Casco afín

Subespacio afín más pequeño que contiene un subconjunto

En matemáticas , la envoltura afín o espacio afín de un conjunto S en el espacio euclidiano R ⁿ es el conjunto afín más pequeño que contiene a S , ^[1] o, equivalentemente, la intersección de todos los conjuntos afines que contienen a S . Aquí, un conjunto afín puede definirse como la traslación de un subespacio vectorial .

La envoltura afín aff( S ) de S es el conjunto de todas las combinaciones afines de elementos de S , es decir,

${\displaystyle \operatorname {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}.}$

Ejemplos

• La envoltura afín del conjunto vacío es el conjunto vacío.
• La envoltura afín de un singleton (un conjunto formado por un único elemento) es el singleton mismo.
• La envoltura afín de un conjunto de dos puntos diferentes es la línea que los pasa.
• La envoltura afín de un conjunto de tres puntos que no están en una línea es el plano que los pasa.
• La envoltura afín de un conjunto de cuatro puntos que no están en un plano en R ³ es todo el espacio R ³ .

Propiedades

Para cualquier subconjunto ${\displaystyle S,T\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {aff} S)=\operatorname {aff} S}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$es un conjunto cerrado si es de dimensión finita. ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S+T)=\operatorname {aff} S+\operatorname {aff} T}$
• Si entonces . ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S=\operatorname {span} S}$
• Si entonces es un subespacio lineal de . ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)-s_{0}=\operatorname {span} (S-s_{0})}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)=\operatorname {span} (S-S)}$.
  • Así, en particular, siempre es un subespacio vectorial de . ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)}$ ${\displaystyle X}$
• Si es convexo entonces ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)=\displaystyle \bigcup _{\lambda >0}\lambda (S-S)}$
• Para cada , donde es el cono más pequeño que contiene (aquí, un conjunto es un cono si para todos y todos los no negativos ). ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {cone} (S-S)}$ ${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$ ${\displaystyle S-S}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle rc\in C}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle r\geq 0}$
  • Por lo tanto siempre es un subespacio lineal de paralelo a . ${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$

Conjuntos relacionados

• Si en lugar de una combinación afín se utiliza una combinación convexa , es decir, se exige en la fórmula anterior que todas sean no negativas, se obtiene la envoltura convexa de S , que no puede ser mayor que la envoltura afín de S , ya que hay más restricciones involucradas. ${\displaystyle \alpha _{i}}$
• La noción de combinación cónica da lugar a la noción de casco cónico.
• Sin embargo, si no se pone ninguna restricción a los números , en lugar de una combinación afín se tiene una combinación lineal , y el conjunto resultante es el espacio lineal de S , que contiene la envoltura afín de S. ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Referencias

1. Romano 2008, pág. 430 §16

Fuentes

• RJ Webster, Convexidad , Oxford University Press, 1994. ISBN  0-19-853147-8 .
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera edición), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5