código gris

Ordenación de valores binarios, utilizados para posicionamiento y corrección de errores.

El código binario reflejado ( RBC ), también conocido como binario reflejado ( RB ) o código Gray en honor a Frank Gray , es un ordenamiento del sistema de numeración binario tal que dos valores sucesivos difieren en un solo bit (dígito binario).

Por ejemplo, la representación del valor decimal "1" en binario normalmente sería " 001 " y "2" sería " 010 ". En código Gray, estos valores se representan como " 001 " y " 011 ". De esa manera, incrementar un valor de 1 a 2 requiere solo un bit para cambiar, en lugar de dos.

Los códigos grises se utilizan ampliamente para evitar salidas espurias de interruptores electromecánicos y para facilitar la corrección de errores en comunicaciones digitales como la televisión digital terrestre y algunos sistemas de televisión por cable . El uso del código Gray en estos dispositivos ayuda a simplificar las operaciones lógicas y reducir los errores en la práctica. ^[3]

Función

Muchos dispositivos indican la posición mediante interruptores de cierre y apertura. Si ese dispositivo usa códigos binarios naturales , las posiciones 3 y 4 están una al lado de la otra, pero los tres bits de la representación binaria difieren:

El problema con los códigos binarios naturales es que los interruptores físicos no son ideales: es muy poco probable que los interruptores físicos cambien de estado exactamente en sincronía. En la transición entre los dos estados que se muestran arriba, los tres interruptores cambian de estado. En el breve período mientras todos están cambiando, los interruptores leerán alguna posición falsa. Incluso sin rebote de teclas , la transición podría verse como 011 — 001 — 101 — 100 . Cuando los interruptores parecen estar en la posición 001 , el observador no puede decir si esa es la posición "real" 1 o un estado de transición entre otras dos posiciones. Si la salida ingresa a un sistema secuencial , posiblemente a través de lógica combinacional , entonces el sistema secuencial puede almacenar un valor falso.

Este problema se puede resolver cambiando sólo un interruptor a la vez, de modo que nunca haya ambigüedad de posición, lo que resulta en códigos que asignan a cada uno de un conjunto contiguo de números enteros , o a cada miembro de una lista circular, una palabra de símbolos como que no hay dos palabras de código idénticas y que cada dos palabras de código adyacentes difieren exactamente en un símbolo. Estos códigos también se conocen como códigos unitarios-distanciados , ^{[4] [5] [6] [7] [8]} de una sola distancia , de un solo paso , monostróficos ^{[9] [10] [7] [8]} o sincópicos , ^[9] en referencia a la distancia de Hamming de 1 entre códigos adyacentes.

Invención

La patente de Gray introduce el término "código binario reflejado"

En principio, puede haber más de un código de este tipo para una longitud de palabra determinada, pero el término código Gray se aplicó por primera vez a un código binario particular para números enteros no negativos, el código Gray reflejado binario o BRGC . El investigador de Bell Labs, George R. Stibitz, describió dicho código en una solicitud de patente de 1941, concedida en 1943. ^{[11] [12] [13]} Frank Gray introdujo el término código binario reflejado en su solicitud de patente de 1947, señalando que el código tenía " todavía ningún nombre reconocido". ^[14] Derivó el nombre del hecho de que "puede construirse a partir del código binario convencional mediante una especie de proceso de reflexión".

En la codificación estándar del Código Gray, el bit menos significativo sigue un patrón repetitivo de 2 activados, 2 desactivados (… 11001100 …); el siguiente dígito es un patrón de 4 encendidos, 4 apagados; el i -ésimo bit menos significativo es un patrón de 2 ⁱ encendido 2 ⁱ apagado. El dígito más significativo es una excepción a esto: para un código Gray de n bits, el dígito más significativo sigue el patrón 2 ^{n -1} encendido, 2 ^{n -1} apagado, que es la misma secuencia (cíclica) de valores que para el código Gray. segundo dígito más significativo, pero se desplazó hacia adelante 2 ^{n -2} lugares. La versión de cuatro bits de esto se muestra a continuación:

Visualizado como un recorrido de los vértices de un teseracto.

Código gris a lo largo de la recta numérica

Para el decimal 15, el código pasa al decimal 0 con un solo cambio de interruptor. Esto se denomina propiedad cíclica o de adyacencia del código. ^[15]

En las comunicaciones digitales modernas , los códigos Gray desempeñan un papel importante en la corrección de errores . Por ejemplo, en un esquema de modulación digital como QAM , donde los datos normalmente se transmiten en símbolos de 4 bits o más, el diagrama de constelación de la señal está dispuesto de modo que los patrones de bits transmitidos por puntos de constelación adyacentes difieran sólo en un bit. Combinando esto con la corrección de errores directa capaz de corregir errores de un solo bit, es posible que un receptor corrija cualquier error de transmisión que cause que un punto de la constelación se desvíe hacia el área de un punto adyacente. Esto hace que el sistema de transmisión sea menos susceptible al ruido .

A pesar de que Stibitz describió este código ^{[11] [12] [13]} antes que Gray, el código binario reflejado recibió posteriormente el nombre de Gray por otros que lo usaron. Dos solicitudes de patente diferentes de 1953 utilizan "código Gray" como nombre alternativo para el "código binario reflejado"; ^{[16] [17]} uno de ellos también enumera "código de error mínimo" y "código de permutación cíclica" entre los nombres. ^[17] Una solicitud de patente de 1954 se refiere al "código Gray de Bell Telephone". ^[18] Otros nombres incluyen "código binario cíclico", ^[12] "código de progresión cíclico", ^{[19] [12]} "binario permutante cíclico" ^[20] o "binario permutado cíclico" (CPB). ^{[21] [22]}

El código Gray a veces se atribuye erróneamente al inventor de dispositivos eléctricos del siglo XIX, Elisha Gray . ^{[13] [23] [24] [25]}

Historia y aplicación práctica.

acertijos matemáticos

Los códigos binarios reflejados se aplicaron a acertijos matemáticos antes de que los ingenieros los conocieran.

El código Gray reflejado binario representa el esquema subyacente del clásico rompecabezas de anillos chino , un mecanismo de rompecabezas mecánico secuencial descrito por el francés Louis Gros en 1872. ^{[26] [13]}

Puede servir como guía de solución para el problema de las Torres de Hanoi , basado en un juego del francés Édouard Lucas en 1883. ^{[27] [28] [29] [30]} De manera similar, las llamadas Torres de Bucarest y Torres de Las configuraciones del juego de Klagenfurt producen códigos Gray ternarios y pentarios. ^[31]

Martin Gardner escribió un relato popular del código Gray en su columna Mathematical Games de agosto de 1972 en Scientific American . ^[32]

El código también forma un ciclo hamiltoniano en un hipercubo , donde cada bit se considera una dimensión.

