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Convexidad en economía

La convexidad en economía está incluida en los códigos de clasificación JEL como JEL:  C65

La convexidad es una propiedad geométrica con una variedad de aplicaciones en economía . [1] De manera informal, un fenómeno económico es convexo cuando "los bienes intermedios (o combinaciones) son mejores que los extremos". Por ejemplo, un agente económico con preferencias convexas prefiere combinaciones de bienes a tener una gran cantidad de cualquier tipo de bien; esto representa una especie de utilidad marginal decreciente de tener más del mismo bien.

La convexidad es un supuesto simplificador clave en muchos modelos económicos, ya que conduce a un comportamiento del mercado que es fácil de entender y que tiene propiedades deseables. Por ejemplo, el modelo Arrow-Debreu de equilibrio económico general postula que si las preferencias son convexas y hay competencia perfecta, entonces la oferta agregada será igual a la demanda agregada de cada producto de la economía.

Por el contrario, la no convexidad se asocia con fallas del mercado , donde la oferta y la demanda difieren o donde los equilibrios del mercado pueden ser ineficientes .

La rama de las matemáticas que proporciona las herramientas para las funciones convexas y sus propiedades se llama análisis convexo ; los fenómenos no convexos se estudian bajo el análisis no suave .

Preliminares

La economía depende de las siguientes definiciones y resultados de la geometría convexa .

Espacios vectoriales reales

Los segmentos de línea prueban la convexidad .

A un espacio vectorial real de dos dimensiones se le puede dar un sistema de coordenadas cartesianas en el que cada punto se identifica mediante una lista de dos números reales, llamados "coordenadas", que se denotan convencionalmente por x e y . Se pueden sumar dos puntos en el plano cartesiano por coordenadas.

( x 1 ,  y 1 ) + ( x 2 ,  y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 );

Además, un punto se puede multiplicar por cada número real λ en coordenadas.

λ ( x , y ) = ( λx , λy ).

En términos más generales, cualquier espacio vectorial real de dimensión (finita) D puede considerarse como el conjunto de todas las listas posibles de D números reales { ( v 1 , v 2 , . . . , v D )  } junto con dos operaciones : la suma de vectores y la multiplicación por un número real . Para espacios vectoriales de dimensión finita, las operaciones de suma de vectores y multiplicación de números reales pueden definirse cada una por coordenadas, siguiendo el ejemplo del plano cartesiano.

Conjuntos convexos

Imagen de un triángulo suavizado, como una tortilla de patatas o una señal de tráfico triangular. Cada una de las tres esquinas redondeadas está dibujada con una curva roja. Los puntos interiores restantes de la forma triangular están sombreados con azul.
En la envoltura convexa del conjunto rojo, cada punto azul es una combinación convexa de algunos puntos rojos.

En un espacio vectorial real, un conjunto se define como convexo si, para cada par de sus puntos, cada punto del segmento de línea que los une está cubierto por el conjunto. Por ejemplo, un cubo sólido es convexo; sin embargo, cualquier cosa que sea hueca o abollada, por ejemplo, una forma de medialuna , no es convexa. Trivialmente , el conjunto vacío es convexo.

Más formalmente, un conjunto Q es convexo si, para todos los puntos v 0 y v 1 en Q y para cada número real λ en el intervalo unitario [0,1] , el punto

(1 −  λ )  v 0 + λv 1

es miembro de  Q.​

Por inducción matemática , un conjunto Q es convexo si y solo si cada combinación convexa de miembros de Q también pertenece a Q. Por definición, una combinación convexa de un subconjunto indexado { v 0 ,  v 1 , . . . ,  v D } de un espacio vectorial es cualquier promedio ponderado  λ 0 v 0 + λ 1 v 1 + . . . + λ D v D , para algún conjunto indexado de números reales no negativos { λ d } ​​que satisface la ecuación λ 0 + λ 1 + . . . + λ D  = 1.

