El electromagnetismo computacional ( CEM ), la electrodinámica computacional o el modelado electromagnético es el proceso de modelar la interacción de los campos electromagnéticos con los objetos físicos y el medio ambiente utilizando computadoras.
Por lo general, implica el uso de programas informáticos para calcular soluciones aproximadas a las ecuaciones de Maxwell para calcular el rendimiento de la antena , la compatibilidad electromagnética , la sección transversal del radar y la propagación de ondas electromagnéticas cuando no se encuentra en el espacio libre. Un subcampo importante son los programas informáticos de modelado de antenas , que calculan el patrón de radiación y las propiedades eléctricas de las antenas de radio y se utilizan ampliamente para diseñar antenas para aplicaciones específicas.
Varios problemas electromagnéticos del mundo real, como la dispersión electromagnética , la radiación electromagnética , el modelado de guías de ondas , etc., no se pueden calcular analíticamente debido a la multitud de geometrías irregulares que se encuentran en los dispositivos reales. Las técnicas numéricas computacionales pueden superar la incapacidad de derivar soluciones de forma cerrada de las ecuaciones de Maxwell bajo varias relaciones constitutivas de medios y condiciones de contorno . Esto hace que el electromagnetismo computacional (CEM) sea importante para el diseño y modelado de antenas, radares, satélites y otros sistemas de comunicación, dispositivos nanofotónicos y electrónica de silicio de alta velocidad, imágenes médicas , diseño de antenas de teléfonos celulares, entre otras aplicaciones.
Los modelos CEM generalmente resuelven el problema de calcular los campos E (eléctrico) y H (magnético) en todo el dominio del problema (por ejemplo, para calcular el patrón de radiación de la antena para una estructura de antena con forma arbitraria). También se puede calcular la dirección del flujo de potencia ( vector de Poynting ), los modos normales de una guía de ondas , la dispersión de ondas generadas por el medio y la dispersión a partir de los campos E y H. Los modelos CEM pueden asumir o no simetría , simplificando las estructuras del mundo real a cilindros idealizados , esferas y otros objetos geométricos regulares. Los modelos CEM hacen un uso extensivo de la simetría y resuelven la dimensionalidad reducida de 3 dimensiones espaciales a 2D e incluso 1D.
Una formulación de problema de valor propio de CEM nos permite calcular modos normales de estado estable en una estructura. La respuesta transitoria y los efectos del campo de impulso se modelan con mayor precisión mediante CEM en el dominio del tiempo, mediante FDTD . Los objetos geométricos curvos se tratan con mayor precisión como elementos finitos FEM o cuadrículas no ortogonales. El método de propagación de haz (BPM) puede resolver el flujo de potencia en guías de onda. CEM es específico de la aplicación, incluso si diferentes técnicas convergen al mismo campo y distribuciones de potencia en el dominio modelado.
El enfoque numérico más común es discretizar ("mallar") el espacio del problema en términos de cuadrículas o formas regulares ("celdas"), y resolver las ecuaciones de Maxwell simultáneamente en todas las celdas. La discretización consume memoria de la computadora, y resolver las ecuaciones relevantes lleva un tiempo significativo. Los problemas de CEM a gran escala enfrentan limitaciones de memoria y CPU, y combatir estas limitaciones es un área activa de investigación. A menudo se requiere agrupamiento de alto rendimiento, procesamiento vectorial y/o paralelismo para que el cálculo sea práctico. Algunos métodos típicos incluyen: paso a paso a través de las ecuaciones en todo el dominio para cada instante de tiempo; inversión de matriz en bandas para calcular los pesos de las funciones base (cuando se modelan por métodos de elementos finitos); productos matriciales (cuando se utilizan métodos de matriz de transferencia); cálculo de integrales numéricas (cuando se utiliza el método de momentos ); uso de transformadas rápidas de Fourier ; e iteraciones de tiempo (cuando se calcula por el método de paso dividido o por BPM).
Elegir la técnica correcta para resolver un problema es importante, ya que elegir la incorrecta puede dar como resultado resultados incorrectos o que tarden demasiado en calcularse. Sin embargo, el nombre de una técnica no siempre indica cómo se implementa, especialmente en el caso de las herramientas comerciales, que suelen tener más de un solucionador.