Códigos de telegrafía

Cuando el ingeniero francés Émile Baudot pasó de utilizar un código de 6 unidades (6 bits) a un código de 5 unidades para su sistema de impresión telegráfica , en 1875 ^[33] o 1876, ^{[34] [35]} ordenó los caracteres alfabéticos en su rueda de impresión usando un código binario reflejado, y asignó los códigos usando solo tres de los bits a las vocales. Con las vocales y consonantes ordenadas en orden alfabético, ^{[36] [37] [38]} y otros símbolos colocados apropiadamente, el código de caracteres de 5 bits ha sido reconocido como un código binario reflejado. ^[13] Este código se conoció como código Baudot ^[39] y, con cambios menores, finalmente se adoptó como Alfabeto Telegráfico Internacional No. 1 (ITA1, CCITT-1) en 1932. ^{[40] [41] [38]}

Casi al mismo tiempo, el alemán-austriaco Otto Schäffler  [Delaware] ^[42] demostró otra impresión de telégrafo en Viena utilizando un código binario reflejado de 5 bits para el mismo propósito, en 1874. ^{[43] [13]}

Conversión de señal analógica a digital

Frank Gray , que se hizo famoso por inventar el método de señalización que llegó a utilizarse para la televisión en color compatible, inventó un método para convertir señales analógicas en grupos de códigos binarios reflejados utilizando aparatos basados ​​en tubos de vacío . Presentado en 1947, el método y el aparato obtuvieron una patente en 1953, ^[14] y el nombre de Gray se adhirió a los códigos. El aparato de " tubo PCM " que Gray patentó fue fabricado por Raymond W. Sears de Bell Labs, en colaboración con Gray y William M. Goodall, quienes le dieron crédito a Gray por la idea del código binario reflejado. ^[44]

Parte de la portada de la patente de Gray, que muestra el tubo PCM (10) con el código binario reflejado en la placa (15)

Gray estaba más interesado en utilizar los códigos para minimizar errores en la conversión de señales analógicas a digitales; sus códigos todavía se utilizan hoy para este propósito.

Codificadores de posición

Codificador rotatorio para dispositivos de medición de ángulos marcados en código Gray reflejado binario de 3 bits (BRGC)

Un codificador rotatorio absoluto de código Gray con 13 pistas. La carcasa, el disco interruptor y la fuente de luz están en la parte superior; El elemento sensor y los componentes de soporte están en la parte inferior.

Los códigos Gray se utilizan en codificadores de posición lineales y rotativos ( codificadores absolutos y codificadores de cuadratura ) con preferencia a la codificación binaria ponderada. Esto evita la posibilidad de que, cuando cambian varios bits en la representación binaria de una posición, se produzca una lectura errónea porque algunos de los bits cambian antes que otros.

Por ejemplo, algunos codificadores rotatorios proporcionan un disco que tiene un patrón de código Gray eléctricamente conductor en anillos concéntricos (pistas). Cada pista tiene un contacto de resorte metálico estacionario que proporciona contacto eléctrico al patrón de código conductor. Juntos, estos contactos producen señales de salida en forma de código Gray. Otros codificadores emplean mecanismos sin contacto basados ​​en sensores ópticos o magnéticos para producir señales de salida del código Gray.

Independientemente del mecanismo o la precisión de un codificador en movimiento, el error de medición de posición puede ocurrir en posiciones específicas (en los límites del código) porque el código puede estar cambiando en el momento exacto en que se lee (muestrea). Un código de salida binario podría provocar errores importantes en la medición de la posición porque es imposible hacer que todos los bits cambien exactamente al mismo tiempo. Si en el momento de muestrear la posición algunos bits han cambiado y otros no, la posición muestreada será incorrecta. En el caso de codificadores absolutos, la posición indicada puede estar muy alejada de la posición real y, en el caso de codificadores incrementales, esto puede alterar el seguimiento de la posición.

Por el contrario, el código Gray utilizado por los codificadores de posición garantiza que los códigos para dos posiciones consecutivas cualesquiera difieran sólo en un bit y, en consecuencia, sólo un bit puede cambiar a la vez. En este caso, el error de posición máximo será pequeño, indicando una posición adyacente a la posición real.

Algoritmos genéticos

Debido a las propiedades de distancia de Hamming de los códigos Gray, a veces se utilizan en algoritmos genéticos . ^[15] Son muy útiles en este campo, ya que las mutaciones en el código permiten cambios en su mayoría incrementales, pero ocasionalmente un solo cambio de bit puede provocar un gran salto y conducir a nuevas propiedades.

Minimización del circuito booleano

Los códigos grises también se utilizan para etiquetar los ejes de los mapas de Karnaugh desde 1953 ^{[45] [46] [47]} así como en los gráficos circulares de Händler desde 1958, ^{[48] [49] [50] [51]} ambos métodos gráficos para lógica minimización del circuito .

Error de corrección

En las comunicaciones digitales modernas , los códigos grises 1D y 2D desempeñan un papel importante en la prevención de errores antes de aplicar una corrección de errores . Por ejemplo, en un esquema de modulación digital como QAM , donde los datos normalmente se transmiten en símbolos de 4 bits o más, el diagrama de constelación de la señal está dispuesto de modo que los patrones de bits transmitidos por puntos de constelación adyacentes difieran sólo en un bit. Combinando esto con la corrección de errores directa capaz de corregir errores de un solo bit, es posible que un receptor corrija cualquier error de transmisión que cause que un punto de la constelación se desvíe hacia el área de un punto adyacente. Esto hace que el sistema de transmisión sea menos susceptible al ruido .

• 
  Códigos 4-PSK
• 
  Códigos 8-PSK
• 
  Códigos 16-QAM

Comunicación entre dominios de reloj.

Los diseñadores de lógica digital utilizan ampliamente los códigos Gray para pasar información de recuento de varios bits entre lógica síncrona que opera a diferentes frecuencias de reloj. Se considera que la lógica opera en diferentes "dominios de reloj". Es fundamental para el diseño de chips grandes que funcionan con muchas frecuencias de reloj diferentes.

Pedalear por estados con el mínimo esfuerzo

Si un sistema tiene que recorrer todas las combinaciones posibles de estados de encendido y apagado de algún conjunto de controles, y los cambios de los controles requieren gastos no triviales (por ejemplo, tiempo, desgaste, trabajo humano), un código Gray minimiza el número de ajustes. cambia a solo un cambio para cada combinación de estados. Un ejemplo sería probar un sistema de tuberías para todas las combinaciones de configuraciones de sus válvulas operadas manualmente.

Se puede construir un código Gray equilibrado ^[52] que cambie cada bit con la misma frecuencia. Dado que los cambios de bits se distribuyen uniformemente, esto es óptimo de la siguiente manera: los códigos Gray equilibrados minimizan el recuento máximo de cambios de bits para cada dígito.

Contadores de código gris y aritmética.

George R. Stibitz ya utilizó en 1941 un código binario reflejado en un dispositivo contador de impulsos binarios. ^{[11] [12] [13]}

Un uso típico de los contadores de código Gray es crear un búfer de datos FIFO (primero en entrar, primero en salir) que tiene puertos de lectura y escritura que existen en diferentes dominios de reloj. Los contadores de entrada y salida dentro de un FIFO de doble puerto a menudo se almacenan usando código Gray para evitar que se capturen estados transitorios no válidos cuando el conteo cruza dominios de reloj. ^[53] Los punteros de lectura y escritura actualizados deben pasarse entre dominios de reloj cuando cambian, para poder rastrear el estado FIFO vacío y lleno en cada dominio. Cada bit de los punteros se muestrea de forma no determinista para esta transferencia de dominio de reloj. Entonces, para cada bit, se propaga el valor antiguo o el nuevo. Por lo tanto, si más de un bit en el puntero multibit cambia en el punto de muestreo, se puede propagar un valor binario "incorrecto" (ni nuevo ni antiguo). Al garantizar que solo se puede cambiar un bit, los códigos Gray garantizan que los únicos valores muestreados posibles sean el valor multibit nuevo o antiguo. Normalmente se utilizan códigos Gray de longitud de potencia de dos.