La definición de un conjunto convexo implica que la intersección de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo. En términos más generales, la intersección de una familia de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

Casco convexo

Para cada subconjunto Q de un espacio vectorial real, su envoltura convexa Conv( Q ) es el conjunto convexo mínimo que contiene a Q . Por lo tanto, Conv( Q ) es la intersección de todos los conjuntos convexos que cubren a Q . La envoltura convexa de un conjunto se puede definir de manera equivalente como el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en  Q .

Dualidad: semiespacios que se intersecan

Un conjunto convexo (en rosa), un hiperplano de soporte (la línea discontinua) y el semiespacio delimitado por el hiperplano que lo contiene (en azul claro).

El hiperplano de soporte es un concepto de geometría . Un hiperplano divide un espacio en dos semiespacios . Se dice que un hiperplano soporta un conjunto en el espacio n real si cumple con las dos condiciones siguientes:

Aquí, un semiespacio cerrado es el semiespacio que incluye el hiperplano.

Teorema de apoyo al hiperplano

Un conjunto convexo puede tener más de un hiperplano de soporte en un punto dado de su límite.

Este teorema establece que si es un conjunto convexo cerrado en y es un punto en el límite de entonces existe un hiperplano de soporte que contiene

El hiperplano del teorema puede no ser único, como se observa en la segunda imagen de la derecha. Si el conjunto cerrado no es convexo, el enunciado del teorema no es verdadero en todos los puntos del límite de, como se ilustra en la tercera imagen de la derecha.

Un hiperplano de soporte que contiene un punto dado en el límite de puede no existir si no es convexo.

Ciencias económicas

El consumidor prefiere el vector de bienes ( Q x ,  Q y ) a otros vectores asequibles. En este vector óptimo, la línea presupuestaria sostiene la curva de indiferencia  I 2 .

Una canasta óptima de bienes se da cuando el conjunto de preferencias convexas del consumidor está respaldado por la restricción presupuestaria, como se muestra en el diagrama. Si el conjunto de preferencias es convexo, entonces el conjunto de decisiones óptimas del consumidor es un conjunto convexo, por ejemplo, una canasta óptima única (o incluso un segmento de línea de canastas óptimas).

Para simplificar, supondremos que las preferencias de un consumidor pueden describirse mediante una función de utilidad que es una función continua , lo que implica que los conjuntos de preferencias son cerrados . (El significado de "conjunto cerrado" se explica más adelante, en la subsección sobre aplicaciones de optimización).

No convexidad

Cuando las preferencias de los consumidores tienen concavidades, entonces los presupuestos lineales no necesitan soportar equilibrios: los consumidores pueden saltar entre asignaciones.

Si un conjunto de preferencias no es convexo, entonces algunos precios producen un presupuesto que respalda dos decisiones de consumo óptimas diferentes. Por ejemplo, podemos imaginar que, para los zoológicos, un león cuesta tanto como un águila y, además, que el presupuesto de un zoológico alcanza para un águila o un león. Podemos suponer también que un cuidador del zoológico considera que ambos animales son igualmente valiosos. En este caso, el zoológico compraría un león o un águila. Por supuesto, un cuidador del zoológico contemporáneo no quiere comprar media águila y medio león (o un grifo ). Por lo tanto, las preferencias del cuidador del zoológico contemporáneo no son convexas: el cuidador del zoológico prefiere tener cualquiera de los dos animales a tener cualquier combinación estrictamente convexa de ambos.

Los conjuntos no convexos se han incorporado en las teorías de equilibrios económicos generales, [2] de fallas de mercado , [3] y de economía pública . [4] Estos resultados se describen en libros de texto de nivel de posgrado en microeconomía , [5] teoría del equilibrio general, [6] teoría de juegos , [7] economía matemática , [8] y matemáticas aplicadas (para economistas). [9] Los resultados del lema de Shapley-Folkman establecen que las no convexidades son compatibles con equilibrios aproximados en mercados con muchos consumidores; estos resultados también se aplican a economías de producción con muchas empresas pequeñas . [10]