Davidson [1] ofrece dos tablas que comparan las técnicas FEM, MoM y FDTD en la forma en que se implementan normalmente. Una tabla es para la región abierta (problemas de radiación y dispersión) y otra tabla es para problemas de ondas guiadas.
Las ecuaciones de Maxwell pueden formularse como un sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales parciales . Esto permite acceder a técnicas potentes para soluciones numéricas.
Se supone que las ondas se propagan en el plano ( x , y ) y restringen la dirección del campo magnético para que sea paralela al eje z y, por lo tanto, el campo eléctrico para que sea paralelo al plano ( x , y ). La onda se denomina onda magnética transversal (TM). En 2D y sin términos de polarización presentes, las ecuaciones de Maxwell se pueden formular como: donde u , A , B y C se definen como
En esta representación, es la función de fuerza , y está en el mismo espacio que . Puede utilizarse para expresar un campo aplicado externamente o para describir una restricción de optimización . Como se formuló anteriormente:
También puede definirse explícitamente como igual a cero para simplificar ciertos problemas o para encontrar una solución característica , que a menudo es el primer paso de un método para encontrar la solución no homogénea particular.
La aproximación de dipolo discreto es una técnica flexible para calcular la dispersión y la absorción por objetivos de geometría arbitraria . La formulación se basa en la forma integral de las ecuaciones de Maxwell. La DDA es una aproximación del objetivo continuo mediante una matriz finita de puntos polarizables. Los puntos adquieren momentos dipolares en respuesta al campo eléctrico local. Los dipolos, por supuesto, interactúan entre sí a través de sus campos eléctricos, por lo que la DDA también se conoce a veces como la aproximación de dipolo acoplado . El sistema lineal de ecuaciones resultante se resuelve comúnmente utilizando iteraciones de gradiente conjugado . La matriz de discretización tiene simetrías (la forma integral de las ecuaciones de Maxwell tiene forma de convolución) que permiten que la transformada rápida de Fourier multiplique la matriz por el vector durante las iteraciones de gradiente conjugado.
El método de momentos (MoM) [2] o método de elementos de contorno (BEM) es un método computacional numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales que se han formulado como ecuaciones integrales (es decir, en forma integral de contorno ). Se puede aplicar en muchas áreas de la ingeniería y la ciencia, incluidas la mecánica de fluidos , la acústica , el electromagnetismo , la mecánica de fracturas y la plasticidad .
El método MoM se ha vuelto más popular desde la década de 1980. Debido a que requiere calcular solo valores de contorno, en lugar de valores en todo el espacio, es significativamente más eficiente en términos de recursos computacionales para problemas con una pequeña relación superficie/volumen. Conceptualmente, funciona construyendo una "malla" sobre la superficie modelada. Sin embargo, para muchos problemas, los métodos MoM son significativamente menos eficientes computacionalmente que los métodos de discretización de volumen ( método de elementos finitos , método de diferencias finitas , método de volumen finito ). Las formulaciones de elementos de contorno generalmente dan lugar a matrices completamente pobladas. Esto significa que los requisitos de almacenamiento y el tiempo computacional tenderán a crecer de acuerdo con el cuadrado del tamaño del problema. Por el contrario, las matrices de elementos finitos generalmente están en bandas (los elementos solo están conectados localmente) y los requisitos de almacenamiento para las matrices del sistema generalmente crecen linealmente con el tamaño del problema. Se pueden utilizar técnicas de compresión ( por ejemplo, expansiones multipolares o aproximaciones cruzadas adaptativas/matrices jerárquicas) para mejorar estos problemas, aunque al costo de una mayor complejidad y con una tasa de éxito que depende en gran medida de la naturaleza y la geometría del problema.
El MoM es aplicable a problemas para los que se pueden calcular funciones de Green . Estos suelen implicar campos en medios homogéneos lineales . Esto impone restricciones considerables en el rango y la generalidad de los problemas adecuados para elementos de contorno. Se pueden incluir no linealidades en la formulación, aunque generalmente introducen integrales de volumen que requieren que el volumen se discretice antes de la solución, eliminando una ventaja del MoM que se cita con frecuencia.