A veces, los buses digitales en sistemas electrónicos se utilizan para transmitir cantidades que solo pueden aumentar o disminuir una a la vez, por ejemplo, la salida de un contador de eventos que pasa entre dominios de reloj o a un convertidor de digital a analógico. La ventaja de los códigos Gray en estas aplicaciones es que las diferencias en los retrasos de propagación de los muchos cables que representan los bits del código no pueden hacer que el valor recibido pase por estados que estén fuera de la secuencia del código Gray. Esto es similar a la ventaja de los códigos Gray en la construcción de codificadores mecánicos; sin embargo, la fuente del código Gray es un contador electrónico en este caso. El contador en sí debe contar en código Gray, o si el contador funciona en binario, entonces el valor de salida del contador debe volver a sincronizarse después de que se haya convertido a código Gray, porque cuando un valor se convierte de binario a código Gray, ^{[nb 1 ]} es posible que las diferencias en los tiempos de llegada de los bits de datos binarios al circuito de conversión de binario a Gray signifiquen que el código pueda pasar brevemente por estados que están muy fuera de secuencia. Agregar un registro sincronizado después del circuito que convierte el valor de conteo a código Gray puede introducir un ciclo de latencia de reloj, por lo que contar directamente en código Gray puede ser ventajoso. ^[54]

Para producir el siguiente valor de conteo en un contador de código Gray, es necesario tener alguna lógica combinacional que incremente el valor de conteo actual que está almacenado. Una forma de incrementar un número de código Gray es convertirlo en código binario ordinario, ^[55] agregarle uno con un sumador binario estándar y luego convertir el resultado nuevamente a código Gray. ^[56] Otros métodos de conteo en código Gray se analizan en un informe de Robert W. Doran , incluida la toma de la salida de los primeros pestillos de las chanclas maestro-esclavo en un contador de ondas binario. ^[57]

Direccionamiento de código gris

Como la ejecución del código de programa normalmente provoca un patrón de acceso a la memoria de instrucciones de direcciones localmente consecutivas, las codificaciones de bus que utilizan direccionamiento de código Gray en lugar de direccionamiento binario pueden reducir significativamente el número de cambios de estado de los bits de dirección, reduciendo así el consumo de energía de la CPU en algunos casos bajos. -diseños de potencia. ^{[58] [59]}

Construyendo un código Gray de n bits

Los primeros pasos del método de reflexión y prefijo.

Permutación de código Gray de 4 bits

La lista de códigos Gray reflejada binariamente para n bits se puede generar recursivamente a partir de la lista para n  − 1 bits reflejando la lista (es decir, enumerando las entradas en orden inverso), anteponiendo las entradas en la lista original con un 0 binario , anteponiendo el entradas en la lista reflejada con un binario  1 y luego concatenando la lista original con la lista invertida. ^[13] Por ejemplo, generando la lista n  = 3 a partir de la lista n  = 2:

El código Gray de un bit es G ₁  = ( 0,1 ). Se puede considerar que esto se construye recursivamente como arriba a partir de un código Gray de cero bits G ₀  = (  Λ  ) que consta de una sola entrada de longitud cero. Este proceso iterativo de generar G _{n +1} a partir de G _n aclara las siguientes propiedades del código reflectante estándar:

• G _n es una permutación de los números 0, ..., 2 ⁿ  − 1. (Cada número aparece exactamente una vez en la lista).
• G _n está integrado como la primera mitad de G _{n +1} .
• Por tanto, la codificación es estable , en el sentido de que una vez que aparece un número binario en G _n aparece en la misma posición en todas las listas más largas; por lo que tiene sentido hablar del valor del código Gray reflectante de un número: G ( m ) = el mésimo código Gray reflectante, contando desde 0.
• Cada entrada en G _n difiere sólo en un bit de la entrada anterior. (La distancia de Hamming es 1.)
• La última entrada en G _n difiere sólo en un bit de la primera entrada. (El código es cíclico).

Estas características sugieren un método simple y rápido para traducir un valor binario al código Gray correspondiente. Cada bit se invierte si el siguiente bit superior del valor de entrada se establece en uno. Esto se puede realizar en paralelo mediante una operación de desplazamiento de bits y exclusiva o si están disponibles: el enésimo código Gray se obtiene calculando . Anteponer un bit 0 deja el orden de las palabras de código sin cambios, anteponer un bit 1 invierte el orden de las palabras de código. Si se invierten los bits en la posición de las palabras de código, se invierte el orden de los bloques vecinos de palabras de código. Por ejemplo, si el bit 0 se invierte en una secuencia de palabras de código de 3 bits, se invierte el orden de dos palabras de código vecinas. ${\displaystyle n\oplus \left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 2^{i}}$

000.001.010.011.100.101.110.111 → 001.000.011.010.101.100.111.110  (bit invertido 0)

Si se invierte el bit 1, los bloques de 2 palabras de código cambian de orden:

000.001.010.011.100.101.110.111 → 010.011.000.001.110.111.100.101  (bit invertido 1)

Si se invierte el bit 2, los bloques de 4 palabras de código invierten el orden:

000.001.010.011.100.101.110.111 → 100.101.110.111.000.001.010.011  (bit invertido 2)

Por lo tanto, realizar una exclusiva o en un bit en la posición con el bit en la posición deja intacto el orden de las palabras en código if e invierte el orden de los bloques de palabras en código if . Ahora bien, esta es exactamente la misma operación que el método de reflexión y prefijo para generar el código Gray. ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b_{i+1}}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle b_{i+1}={\mathtt {0}}}$ ${\displaystyle 2^{i+1}}$ ${\displaystyle b_{i+1}={\mathtt {1}}}$

Se puede utilizar un método similar para realizar la traducción inversa, pero el cálculo de cada bit depende del valor calculado del siguiente bit superior, por lo que no se puede realizar en paralelo. Suponiendo que es el vigésimo bit codificado en Gray ( que es el bit más significativo) y el vigésimo bit codificado en binario ( que es el bit más significativo), la traducción inversa se puede dar de forma recursiva: y . Alternativamente, decodificar un código Gray en un número binario se puede describir como una suma de prefijo de los bits en el código Gray, donde cada operación de suma individual en la suma de prefijo se realiza en módulo dos. ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle b_{0}=g_{0}}$ ${\displaystyle b_{i}=g_{i}\oplus b_{i-1}}$

Para construir el código Gray reflejado binario de forma iterativa, en el paso 0 comience con , y en el paso encuentre la posición del bit del 1 menos significativo en la representación binaria de y voltee el bit en esa posición en el código anterior para obtener el siguiente código. . Las posiciones de los bits comienzan en 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, .... ^{[nb 2]} Consulte encontrar el primer conjunto para conocer algoritmos eficientes para calcular estos valores. ${\displaystyle \mathrm {code} _{0}={\mathtt {0}}}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathrm {code} _{i-1}}$ ${\displaystyle \mathrm {code} _{i}}$