En los " oligopolios " (mercados dominados por unos pocos productores), especialmente en los " monopolios " (mercados dominados por un productor), las no convexidades siguen siendo importantes. [11] Las preocupaciones por los grandes productores que explotan el poder de mercado de hecho iniciaron la literatura sobre conjuntos no convexos, cuando Piero Sraffa escribió sobre empresas con rendimientos crecientes a escala en 1926, [12] después de lo cual Harold Hotelling escribió sobre la fijación de precios por costo marginal en 1938. [13] Tanto Sraffa como Hotelling iluminaron el poder de mercado de los productores sin competidores, estimulando claramente una literatura sobre el lado de la oferta de la economía. [14] Los conjuntos no convexos surgen también con los bienes ambientales (y otras externalidades ), [15] [16] con la economía de la información , [17] y con los mercados de valores [11] (y otros mercados incompletos ). [18] [19] Tales aplicaciones continuaron motivando a los economistas a estudiar los conjuntos no convexos. [20]

Análisis no suave

Los economistas han estudiado cada vez más los conjuntos no convexos con análisis no suave , que generaliza el análisis convexo . "Las no convexidades en [tanto] la producción como el consumo... requerían herramientas matemáticas que fueran más allá de la convexidad, y un mayor desarrollo tuvo que esperar la invención del cálculo no suave" (por ejemplo, el cálculo local de Lipschitz de Francis Clarke ), como lo describen Rockafellar y Wets (1998) [21] y Mordukhovich (2006), [22] según Khan (2008). [23] Brown (1991, pp. 1967-1968) escribió que la "principal innovación metodológica en el análisis del equilibrio general de las empresas con reglas de precios" fue "la introducción de los métodos de análisis no suave, como una [síntesis] del análisis global (topología diferencial) y [del] análisis convexo". Según Brown (1991, p. 1966), "el análisis no suave extiende la aproximación local de variedades por planos tangentes [y extiende] la aproximación análoga de conjuntos convexos por conos tangentes a conjuntos" que pueden ser no suaves o no convexos. [24] Los economistas también han utilizado la topología algebraica . [25]