El método multipolar rápido (FMM) es una alternativa a MoM o suma de Ewald. Es una técnica de simulación precisa y requiere menos memoria y potencia de procesador que MoM. El FMM fue introducido por primera vez por Greengard y Rokhlin [3] [4] y se basa en la técnica de expansión multipolar . La primera aplicación del FMM en electromagnetismo computacional fue por Engheta et al. (1992). [5] El FMM también tiene aplicaciones en bioelectromagnetismo computacional en el método multipolar rápido de elementos de contorno basado en carga . El FMM también se puede utilizar para acelerar MoM.
Si bien el método multipolar rápido es útil para acelerar soluciones MoM de ecuaciones integrales con núcleos oscilatorios estáticos o de dominio de frecuencia, el algoritmo de dominio temporal de onda plana (PWTD) emplea ideas similares para acelerar la solución MoM de ecuaciones integrales de dominio temporal que involucran el potencial retardado . El algoritmo PWTD fue introducido en 1998 por Ergin, Shanker y Michielssen. [6]
El circuito equivalente de elementos parciales (PEEC) es un método de modelado de onda completa en 3D adecuado para el análisis combinado de circuitos y electromagnéticos . A diferencia del MoM, el PEEC es un método de espectro completo válido desde CC hasta la frecuencia máxima determinada por la malla. En el método PEEC, la ecuación integral se interpreta como la ley de voltaje de Kirchhoff aplicada a una celda PEEC básica, lo que da como resultado una solución de circuito completa para geometrías en 3D. La formulación del circuito equivalente permite incluir fácilmente elementos de circuito de tipo SPICE adicionales . Además, los modelos y el análisis se aplican tanto al dominio del tiempo como al dominio de la frecuencia. Las ecuaciones de circuito resultantes del modelo PEEC se construyen fácilmente utilizando una formulación de análisis de bucle modificado (MLA) o análisis nodal modificado (MNA). Además de proporcionar una solución de corriente continua, tiene varias otras ventajas sobre un análisis MoM para esta clase de problemas, ya que se puede incluir cualquier tipo de elemento de circuito de una manera sencilla con sellos de matriz adecuados. El método PEEC se ha ampliado recientemente para incluir geometrías no ortogonales. [7] Esta extensión del modelo, que es coherente con la formulación ortogonal clásica , incluye la representación de Manhattan de las geometrías además de los elementos cuadriláteros y hexaédricos más generales . Esto ayuda a mantener el número de incógnitas al mínimo y, por lo tanto, reduce el tiempo de cálculo para geometrías no ortogonales. [8]
El método de momentos de Cagniard-deHoop (CdH-MoM) es una técnica de ecuación integral de dominio temporal de onda completa en 3-D que se formula a través del teorema de reciprocidad de Lorentz . Dado que el CdH-MoM se basa en gran medida en el método de Cagniard-deHoop , un enfoque de transformada conjunta desarrollado originalmente para el análisis analítico de la propagación de ondas sísmicas en el modelo de la corteza terrestre, este enfoque es muy adecuado para el análisis EM TD de estructuras de capas planas. El CdH-MoM se ha aplicado originalmente a estudios de rendimiento de dominio temporal de antenas cilíndricas y planas [9] y, más recientemente, al análisis de dispersión EM TD de líneas de transmisión en presencia de láminas delgadas [10] y metasuperficies electromagnéticas, [11] [12] por ejemplo.
El dominio de frecuencia de diferencias finitas (FDFD) proporciona una solución rigurosa a las ecuaciones de Maxwell en el dominio de frecuencia utilizando el método de diferencias finitas. [13] Se podría decir que FDFD es el método numérico más simple que aún proporciona una solución rigurosa. Es increíblemente versátil y capaz de resolver prácticamente cualquier problema en electromagnetismo. El principal inconveniente de FDFD es su baja eficiencia en comparación con otros métodos. Sin embargo, en las computadoras modernas, se manejan fácilmente una gran variedad de problemas, como el cálculo de modos guiados en guías de onda, el cálculo de dispersión de un objeto, el cálculo de transmisión y reflexión de cristales fotónicos, el cálculo de diagramas de banda fotónica, la simulación de metamateriales y mucho más.