Conversión hacia y desde código Gray

Las siguientes funciones en C convierten entre números binarios y sus códigos Gray asociados. Si bien puede parecer que la conversión de Gray a binario requiere que cada bit se maneje de uno en uno, existen algoritmos más rápidos. ^{[60] [55] [nota 1]}

typedef unsigned int uint ;   // Esta función convierte un número binario sin signo en código Gray binario reflejado. uint BinaryToGray ( uint número ) { return número ^ ( número >> 1 ); // El operador >> se desplaza a la derecha. El operador ^ es exclusivo o. }         // Esta función convierte un número de código Gray binario reflejado en un número binario. uint GrayToBinary ( uint num ) { uint máscara = num ; while ( máscara ) { // Cada bit de código Gray tiene un código exclusivo con todos los bits más significativos. máscara >>= 1 ; número ^= máscara ; } devolver número ; }                   // Una versión más eficiente para códigos Gray de 32 bits o menos mediante el uso de técnicas SWAR (SIMD dentro de un registro). // Implementa una función XOR de prefijo paralelo. Las declaraciones de asignación pueden estar en cualquier orden. // // Esta función se puede adaptar para códigos Gray más largos agregando pasos.uint GrayToBinary32 ( uint número ) { número ^= número >> 16 ; número ^= número >> 8 ; número ^= número >> 4 ; número ^= número >> 2 ; número ^= número >> 1 ; devolver número ; } // Una variante de cuatro bits a la vez cambia un número binario (abcd)2 a (abcd)2 ^ (00ab)2, luego a (abcd)2 ^ (00ab)2 ^ (0abc)2 ^ (000a )2.                             

En los procesadores más nuevos, la cantidad de instrucciones ALU en el paso de decodificación se puede reducir aprovechando el conjunto de instrucciones CLMUL . Si MASK es la cadena binaria constante de unos que termina con un solo dígito cero, entonces la multiplicación sin transferencia de MASK con la codificación gris de x siempre dará x o su negación bit a bit.

Tipos especiales de códigos Gray

En la práctica, el "código Gray" casi siempre se refiere a un código Gray reflejado binario (BRGC). Sin embargo, los matemáticos han descubierto otros tipos de códigos Gray. Al igual que los BRGC, cada uno consta de una lista de palabras, donde cada palabra se diferencia de la siguiente en solo un dígito (cada palabra tiene una distancia de Hamming de 1 desde la siguiente palabra).

Códigos Gray con n bits y de longitud inferior a 2 n

Es posible construir códigos Gray binarios con n bits con una longitud inferior a 2 ⁿ , si la longitud es par. Una posibilidad es comenzar con un código Gray equilibrado y eliminar pares de valores al principio y al final, o en el medio. ^{[61] La secuencia} OEIS A290772 ^[62] proporciona el número de posibles secuencias de Gray de longitud 2 n que incluyen cero y utilizan el número mínimo de bits.

código Gray n -ario

Existen muchos tipos especializados de códigos Gray además del código Gray reflejado binario. Uno de esos tipos de código Gray es el código Gray n -ario , también conocido como código Gray no booleano . Como su nombre lo indica, este tipo de código Gray utiliza valores no booleanos en sus codificaciones.

Por ejemplo, un código Gray triario ( ternario ) usaría los valores 0,1,2. ^{[31] El} código Gray ( n ,  k ) es el código Gray n -ario con k dígitos. ^[63] La secuencia de elementos en el código (3, 2)-Gray es: 00,01,02,12,11,10,20,21,22. El código ( n ,  k )-Gray puede construirse de forma recursiva, como BRGC, o puede construirse de forma iterativa . Se presenta un algoritmo para generar iterativamente el código ( N ,  k )-Gray (en C ):

// entradas: base, dígitos, valor // salida: Gray // Convierte un valor en un código Gray con la base y los dígitos dados. // Iterar a través de una secuencia de valores daría como resultado una secuencia // de códigos Gray en los que sólo cambia un dígito a la vez. void toGray ( base sin signo , dígitos sin signo , valor sin signo , gris sin signo [ dígitos ]) { base sin signoN [ dígitos ]; // Almacena el número de base N ordinario, un dígito por entrada unsigned i ; // La variable de bucle // Coloca el número baseN normal en la matriz baseN. Para base 10, 109 // se almacenaría como [9,0,1] for ( i = 0 ; i < dígitos ; i ++ ) { baseN [ i ] = valor % base ; valor = valor / base ; } // Convierte el número baseN normal en el equivalente en código Gray. Tenga en cuenta que // el bucle comienza en el dígito más significativo y desciende. desplazamiento sin signo = 0 ; while ( i -- ) { // El dígito gris se desplaza hacia abajo por la suma de los // dígitos superiores. gris [ i ] = ( baseN [ i ] + cambio ) % base ; cambio = cambio + base - gris [ i ]; // Resta de la base para que el desplazamiento sea positivo } } // EJEMPLOS // entrada: valor = 1899, base = 10, dígitos = 4 // salida: baseN[] = [9,9,8,1], gris[] = [0,1,7,1] // entrada: valor = 1900, base = 10, dígitos = 4 // salida: baseN[] = [0,0,9,1], gris[] = [0, 1,8,1]                                              

Existen otros algoritmos de código Gray para códigos ( n , k ) -Gray. El código ( n , k )-Gray producido por el algoritmo anterior es siempre cíclico; algunos algoritmos, como el de Guan, ^[63] carecen de esta propiedad cuando k es impar. Por otro lado, aunque con este método sólo cambia un dígito a la vez, se puede cambiar ajustando (en bucle de n  − 1 a 0). En el algoritmo de Guan, la cuenta sube y baja alternativamente, de modo que la diferencia numérica entre dos dígitos del código Gray es siempre uno.

Los códigos Gray no están definidos de forma única, porque una permutación de las columnas de dicho código también es un código Gray. El procedimiento anterior produce un código en el que cuanto menor es el significado de un dígito, más a menudo cambia, lo que lo hace similar a los métodos de conteo normales.

Véase también Sistema numérico binario sesgado , una variante del sistema numérico ternario donde como máximo dos dígitos cambian en cada incremento, ya que cada incremento se puede realizar con una operación de acarreo de un dígito como máximo .

