Sistema de coordenadas esféricas

En matemáticas , un sistema de coordenadas esféricas es un sistema de coordenadas para el espacio tridimensional donde la posición de un punto dado en el espacio se especifica mediante tres números reales : la distancia radial $r$ a lo largo de la línea radial que conecta el punto con el punto fijo de origen ; el ángulo polar $θ$ entre la línea radial y un eje polar dado ; ^[a] y el ángulo acimutal $φ$ como el ángulo de rotación de la línea radial alrededor del eje polar. ^[b] (Ver gráfico sobre la "convención de física"). Una vez que el radio está fijo, las tres coordenadas ( r , θ , φ ), conocidas como una 3- tupla , proporcionan un sistema de coordenadas en una esfera , típicamente llamado coordenadas polares esféricas . El plano que pasa por el origen y es perpendicular al eje polar (donde el ángulo polar es un ángulo recto ) se llama plano de referencia (a veces plano fundamental ).

Terminología

La distancia radial desde el punto fijo de origen también se denomina radio , línea radial o coordenada radial . El ángulo polar puede denominarse ángulo de inclinación , ángulo cenital , ángulo normal o colatitud . El usuario puede optar por ignorar el ángulo de inclinación y utilizar en su lugar el ángulo de elevación , que se mide hacia arriba entre el plano de referencia y la línea radial, es decir, desde el plano de referencia hacia arriba (hacia el eje z positivo) hasta la línea radial. El ángulo de depresión es el negativo del ángulo de elevación. (Véase el gráfico sobre la "convención de física", no sobre la "convención de matemáticas").

Tanto el uso de símbolos como el orden de denominación de las coordenadas de las tuplas difieren entre las diversas fuentes y disciplinas. Este artículo utilizará la convención ISO ^[1] que se encuentra con frecuencia en física , donde la tupla de denominación da el orden como: distancia radial, ángulo polar, ángulo azimutal o . (Véase el gráfico sobre la "convención de física"). Por el contrario, las convenciones en muchos libros y textos de matemáticas dan el orden de denominación de forma diferente como: distancia radial, "ángulo azimutal", "ángulo polar" y o —lo que cambia los usos y significados de los símbolos θ y φ . También se pueden utilizar otras convenciones, como r para un radio desde el eje z que no es desde el punto de origen. Se debe tener especial cuidado para comprobar el significado de los símbolos . $(r,\theta ,\varphi )$ $(\rho,\theta,\varphi)$ $(r,\theta ,\varphi )$

Según las convenciones de los sistemas de coordenadas geográficas , las posiciones se miden por latitud, longitud y altura (altitud). Hay varios sistemas de coordenadas celestes basados en diferentes planos fundamentales y con diferentes términos para las distintas coordenadas. Los sistemas de coordenadas esféricas utilizados en matemáticas normalmente utilizan radianes en lugar de grados ; (nótese que 90 grados equivalen a π _/2 radianes). Y estos sistemas de la convención matemática pueden medir el ángulo azimutal en sentido antihorario (es decir, desde el eje $x$ en dirección sur , o 180°, hacia el eje $y$ en dirección este , o +90°) en lugar de medir en el sentido de las agujas del reloj (es decir, desde el eje x en dirección norte, o 0°, hacia el eje y en dirección este, o +90°), como se hace en el sistema de coordenadas horizontales . ^[2] (Véase el gráfico sobre "convención matemática").

El sistema de coordenadas esféricas de la convención de la física puede considerarse como una generalización del sistema de coordenadas polares en el espacio tridimensional . Puede extenderse a espacios de dimensiones superiores y, en ese caso, se denomina sistema de coordenadas hiperesféricas .

Definición

Para definir un sistema de coordenadas esféricas, se debe designar un punto de origen en el espacio, $O$ , y dos direcciones ortogonales: la dirección de referencia cenital y la dirección de referencia acimutal . Estas opciones determinan un plano de referencia que normalmente se define como el que contiene el punto de origen y los ejes x e y , cualquiera de los cuales puede designarse como la dirección de referencia acimutal . El plano de referencia es perpendicular (ortogonal) a la dirección cenital y normalmente se designa "horizontal" a la "vertical" de la dirección cenital. Las coordenadas esféricas de un punto $P$ se definen de la siguiente manera:

El radio o distancia radial es la distancia euclidiana del origen $O$ a $P.$
La inclinación (o ángulo polar ) es el ángulo firmado desde la dirección de referencia del cenit hasta el segmento de línea $OP$ . ( Se puede utilizar la elevación como ángulo polar en lugar de la inclinación ; consulte a continuación).
El acimut (o ángulo acimutal ) es el ángulo con signo medido desde la dirección de referencia del acimut hasta la proyección ortogonal del segmento de línea radial $OP$ en el plano de referencia.