El FDFD puede ser el mejor método "inicial" para aprender electromagnetismo computacional (CEM). Implica casi todos los conceptos encontrados con otros métodos, pero en un marco mucho más simple. Los conceptos incluyen condiciones de contorno, álgebra lineal, inyección de fuentes, representación numérica de dispositivos y posprocesamiento de datos de campo para calcular cosas significativas. Esto ayudará a una persona a aprender otras técnicas, así como también brindará una forma de probar y comparar esas otras técnicas.
La FDFD es muy similar a la FDTD (finite-difference time-domain). Ambos métodos representan el espacio como una matriz de puntos y aplican las ecuaciones de Maxwell en cada punto. La FDFD coloca este gran conjunto de ecuaciones en una matriz y resuelve todas las ecuaciones simultáneamente utilizando técnicas de álgebra lineal. Por el contrario, la FDTD itera continuamente sobre estas ecuaciones para desarrollar una solución a lo largo del tiempo. Numéricamente, la FDFD y la FDTD son muy similares, pero sus implementaciones son muy diferentes.
El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD, por sus siglas en inglés) es una técnica CEM popular. Es fácil de entender. Tiene una implementación excepcionalmente simple para un solucionador de onda completa. Es al menos un orden de magnitud menos de trabajo implementar un solucionador FDTD básico que un solucionador FEM o MoM. FDTD es la única técnica en la que una persona puede implementarla de manera realista en un marco de tiempo razonable, pero incluso entonces, esto será para un problema bastante específico. [1] Dado que es un método de dominio del tiempo, las soluciones pueden cubrir un amplio rango de frecuencias con una sola ejecución de simulación, siempre que el paso de tiempo sea lo suficientemente pequeño para satisfacer el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon para la frecuencia más alta deseada.
La FDTD pertenece a la clase general de métodos de modelado numérico diferencial en el dominio del tiempo basados en cuadrículas. Las ecuaciones de Maxwell (en forma diferencial parcial ) se modifican a ecuaciones de diferencia central, se discretizan y se implementan en software. Las ecuaciones se resuelven de manera cíclica: el campo eléctrico se resuelve en un instante dado en el tiempo, luego el campo magnético se resuelve en el siguiente instante en el tiempo y el proceso se repite una y otra vez.
El algoritmo FDTD básico se remonta a un artículo seminal de 1966 de Kane Yee en IEEE Transactions on Antennas and Propagation . Allen Taflove originó el descriptor "Finite-difference time-domain" y su acrónimo "FDTD" correspondiente en un artículo de 1980 en IEEE Trans. Electromagn. Compat. Desde aproximadamente 1990, las técnicas FDTD han surgido como el medio principal para modelar muchos problemas científicos y de ingeniería que abordan las interacciones de las ondas electromagnéticas con las estructuras materiales. Mohammadian et al. introdujeron una técnica eficaz basada en un procedimiento de discretización de volumen finito en el dominio del tiempo. en 1991. [14] Las aplicaciones actuales de modelado FDTD varían desde cerca de CC (geofísica de frecuencia ultrabaja que involucra toda la guía de ondas de la ionosfera de la Tierra ) a través de microondas (tecnología de firma de radar, antenas, dispositivos de comunicaciones inalámbricas, interconexiones digitales, imágenes/tratamiento biomédico) hasta luz visible ( cristales fotónicos , nanoplasmónica, solitones y biofotónica ). Aproximadamente 30 suites de software comerciales y desarrolladas por universidades están disponibles.
Entre los muchos métodos de dominio temporal, el método de dominio temporal de Galerkin discontinuo (DGTD) se ha vuelto popular recientemente, ya que integra las ventajas tanto del método de dominio temporal de volumen finito (FVTD) como del método de dominio temporal de elementos finitos (FETD). Al igual que FVTD, el flujo numérico se utiliza para intercambiar información entre elementos vecinos, por lo que todas las operaciones de DGTD son locales y fácilmente paralelizables. De manera similar a FETD, DGTD emplea una malla no estructurada y es capaz de lograr una precisión de alto orden si se adopta la función de base jerárquica de alto orden. Con los méritos anteriores, el método DGTD se implementa ampliamente para el análisis transitorio de problemas multiescala que involucran una gran cantidad de incógnitas. [15] [16]
MRTD es una alternativa adaptativa al método de dominio de tiempo de diferencias finitas (FDTD) basado en el análisis wavelet .