Código gris equilibrado

Aunque el código Gray binario reflejado es útil en muchos escenarios, no es óptimo en ciertos casos debido a una falta de "uniformidad". ^[52] En códigos Gray equilibrados , el número de cambios en diferentes posiciones de coordenadas es lo más cercano posible. Para hacer esto más preciso, sea G un ciclo Gray completo R -ario que tiene una secuencia de transición ; los recuentos de transición ( espectro ) de G son la colección de números enteros definidos por ${\displaystyle (\delta _{k})}$

${\displaystyle \lambda _{k}=|\{j\in \mathbb {Z} _{R^{n}}:\delta _{j}=k\}|\,,{\text{ for }}k\in \mathbb {Z} _{n}}$

Un código Gray es uniforme o uniformemente equilibrado si sus recuentos de transición son todos iguales, en cuyo caso tenemos para todos k . Claramente, cuando , dichos códigos existen sólo si n es una potencia de 2. ^[64] Si n no es una potencia de 2, es posible construir códigos binarios bien equilibrados donde la diferencia entre dos recuentos de transición sea como máximo 2; de modo que (combinando ambos casos) cada recuento de transición sea o . ^[52] Los códigos Gray también pueden equilibrarse exponencialmente si todos sus recuentos de transición son potencias adyacentes de dos, y dichos códigos existen para cada potencia de dos. ^{[sesenta y cinco]} ${\displaystyle \lambda _{k}={\tfrac {R^{n}}{n}}}$ ${\displaystyle R=2}$ ${\displaystyle 2\left\lfloor {\tfrac {2^{n}}{2n}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle 2\left\lceil {\tfrac {2^{n}}{2n}}\right\rceil }$

Por ejemplo, un código Gray equilibrado de 4 bits tiene 16 transiciones, que se pueden distribuir uniformemente entre las cuatro posiciones (cuatro transiciones por posición), lo que lo hace uniformemente equilibrado: ^[52]

0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0

0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

mientras que un código Gray equilibrado de 5 bits tiene un total de 32 transiciones, que no se pueden distribuir uniformemente entre las posiciones. En este ejemplo, cuatro posiciones tienen seis transiciones cada una y una tiene ocho: ^[52]

1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1

Ahora mostraremos una construcción ^[66] y una implementación ^[67] para códigos Gray binarios bien balanceados que nos permiten generar un código Gray balanceado de n dígitos para cada n . El principio fundamental es construir inductivamente un  código Gray de ( n + 2) dígitos dado un código Gray G de n dígitos de tal manera que se conserve la propiedad equilibrada. Para hacer esto, consideramos particiones de en un número par L de bloques no vacíos de la forma ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G=g_{0},\ldots ,g_{2^{n}-1}}$

${\displaystyle \left\{g_{0}\right\},\left\{g_{1},\ldots ,g_{k_{2}}\right\},\left\{g_{k_{2}+1},\ldots ,g_{k_{3}}\right\},\ldots ,\left\{g_{k_{L-2}+1},\ldots ,g_{-2}\right\},\left\{g_{-1}\right\}}$

dónde y ) . Esta partición induce un código Gray de dígitos dado por ${\displaystyle k_{1}=0}$ ${\displaystyle k_{L-1}=-2}$ ${\displaystyle k_{L}\equiv -1{\pmod {2^{n}}}}$ ${\displaystyle (n+2)}$

${\displaystyle {\mathtt {00}}g_{0},}$

${\displaystyle {\mathtt {00}}g_{1},\ldots ,{\mathtt {00}}g_{k_{2}},{\mathtt {01}}g_{k_{2}},\ldots ,{\mathtt {01}}g_{1},{\mathtt {11}}g_{1},\ldots ,{\mathtt {11}}g_{k_{2}},}$

${\displaystyle {\mathtt {11}}g_{k_{2}+1},\ldots ,{\mathtt {11}}g_{k_{3}},{\mathtt {01}}g_{k_{3}},\ldots ,{\mathtt {01}}g_{k_{2}+1},{\mathtt {00}}g_{k_{2}+1},\ldots ,{\mathtt {00}}g_{k_{3}},\ldots ,}$

${\displaystyle {\mathtt {00}}g_{-2},{\mathtt {00}}g_{-1},{\mathtt {10}}g_{-1},{\mathtt {10}}g_{-2},\ldots ,{\mathtt {10}}g_{0},{\mathtt {11}}g_{0},{\mathtt {11}}g_{-1},{\mathtt {01}}g_{-1},{\mathtt {01}}g_{0}}$

Si definimos las multiplicidades de transición

${\displaystyle m_{i}=\left|\left\{j:\delta _{k_{j}}=i,1\leq j\leq L\right\}\right|}$

es el número de veces que el dígito en la posición i cambia entre bloques consecutivos en una partición, entonces para el  código Gray ( n + 2) dígitos inducido por esta partición el espectro de transición es ${\displaystyle \lambda '_{i}}$

${\displaystyle \lambda '_{i}={\begin{cases}4\lambda _{i}-2m_{i},&{\text{if }}0\leq i<n\\L,&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

La parte delicada de esta construcción es encontrar una partición adecuada de un código Gray equilibrado de n dígitos de modo que el código inducido por él permanezca equilibrado, pero para esto sólo importan las multiplicidades de transición; unir dos bloques consecutivos sobre una transición de dígitos y dividir otro bloque en otra transición de dígitos produce un código Gray diferente con exactamente el mismo espectro de transición , por lo que se pueden, por ejemplo, ^[65] designar las primeras transiciones en el dígito como aquellas que se encuentran entre dos bloques. Se pueden encontrar códigos uniformes cuando y , y esta construcción también se puede extender al caso R -ario. ^[66] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lambda '_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle R\equiv 0{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle R^{n}\equiv 0{\pmod {n}}}$

Códigos Gray a largo plazo

Los códigos Gray de largo plazo (o espacio máximo ) maximizan la distancia entre cambios consecutivos de dígitos en la misma posición. Es decir, la longitud mínima de ejecución de cualquier bit permanece sin cambios durante el mayor tiempo posible. ^[68]

Códigos grises monótonos

Los códigos monótonos son útiles en la teoría de redes de interconexión, especialmente para minimizar la dilatación de conjuntos lineales de procesadores. ^[69] Si definimos el peso de una cadena binaria como el número de unos en la cadena, entonces, aunque claramente no podemos tener un código Gray con peso estrictamente creciente, es posible que queramos aproximarnos a esto haciendo que el código se ejecute a través de dos cadenas adyacentes. pesos antes de llegar al siguiente.

Podemos formalizar el concepto de códigos Gray monótonos de la siguiente manera: considere la partición del hipercubo en niveles de vértices que tienen el mismo peso, es decir ${\displaystyle Q_{n}=(V_{n},E_{n})}$

${\displaystyle V_{n}(i)=\{v\in V_{n}:v{\text{ has weight }}i\}}$

para . Estos niveles satisfacen . Sea el subgrafo de inducido por y sean las aristas en . Un código Gray monótono es entonces una ruta hamiltoniana de modo que siempre que llegue antes en la ruta, entonces . ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle |V_{n}(i)|=\textstyle {\binom {n}{i}}}$ ${\displaystyle Q_{n}(i)}$ ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}(i)\cup V_{n}(i+1)}$ ${\displaystyle E_{n}(i)}$ ${\displaystyle Q_{n}(i)}$ ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle \delta _{1}\in E_{n}(i)}$ ${\displaystyle \delta _{2}\in E_{n}(j)}$ ${\displaystyle i\leq j}$

Una construcción elegante de códigos Gray monótonos de n dígitos para cualquier n se basa en la idea de construir recursivamente subtrayectos de longitud que tengan aristas en . ^[69] Definimos , siempre que o , y ${\displaystyle P_{n,j}}$ ${\displaystyle 2\textstyle {\binom {n}{j}}}$ ${\displaystyle E_{n}(j)}$ ${\displaystyle P_{1,0}=({\mathtt {0}},{\mathtt {1}})}$ ${\displaystyle P_{n,j}=\emptyset }$ ${\displaystyle j<0}$ ${\displaystyle j\geq n}$

