Álgebra de mentira soluble

En matemáticas , un álgebra de Lie tiene solución si su serie derivada termina en la subálgebra cero. El álgebra de Lie derivada del álgebra de Lie es la subálgebra de , denotada ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

que consta de todas las combinaciones lineales de paréntesis de Lie de pares de elementos de . La serie derivada es la secuencia de subálgebras. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

Si la serie derivada finalmente llega a la subálgebra cero, entonces el álgebra de Lie se considera solucionable. ^[1] La serie derivada de álgebras de Lie es análoga a la serie derivada de subgrupos de conmutadores en teoría de grupos , y las álgebras de Lie solubles son análogas a los grupos solubles .

Cualquier álgebra de Lie nilpotente es a fortiori solucionable, pero lo contrario no es cierto. Las álgebras de Lie solubles y las álgebras de Lie semisimples forman dos clases grandes y generalmente complementarias, como lo muestra la descomposición de Levi . Las álgebras de Lie solubles son precisamente aquellas que se pueden obtener a partir de productos semidirectos , partiendo de 0 y sumando una dimensión a la vez. ^[2]

Una subálgebra máxima resoluble se llama subálgebra de Borel . El mayor ideal solucionable de un álgebra de Lie se llama radical .

Caracterizaciones

Sea un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica 0 . Los siguientes son equivalentes. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• (i) tiene solución. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (ii) , la representación adjunta de , tiene solución. ${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (iii) Hay una secuencia finita de ideales de : ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}\,\,\forall i.}$

• (iv) es nilpotente. ^[3] ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• (v) Para -dimensional, existe una secuencia finita de subálgebras de : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1\,\,\forall i,}$

con cada uno un ideal en . ^[4] Una secuencia de este tipo se llama secuencia elemental . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$

• (vi) Hay una secuencia finita de subálgebras de , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$

tal que es un ideal en y es abeliano. ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$

• (vii) La forma Killing de satisface para todos los X in e Y in . ^[6] Este es el criterio de Solubilidad de Cartan . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle B(X,Y)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

Propiedades

El teorema de Lie establece que si es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero , y es un álgebra de Lie resoluble, y si es una representación de más , entonces existe un vector propio simultáneo de los endomorfismos para todos los elementos . ^[7] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \pi (X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

• Cada subálgebra de Lie y cociente de un álgebra de Lie solucionable son solucionables. ^[8]
• Dada un álgebra de Lie y un ideal en ella, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es solucionable si y sólo si ambos y son solucionables. ^{[8] [2]} ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

La afirmación análoga es cierta para las álgebras de Lie nilpotentes siempre que esté contenida en el centro. Por lo tanto, una extensión de un álgebra soluble por un álgebra soluble es solucionable, mientras que una extensión central de un álgebra nilpotente por un álgebra nilpotente es nilpotente. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• Un álgebra de Lie distinta de cero que se puede resolver tiene un ideal abeliano distinto de cero, el último término distinto de cero de la serie derivada. ^[2]
• Si hay ideales resolubles, entonces también lo es . ^[1] En consecuencia, si es de dimensión finita, entonces hay un ideal único con solución que contiene todos los ideales con solución en . Este ideal es el radical de . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Un álgebra de Lie resoluble tiene un ideal nilpotente más grande único , llamado radical nil , el conjunto de todos los que son nilpotentes. Si D es cualquier derivación de , entonces . ^[9] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}}$

Álgebras de Lie completamente solucionables

Un álgebra de Lie se llama completamente solucionable o dividida si tiene una secuencia elemental {(V) Como definición anterior} de ideales en from to . Un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita es completamente solucionable, y un álgebra de Lie completamente solucionable es solucionable. Sobre un campo algebraicamente cerrado, un álgebra de Lie resoluble es completamente resoluble, pero el álgebra de Lie real -dimensional del grupo de isometrías euclidianas del plano es resoluble pero no completamente resoluble. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 3}$

Un álgebra de Lie con solución tiene solución dividida si y solo si los valores propios de están en para todos en . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ejemplos

Álgebras de mentira abelianas

Cada álgebra de Lie abeliana tiene solución por definición, desde su conmutador . Esto incluye el álgebra de Lie de matrices diagonales , que tienen la forma ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&0&0\\0&*&0\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

para . La estructura del álgebra de Lie en un espacio vectorial dado por el corchete trivial para dos matrices cualesquiera da otro ejemplo. ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [m,n]=0}$ ${\displaystyle m,n\in {\text{End}}(V)}$

Álgebras de mentira nilpotentes

Otra clase de ejemplos proviene de álgebras de Lie nilpotentes, ya que la representación adjunta tiene solución. Algunos ejemplos incluyen las matrices de la diagonal superior, como la clase de matrices de la forma

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}0&*&*\\0&0&*\\0&0&0\end{bmatrix}}\right\}}$

llamada álgebra de Lie de matrices triangulares estrictamente superiores . Además, el álgebra de Lie de matrices diagonales superiores forma un álgebra de Lie resoluble. Esto incluye matrices de la forma ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

y se denota . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$

Soluble pero no disoluble

Sea el conjunto de matrices de la forma ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .}$

Entonces es solucionable, pero no solucionable por división. ^[2] Es isomorfo con el álgebra de Lie del grupo de traslaciones y rotaciones en el plano. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sin ejemplo

Un álgebra de Lie semisimple nunca tiene solución ya que su radical , que es el mayor ideal solucionable en , es trivial. ^{[1] página 11} ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ ${\displaystyle {\text{Rad}}({\mathfrak {l}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$

Grupos de mentiras solucionables

Debido a que el término "resoluble" también se utiliza para grupos solubles en la teoría de grupos , existen varias definiciones posibles de grupo de Lie soluble . Para un grupo de mentiras , hay ${\displaystyle G}$

• terminación de la serie derivada habitual del grupo (como grupo abstracto); ${\displaystyle G}$
• terminación de los cierres de la serie derivada;
• tener un álgebra de Lie solucionable

Ver también

• El criterio de Cartan.
• forma de matar
• Teorema de Lie-Kolchin
• colector de solución
• mapeo de dixmier

Notas

1. Humphreys 1972
2. Knapp 2002
3. Knapp 2002 Proposición 1.39.
4. Knapp 2002 Propuesta 1.23.
5. Fulton y Harris 1991
6. Knapp 2002 Proposición 1.46.
7. Teorema 1.25 de Knapp 2002.
8. Serre 2001, cap. I, § 6, Definición 2.
9. Knapp 2002 Proposición 1.40.

enlaces externos

• Artículo de la EoM Álgebra de mentira, solucionable
• Artículo de la EdM Grupo de mentiras, solucionable

Referencias

• Fulton, W .; Harris, J. (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. SEÑOR  1153249.
• Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 9. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Knapp, AW (2002). Grupos de mentiras más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. vol. 120 (2ª ed.). Boston·Basilea·Berlín: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5..
• Serre, Jean-Pierre (2001). Álgebras de mentira complejas semisimples . Berlín: Springer. ISBN 3-5406-7827-1.