El método de elementos finitos (MEF) se utiliza para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) y ecuaciones integrales . El enfoque de la solución se basa en eliminar por completo las derivadas temporales (problemas de estado estacionario) o en convertir la EDP en una ecuación diferencial ordinaria equivalente , que luego se resuelve utilizando técnicas estándar como diferencias finitas , etc.
Al resolver ecuaciones diferenciales parciales , el principal desafío es crear una ecuación que se aproxime a la ecuación que se va a estudiar, pero que sea numéricamente estable , es decir, que los errores en los datos de entrada y los cálculos intermedios no se acumulen y destruyan el significado del resultado. Hay muchas formas de hacerlo, con diversas ventajas y desventajas. El método de elementos finitos es una buena opción para resolver ecuaciones diferenciales parciales en dominios complejos o cuando la precisión deseada varía en todo el dominio.
La técnica de integración finita (FIT) es un esquema de discretización espacial para resolver numéricamente problemas de campos electromagnéticos en el dominio del tiempo y la frecuencia. Conserva las propiedades topológicas básicas de las ecuaciones continuas, como la conservación de la carga y la energía. FIT fue propuesta en 1977 por Thomas Weiland y se ha mejorado continuamente a lo largo de los años. [17] Este método cubre la gama completa de aplicaciones electromagnéticas (desde estáticas hasta de alta frecuencia) y ópticas y es la base de herramientas de simulación comerciales: CST Studio Suite desarrollada por Computer Simulation Technology (CST AG) y soluciones de simulación electromagnética desarrolladas por Nimbic .
La idea básica de este enfoque es aplicar las ecuaciones de Maxwell en forma integral a un conjunto de cuadrículas escalonadas. Este método se destaca por su alta flexibilidad en el modelado geométrico y el manejo de límites, así como por la incorporación de distribuciones arbitrarias de materiales y propiedades de materiales como anisotropía , no linealidad y dispersión. Además, el uso de una cuadrícula ortogonal dual consistente (por ejemplo, cuadrícula cartesiana ) junto con un esquema de integración temporal explícito (por ejemplo, esquema de salto de rana) conduce a algoritmos eficientes en el uso de la memoria y el cálculo, que están especialmente adaptados para el análisis de campos transitorios en aplicaciones de radiofrecuencia (RF).
Esta clase de técnicas computacionales de marcha en el tiempo para las ecuaciones de Maxwell utiliza transformadas discretas de Fourier o de Chebyshev para calcular las derivadas espaciales de los componentes del vector de campo eléctrico y magnético que están dispuestos en una cuadrícula 2-D o en una red 3-D de celdas unitarias. La PSTD causa errores numéricos insignificantes de anisotropía de velocidad de fase en relación con la FDTD y, por lo tanto, permite modelar problemas de un tamaño eléctrico mucho mayor. [18]
La PSSD resuelve las ecuaciones de Maxwell propagándolas hacia adelante en una dirección espacial elegida. Por lo tanto, los campos se mantienen como una función del tiempo y (posiblemente) de cualquier dimensión espacial transversal. El método es pseudoespectral porque las derivadas temporales se calculan en el dominio de la frecuencia con la ayuda de FFT. Como los campos se mantienen como funciones del tiempo, esto permite modelar de manera rápida y precisa la dispersión arbitraria en el medio de propagación con un mínimo esfuerzo. [19] Sin embargo, la elección de propagarse hacia adelante en el espacio (en lugar de en el tiempo) conlleva algunas sutilezas, en particular si las reflexiones son importantes. [20]
La matriz de línea de transmisión (TLM) se puede formular de varias maneras como un conjunto directo de elementos concentrados que se pueden resolver directamente mediante un solucionador de circuitos (como SPICE, HSPICE , etc.), como una red personalizada de elementos o mediante un enfoque de matriz de dispersión . La TLM es una estrategia de análisis muy flexible similar a la FDTD en cuanto a capacidades, aunque suele haber más códigos disponibles con los motores FDTD.