${\displaystyle P_{n+1,j}={\mathtt {1}}P_{n,j-1}^{\pi _{n}},{\mathtt {0}}P_{n,j}}$

de lo contrario. Aquí, hay una permutación adecuadamente definida y se refiere a la ruta P con sus coordenadas permutadas por . Estos caminos dan lugar a dos códigos Gray monótonos de n dígitos y están dados por ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle P^{\pi }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G_{n}^{(1)}}$ ${\displaystyle G_{n}^{(2)}}$

${\displaystyle G_{n}^{(1)}=P_{n,0}P_{n,1}^{R}P_{n,2}P_{n,3}^{R}\cdots {\text{ and }}G_{n}^{(2)}=P_{n,0}^{R}P_{n,1}P_{n,2}^{R}P_{n,3}\cdots }$

La elección de cuál garantiza que estos códigos sean efectivamente códigos Gray resulta ser . Los primeros valores de se muestran en la siguiente tabla. ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}=E^{-1}\left(\pi _{n-1}^{2}\right)}$ ${\displaystyle P_{n,j}}$

Estos códigos Gray monótonos se pueden implementar de manera eficiente de tal manera que cada elemento posterior se pueda generar en tiempo O ( n ). El algoritmo se describe más fácilmente mediante corrutinas .

Los códigos monótonos tienen una conexión interesante con la conjetura de Lovász , que establece que todo gráfico transitivo de vértice conectado contiene un camino hamiltoniano. El subgrafo de "nivel medio" es transitivo por vértices (es decir, su grupo de automorfismo es transitivo, de modo que cada vértice tiene el mismo "entorno local" y no puede diferenciarse de los demás, ya que podemos reetiquetar las coordenadas así como las coordenadas). dígitos binarios para obtener un automorfismo ) y el problema de encontrar un camino hamiltoniano en este subgrafo se denomina "problema de niveles medios", que puede proporcionar información sobre la conjetura más general. La pregunta ha sido respondida afirmativamente para , y la construcción anterior para códigos monótonos garantiza un camino hamiltoniano de longitud al menos 0,839 N, donde N es el número de vértices en el subgrafo de nivel medio. ^[70] ${\displaystyle Q_{2n+1}(n)}$ ${\displaystyle n\leq 15}$

Código Beckett-Gray

Otro tipo de código Gray, el código Beckett-Gray , lleva el nombre del dramaturgo irlandés Samuel Beckett , que estaba interesado en la simetría . Su obra " Quad " cuenta con cuatro actores y está dividida en dieciséis períodos de tiempo. Cada período termina con uno de los cuatro actores entrando o saliendo del escenario. La obra comienza y termina con un escenario vacío, y Beckett quería que cada subconjunto de actores apareciera en el escenario exactamente una vez. ^[71] Claramente, el conjunto de actores que se encuentran actualmente en el escenario puede representarse mediante un código Gray binario de 4 bits. Beckett, sin embargo, impuso una restricción adicional al guión: deseaba que los actores entraran y salieran para que el actor que hubiera estado más tiempo en el escenario fuera siempre el que saliera. Luego, los actores podrían representarse mediante una cola de primero en entrar, primero en salir , de modo que (de los actores en el escenario) el actor que se retira de la cola sea siempre el que entró primero en la cola. ^[71] Beckett no pudo encontrar un código Beckett-Gray para su obra y, de hecho, una lista exhaustiva de todas las secuencias posibles revela que no existe tal código para n = 4. Hoy se sabe que tales códigos sí existen para n = 2, 5, 6, 7 y 8, y no existen para n = 3 o 4. Se puede encontrar un ejemplo de un código Beckett-Gray de 8 bits en Art of Computer Programming de Donald Knuth . ^[13] Según Sawada y Wong, el espacio de búsqueda para n = 6 se puede explorar en 15 horas y se han encontrado más de 9.500 soluciones para el caso n = 7. ^[72]

Códigos de serpiente en la caja

Longitudes máximas de serpientes ( L _s ) y bobinas ( L _c ) en el problema de las serpientes en la caja para dimensiones n de 1 a 4

Los códigos de serpiente en la caja , o serpientes , son las secuencias de nodos de caminos inducidos en un gráfico de hipercubo de n dimensiones , y los códigos de bobina en la caja, ^[73] o bobinas , son las secuencias de nodos de Ciclos inducidos en un hipercubo. Consideradas como códigos Gray, estas secuencias tienen la propiedad de poder detectar cualquier error de codificación de un solo bit. Los códigos de este tipo fueron descritos por primera vez por William H. Kautz a finales de los años cincuenta; ^[5] Desde entonces, se han realizado muchas investigaciones para encontrar el código con el mayor número posible de palabras en clave para una dimensión de hipercubo determinada.

Código Gray de pista única

Otro tipo más de código Gray es el código Gray de pista única (STGC) desarrollado por Norman B. Spedding ^{[74] [75]} y refinado por Hiltgen, Paterson y Brandestini en "Códigos Gray de pista única" (1996). ^{[76] [77]} El STGC es una lista cíclica de P codificaciones binarias únicas de longitud n tal que dos palabras consecutivas difieren exactamente en una posición, y cuando la lista se examina como una matriz P  ×  n , cada columna es un desplazamiento cíclico de la primera columna. ^[78]

Versión animada y codificada por colores del rotor STGC.

El nombre proviene de su uso con codificadores rotatorios , donde los contactos detectan una cantidad de pistas, lo que da como resultado para cada una una salida de 0 o 1 . Para reducir el ruido debido a que diferentes contactos no cambian exactamente en el mismo momento, preferiblemente se configuran las pistas de modo que los datos emitidos por los contactos estén en código Gray. Para obtener una alta precisión angular, se necesitan muchos contactos; Para lograr al menos 1° de precisión, se necesitan al menos 360 posiciones distintas por revolución, lo que requiere un mínimo de 9 bits de datos y, por tanto, el mismo número de contactos.

Si todos los contactos se colocan en la misma posición angular, entonces se necesitan 9 pistas para obtener un BRGC estándar con al menos 1° de precisión. Sin embargo, si el fabricante mueve un contacto a una posición angular diferente (pero a la misma distancia del eje central), entonces el "patrón de anillo" correspondiente debe girarse en el mismo ángulo para obtener el mismo resultado. Si la broca más importante (el anillo interior en la Figura 1) se gira lo suficiente, coincide exactamente con el siguiente anillo. Dado que ambos anillos son idénticos, se puede cortar el anillo interior y mover el sensor de ese anillo al anillo restante idéntico (pero desplazado en ese ángulo con respecto al otro sensor de ese anillo). Esos dos sensores en un solo anillo forman un codificador de cuadratura. Eso reduce el número de pistas para un codificador angular de "resolución de 1°" a 8 pistas. No es posible reducir aún más el número de pistas con BRGC.

