Sistema de coordenadas esféricas

En matemáticas , un sistema de coordenadas esféricas es un sistema de coordenadas para el espacio tridimensional donde la posición de un punto dado en el espacio está especificada por tres números, ( r , θ , φ ): la distancia radial de la línea radial r que conecta el punto. al punto fijo de origen (que se encuentra en un eje polar fijo, o eje de dirección cenital , o eje z ); el ángulo polar θ de la línea radial r ; y el ángulo azimutal φ de la línea radial r .

El ángulo polar θ se mide entre el eje z y la línea radial r . El ángulo azimutal φ se mide entre la proyección ortogonal de la línea radial r sobre el plano xy de referencia , que es ortogonal al eje z y pasa por el punto fijo de origen, y cualquiera de los ejes x o y fijos . eje, los cuales son ortogonales al eje z y entre sí. (Ver gráfico sobre la "convención de física".)

Una vez que se fija el radio, las tres coordenadas (r, θ, φ), conocidas como tupla triple , proporcionan un sistema de coordenadas en una esfera , típicamente llamado coordenadas polares esféricas . Nota bene: en este artículo se sigue la convención de física; (Consulte ambos gráficos sobre "convención de física" y sobre "convención de matemáticas") .

La distancia radial desde el punto fijo de origen también se llama radio , línea radial o coordenada radial . El ángulo polar puede denominarse ángulo de inclinación , ángulo cenital , ángulo normal o colatitud . El usuario puede optar por ignorar el ángulo de inclinación y utilizar en su lugar el ángulo de elevación , que se mide hacia arriba entre el plano de referencia y la línea radial, es decir, desde el plano de referencia hacia arriba (hacia el eje z positivo) hasta la línea radial. El ángulo de depresión es el negativo del ángulo de elevación. (Consulte el gráfico sobre la "convención de física", no la "convención de matemáticas".)

Tanto el uso de símbolos como el orden de denominación de las coordenadas de tupla difieren entre las distintas fuentes y disciplinas. Este artículo utilizará la convención ISO ^[1] que se encuentra con frecuencia en física , donde la tupla de nombres da el orden como: distancia radial, ángulo polar, ángulo azimutal o . (Ver gráfico sobre la "convención de física".) Por el contrario, las convenciones en muchos libros y textos de matemáticas dan el orden de nomenclatura de manera diferente como: distancia radial, "ángulo azimutal", "ángulo polar" y/ o , que cambia los usos y significados de los símbolos θ y φ . También se pueden usar otras convenciones, como r para un radio desde el eje z que no es desde el punto de origen. Se debe tener especial cuidado en comprobar el significado de los símbolos . $(r,\theta,\varphi)$ $(\rho,\theta,\varphi)$ $(r,\theta,\varphi)$

Según las convenciones de los sistemas de coordenadas geográficas , las posiciones se miden por latitud, longitud y altura (altitud). Hay varios sistemas de coordenadas celestes basados en diferentes planos fundamentales y con diferentes términos para las distintas coordenadas. Los sistemas de coordenadas esféricas utilizados en matemáticas normalmente utilizan radianes en lugar de grados ; (tenga en cuenta que 90 grados equivalen a π _/2 radianes). Y estos sistemas de la convención matemática pueden medir el ángulo azimutal en sentido antihorario (es decir, desde el eje $x$ en dirección sur , o 180°, hacia el eje $y$ en dirección este , o +90°), en lugar de medir en el sentido de las agujas del reloj (es decir, desde el eje x en dirección norte, o 0°, hacia el eje y en dirección este, o +90°), como se hace en el sistema de coordenadas horizontales . ^[2] (Ver gráfico sobre "convención matemática".)

El sistema de coordenadas esféricas de la convención de física puede verse como una generalización del sistema de coordenadas polares en el espacio tridimensional . Puede extenderse aún más a espacios de dimensiones superiores y luego se lo denomina sistema de coordenadas hiperesférico .