El signo del acimut se determina designando la rotación, que es el sentido positivo del giro alrededor del cenit. Esta elección es arbitraria y forma parte de la definición del sistema de coordenadas. (Si la inclinación es cero o 180 grados (= $π$ radianes), el acimut es arbitrario. Si el radio es cero, tanto el acimut como la inclinación son arbitrarios).

La elevación es el ángulo con signo desde el plano de referencia xy hasta el segmento de línea radial $OP$ , donde los ángulos positivos se designan como hacia arriba, hacia la referencia cenital. La elevación es de 90 grados (= ⁠ $π$ /2⁠ radianes) menos la inclinación . Por lo tanto, si la inclinación es de 60 grados (= ⁠ $π$ /3⁠ radianes), entonces la elevación es de 30 grados (= ⁠ $π$ /6⁠ radianes).

En álgebra lineal , el vector desde el origen $O$ hasta el punto $P$ a menudo se denomina vector de posición de P.

Convenciones

Existen varias convenciones diferentes para representar coordenadas esféricas y prescribir el orden de denominación de sus símbolos. El conjunto de números de 3 tuplas denota la distancia radial, el ángulo polar ("inclinación" o, como alternativa, "elevación") y el ángulo azimutal. Es la práctica común dentro de la convención de física, como se especifica en la norma ISO 80000-2:2019 y anteriormente en la norma ISO 31-11 (1992). $(r,\theta ,\varphi )$

Como se indicó anteriormente, este artículo describe la "convención de física" ISO, a menos que se indique lo contrario.

Sin embargo, algunos autores (incluidos los matemáticos) utilizan el símbolo ρ (rho) para el radio o la distancia radial, φ para la inclinación (o elevación) y θ para el acimut, mientras que otros mantienen el uso de r para el radio; todo lo cual "proporciona una extensión lógica de la notación habitual de coordenadas polares". ^[3] En cuanto al orden, algunos autores enumeran el acimut antes del ángulo de inclinación (o elevación). Algunas combinaciones de estas opciones dan como resultado un sistema de coordenadas para zurdos . El conjunto de 3-tuplas de la "convención de física" estándar entra en conflicto con la notación habitual para coordenadas polares bidimensionales y coordenadas cilíndricas tridimensionales , donde $θ$ se utiliza a menudo para el acimut. ^[3] $(r,\theta ,\varphi )$

Los ángulos se miden normalmente en grados (°) o en radianes (rad), donde 360° = 2 $π$ rad. El uso de grados es más común en geografía, astronomía e ingeniería, donde los radianes se utilizan comúnmente en matemáticas y física teórica. La unidad para la distancia radial suele estar determinada por el contexto, como ocurre en las aplicaciones de la "esfera unitaria", consulte Aplicaciones.

Cuando el sistema se utiliza para designar espacios físicos tridimensionales, se acostumbra a asignar valores positivos a los ángulos acimutales medidos en sentido antihorario desde la dirección de referencia en el plano de referencia, visto desde el lado "cenital" del plano. Esta convención se utiliza en particular para coordenadas geográficas, donde la dirección "cenital" es el norte y los ángulos acimutales (longitud) positivos se miden hacia el este desde algún meridiano principal .

Nota: Este ( $E$ ), Norte ( $N$ ) , Ascendente ( $U$ ) . En el caso de $(U, S, E), el ángulo$ acimutal local se mediría en sentido antihorario de $S$ a $E.$

Coordenadas únicas

Cualquier triplete (o tupla) de coordenadas esféricas especifica un único punto del espacio tridimensional. En la vista inversa, cualquier punto único tiene infinitas coordenadas esféricas equivalentes. Es decir, el usuario puede sumar o restar cualquier número de vueltas completas a las medidas angulares sin cambiar los ángulos en sí y, por lo tanto, sin cambiar el punto. En muchos contextos es conveniente utilizar distancias radiales negativas, siendo la convención , que es equivalente a o para cualquier $r$ , $θ$ y $φ$ . Además, es equivalente a . $(r,\theta ,\varphi )$ $(-r,\theta ,\varphi )$ $(r,\theta {+}180^{\circ },\varphi )$ $(r,90^{\circ }{-}\theta ,\varphi {+}180^{\circ })$ $(r,-\theta ,\varphi )$ $(r,\theta ,\varphi {+}180^{\circ })$