Durante muchos años, Torsten Sillke ^[79] y otros matemáticos creyeron que era imposible codificar la posición en una sola pista de modo que las posiciones consecutivas diferían en un solo sensor, a excepción del codificador de cuadratura de 2 sensores y 1 pista. Entonces, para aplicaciones en las que 8 pistas eran demasiado voluminosas, la gente usaba codificadores incrementales de una sola pista (codificadores de cuadratura) o codificadores de "codificador de cuadratura + muesca de referencia" de 2 pistas.

Norman B. Spedding, sin embargo, registró una patente en 1994 con varios ejemplos que demuestran que era posible. ^[74] Aunque no es posible distinguir 2 ⁿ posiciones con n sensores en una sola pista, es posible distinguir cerca de esa cantidad. Etzion y Paterson conjeturan que cuando n es en sí mismo una potencia de 2, n sensores pueden distinguir como máximo 2 ⁿ  − 2 n posiciones y que para el número primo n el límite es 2 ⁿ  − 2 posiciones. ^[80] Los autores continuaron generando un código de pista única de 504 posiciones de longitud 9 que creen que es óptimo. Dado que este número es mayor que 2· ⁸ = 256, cualquier código requiere más de 8 sensores, aunque un BRGC podría distinguir 512 posiciones con 9 sensores.

 Aquí se reproduce un STGC para P  = 30 y n = 5:

Cada columna es un desplazamiento cíclico de la primera columna, y de cualquier fila a la siguiente solo cambia un bit. ^[81] La naturaleza de vía única (como una cadena de código) es útil en la fabricación de estas ruedas (en comparación con BRGC), ya que solo se necesita una vía, lo que reduce su costo y tamaño. La naturaleza del código Gray es útil (en comparación con los códigos en cadena , también llamados secuencias de De Bruijn ), ya que solo un sensor cambiará a la vez, por lo que la incertidumbre durante una transición entre dos estados discretos solo será más o menos una unidad de ángulo. medición que el dispositivo es capaz de resolver. ^[82]

Código Gray de pista única de 9 bits que muestra una resolución angular de un grado.

Desde que se agregó este ejemplo de 30 grados, ha habido mucho interés en ejemplos con mayor resolución angular. En 2008, Gary Williams ^[83] , basándose en un trabajo anterior ^[80], descubrió un código gris de pista única de 9 bits que proporciona una resolución de 1 grado. Este código gris se utilizó para diseñar un dispositivo real que se publicó en el sitio Thingiverse . Este dispositivo ^[84] fue diseñado por etzenseep (Florian Bauer) en septiembre de 2022.

 Aquí se reproduce un STGC para P  = 360 y n = 9:

Código Gray bidimensional

Un diagrama de constelación codificado en Gray para 16- QAM rectangular

Los códigos Gray bidimensionales se utilizan en la comunicación para minimizar el número de errores de bits en puntos adyacentes de modulación de amplitud en cuadratura (QAM) de la constelación . En una codificación típica, los puntos adyacentes horizontales y verticales de la constelación difieren en un solo bit, y los puntos adyacentes diagonales difieren en 2 bits. ^[85]

Los códigos Gray bidimensionales también tienen usos en esquemas de identificación de ubicaciones , donde el código se aplicaría a mapas de área, como una proyección de Mercator de la superficie terrestre, y se usaría una función de distancia bidimensional cíclica apropiada, como la métrica de Mannheim, para calcular la distancia entre dos ubicaciones codificadas, combinando así las características de la distancia de Hamming con la continuación cíclica de una proyección de Mercator. ^[86]

Exceso de código Gray

Si se extrae una subsección de un valor de código específico de ese valor, por ejemplo, los últimos 3 bits de un código gris de 4 bits, el código resultante será un "código gris en exceso". Este código muestra la propiedad de contar hacia atrás en esos bits extraídos si el valor original aumenta aún más. La razón de esto es que los valores codificados en gris no muestran el comportamiento de desbordamiento, conocido en la codificación binaria clásica, cuando aumentan más allá del valor "más alto".

Ejemplo: el código Gray de 3 bits más alto, 7, está codificado como (0)100. Sumar 1 da como resultado el número 8, codificado en gris como 1100. Los últimos 3 bits no se desbordan y cuentan hacia atrás si aumenta aún más el código original de 4 bits.

Cuando se trabaja con sensores que generan múltiples valores codificados en gris en serie, se debe prestar atención a si el sensor produce esos múltiples valores codificados en un único código gris o como valores separados, ya que de lo contrario podría parecer que los valores están contando. hacia atrás cuando se espera un "desbordamiento".

Isometría gris

El mapeo biyectivo { 0 ↔ 00 , 1 ↔ 01 , 2 ↔ 11 , 3 ↔ 10 } establece una isometría entre el espacio métrico sobre el campo finito con la métrica dada por la distancia de Hamming y el espacio métrico sobre el anillo finito (el habitual aritmética modular ) con la métrica dada por la distancia de Lee . El mapeo se extiende adecuadamente a una isometría de los espacios de Hamming y . Su importancia radica en establecer una correspondencia entre varios códigos "buenos" pero no necesariamente lineales, como imágenes de mapa de grises en códigos lineales en anillo de . ^{[87] [88]} ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$

Códigos relacionados

Hay varios códigos binarios similares a los códigos Gray, que incluyen:

• Los códigos Datex, también conocidos como códigos Giannini (1954), descritos por Carl P. Spaulding, ^{[9] [89] [90] [91] [92] [8]} utilizan una variante del código O'Brien II.
• Los códigos utilizados por Varec (ca. 1954), ^{[93] [94] [95] [96]} utilizan una variante del código I de O'Brien, así como variantes del código Gray de base 12 y base 16.
• Código lucal (1959) ^{[1] [2] [57]} también conocido como código binario reflejado modificado (MRB) ^{[1] [2] [nb 3]}
• El código Gillham (1961/1962), ^{[90] [97] [8] [98] [99]} utiliza una variante del código Datex y el código O'Brien II.
• Código de Leslie y Russell (1964) ^{[100] [10] [101] [97]}
• Código de establecimiento de Royal Radar ^[97]
• Código Hoklas (1988) ^{[102] [103] [104]}

Los siguientes códigos decimales codificados en binario (BCD) también son variantes del código Gray:

• Código Petherick (1953), ^{[19] [105] [106] [107] [55] [103] [nb 4]} también conocido como código Royal Aircraft Establishment (RAE). ^[108]
• Códigos O'Brien I y II (1955) ^{[109] [110] [111] [91] [92] [103]} (Un código O'Brien tipo I ^{[nb 5]} ya fue descrito por Frederic A. Foss de IBM ^{[112] [113]} y utilizado por Varec en 1954. Más tarde, también se conoció como código Watts o código decimal reflejado de Watts (WRD) y, a veces, se lo denomina ambiguamente código Gray modificado binario reflejado ^{[114] [20] . [21] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [nb 1] [nb 3]} Datex ya utilizaba un código O'Brien tipo II en 1954. ^{[nb 4]} )
• Código Gray exceso-3 (1956) ^[121] (también conocido como código Gray exceso-3 , ^{[91] [92] [8]} Código Gray exceso 3, código reflejo exceso-3, código Gray exceso, ^[103] Código Gray exceso , código Gray 10-exceso-3 o código Gray-Stibitz), descrito por Frank P. Turvey Jr. de ITT . ^[121]
• Códigos Tompkins I y II (1956) ^{[4] [110] [111] [91] [92] [103]}
• Código Glixon (1957), a veces también llamado ambiguamente código Gray modificado ^{[122] [55] [123] [124] [110] [111] [91] [92] [103] [nb 3] [nb 5]}