Definición

Para definir un sistema de coordenadas esféricas, se debe designar un punto de origen en el espacio, $O$ , y dos direcciones ortogonales: la dirección de referencia cenital y la dirección de referencia azimutal . Estas opciones determinan un plano de referencia que normalmente se define como el que contiene el punto de origen y los ejes x e y , cualquiera de los cuales puede designarse como dirección de referencia del acimut . El plano de referencia es perpendicular (ortogonal) a la dirección cenital y normalmente se denomina "horizontal" a la "vertical" de la dirección cenital. Las coordenadas esféricas de un punto $P$ se definen entonces de la siguiente manera:

El radio o distancia radial es la distancia euclidiana desde el origen $O$ hasta $P.$
La inclinación (o ángulo polar ) es el ángulo con signo desde la dirección de referencia cenital hasta el segmento de línea $OP$ . ( Se puede utilizar la elevación como ángulo polar en lugar de la inclinación ; ver más abajo).
El azimut (o ángulo azimutal ) es el ángulo con signo medido desde la dirección de referencia del azimut hasta la proyección ortogonal del segmento de línea radial $OP$ en el plano de referencia.

El signo del azimut se determina designando la rotación, que es el sentido positivo de giro alrededor del cenit. Esta elección es arbitraria y forma parte de la definición del sistema de coordenadas. (Si la inclinación es cero o 180 grados (= $π$ radianes), el acimut es arbitrario. Si el radio es cero, tanto el acimut como la inclinación son arbitrarios).

La elevación es el ángulo con signo desde el plano de referencia xy hasta el segmento de línea radial $OP$ , donde los ángulos positivos se designan hacia arriba, hacia la referencia cenital. La elevación es de 90 grados (= $π$ /2radianes) menos inclinación . Así, si la inclinación es de 60 grados (= $π$ /3radianes), entonces la elevación es 30 grados (= $π$ /6radianes).

En álgebra lineal , el vector desde el origen O $hasta$ el punto $P$ suele denominarse vector de posición de P.

Convenciones

Existen varias convenciones diferentes para representar coordenadas esféricas y prescribir el orden de denominación de sus símbolos. El conjunto de números de 3 tuplas denota la distancia radial, el ángulo polar ("inclinación" o, como alternativa, "elevación") y el ángulo azimutal. Es una práctica común dentro de la convención de física, según lo especificado en la norma ISO 80000-2:2019 , y anteriormente en ISO 31-11 (1992). $(r,\theta,\varphi)$

Como se indicó anteriormente, este artículo describe la "convención de física" ISO, a menos que se indique lo contrario.

Sin embargo, algunos autores (incluidos matemáticos) utilizan el símbolo ρ (rho) para radio o distancia radial, φ para inclinación (o elevación) y θ para azimut, mientras que otros mantienen el uso de r para el radio; todo lo cual "proporciona una extensión lógica de la notación habitual de coordenadas polares". ^[3] En cuanto al orden, algunos autores enumeran el acimut antes del ángulo de inclinación (o elevación). Algunas combinaciones de estas opciones dan como resultado un sistema de coordenadas para zurdos . El conjunto estándar de 3 tuplas de la "convención física" entra en conflicto con la notación habitual para coordenadas polares bidimensionales y coordenadas cilíndricas tridimensionales , donde $θ$ se usa a menudo para el acimut. ^[3] $(r,\theta,\varphi)$

Los ángulos normalmente se miden en grados (°) o en radianes (rad), donde 360° = 2 $π$ rad. El uso de grados es más común en geografía, astronomía e ingeniería, mientras que los radianes se usan comúnmente en matemáticas y física teórica. La unidad de distancia radial suele estar determinada por el contexto, como ocurre en las aplicaciones de la 'esfera unitaria', ver #Aplicaciones.

Cuando el sistema se utiliza para designar tres espacios físicos, se acostumbra asignar ángulos positivos a acimut medidos en el sentido contrario a las agujas del reloj desde la dirección de referencia en el plano de referencia, visto desde el lado "cenit" del plano. Esta convención se utiliza en particular para las coordenadas geográficas, donde la dirección "cenit" es el norte y los ángulos positivos de azimut (longitud) se miden hacia el este desde algún meridiano principal .