Cuando sea necesario definir un conjunto único de coordenadas esféricas para cada punto, el usuario debe restringir el rango, también conocido como intervalo , de cada coordenada. Una opción común es:

distancia radial: $r \geq 0,$
ángulo polar: $0° \leq θ \leq 180°$ , o $0 rad \leq θ \leq π rad$ ,
azimut: $0° \leq φ < 360°$ , o $0 rad \leq φ < 2 π rad$ .

Pero en lugar del intervalo $[0°, 360°)$ , el acimut $φ$ normalmente se restringe al intervalo semiabierto $(-180°, +180°]$ , o $(- π, + π]$ radianes, que es la convención estándar para la longitud geográfica.

Para el ángulo polar $θ$ , el rango (intervalo) de inclinación es $[0°, 180°]$ , que es equivalente al rango (intervalo) de elevación $[-90°, +90°]$ . En geografía, la latitud es la elevación.

Incluso con estas restricciones, si el ángulo polar (inclinación) es 0° o 180° (la elevación es −90° o +90°), entonces el ángulo acimutal es arbitrario; y si $r$ es cero, tanto el ángulo acimutal como el polar son arbitrarios. Para definir las coordenadas como únicas, el usuario puede afirmar la convención de que (en estos casos) las coordenadas arbitrarias se establecen en cero.

Trazando

Para trazar cualquier punto a partir de sus coordenadas esféricas $(r, θ, φ)$ , donde $θ$ es la inclinación, el usuario debe: moverse $r$ unidades desde el origen en la dirección de referencia del cenit (eje z); luego rotar por la cantidad del ángulo acimutal ( $φ$ ) sobre el origen desde la dirección de referencia acimutal designada (es decir, el eje x o y, consulte la Definición, más arriba); y luego rotar desde el eje z por la cantidad del ángulo $θ$ .

Aplicaciones

Así como el sistema de coordenadas cartesianas bidimensionales es útil (tiene un amplio conjunto de aplicaciones) en una superficie plana, un sistema de coordenadas esféricas bidimensionales es útil en la superficie de una esfera. Por ejemplo, una esfera que se describe en coordenadas cartesianas con la ecuación $x 2 + y 2 + z 2 = c 2$ se puede describir en coordenadas esféricas mediante la ecuación simple $r = c$ . (En este sistema , que se muestra aquí en la convención matemática , la esfera se adapta como una esfera unitaria , donde el radio se establece en la unidad y luego generalmente se puede ignorar, vea el gráfico).

Esta simplificación (de esfera unitaria) también es útil cuando se trabaja con objetos como matrices rotacionales . Las coordenadas esféricas también son útiles para analizar sistemas que tienen cierto grado de simetría respecto de un punto, incluidos: integrales de volumen dentro de una esfera; el campo de energía potencial que rodea una masa o carga concentrada; o simulación del clima global en la atmósfera de un planeta.

El modelado tridimensional de los patrones de salida de los altavoces se puede utilizar para predecir su rendimiento. Se requieren varios diagramas polares, tomados en una amplia selección de frecuencias, ya que el patrón cambia mucho con la frecuencia. Los diagramas polares ayudan a mostrar que muchos altavoces tienden a la omnidireccionalidad en frecuencias más bajas.

Una aplicación importante de las coordenadas esféricas es la separación de variables en dos ecuaciones diferenciales parciales (las ecuaciones de Laplace y de Helmholtz ) que surgen en muchos problemas físicos. Las partes angulares de las soluciones de dichas ecuaciones toman la forma de armónicos esféricos . Otra aplicación es el diseño ergonómico , donde $r$ es la longitud del brazo de una persona estacionaria y los ángulos describen la dirección del brazo cuando se extiende. El sistema de coordenadas esféricas también se utiliza comúnmente en el desarrollo de juegos en 3D para rotar la cámara alrededor de la posición del jugador ^[4].