Véase también

Notas

  1. ^ Newman (1987c)
  2. ^ Páginas 392–399 y página 188: Arrow, Kenneth J. ; Hahn, Frank H. (1971). "Apéndice B: Conjuntos convexos y relacionados" . Análisis competitivo general . Textos de economía matemática [Libros de texto avanzados en economía]. San Francisco: Holden-Day, Inc. [Holanda del Norte]. págs. 375–401. ISBN 978-0-444-85497-1.Sr. 0439057  .
    Páginas 52-55 con aplicaciones en las páginas 145-146, 152-153 y 274-275: Mas-Colell, Andreu (1985). "1.L Promedios de conjuntos". La teoría del equilibrio económico general: un enfoque diferenciable . Monografías de la Econometric Society. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-26514-0.Señor 1113262  .
    Teorema C(6) en la página 37 y aplicaciones en las páginas 115-116, 122 y 168: Hildenbrand, Werner (1974). Núcleo y equilibrios de una gran economía . Estudios de Princeton en economía matemática. Princeton University Press. pp. viii+251. ISBN 978-0-691-04189-6.Sr. 0389160  .
  3. ^ Páginas 112-113 de la Sección 7.2 "Convexificación por números" (y, de manera más general, págs. 107-115): Salanié, Bernard (2000). "7 Nonconvexities". Microeconomics of market failures (traducción al inglés de la edición francesa de 1998 de Microéconomie: Les défaillances du marché (Economica, París)). MIT Press. págs. 107-125. ISBN 978-0-262-19443-3.
  4. ^ Páginas 63–65: Laffont, Jean-Jacques (1988). "3 no convexidades". Fundamentos de economía pública . MIT. ISBN 978-0-262-12127-9.
  5. ^ Varian, Hal R. (1992). "21.2 Convexidad y tamaño" . Análisis microeconómico (3.ª ed.). W. W. Norton & Company. pp. 393–394. ISBN 978-0-393-95735-8.Señor 1036734  .
    Página 628: Mas–Colell, Andreu ; Whinston, Michael D.; Green, Jerry R. (1995). "17.1 Grandes economías y no convexidades". Teoría microeconómica . Oxford University Press. pp. 627–630. ISBN 978-0-19-507340-9.
  6. ^ Página 169 de la primera edición: Starr, Ross M. (2011). "8 Conjuntos convexos, teoremas de separación y conjuntos no convexos en  R N ". Teoría del equilibrio general: una introducción (segunda edición). Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9781139174749. ISBN 978-0-521-53386-7.Señor 1462618  .
    En Ellickson, página xviii, y especialmente el capítulo 7 "Walras meets Nash" (especialmente la sección 7.4 "Nonconvexity" páginas 306-310 y 312, y también 328-329) y el capítulo 8 "¿Qué es la competencia?" (páginas 347 y 352): Ellickson, Bryan (1994). Equilibrio competitivo: teoría y aplicaciones . Cambridge University Press. p. 420. ISBN 978-0-521-31988-1.
  7. ^ Teorema 1.6.5 en las páginas 24-25: Ichiishi, Tatsuro (1983). Teoría de juegos para el análisis económico . Teoría económica, econometría y economía matemática. Nueva York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. pp. x+164. ISBN 978-0-12-370180-0.Sr. 0700688  .
  8. ^ Páginas 127 y 33-34: Cassels, J. W. S. (1981). "Apéndice A Conjuntos convexos". Economía para matemáticos . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 62. Cambridge, Nueva York: Cambridge University Press. pp. xi+145. ISBN 978-0-521-28614-5.Sr. 0657578  .
  9. ^ Páginas 93-94 (especialmente el ejemplo 1.92), 143, 318-319, 375-377 y 416: Carter, Michael (2001). Fundamentos de la economía matemática . MIT Press. pp. xx+649. ISBN. 978-0-262-53192-4.Señor 1865841  .
    Página 309: Moore, James C. (1999). Métodos matemáticos para la teoría económica: Volumen  IEstudios de teoría económica. Vol. 9. Berlín: Springer-Verlag. pp. xii+414. doi :10.1007/978-3-662-08544-8. ISBN 978-3-540-66235-8.Señor 1727000  .
    Páginas 47–48: Florenzano, Monique; Le Van, Cuong (2001). Convexidad y optimización en dimensión finita . Estudios en teoría económica. Vol. 13. En colaboración con Pascal Gourdel. Berlín: Springer-Verlag. Págs. xii+154. doi :10.1007/978-3-642-56522-9. ISBN . 978-3-540-41516-9. Sr.  1878374. S2CID  117240618.
  10. ^ Los economistas han estudiado los conjuntos no convexos utilizando matemáticas avanzadas, en particular la geometría diferencial y la topología , la categoría de Baire , la teoría de la medida y la integración y la teoría ergódica : Trockel, Walter (1984). Demanda del mercado: un análisis de las grandes economías con preferencias no convexas . Apuntes de clase sobre economía y sistemas matemáticos. Vol. 223. Berlín: Springer-Verlag. pp. viii+205. doi :10.1007/978-3-642-46488-1. ISBN 978-3-540-12881-6.Sr. 0737006  .
  11. ^ ab Página 1: Guesnerie, Roger (1975). "Optimidad de Pareto en economías no convexas". Econometrica . 43 (1): 1–29. doi :10.2307/1913410. JSTOR  1913410. MR  0443877.( Guesnerie, Roger (1975). "Fe de erratas". Econometrica . 43 (5–6): 1010. doi :10.2307/1911353. JSTOR  1911353. MR  0443878.)