Nota: Este ( $E$ ), Norte ( $N$ ) , Hacia arriba ( $U$ ). En el caso de $(U, S, E)$ , el ángulo de acimut local se mediría en sentido antihorario desde $S$ a $E.$

Coordenadas únicas

Cualquier triplete (o tupla) de coordenadas esféricas especifica un único punto del espacio tridimensional. En la vista inversa, cualquier punto tiene infinitas coordenadas esféricas equivalentes. Es decir, el usuario puede sumar o restar cualquier número de vueltas completas a las medidas angulares sin cambiar los ángulos en sí y, por tanto, sin cambiar el punto. Es conveniente en muchos contextos utilizar distancias radiales negativas, siendo la convención , que es equivalente a para cualquier $r$ , $θ$ y $φ$ . Además, equivale a . $(r,\theta,\varphi)$ $(-r,-\theta,\varphi)$ $(r,\theta,\varphi)$ $(r,-\theta,\varphi)$ $(r,\theta,\varphi {+}180^{\circ })$

Cuando sea necesario definir un conjunto único de coordenadas esféricas para cada punto, el usuario debe restringir el rango, también conocido como intervalo , de cada coordenada. Una opción común es:

distancia radial: $r \geq 0,$
ángulo polar: $0° \leq θ \leq 180°$ , o $0 rad \leq θ \leq π rad$ ,
azimut: $0° \leq φ < 360°$ , o $0 rad \leq φ < 2 π rad$ .

Pero en lugar del intervalo $[0°, 360°)$ , el azimut $φ$ normalmente se restringe al intervalo semiabierto $(-180°, +180°]$ , o $(- π, + π]$ radianes, que es la convención estándar para longitud geográfica.

Para el ángulo polar $θ$ , el rango (intervalo) de inclinación es $[0°, 180°]$ , lo que equivale al rango de elevación (intervalo) $[-90°, +90°]$ . En geografía, la latitud es la elevación.

Incluso con estas restricciones, si el ángulo polar (inclinación) es 0° o 180° (la elevación es −90° o +90°), entonces el ángulo de acimut es arbitrario; y si $r$ es cero, tanto el azimut como los ángulos polares son arbitrarios. Para definir las coordenadas como únicas, el usuario puede afirmar la convención de que (en estos casos) las coordenadas arbitrarias se establecen en cero.

Graficado

Para trazar cualquier punto a partir de sus coordenadas esféricas $(r, θ, φ)$ , donde $θ$ es la inclinación, el usuario: movería $r$ unidades desde el origen en la dirección de referencia cenital (eje z); luego gire la cantidad del ángulo de azimut ( $φ$ ) alrededor del origen desde la dirección de referencia de azimut designada (es decir, el eje x o el eje y, consulte la Definición más arriba); y luego gire desde el eje z por la cantidad del ángulo $θ$ .

Aplicaciones

Así como el sistema de coordenadas cartesiano bidimensional es útil (tiene un amplio conjunto de aplicaciones) en una superficie plana, un sistema de coordenadas esféricas bidimensional es útil en la superficie de una esfera. Por ejemplo, una esfera que se describe en coordenadas cartesianas con la ecuación $x 2 + y 2 + z 2 = c 2$ se puede describir en coordenadas esféricas mediante la ecuación simple $r = c$ . (En este sistema, que se muestra aquí en la convención matemática , la esfera se adapta como una esfera unitaria , donde el radio se establece en la unidad y luego generalmente se puede ignorar; consulte el gráfico).

Esta simplificación (esfera unitaria) también es útil cuando se trata de objetos como matrices rotacionales . Las coordenadas esféricas también son útiles para analizar sistemas que tienen cierto grado de simetría con respecto a un punto, incluidos: integrales de volumen dentro de una esfera; el campo de energía potencial que rodea una masa o carga concentrada; o simulación del clima global en la atmósfera de un planeta.

Se puede utilizar el modelado tridimensional de los patrones de salida de los altavoces para predecir su rendimiento. Se requieren varios gráficos polares, tomados en una amplia selección de frecuencias, ya que el patrón cambia mucho con la frecuencia. Los gráficos polares ayudan a mostrar que muchos altavoces tienden a la omnidireccionalidad en frecuencias más bajas.