En geografía

En lugar de la inclinación, el sistema de coordenadas geográficas utiliza el ángulo de elevación (o latitud ), en el rango (también conocido como dominio ) $-90° \leq φ \leq 90°$ y rotado hacia el norte desde el plano del ecuador . La latitud (es decir, el ángulo de latitud) puede ser la latitud geocéntrica , medida (rotada) desde el centro de la Tierra, y designada de diversas formas por $ψ, q, φ', φ c, φ g$ —o la latitud geodésica , medida (rotada) desde la vertical local del observador , y típicamente designada $φ$ . El ángulo polar (inclinación), que es 90° menos la latitud y varía de 0 a 180°, se llama colatitud en geografía.

El ángulo acimutal (o longitud ) de una posición dada en la Tierra, comúnmente denotado por $λ$ , se mide en grados al este u oeste desde algún meridiano de referencia convencional (más comúnmente el Meridiano de Referencia IERS ); por lo tanto, su dominio (o rango) es $-180° \leq λ \leq 180°$ y una lectura dada generalmente se designa como "Este" u "Oeste". Para posiciones en la Tierra u otro cuerpo celeste sólido , el plano de referencia generalmente se toma como el plano perpendicular al eje de rotación .

En lugar de la distancia radial $r,$ los geógrafos suelen utilizar la altitud por encima o por debajo de alguna superficie de referencia local ( datum vertical ), que, por ejemplo, puede ser el nivel medio del mar . Cuando es necesario, la distancia radial se puede calcular a partir de la altitud sumando el radio de la Tierra , que es aproximadamente 6.360 ± 11 km (3.952 ± 7 millas).

Sin embargo, los sistemas de coordenadas geográficas modernos son bastante complejos y las posiciones que se deducen de estas fórmulas simples pueden tener una inexactitud de varios kilómetros. Los significados estándar precisos de latitud, longitud y altitud están definidos actualmente por el Sistema Geodésico Mundial (WGS), y tienen en cuenta el achatamiento de la Tierra en los polos (unos 21 km o 13 millas) y muchos otros detalles.

Los sistemas de coordenadas planetarias utilizan formulaciones análogas al sistema de coordenadas geográficas.

En astronomía

Se utilizan una serie de sistemas de coordenadas astronómicas para medir el ángulo de elevación desde varios planos fundamentales . Estos planos de referencia incluyen: el horizonte del observador , el ecuador galáctico (definido por la rotación de la Vía Láctea ), el ecuador celeste (definido por la rotación de la Tierra), el plano de la eclíptica (definido por la órbita de la Tierra alrededor del Sol ) y el plano del terminador terrestre (normal a la dirección instantánea al Sol ).

Conversiones de sistemas de coordenadas

Como el sistema de coordenadas esféricas es sólo uno de los muchos sistemas de coordenadas tridimensionales, existen ecuaciones para convertir coordenadas entre el sistema de coordenadas esféricas y otros.

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas esféricas de un punto en la convención ISO (es decir, para física: radio $r$ , inclinación $θ$ , acimut $φ$ ) se pueden obtener a partir de sus coordenadas cartesianas $(x, y, z)$ mediante las fórmulas

${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}={\begin{cases}\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z>0\\\pi +\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}z=0{\text{ and }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\neq 0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=y=z=0\\\end{cases}}\\\varphi &=\operatorname {sgn}(y)\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}\end{aligned}}$

La tangente inversa denotada en $φ = arctan ⁠ y / incógnita ⁠$ debe definirse adecuadamente, teniendo en cuenta el cuadrante correcto de $(x, y)$ , como se hizo en las ecuaciones anteriores. Consulte el artículo sobre atan2 .

Alternativamente, la conversión puede considerarse como dos conversiones rectangulares a polares secuenciales : la primera en el plano cartesiano $xy de$ $(x, y)$ a $(R, φ)$ , donde $R$ es la proyección de $r$ sobre el plano $xy$ , y la segunda en el plano cartesiano $zR de$ $(z, R)$ a $(r, θ)$ . Los cuadrantes correctos para $φ$ y $θ$ están implícitos por la corrección de las conversiones rectangulares planas a polares.

Estas fórmulas suponen que los dos sistemas tienen el mismo origen, que el plano de referencia esférico es el plano cartesiano $xy$ , que $θ$ es la inclinación desde la dirección $z$ y que los ángulos acimutales se miden desde el eje cartesiano $x$ (de modo que el eje $y$ tiene $φ = +90°$ ). Si θ mide la elevación desde el plano de referencia en lugar de la inclinación desde el cenit, el arco coseno de arriba se convierte en un arco seno, y el $coseno θ$ y $el seno θ$ de abajo se intercambian.