Este es un método implícito. En este método, en el caso bidimensional, las ecuaciones de Maxwell se calculan en dos pasos, mientras que en el caso tridimensional las ecuaciones de Maxwell se dividen en tres direcciones de coordenadas espaciales. El análisis de estabilidad y dispersión del método LOD-FDTD tridimensional se ha discutido en detalle. [21] [22]
La expansión de modos propios (EME) es una técnica bidireccional rigurosa para simular la propagación electromagnética que se basa en la descomposición de los campos electromagnéticos en un conjunto básico de modos propios locales. Los modos propios se encuentran resolviendo las ecuaciones de Maxwell en cada sección transversal local. La expansión de modos propios puede resolver las ecuaciones de Maxwell en 2D y 3D y puede proporcionar una solución totalmente vectorial siempre que los solucionadores de modos sean vectoriales. Ofrece ventajas muy importantes en comparación con el método FDTD para el modelado de guías de ondas ópticas y es una herramienta popular para el modelado de dispositivos fotónicos de silicio y fibra óptica .
La óptica física (OP) es el nombre de una aproximación de alta frecuencia ( aproximación de longitud de onda corta ) que se utiliza habitualmente en óptica, ingeniería eléctrica y física aplicada . Es un método intermedio entre la óptica geométrica, que ignora los efectos de las ondas , y el electromagnetismo de onda completa , que es una teoría precisa . La palabra "física" significa que es más física que la óptica geométrica y no que sea una teoría física exacta.
La aproximación consiste en utilizar la óptica de rayos para estimar el campo sobre una superficie y luego integrar ese campo sobre la superficie para calcular el campo transmitido o disperso. Esto se parece a la aproximación de Born , en el sentido de que los detalles del problema se tratan como una perturbación .
La teoría uniforme de difracción (UTD) es un método de alta frecuencia para resolver problemas de dispersión electromagnética a partir de discontinuidades eléctricamente pequeñas o discontinuidades en más de una dimensión en el mismo punto.
La teoría uniforme de la difracción aproxima los campos electromagnéticos de campo cercano a los campos cuasi-ópticos y utiliza la difracción de rayos para determinar los coeficientes de difracción para cada combinación de objeto-fuente que difracta. Estos coeficientes se utilizan luego para calcular la intensidad y la fase del campo para cada dirección que se aleja del punto de difracción. Estos campos se suman luego a los campos incidentes y reflejados para obtener una solución total.
La validación es uno de los problemas clave a los que se enfrentan los usuarios de la simulación electromagnética. El usuario debe comprender y dominar el dominio de validez de su simulación. La medida es: "¿cuán alejados están de la realidad los resultados?"
Para responder a esta pregunta se requieren tres pasos: comparación entre los resultados de la simulación y la formulación analítica, comparación cruzada entre códigos y comparación de los resultados de la simulación con la medición.
Por ejemplo, se puede evaluar el valor de la sección transversal de radar de una placa con la fórmula analítica: donde A es la superficie de la placa y es la longitud de onda. La siguiente curva que presenta la sección transversal de radar de una placa calculada a 35 GHz se puede utilizar como ejemplo de referencia.
Un ejemplo es la comparación cruzada de los resultados del método de momentos y los métodos asintóticos en sus dominios de validez. [23]
El paso final de validación se realiza mediante la comparación entre las mediciones y la simulación. Por ejemplo, el cálculo RCS [24] y la medición [25] de un objeto metálico complejo a 35 GHz. El cálculo implementa GO, PO y PTD para los bordes.
Los procesos de validación pueden revelar claramente que algunas diferencias pueden explicarse por las diferencias entre la configuración experimental y su reproducción en el entorno de simulación. [26]
En la actualidad existen numerosos códigos eficaces para resolver problemas de dispersión electromagnética. Se enumeran a continuación:
Se pueden utilizar soluciones analíticas, como la solución de Mie para dispersión por esferas o cilindros, para validar técnicas más complejas.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {u}}&=\left({\begin{matriz}E_{x}\\E_{y}\\H_{z}\end{matriz}}\right),\\[1ex]A&=\left({\begin{matriz}0&0&0\\0&0&{\frac {1}{\epsilon }}\\0&{\frac {1}{\mu }}&0\end{matriz}}\right),\\[1ex]B&=\left({\begin{matriz}0&0&{\frac {-1}{\epsilon }}\\0&0&0\\{\frac {-1}{\mu }}&0&0\end{matriz}}\right),\\[1ex]C&=\left({\begin{matriz}{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0&0\\0&{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0\\0&0&0\end{matriz}}\derecha).\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41523398447a19e2ea2e1aedb1bcbb1cf5c93186)