Una aplicación importante de las coordenadas esféricas proporciona la separación de variables en dos ecuaciones diferenciales parciales ( las ecuaciones de Laplace y Helmholtz ) que surgen en muchos problemas físicos. Las porciones angulares de las soluciones de tales ecuaciones toman la forma de armónicos esféricos . Otra aplicación es el diseño ergonómico , donde $r$ es la longitud del brazo de una persona estacionaria y los ángulos describen la dirección del brazo cuando se extiende. El sistema de coordenadas esféricas también se usa comúnmente en el desarrollo de juegos 3D para rotar la cámara alrededor de la posición del jugador ^[4]

en geografia

En lugar de inclinación, el sistema de coordenadas geográficas utiliza un ángulo de elevación (o latitud ), en el rango (también conocido como dominio ) $-90° \leq φ \leq 90°$ y girado hacia el norte desde el plano ecuatorial . La latitud (es decir, el ángulo de latitud) puede ser una latitud geocéntrica , medida (girada) desde el centro de la Tierra (y designada de diversas formas por $ψ, q, φ', φ c, φ g)$ , o una latitud geodésica , medida (girada) desde la vertical local del observador , y típicamente designada $φ$ . El ángulo polar (inclinación), que es de 90° menos la latitud y oscila entre 0 y 180°, se llama colatitud en geografía.

El ángulo de azimut (o longitud ) de una posición determinada en la Tierra, comúnmente denotada por $λ$ , se mide en grados este u oeste desde algún meridiano de referencia convencional (más comúnmente el Meridiano de Referencia IERS ); por tanto, su dominio (o rango) es $-180° \leq λ \leq 180°$ y una lectura determinada normalmente se denomina "Este" u "Oeste". Para posiciones en la Tierra u otro cuerpo celeste sólido , el plano de referencia generalmente se considera el plano perpendicular al eje de rotación .

En lugar de la distancia radial $r,$ los geógrafos suelen utilizar la altitud por encima o por debajo de alguna superficie de referencia local ( dato vertical ), que, por ejemplo, puede ser el nivel medio del mar . Cuando sea necesario, la distancia radial se puede calcular a partir de la altitud sumando el radio de la Tierra , que es aproximadamente 6360 ± 11 km (3952 ± 7 millas).

Sin embargo, los sistemas de coordenadas geográficas modernos son bastante complejos y las posiciones implícitas en estas fórmulas simples pueden tener una imprecisión de varios kilómetros. Los significados estándar precisos de latitud, longitud y altitud están definidos actualmente por el Sistema Geodésico Mundial (WGS) y tienen en cuenta el achatamiento de la Tierra en los polos (aproximadamente 21 km o 13 millas) y muchos otros detalles.

Los sistemas de coordenadas planetarias utilizan formulaciones análogas al sistema de coordenadas geográficas.

En astronomía

Se utiliza una serie de sistemas de coordenadas astronómicas para medir el ángulo de elevación desde varios planos fundamentales . Estos planos de referencia incluyen: el horizonte del observador , el ecuador galáctico (definido por la rotación de la Vía Láctea ), el ecuador celeste (definido por la rotación de la Tierra), el plano de la eclíptica (definido por la órbita de la Tierra alrededor del Sol ) y el Plano del terminador terrestre (normal a la dirección instantánea del Sol ).

Conversiones del sistema de coordenadas

Como el sistema de coordenadas esféricas es sólo uno de muchos sistemas de coordenadas tridimensionales, existen ecuaciones para convertir coordenadas entre el sistema de coordenadas esféricas y otros.

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas esféricas de un punto en la convención ISO (es decir, para física: radio $r$ , inclinación $θ$ , azimut $φ$ ) se pueden obtener a partir de sus coordenadas cartesianas $(x, y, z)$ mediante las fórmulas

{\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\ sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}={\begin{casos}\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z>0\\\pi +\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y ^{2}}}{z}}&{\text{si }}z<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}z=0{\text{ y }}xy\neq 0\\{\text{undefinido}}&{\text{if }}x=y=z=0\\\end{cases}}\\\varphi &=\operatorname {sgn} (y)\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\begin{casos}\arctan({\frac {y}{x}}) &{\text{si }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{si }}x<0{\text{ y }}y \geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ y }}y<0,\\+{\ frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{ si }}x=0{\text{ y }}y<0,\\{\text{undefinido}}&{\text{if }}x=0{\text{ y }}y=0.\end {casos}}\end{aligned}}

La tangente inversa denotada en $φ = arctan y / X$ debe definirse adecuadamente, teniendo en cuenta el cuadrante correcto de $(x, y)$ . Vea el artículo sobre atan2 .