Por el contrario, las coordenadas cartesianas se pueden recuperar a partir de las coordenadas esféricas ( radio $r$ , inclinación $θ$ , acimut $φ$ ), donde $r \in [0, \infty)$ , $θ \in [0, π]$ , $φ \in [0, 2 π)$ , por ${\begin{aligned}x&=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&=r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}$

Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas ( radio axial ρ , acimut φ , elevación z ) se pueden convertir en coordenadas esféricas ( radio central r , inclinación θ , acimut φ ), mediante las fórmulas

${\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}$

Por el contrario, las coordenadas esféricas se pueden convertir en coordenadas cilíndricas mediante las fórmulas

${\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}$

Estas fórmulas suponen que los dos sistemas tienen el mismo origen y el mismo plano de referencia, miden el ángulo acimutal $φ$ en los mismos sentidos desde el mismo eje y que el ángulo esférico $θ$ es la inclinación respecto del eje cilíndrico $z$ .

Generalización

También es posible tratar elipsoides en coordenadas cartesianas utilizando una versión modificada de las coordenadas esféricas.

Sea P un elipsoide especificado por el conjunto de niveles

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.$

Las coordenadas esféricas modificadas de un punto en P en la convención ISO (es decir, para física: radio $r$ , inclinación $θ$ , acimut $φ$ ) se pueden obtener a partir de sus coordenadas cartesianas $(x, y, z)$ mediante las fórmulas

${\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}$

Un elemento de volumen infinitesimal está dado por

$\mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .$

El factor de raíz cuadrada proviene de la propiedad del determinante que permite extraer una constante de una columna:

${\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.$

Integración y diferenciación en coordenadas esféricas

Vectores unitarios en coordenadas esféricas

Las siguientes ecuaciones (Iyanaga 1977) suponen que la colatitud $θ$ es la inclinación desde el eje $z$ positivo , como en la convención física analizada.

El elemento de línea para un desplazamiento infinitesimal de $(r, θ, φ)$ a $(r + d r, θ + d θ, φ + d φ)$ es donde son los vectores unitarios ortogonales locales en las direcciones de aumento de $r$ , $θ$ y $φ$ , respectivamente, y $x̂$ , $ŷ$ y $ẑ$ son los vectores unitarios en coordenadas cartesianas. La transformación lineal a este triplete de coordenadas de la mano derecha es una matriz de rotación , $\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,$ ${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}$ $R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}.$

Esto da la transformación de la cartesiana a la esférica, la inversa viene dada por su inversa. Nota: la matriz es una matriz ortogonal , es decir, su inversa es simplemente su transpuesta .

Los vectores unitarios cartesianos están entonces relacionados con los vectores unitarios esféricos por: ${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}$

La forma general de la fórmula para demostrar el elemento lineal diferencial, es ^[5] es decir, el cambio en se descompone en cambios individuales correspondientes a cambios en las coordenadas individuales. $\mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},$ $\mathbf {r}$

Para aplicar esto al caso presente, es necesario calcular cómo cambia con cada una de las coordenadas. En las convenciones utilizadas, $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}},x_{1}=r,x_{2}=\theta ,x_{3}=\varphi .$

De este modo, ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} .$

Los coeficientes deseados son las magnitudes de estos vectores: ^[5] $\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .$

El elemento de superficie que abarca desde $θ$ hasta $θ + d θ$ y $φ$ hasta $φ + d φ$ en una superficie esférica con un radio (constante) $r$ es entonces $\mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.$

Por lo tanto el ángulo sólido diferencial es $\mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

El elemento de superficie en una superficie de ángulo polar $θ$ constante (un cono con vértice en el origen) es $\mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.$

El elemento de superficie en una superficie de acimut $φ$ constante (un semiplano vertical) es $\mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .$

El elemento de volumen que abarca desde $r$ hasta $r + d r$ , $θ$ hasta $θ + d θ$ y $φ$ hasta $φ + d φ$ se especifica mediante el determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales , es decir $J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}},$ $\mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.$

Así, por ejemplo, una función $f (r, θ, φ)$ puede integrarse sobre cada punto en $R 3$ mediante la integral triple $\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.$