  12. ^ Sraffa, Piero (1926). "Las leyes de los rendimientos en condiciones competitivas". Revista Económica . 36 (144): 535–550. doi :10.2307/2959866. JSTOR  2959866. S2CID  6458099.
  13. ^ Hotelling, Harold (julio de 1938). "El bienestar general en relación con los problemas de tributación y de tarifas ferroviarias y de servicios públicos". Econometrica . 6 (3): 242–269. doi :10.2307/1907054. JSTOR  1907054.
  14. ^ Páginas 5 a 7: Quinzii, Martine (1992). Rendimientos crecientes y eficiencia (Traducción revisada de (1988) Rendements croissants et efficacité economique . París: Editions du Centre National de la Recherche Scientifique ed.). Nueva York: Oxford University Press. págs. viii+165. ISBN 978-0-19-506553-4.
  15. ^ Páginas 106, 110–137, 172 y 248: Baumol, William J. ; Oates, Wallace E. (1988). "8 Externalidades perjudiciales y no convexidades en el conjunto de producción". La teoría de la política ambiental . con contribuciones de V. S. Bawa y David F. Bradford (segunda edición). Cambridge: Cambridge University Press. pp. x+299. ISBN 978-0-521-31112-0.
  16. ^ Starrett, David A. (1972). "No convexidades fundamentales en la teoría de externalidades". Journal of Economic Theory . 4 (2): 180–199. doi :10.1016/0022-0531(72)90148-2. MR  0449575.
    Starrett analiza las no convexidades en su libro de texto sobre economía pública (páginas 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, 147 y 234–236): Starrett, David A. (1988). Fundamentos de la economía pública . Manuales económicos de Cambridge. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521348010. no convexos O no convexidades.
  17. ^ Radner, Roy (1968). "Equilibrio competitivo bajo incertidumbre". Econometrica . 36 (1): 31–53. doi :10.2307/1909602. JSTOR  1909602.
  18. ^ Página 270: Drèze, Jacques H. (1987). "14 Inversión en régimen de propiedad privada: Optimalidad, equilibrio y estabilidad". En Drèze, J. H. (ed.). Ensayos sobre decisiones económicas en condiciones de incertidumbre . Cambridge: Cambridge University Press. pp. 261–297. doi :10.1017/CBO9780511559464. ISBN 978-0-521-26484-6.Sr. 0926685  .(Publicado originalmente como Drèze, Jacques H. (1974). "Inversión bajo propiedad privada: Optimalidad, equilibrio y estabilidad". En Drèze, J. H. (ed.). Asignación bajo incertidumbre: equilibrio y optimización . Nueva York: Wiley. págs. 129-165.)
  19. ^ Página 371: Magill, Michael; Quinzii, Martine (1996). "6 Producción en una economía financiera, Sección 31 Sociedades". La teoría de los mercados incompletos . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. pp. 329–425.
  20. ^ Mas-Colell, A. (1987). "No convexidad" (PDF) . En Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (eds.). The New Palgrave: A Dictionary of Economics (primera edición). Palgrave Macmillan. págs. 653–661. doi :10.1057/9780230226203.3173. ISBN . 9780333786765.
  21. ^ Rockafellar, R. Tyrrell ; Mojados, Roger JB (1998). Análisis variacional . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. vol. 317. Berlín: Springer-Verlag. págs. xiv+733. doi :10.1007/978-3-642-02431-3. ISBN 978-3-540-62772-2.Señor 1491362.S2CID 198120391  . ​
  22. ^ Capítulo 8 "Aplicaciones a la economía", especialmente la Sección 8.5.3 "Introducción a la no convexidad" (y el resto del capítulo), en particular la página 495: Mordukhovich, Boris S. (2006). Análisis variacional y diferenciación generalizada  II : Aplicaciones . Serie Grundlehren (Principios fundamentales de las ciencias matemáticas). Vol. 331. Springer. pp. i–xxii y 1–610. MR  2191745.
  23. ^ Khan, M. Ali (2008). "Competencia perfecta". En Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Segunda edición). Palgrave Macmillan. págs. 354–365. doi :10.1057/9780230226203.1267. ISBN 978-0-333-78676-5.
  24. ^ Brown, Donald J. (1991). "36 Análisis de equilibrio con tecnologías no convexas". En Hildenbrand, Werner ; Sonnenschein, Hugo (eds.). Manual de economía matemática, volumen  IV. Manuales de economía. Vol. 1. Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., págs. 1963–1995 [1966]. doi :10.1016/S1573-4382(05)80011-6. ISBN 0-444-87461-5.Señor 1207195  .
  25. ^ Chichilnisky, G. (1993). "Familias de conjuntos que se cruzan y la topología de los conos en economía" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . Nueva serie. 29 (2): 189–207. arXiv : math/9310228 . Bibcode :1993math.....10228C. CiteSeerX 10.1.1.234.3909 . doi :10.1090/S0273-0979-1993-00439-7. MR  1218037. 

Referencias