Alternativamente, la conversión puede considerarse como dos conversiones secuenciales de rectangular a polar : la primera en el plano cartesiano $xy$ de $(x, y)$ a $(R, φ)$ , donde $R$ es la proyección de $r$ en el plano $xy$ , y la segundo en el plano cartesiano $zR$ desde $(z, R)$ hasta $(r, θ)$ . Los cuadrantes correctos para $φ$ y $θ$ están implícitos en la corrección de las conversiones planas rectangulares a polares.

Estas fórmulas suponen que los dos sistemas tienen el mismo origen, que el plano de referencia esférico es el plano cartesiano $xy$ , que $θ$ es la inclinación desde la dirección $z$ y que los ángulos de acimut se miden desde el eje cartesiano $x$ (de modo que el eje $y$ tiene $φ = +90°$ ). Si θ mide la elevación desde el plano de referencia en lugar de la inclinación desde el cenit, el arco cos de arriba se convierte en un arco seno, y el $cos θ$ y $el sen θ$ de abajo se conmutan.

Por el contrario, las coordenadas cartesianas se pueden recuperar a partir de las coordenadas esféricas ( radio $r$ , inclinación $θ$ , azimut $φ$ ), donde $r \in [0, \infty)$ , $θ \in [0, π]$ , $φ \in [0, 2 π)$ , mediante

{\begin{aligned}x&=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&=r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&=r\cos \theta .\ fin {alineado}}

Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas ( radio axial ρ , azimut φ , elevación z ) se pueden convertir en coordenadas esféricas ( radio central r , inclinación θ , azimut φ ), mediante las fórmulas

{\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}= \arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}

Por el contrario, las coordenadas esféricas se pueden convertir en coordenadas cilíndricas mediante las fórmulas

{\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}

Estas fórmulas suponen que los dos sistemas tienen el mismo origen y el mismo plano de referencia, miden el ángulo de acimut $φ$ en los mismos sentidos desde el mismo eje y que el ángulo esférico $θ$ es la inclinación desde el eje $z$ cilíndrico .

Generalización

También es posible trabajar con elipsoides en coordenadas cartesianas utilizando una versión modificada de las coordenadas esféricas.

Sea P un elipsoide especificado por el nivel establecido

hacha^{2}+por^{2}+cz^{2}=d.

Las coordenadas esféricas modificadas de un punto en P en la convención ISO (es decir, para física: radio $r$ , inclinación $θ$ , azimut $φ$ ) se pueden obtener a partir de sus coordenadas cartesianas $(x, y, z)$ mediante las fórmulas

{\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}

Un elemento de volumen infinitesimal está dado por

\mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .

El factor de raíz cuadrada proviene de la propiedad del determinante que permite extraer una constante de una columna:

{\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.

Integración y diferenciación en coordenadas esféricas.

Vectores unitarios en coordenadas esféricas

Las siguientes ecuaciones (Iyanaga 1977) suponen que la colatitud $θ$ es la inclinación desde el eje $z$ positivo , como en la convención de física discutida.

El elemento lineal para un desplazamiento infinitesimal de $(r, θ, φ)$ a $(r + d r, θ + d θ, φ + d φ)$ es

\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,

{\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}

vectores unitarios

r

θ

φ

x̂

ŷ

ẑ

matriz de rotación

R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}.

Esto da la transformación de lo esférico a lo cartesiano, al revés viene dado por su inverso. Nota: la matriz es una matriz ortogonal , es decir, su inversa es simplemente su transpuesta .

Por tanto, los vectores unitarios cartesianos están relacionados con los vectores unitarios esféricos mediante:

{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}

La forma general de la fórmula para probar el elemento de línea diferencial es ^[5]

\mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},

\mathbf {r}

Para aplicar esto al presente caso, es necesario calcular cómo cambia con cada una de las coordenadas. En las convenciones utilizadas, $\mathbf {r}$

\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.

De este modo,

{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} .

Los coeficientes deseados son las magnitudes de estos vectores: ^[5]

\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .

El elemento de superficie que abarca de $θ$ a $θ + d θ$ y $φ$ a $φ + d φ$ en una superficie esférica de radio (constante) $r$ es entonces

\mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.

Por tanto, el ángulo sólido diferencial es

\mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .

El elemento de superficie en una superficie de ángulo polar $θ$ constante (un cono con vértice como origen) es

\mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.