El operador del en este sistema conduce a las siguientes expresiones para el gradiente y el laplaciano para campos escalares, y conduce a las siguientes expresiones para la divergencia y el rizo de campos vectoriales , ${\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}$

$\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },$ ${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}$

Además, el jacobiano inverso en coordenadas cartesianas es El tensor métrico en el sistema de coordenadas esféricas es . $J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.$ $g=J^{T}J$

Distancia en coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas, dados dos puntos con $φ$ como coordenada azimutal, la distancia entre los dos puntos se puede expresar como ^[6] ${\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}$

Cinemática

En coordenadas esféricas, la posición de un punto o partícula (aunque mejor escrita como triple ) se puede escribir como ^[7] Su velocidad es entonces ^[7] y su aceleración es ^[7] $(r,\theta ,\varphi )$ $\mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .$ $\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}$ ${\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}$

El momento angular es donde es la masa. En el caso de una constante $φ$ o bien $θ$ $=$ $⁠$ $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}\left(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\right)$ $m$ $π / 2 ⁠$ , esto se reduce al cálculo vectorial en coordenadas polares .

El operador de momento angular correspondiente se desprende entonces de la reformulación del espacio de fases de lo anterior, $\mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).$

El par se expresa como ^[7] $\mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}$

La energía cinética se expresa como ^[7] $E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]$

Véase también

Sistema de coordenadas celestes : sistema para especificar posiciones de objetos celestes.
Sistema de coordenadas : método para especificar posiciones de puntos
Del en coordenadas cilíndricas y esféricas – Operador de gradiente matemático en ciertos sistemas de coordenadas
Método de la doble esfera de Fourier
Elevación (balística) – Ángulo en balística
Ángulos de Euler – Descripción de la orientación de un cuerpo rígido
Bloqueo de cardán : pérdida de un grado de libertad en un mecanismo tridimensional de tres cardanes
Hiperesfera : Esfera generalizada de dimensión n (matemáticas)
Matriz jacobiana y determinante : matriz de todas las derivadas parciales de primer orden de una función vectorial
Lista de transformaciones de coordenadas canónicas
Esfera – Conjunto de puntos equidistantes de un centro
Armónico esférico – Funciones matemáticas especiales definidas en la superficie de una esfera
Teodolito – Instrumento de medición óptica
Campos vectoriales en coordenadas cilíndricas y esféricas – Representación de campos vectoriales en sistemas de coordenadas curvilíneas 3D
Guiñada, cabeceo y balanceo : direcciones principales en aviación

Notas

^ Una línea orientada , por lo que el ángulo polar es un ángulo orientado calculado a partir de la dirección principal del eje polar , no de su dirección opuesta.
^ Si se hace coincidir el eje polar con el eje z positivo , el ángulo azimutal φ se puede calcular como el ángulo entre el eje x o el eje y y la proyección ortogonal de la línea radial sobre el plano de referencia xy , que es ortogonal al eje z y pasa por el punto de origen fijo, completando un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional .

Referencias

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^ Duffett-Smith, P y Zwart, J, pág. 34.
^ de Eric W. Weisstein (26 de octubre de 2005). «Coordenadas esféricas». MathWorld . Consultado el 15 de enero de 2010 .
^ "Matemáticas de videojuegos: notación polar y esférica". Academy of Interactive Entertainment (AIE) . Consultado el 16 de febrero de 2022 .
^ ab "Elemento de línea (dl) en coordenadas esféricas: derivación/diagrama". Stack Exchange . 21 de octubre de 2011.
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^ abcde Reed, Bruce Cameron (2019). Elipses keplerianas: la física del problema gravitacional de dos cuerpos. Morgan & Claypool Publishers, Instituto de Física. San Rafael [California] (40 Oak Drive, San Rafael, CA, 94903, EE. UU.). ISBN 978-1-64327-470-6.OCLC 1104053368 .{{cite book}}: CS1 maint: location (link) CS1 maint: location missing publisher (link)

Bibliografía

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Duffett-Smith P, Zwart J (2011). Astronomía práctica con calculadora u hoja de cálculo, 4.ª edición . Nueva York: Cambridge University Press. pág. 34. ISBN 978-0521146548.

Enlaces externos

"Coordenadas esféricas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Descripción de las coordenadas esféricas en MathWorld
Conversor de coordenadas: convierte entre coordenadas polares, cartesianas y esféricas