).
Dado un operador de cierre finito en un conjunto, los cierres de conjuntos finitos son exactamente los elementos compactos del conjunto C de conjuntos cerrados. De ello se deduce que C es un poset algebraico . Dado que C también es una red, a menudo se la denomina red algebraica en este contexto. Por el contrario, si C es un poset algebraico, entonces el operador de cierre es finito.
Cada operador de cierre en un conjunto finito S está determinado únicamente por las imágenes de sus conjuntos pseudocerrados . [7] Estos se definen recursivamente: Un conjunto es pseudocerrado si no está cerrado y contiene el cierre de cada uno de sus subconjuntos propios pseudocerrados. Formalmente: P ⊆ S es pseudocerrado si y sólo si
Un conjunto parcialmente ordenado (poset) es un conjunto junto con un orden parcial ≤, es decir, una relación binaria que es reflexiva ( a ≤ a ), transitiva ( a ≤ b ≤ c implica a ≤ c ) y antisimétrica ( a ≤ b ≤ a) . implica a = b ). Todo conjunto potencia P ( S ) junto con la inclusión ⊆ es un conjunto parcialmente ordenado.
Una función cl: P → P de un orden parcial P a sí misma se llama operador de cierre si satisface los siguientes axiomas para todos los elementos x , y en P.
Hay alternativas más concisas disponibles: la definición anterior es equivalente al axioma único
para todo x , y en P .
Usando el orden puntual en funciones entre posets, alternativamente se puede escribir la propiedad de extensión como id P ≤ cl, donde id es la función identidad . Un automapa k que es creciente e idempotente, pero que satisface el dual de la propiedad de extensión, es decir, k ≤ id P , se denomina operador kernel , [8] operador interior , [9] o cierre dual . [10] Como ejemplo, si A es un subconjunto de un conjunto B , entonces el automapa en el conjunto de potencias de B dado por μ A ( X ) = A ∪ X es un operador de cierre, mientras que λ A ( X ) = A ∩ X es un operador del núcleo. La función de techo de los números reales a los números reales, que asigna a cada x real el entero más pequeño no menor que x , es otro ejemplo de operador de cierre.
Un punto fijo de la función cl, es decir, un elemento c de P que satisface cl( c ) = c , se llama elemento cerrado . Un operador de cierre en un conjunto parcialmente ordenado está determinado por sus elementos cerrados. Si c es un elemento cerrado, entonces x ≤ c y cl( x ) ≤ c son condiciones equivalentes.
Cada conexión de Galois (o mapeo residual ) da lugar a un operador de cierre (como se explica en ese artículo). De hecho, cada operador de cierre surge así de una conexión Galois adecuada. [11] La conexión de Galois no está determinada únicamente por el operador de cierre. Una conexión de Galois que da lugar al operador de cierre cl se puede describir de la siguiente manera: si A es el conjunto de elementos cerrados con respecto a cl, entonces cl: P → A es el adjunto inferior de una conexión de Galois entre P y A , con siendo el adjunto superior la incrustación de A en P . Además, cada adjunto inferior de una incorporación de algún subconjunto en P es un operador de cierre. "Los operadores de cierre son adjuntos inferiores de las incrustaciones". Sin embargo, tenga en cuenta que no todas las incrustaciones tienen un adjunto inferior.
Cualquier conjunto P parcialmente ordenado puede verse como una categoría , con un único morfismo de xay si y sólo si x ≤ y . Los operadores de cierre del conjunto parcialmente ordenado P no son más que las mónadas de la categoría P. De manera equivalente, un operador de cierre puede verse como un endofunctor en la categoría de conjuntos parcialmente ordenados que tiene propiedades adicionales idempotentes y extensivas .
Si P es una red completa , entonces un subconjunto A de P es el conjunto de elementos cerrados para algún operador de cierre en P si y sólo si A es una familia de Moore en P , es decir, el elemento más grande de P está en A , y el mínimo (cumplir) de cualquier subconjunto no vacío de A está nuevamente en A . Cualquier conjunto de este tipo A es en sí mismo una red completa con el orden heredado de P (pero la operación suprema (unión) puede diferir de la de P ). Cuando P es el álgebra booleana de conjunto de potencias de un conjunto X , entonces una familia de Moore en P se llama sistema de cierre en X.
Los operadores de cierre en P forman en sí mismos una red completa; el orden de los operadores de cierre se define por cl 1 ≤ cl 2 si y solo cl 1 ( x ) ≤ cl 2 ( x ) para todo x en P .