El elemento de superficie en una superficie de azimut $φ$ constante (un semiplano vertical) es

\mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .

El elemento de volumen que abarca de $r$ a $r + d r$ , $θ$ a $θ + d θ$ y $φ$ a $φ + d φ$ está especificado por el determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales ,

J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}},

\mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.

Así, por ejemplo, una función $f (r, θ, φ)$ puede integrarse sobre cada punto de $R 3$ mediante la integral triple

\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.

El operador del en este sistema conduce a las siguientes expresiones para el gradiente y Laplaciano para campos escalares,

{\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}

divergencia la curvatura campos vectoriales

\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },

{\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}

Además, el jacobiano inverso en coordenadas cartesianas es

J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.

tensor métrico

g=J^{T}J

Distancia en coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas, dados dos puntos siendo $φ$ la coordenada azimutal

{\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}

Cinemática

En coordenadas esféricas, la posición de un punto o partícula (aunque mejor escrita como triple ) se puede escribir como ^[6] $(r,\theta ,\varphi )$

\mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .

^[6]

\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}

^[6]

{\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}

El momento angular es

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}\left(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\right)

φ

θ

=

m

π / 2

cálculo vectorial en coordenadas polares

El operador de momento angular correspondiente se deriva de la reformulación del espacio de fase de lo anterior,

\mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).

El par está dado como ^[6]

\mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}

La energía cinética viene dada como ^[6]

E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}^{2}\right)+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]

Ver también

Sistema de coordenadas celestes : sistema para especificar posiciones de objetos celestes.
Sistema de coordenadas : método para especificar posiciones de puntos
Del en coordenadas cilíndricas y esféricas : operador de gradiente matemático en ciertos sistemas de coordenadas
Método de la doble esfera de Fourier
Elevación (balística) – Ángulo en balística
Ángulos de Euler : descripción de la orientación de un cuerpo rígido
Bloqueo de cardán : pérdida de un grado de libertad en un mecanismo tridimensional de tres cardán
Hiperesfera - Esfera generalizada de dimensión n (matemáticas)
Matriz y determinante jacobiano : matriz de todas las derivadas parciales de primer orden de una función con valores vectoriales
Lista de transformaciones de coordenadas canónicas
Esfera : conjunto de puntos equidistantes de un centro.
Armónico esférico : funciones matemáticas especiales definidas en la superficie de una esfera
Teodolito : instrumento topográfico óptico
Campos vectoriales en coordenadas cilíndricas y esféricas : representación de campos vectoriales en sistemas de coordenadas curvilíneas 3D
Guiñada, cabeceo y balanceo : principales direcciones en la aviación

Notas

^ "ISO 80000-2:2019 Cantidades y unidades - Parte 2: Matemáticas". YO ASI . 19 de mayo de 2020. págs. 20-21. Artículo No. 2-17.3 . Consultado el 12 de agosto de 2020 .
^ Duffett-Smith, P y Zwart, J, pág. 34.
^ ab Eric W. Weisstein (26 de octubre de 2005). "Coordenadas esféricas". MundoMatemático . Consultado el 15 de enero de 2010 .
^ "Matemáticas de videojuegos: notación polar y esférica". Academia de Entretenimiento Interactivo (AIE) . Consultado el 16 de febrero de 2022 .
^ ab "Elemento de línea (dl) en derivación/diagrama de coordenadas esféricas". Intercambio de pila . 21 de octubre de 2011.
^ ABCDE Reed, Bruce Cameron (2019). Elipses keplerianas: la física del problema gravitacional de dos cuerpos. Editores Morgan & Claypool, Instituto de Física. San Rafael [California] (40 Oak Drive, San Rafael, CA, 94903, EE. UU.). ISBN 978-1-64327-470-6. OCLC 1104053368.{{cite book}}: CS1 maint: location (link) CS1 maint: location missing publisher (link)

Bibliografía

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Duffett-Smith P, Zwart J (2011). Astronomía Práctica con tu Calculadora u Hoja de Cálculo, 4ª Edición . Nueva York: Cambridge University Press. pag. 34.ISBN 978-0521146548.

enlaces externos

"Coordenadas esféricas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Descripción de MathWorld de coordenadas esféricas
Convertidor de coordenadas: convierte entre coordenadas polares, cartesianas y esféricas