Ver también

• Registro de desplazamiento de retroalimentación lineal
• Secuencia de De Bruijn
• Algoritmo Steinhaus-Johnson-Trotter : un algoritmo que genera códigos Gray para el sistema numérico factorial
• Código de distancia mínima
• Secuencia Prouhet-Thue-Morse : relacionada con el código Gray inverso
• Fórmula Ryser
• curva de Hilbert

Notas

1. Al aplicar una regla de inversión simple , el código Gray y el código O'Brien I se pueden traducir al código binario puro 8421 y al código Aiken 2421 , respectivamente, para facilitar las operaciones aritméticas. ^[C]
2. Secuencia 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3,… (secuencia A007814 en la OEIS ).
3. Hay varias variantes del código Gray que se denominan "modificados" de algún tipo: el código Glixon a veces se denomina código Gray modificado. ^[D] El código Lucal también se llama código binario reflejado modificado (MRB). ^[E] El código O'Brien I o código Watts a veces se denomina código Gray modificado binario reflejado. ^[F]
4. Al intercambiar e invertir filas de tres bits, el código O'Brien II y el código Petherick se pueden transferir entre sí.
5. Al intercambiar dos pares de filas de bits, desplazar individualmente cuatro filas de bits e invertir una de ellas, el código Glixon y el código O'Brien I se pueden transferir entre sí.
6. Libaw-Craig de 5 bits no relacionado con el código Gray y el código 1-2-1 .
7. Dependiendo de la aplicación de destino de un código, los pesos de Hamming de un código pueden ser propiedades importantes más allá de las consideraciones teóricas de codificación, también por razones físicas. En algunas circunstancias, se deben omitir los estados de todo despejado y/o todo listo (por ejemplo, para evitar condiciones no conductoras o de cortocircuito), puede ser deseable mantener el peso más alto utilizado lo más bajo posible (por ejemplo, para reducir la potencia). consumo del circuito lector) o para mantener pequeña la variación de los pesos utilizados (por ejemplo, para reducir el ruido acústico o las fluctuaciones de corriente).
8. Para los códigos Gray BCD, Paul y Klar, el número de pistas de lectura necesarias se puede reducir de 4 a 3 si la inversión de una de las pistas intermedias es aceptable.
9. Para los códigos O'Brien I y II y Petherick, Susskind, Klar, así como para los códigos Gray Excess-3, se puede derivar un complemento a 9 invirtiendo el dígito binario más significativo (cuarto).
10. Para el código Tompkins II, se puede derivar un complemento a 9 invirtiendo los primeros tres dígitos e intercambiando los dos dígitos binarios del medio.

Referencias

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3. Gray, Joel (marzo de 2020). "Comprensión del código Gray: un sistema de codificación confiable". Graycode.es . Sección: Conclusión . Consultado el 30 de junio de 2023 .
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5. Kautz, William H. (junio de 1958). "Códigos de verificación de errores de unidad-distancia". Transacciones IRE en Computadoras Electrónicas . CE-7 (2): 179–180. doi :10.1109/TEC.1958.5222529. ISSN  0367-9950. S2CID  26649532.(2 páginas)
6. Susskind, Alfred Kriss; Ward, John Erwin (28 de marzo de 1958) [1957, 1956]. "III.F. Códigos unidad-distancia / VI.E.2. Códigos binarios reflejados". Escrito en Cambridge, Massachusetts, EE.UU. En Susskind, Alfred Kriss (ed.). Notas sobre técnicas de conversión analógico-digital . Libros de tecnología en ciencia e ingeniería. vol. 1 (3 ed.). Nueva York, EE.UU.: Technology Press del Instituto Tecnológico de Massachusetts / John Wiley & Sons, Inc. / Chapman & Hall, Ltd. págs. 3-10–3-16 [3-13–3-16], 6-65 –6-60 [6-60].(x+416+2 páginas) (NB. El contenido del libro fue preparado originalmente por miembros del personal del Servomechanisms Laboraratory , Departamento de Ingeniería Eléctrica, MIT , para los Programas Especiales de Verano llevados a cabo en 1956 y 1957. El "código de tipo de lectura" de Susskind " es en realidad una variante menor del código que se muestra aquí con las dos filas de bits más significativas intercambiadas para ilustrar mejor las simetrías. Además, al intercambiar dos filas de bits e invertir una de ellas, el código se puede transferir al código Petherick, mientras que al intercambiar e invirtiendo dos filas de bits, el código se puede transferir al código O'Brien II.)
7. Chinal, Jean P. (enero de 1973). "3.3. Códigos de distancia unitaria". Escrito en París, Francia. Métodos de diseño de sistemas digitales. Traducido por Preston, Alan; Verano, Arthur (1ª ed. en inglés). Berlín, Alemania: Akademie-Verlag / Springer-Verlag . pag. 50.doi :10.1007/978-3-642-86187-1 . ISBN 978-0-387-05871-9. S2CID  60362404. Licencia nº 202-100/542/73. N.º de pedido 7617470(6047) ES 19 B 1 / 20 K 3 . Consultado el 21 de junio de 2020 .(xviii+506 páginas) (NB. El libro original francés de 1967 se llamó "Techniques Booléennes et Calculateurs Arithmétiques", publicado por Éditions Dunod  [fr] ).
8. Manual militar de abcdef: codificadores: ángulo del eje a digital (PDF) . Departamento de Defensa de Estados Unidos . 30 de septiembre de 1991. MIL-HDBK-231A. Archivado (PDF) desde el original el 25 de julio de 2020 . Consultado el 25 de julio de 2020 .(NB. Reemplaza MIL-HDBK-231(AS) (1970-07-01).)
9. Spaulding, Carl P. (12 de enero de 1965) [9 de marzo de 1954]. «Sistema de codificación y traducción digital» (PDF) . Monrovia, California, Estados Unidos: Datex Corporation. Patente estadounidense 3165731A . Número de serie 415058. Archivado (PDF) desde el original el 5 de agosto de 2020 . Consultado el 21 de enero de 2018 .(28 páginas)
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enlaces externos

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• Diccionario NIST de algoritmos y estructuras de datos: código Gray.
• Guía del autoestopista sobre computación evolutiva, P21: ¿Qué son los códigos Gray y por qué se usan?, incluido el código C para convertir entre binario y BRGC.
• Dragos A. Harabor utiliza códigos Gray en un digitalizador 3D.
• Los códigos grises de una sola pista, los códigos de cadena binaria (Lancaster 1994) y los registros de desplazamiento de retroalimentación lineal son útiles para encontrar la posición absoluta en un codificador rotatorio de una sola pista (u otro sensor de posición).
• Columna AMS: códigos grises
• Generador de rueda de codificador óptico
• ProtoTalk.net – Comprensión de la codificación en cuadratura: cubre la codificación en cuadratura con más detalle con un enfoque en aplicaciones robóticas.